CC BY
298
УДК 519.8(075.8);621.31.017
Ю. Е. МЕГЕЛЬ, д-р техн. наук, проф.
А. П. РУДЕНКО, канд. техн. наук, доцент
Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства, г. Харьков
А. И. РЫБАЛКА, канд. физ.-мат. наук, доцент Харьковский университет радиоэлектроники, г. Харьков
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ ПОТЕРЬ В СЕТЯХ
Рассмотрена математическая модель задачи оптимизации и метод ее решения, с использованием современных программных средств, на примере моделирования сети электроснабжения определяемой структурой сети и энергопотоками в ней, параметрами источников электроснабжения, линий электропередач, распределительных пунктов и тому подобное.
Розглянуто математичну модель задачі оптимізаціїі метод її вирішення, з використанням сучасних програмних засобів, на прикладі моделювання мережі електрозабезпечення, яка визначається структурою мережі і енергопотоками в ній, параметрами джерела електрозабезпечення, ліній електропередач, розподільчими пунктами і тому подібним.
Введение
Одной из важных проблем экономики является энергосбережение и повышение эффективности использования имеющихся энергоресурсов. Украина имеет значительное количество мощных электростанций и электросетей которые являются одним из основных средств развития ее экономики и удовлетворение потребностей населения. Очевидно, что одним из основных условий эффективной эксплуатации всей электроэнергетической системы есть минимизация потерь электроэнергии в сети электроснабжения.
Анализ последних исследований и публикаций
Особенность замкнутых электрических сетей связана с тем, что, кроме внедрения общих мероприятий по снижению потерь мощности и электроэнергии, потери в таких сетях можно снизить за счет перераспределения потоков мощностей, которое реализуется снижением неоднородности параметров сети, размыканием сети или продольно-поперечным регулированием потоков мощности.
Основным условием работы электрической сети с минимальными потерями является ее рациональное построение. При этом особое внимание должно быть уделено правильному определению точек деления в замкнутых сетях, экономичному распределению активных и реактивных мощностей, внедрению замкнутых и полузамкнутых схем сети 0,4 кВ.
Потери энергии в рационально построенных и нормально эксплуатируемых сетях не должны превышать обоснованного технологического расхода энергии при ее передаче и распределении. Мероприятия по снижению потерь энергии должны проводиться в сетях, где есть те или иные отклонения от рационального построения и оптимального режима эксплуатации.
Применение современных математических методов расчета позволяет минимизировать технологические расходы электроэнергии и довести их до технически обоснованных величин
[1, 2, 3].
Постановка задачи
Современные сети снабжения и потребления электроэнергии имеют достаточно сложную структуру, в которой возникает задача изменения распределения потоков электроэнергии у поставщиков и потребителей электроэнергии определяемых потребностями социально-экономического развития отдельных предприятий, городов,
регионов и страны в целом. При осуществлении этих изменений в электросети требуется минимизация потерь электроэнергии в результате этих изменений. Научно обоснованное решение таких задач можно найти с помощью математических моделей и методов оптимизации [4, 5, 6]
Основной материал
Математическая модель задачи оптимизации и метод ее решения (нахождение оптимального плана) зависит от содержательной постановки, заданных условий (ограничений) и цели (целевой функции) конкретной задачи. Моделирование сети электроснабжения определяется структурой сети и энергопотоков в ней, параметрами источников электроснабжения, линий электропередач (ЛЕП), распределительных пунктов (Рп) и тому подобное.
В данной работе рассмотрим оптимизацию распределения потоков электроэнергии в радиальной электросети, которая заключается в оптимальном подключении п новых
потребителей электроэнергии мощностью Р| каждого ( = 1,2,.....п) к т распределительным
пунктам (1 = 1,2,....т) в существующей сети (рис. 1). Каждый ьй распределительный пункт имеет установленную (максимально допустимую) мощность Qi квт, из какой квт отбирают существующие потребители.
Рис.1. Пример трехфазной радиальной сети
Известно, что все сети электроснабжения (за исключением специальных) являются 3фазными и потери б мощности в любой 3-фазной симметрично нагруженной ЛЕП пропорциональны квадрату мощности Р, которая передается по этой ЛЕП.
5 = 3 • Г • 72 = 2 Г 2--Р2 = к • Р2, к = ------------ (1)
и • соб (^) (и ■ соб(^))
где г, и, соб(ф) - заданные параметры ЛЕП (электрическое сопротивление одного провода, напряжение и коэффициент мощности).
Необходимо определить такой оптимальный план распределения снабжения новых мощностей Pj от заданных распределительных пунктов Рщ к каждому из всех новых потребителей, в котором общие потери мощности во всей сети электроснабжения в результате подключения новых мощностей с учетом существующих потребителей будут минимально-возможными. В этой задаче будем считать, что каждый потребитель может быть подключен к каждому Рп, как это показано на рис. 1. Обозначив неизвестной ху мощность, которую получает новый j -й потребитель из ьго распределительного пункта Рщ,
запишем все неизвестные а также мощности Qi распределительных пунктов, -
существующих И Р| - новых потребителей в виде матрицы
X
21
X
12
X
22
X
1 j
X
2j
X
1n
X
2n
Qi - q
Q2 - 42
X.. X 2
г1 г 2
X
X
(2)
X
X
mi m 2
P P
X
mj
P
X
Q ~ q
mm
P
Система ограничений для заданной сети состоит из двух групп основных ограничений: т неравенств на допустимую нагрузку каждого распределительного пункта с учетом мощностей нужных для существующих потребителей:
Zx < Q - q , X > 0, i = 1, m
ij ¿-'г 1г’ ij ’ ’
j=1
и n уравнений по обеспечению мощностью каждого нового потребителя:
m ____
У X.. = P , X.. > 0, j = 1, n .
¿—t гj j ’ у ■> j ■>
(3)
(4)
Считаем что ограничения на допустимые потери напряжения ДИ в ЛЕП учтены при определенные максимально-допустимых мощностей Qi распределительных пунктов и ЛЕП. Запишем общие потери мощностей в данной сети (целевую функцию) обусловленные всеми новыми потребителями, учитывая (1) и считая параметры всех ЛЕП кр;, ку, И, соб(ф) известными:
/ л2
т п т / п )
S = ZZV x2+Z kp. • q. +Z j
1=1 j=1 1=1 i j=1
(5)
Раскроем квадрат сомножителя во второй составляющей формулы (5)
/ V
n \ n n n n
q + V х.. = q2 + 2 • q -V x.. + V x2 + 2 • V x.. • V x
1г / ^ .j 1 г I t / j . / j
ij 1 i ~l i / J ' ' ij ~ ' ij ~ ' ij / J ” ik 5
]=1 J }=1 ]=1 ]=1 k=]+1
и получаем
i =1 j =1
S = ZZ^- ■ Xj +ZkPr ■ q. + 2■ q. -Zх +ZXl+ 2-Ёх • ZX
г] - - ik
]=1 k=j'+1 J
= Z kPi ■ q. +2 ■ Z kPi ■ q. ■ Z х + Z kP. Z(1+К) ■x]+ 2 ■ Z kP. ■ Z х ■ Z x ^ m1n (6)
i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k=j+1
Система линейных ограничений (3), (4) и квадратичная функция цели (5), свидетельствует о том что мы получили модель задачи квадратичного программирования [3,4], которая имеет m x n неизвестных и m+n ограничений. Для исследования условий существования точки седла данной модели квадратичной задачи, необходимого для нахождения оптимального ее решения с помощью теоремы Куна-Таккера, перепишем модель данной задачи в таком виде, в котором неизвестные обозначаются сплошной нумерацией с одним индексом рис.2. Тогда матрицу (2) запишется в виде матрицы (7) :
i =1
i=1
X
X
X
п+ ]
X
х„
0 - 4, О2 - 42
X X
^(і-1) п+1 ^(і-1) п+2
X X
(т-1) п+1 (т-1) п+2
Р Р
X
(і-1) п+ ]
X
(і-1)п+п Л-'І ± і
X
(т-1) п+у
Р
X
0 - 4> О - 4
тт
(7)
(т-1) п+ п ^т у т
Р
Теперь система ограничений (3) и (4) записывается в виде (8) -(11) а функция цели Б в виде (12) -(15) :
1) X + X + ••• X. + •••xn < О1 -41,
2) Xn+1 + ^ 2 + •” Xn+ у + •” X2 п ^ О2 - 4„
і) X(i-1)п+1 ^ X(i-1)п+ 2 ^ X(i-1)п+ у ^ X(i-1)п+п — Оі ~ 4Г.
(8)
і) X,, 1) ^ + X,, 1) ^ + ••• x( 1) ^ + ••• x( 1) ^ < О - 4 •
У (т-1) п+1 (т-1)п+ 2 (т-1) п+ у (т-1) п+ п ^т * т -
после преобразования получаем:
^ X. < Ог ~ 4г , X. > 0, і = 1, т
.
І=(і-1) п+1
(9)
1) X1 + Xn+1 +■ "X(i-1)n+1 + " "X — P (m-1)n+1 1 1 5
2) X2 + Xn+2 + ■ "X(i-1) n+2 + ' .. X — P л(ш-1)n+2 1 2 5
j) Xj + Xn+j +' " X(i-1)n+ j +' .. X — P Л(m-1)n+ j 1 j 5 (10)
n) Xn + Xn+n + " 'X(i-1) n+n + '■ * X — P (m-1)n+n n ’
или в обобщенном виде имеем:
i =1
(i-i) n+ j j’ (i-1) n+ j
> 0, j = 1, n,.
(11)
m-n f n Л2 f 2-n Л2 f i-n V f m-n V
S=Skl •x2 + kp1 • q1 +Zx + kp2 • q2 + Zx + • qi+ & + "^Pm • qm + Zx
l=1
xl
V l=1 J
V l=n+1 J
m f
= Z klx2 +Z kpi • qi+ Z
xl
V l=(i-1)n+1
\2
x,
у l=(m-1)n+1 j
(12)
!=1 i=1 у i=(i-1)n+1 J
Раскрыв квадрат сомножителя во второй составляющей формулы (12) получаем
ґ
\
i-n—1
дг + z x = я2 +2 • я, ■ Z x + Z x2 +2 • Z X/ -Z
X .
(13)
/=( i—1) n+1 у
i=( i-1) n+1 i=(i—1) n+1
/=( i-1) n+1
=1+1
Подставляем (13) в (12) и получаем квадратичную функцию потерь мощности в сети для нумерации всех неизвестных одним индексом:
Ґ
l=1
i-n-1
Л
S = Zkl •x2 +Zkpi • q.2 + 2• qi • Z xl+ Z x2 + 2■ Z xl -Zxr
i=1 I i=(i—1 )n+1 i=(i—1) n+1 l=(i—1)n+1
=l+1
111 111 1 11 111 1 11 111 1 11—1 1 11
= Zkpi • qi2 + 2-Zkpi• qi Z xl +Zkpi Zkl•x2 + 2-Zkpi• Z xl-Zx^min(14)
i=1 i=1 l=(i-1)n=1 i=1 l=(i-1)n+1 i=1 i=(i-1)n+1 r=l+1
Для нахождения оптимального плана постоянную составляющую функции (14) можно отбросить. Тогда получаем:
m m i-n m i-n-1 i-n
S' =2-Zkpi• qi Z xl +Zkpi• Z kl•x2 + 2-Zkpi• Z xl-Zxr^min. (15)
i=1 l=(i-1)n=1 i=1 l=(i-1)n+1 i=1 i=(i-1)n+1 r=l+1
Рассмотрим пример нахождения оптимального плана снабжения 2-х новых потребителей Н1 и Н2 мощностью Р1=100 и Р2=200 киловатт соответственно в радиальной электрической сети с напряжением 10 Кв / 0,4 Кв с тремя распределительными пунктами Рщ, Рп2, Рп33 рис. 3. Параметры линий электропередач приведены в табл.1 Значение kpi, kj вычислены по формуле (1).
Таблица 1
Параметры линий электропередач
m-n
2
Линии Параметры Напряжение 10 Кв Напряжение 0,4 Кв
Лр1 Лр 2 Лр3 Л1 Л2 Л3 Л4 Л5 Л6
R, ом 3,5 5 2,5 0,16 0,15 0,2 0,12 0,18 0,14
Соб(ф) 0,75 0,87 0,8 0,9 0,85 0,9 0,92 0,83 0,79
Kpi, kl 0,062 0,066 0,039 1,23 1,3 1,54 0,89 1,63 1,4
Q квт 320 180 560
I A 24,6 12 40,6
q квт 120 100 440
kp1, лр1,10 Кв kp2, лр2, 10 Кв kp3, лр3, 10 Кв
^Рпь Q1, q^ СРП2’ Q2’ q2 РП3’ Q3’ q3^
Х3, k3, л3 х4, k4, л4
x1, k1, л1
х5, k5, л5 Х2. k2, л2
H1, P1
H2 P2
Рис. 3. Пример нахождения оптимального плана электроснабжения 2-х новых потребителей в радиальной электрической сети
В данном случае матрица задачи будет выглядеть следующим образом:
*1 х Ql - ^1
Х4 ^ - 4 2
x6 Ö3 - 4г
Р Р
12
Система ограничений примет вид:
1) х + х2 < Q1 - 41,
2) Х3 + Х4 ^ ^ - 42,
3) х5 + Х6 ^ й - 4г^
4) х1 + х3 + х5 = Р,
3) х2 + х4 + Х5 = Р2 '
Общие потери мощности в сети будут равны
3 3 2*3 2-1
2-i—1
(16)
(17)
S = Z^qf + 2-Zkpi■ qi■ Z xl+Zkpi Z kl■x2+2-Zkpi Z xl-Zx^
l=(i-1)2+1 i=1 l=(i-1)-2+1 i=1 l=(i-1)2+1 r=l+1
i=1
i=1
2-i
2-i
i-2-1
i-2
S'=2-zkpi• qi• Z xl +Zkpi Z kl•x2 + 2-Z^i Z xl-Zxr^min
i=1 l=(i-1)2+1 i=1 l=(i-1>2+1 i=1 l=(i—1)2+1 r=l+1
Подставляя в (17) - (19) числовые данные из табл. 1 получим:
1) X + Х2 < 200,
2) x3 + х4 < 80,
3) x5 + х6 < 120
4) x + x3 + x5 = 100,
3) x2 + x4 + x5 = 200
min, (18) (19)
(20)
x6 k6, л6
6
S' = 2 • 0,062 • 120 • (x1 + Х2) + 2 • 0,066 -100 • (x3 + x4) + + 2 • 0,039 • 440 • (x5 + x6) + 0,062 • 1,23 • x,2 + 0,062 • 1,3 • x22 + 0,066 • 1,54 • x32 + +0,066 • 0,89 • x42 + 0,039 • 1,63 • x52 + + 0,039 • 1,4 • x62 + 2 • 0,062 • x1 • x9 + 2 • 0,066 • x3 • x4 + 2 • 0,039 • x5 • x6 =
5 “6 5 12 5 34 5 56
9103,2 +14,88 • (Xj + x2) +13,2 • (x3 + x4) + + 34,32 • (x5 + x6) + 0,076 • Xj2 + 0,0806 • x22 + 0,101 • x2 +
+ 0,059 • x42 + 0,064 • x52 + 0,055 • x62 + 0,124 • x< • x7 +
? 4 ? 5 ’ 6 “ 12
0,132 • x3 • x4 + 0,078 • x5 • x,
3 4 5 6
S = S '+0,062 • 1202 + 0,066 • 1002 + 0,039 • 4402 = S '+9103,2 (21)
В результате решения данной задачи получаем оптимальный план х1=87,66, х2=83,5, х3=0, х4=80, х4=80, х5=12,34, x6=36,5, S'=7846, S=9119+S'=16967
Рассмотрим нахождение оптимального плана для данного примера с помощью программы "Поиск решения" электронной таблицы Excel. В табл.2 показан фрагмент листа Excel, который выбран для введения значений неизвестных, заданных параметров, расчетных выражений для вычисления средствами Excel составляющих функции цели S и самой функции цели по формулам (18) (19). Общие выражения для вычисления S' записаны в клеточке В10 а для S - в клеточке В11 листа Excel.
Таблица 2
Расчетные данные для введения в лист Excel
A B C D E F G H
Пример 1 Нахождение оптимального плана
3 H1 Н2 q(i) I Q(i) kp(i) kp(i)q(i)2 kp(i)q(i)Zx
4 Рп1 x(1) x(2) 1 20 B4+C4+D4 320 0,062 G4*D4A2 G4*D4*(B4+C4)
5 Рп2 x(3) x(4) 1 00 B5+C5+D5 180 0.07 G5*D5A2 G5*D5*(B5+C5)
6 Рп3 x(5) x(6) 440 B6+C6+D6 560 0,039 G6*D6A2 G6*D6*(B6+C6)
7 I P(1), B3+B4+B5 c3+c4+c5 H4+H5+H6 I4+I5+I6
8 P(2) 100 200
9 k(l)= 1.23 1.3 1,54 0.89 1,63 1,4
10 S' = 2*I7+G4*(B9+B4A2+C9*C4A2)+G5*(D9*B5A2+E9*C5A2)+
B12+G6*(F9*B6A2+G9*C6A2)+2*(G4*B4*C4+G5*B5*C5+G6*B6*C6)
11 S = I7+S'
12 Заданные параметры ЛЕП 0,4 Кв
13 Лр1 Лр2 Лр2 Л1 Л2 Л3 Л4 Л5
14 r 3.50 5.00 2.50 0.16 0.15 0.20 0.12 0.18
15 C о ( 0.75 0.87 0.80 0.90 0.85 0.90 0.92 0.83
Л6
В табл. 3 показан этот же фрагмент после введения всех заданных параметров и расчетных выражений согласно табл.2 для нулевых начальных значений всех неизвестных х 1=х2=х3=х4=х5=хб=0.
После открытия диалогового окна программы "Поиск решения" необходимо указать в соответствующих полях этого окна адрес В10 клеточки Б ', адреса массива клеточек В4 : С6 для неизвестных и систему ограничений (20). После введения данных в окне "Поиск решения" кнопкой "Параметры" открыть окно параметров, где установить "Неотрицательные значения", нажатием кнопки Ок вернуться в окно "Поиск решения", в котором нажать кнопку "Выполнить". Результаты решения показаны в табл. 4.
Таблица 3
Заданные и вычисленные параметры модели задачи для нулевых значений всех неизвестных (х1=х2=х3=х4=х5=хб=0)
B C D E F G H I
Пример 1 Нахождение оптимального
плана
H(1) H(2) q(i) I Q(i) kp(i) kp(i)q(i)2 kp(i)q(i)!x
4 Рп(1) 0 0 120 120 320 0.062 1296 0
5 Рп(2) 0 0 100 100 180 0.066 1200 0
6 Рп(3) 0 0 440 440 560 0.039 19360 0
7 I P(1), 0 0 660 I 21856 0
8 Р(2) 100 200
9 k(l) 1.23 1.3 1.54 0.89 1.63 1.4
10 S' = 0
11 S = 9119.09
Таблица 4
Результати расчета оптимального плана для данного примера в таблице Excel
B С D E F G H I J
Пример 1 Определение оптимального плана
H(1) H(2) q(i) I Q(i) kp(i) kp(i)q(i)2 kp(i)q(i)Zx
4 Pn(1) 87.66 83.5 1 20 291.2 320 0.06222 896 1278.32
5 Pn(2) 0 80 100 1 80 180 0.06606 660.589246 528.471
6 Pn(3) 12.34 36.5 440 488.8 560 0.03906 7562.5 838.697
7 I P(1), 100 200 660 9119.08925 2645.48
8 P(2) 100 200
9 k(l) 1 .235 1.3 1 .543 0.886 1.633038 1 .40202
10 S' = 7848 Ват
11 S = 16967 Ват
12 Заданные параметры ЛЕП
13 Лр(1) Лр(2) Лр(2) Л(1) Л (2) Л(3) Л (4) Л (5) Л(6)
14 r 3.50 5.00 2.50 0.16 0.15 0.20 0.12 0.18 0.14
15 Соэ(ф) 0.75 0.87 0.80 0.90 0.85 0.90 0.92 0.83 0.79
16 U Kv 10 10 10 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4
В результате решения данной задачи получаем оптимальный план xi=87,66, х2=83,5, х3=0, х4=80, х5=12,34, x6=36,5, S'=7846, S=9119+S'=16967. Следовательно оптимальным является следующее распределение нагрузок новых потребителей Н1 и Н2: у первого потребителя 87.66 киловатт подключить к Рп1 и 12,34 киловатт - к Рп3, а у второго - 83,5 киловатт подключить к Рщ, 80 киловатт - к Рп2 и 36,5 - к Рп3. При этом обеспечивается минимальное увеличение общих потерь в сети на 7,848 киловатт
Выводы
Предложенный подход к оптимизации распределения мощностей с целью минимизации их потерь в существующих электросетях показывает, что математическая модель таких задач независимо от сложности сети представляет собою задачу квадратичного программирования, для которой известны и достаточно исследованы как аналитические, так и вычислительные методы нахождения оптимального плана. Реальные электросети более сложные по сравнению с примерами, приведенными в роботе, но методика формулирования данных моделей остается неизменной и позволяет оперативно найти оптимальный план с помощью табличного процессора Excel и его приложений. Недостатками данной модели
является то, что мощности распределяются на непрерывные, а не дискретные части, а также отсутствие ограничений на допустимые напряжения у потребителей. Эти недостатки, могут бать устранены дополнительными ограничениями и применением дискретной модели.
Список литературы
1. Дерзский В. Г. Выбор мероприятий по снижению потерь электроэнергии в распределительных сетях / Дерзский В. Г., Скиба В. Ф. //Энергесбережение • Энергетика* Энергоаудит. - 2009. - № 6.
2. Герасименко А. А. Моделирование, анализ и оптимизация режимов питающих и распределительных электрических сетей энергосистемы / А. А. Герасименко, А. В. Любин, А.
В. Тихонович // Вестник КрасГАУ, Красноярск: - 2005. - С. 226-237.
3. С. А. Тимчук. Модели и методы поиска оптимальной структуры сети электроснабжения при нечетко заданных целях. - Харьков: «Факт», 2010 г.
4. Акулич И. Л. Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии и решения. - Минск: БГЭУ, 2003 г.
5. Зайченко Ю. П. Дослідження операцій. - Київ: ЗАТ «ВІПОЛ», 2000 г.
6. Э. Г. Петров, М. В. Новожилова, И. В. Гребенник, Н. А. Соколова. Методы и средства принятия решений в социально-экономических и технических системах. /Учебное пособие под общей редакцией Э. Г. Петрова. - Херсон: 2003 г.
MATHEMATICAL MODEL OF TASK OF OPTIMIZATION AND METHOD OF HER DECISION FOR MINIMIZATION OF LOSSES IN NETWORKS
Y E. MEGEL, D-r Scie. Tech., Pf.
A. P. RUDENKO, Cand. Tech. Scie., associate professor A. I. RYBALKO, Cand. Fiz.-Matem. Scie., associate professor
The mathematical model of task of optimization and method of her decision is considered, with the use of modern programmatic tools, on the example of design of network of power supply of network the determined structure and by energythreads in it, by the parameters of sources of power supply, lines of electricity transmissions, distributive points and others like that.
Поступила в редакцию 23.03 2011 г.
