Математическая модель задачи оптимизации формирования штатного расписания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

УДК 681.05.11 Истомин Андрей Леонидович,

д. т. н., профессор кафедры «Автоматизация технологических процессов», Ангарская государственная техническая академия (АГТА), e-mail: [email protected]

Истомина Алена Андреевна, аспирант кафедры «Автоматизация технологических процессов», Ангарская государственная техническая академия (АГТА), e-mail: [email protected]

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМИРОВАНИЯ ШТАТНОГО РАСПИСАНИЯ

A.L. Istomin, A.A. Istomina

THE MATHEMATICAL MODEL OF THE TASK OF OPTIMIZATION OF THE HIGHER-EDUCATION TEACHING

PERSONNEL IS PROPOSED

Аннотация. Предложена математическая модель задачи оптимизации формирования штата профессорско-преподавательского состава в вузе.

Ключевые слова: вуз, оптимизация, учебный процесс.

Abstract. The mathematical model of the task of optimization of the higher-education teaching personnel is proposed.

Keywords: higher education institute, optimization, education process.

Задача формирования штата III 1С может быть сформулирована следующим образом: вуз должен выполнить определенный объем учебной нагрузки. Для этого необходимо найти такую численность преподавателей различной категории и квалификации, найти такое распределение штатных единиц (ставок) по кафедрам и образовательным программам вуза, чтобы это распределение было наиболее эффективным с точки зрения вуза и допустимым, с точки зрения системы ограничений, налагаемых условиями выполнения учебной нагрузки.

Постановка задачи оптимизации структуры ППС базируется на следующих основных положениях:

- объем учебной нагрузки, соответствующий учебным планам и контингенту студентов, должен быть выполнен полностью как по кафедрам, так и по отдельным образовательным программам;

- норма учебной нагрузки в часах, приходящейся на одну ставку, зависит от занимаемой преподавателем должности;

- общая численность преподавателей не должна превышать нормативную численность ППС, рассчитанную исходя из соотношений «студент : преподаватель» по всем образовательным программам;

- затраты (заработная плата, надбавки за должность и степень, стимулирующие надбавки и т. п.), приходящиеся на одну ставку, зависят от занимаемой преподавателем должности;

- общие затраты вуза, связанные с использованием преподавателей, не должны превышать фонд оплаты труда ППС;

- рациональная структура ППС - это определенное множество преподавателей различной квалификации, обеспечивающее выполнение учебных поручений в соответствии с их квалификацией;

- эффективность распределения предполагает равномерное распределение доли лиц с учеными степенями и учеными званиями среди образовательных программ вуза.

Рассмотрим две постановки задачи нахождения оптимальной структуры ППС и его распределения среди образовательных программ. В первом случае рациональная структура ППС будет определяться исходя из минимизации затрат на использование преподавателей. При этом должны выполняться требования лицензионных нормативов (доля ставок преподавателей с учеными степенями или званиями, обеспечивающих подготовку по той или иной образовательной программе и вузу в целом, в общем количестве ставок преподавателей).

Во втором случае будем находить структуру III 1С, исходя из максимизации доли ставок преподавателей с учеными степенями или званиями к общему количеству ставок преподавателей по всем образовательным программам и вузу в целом.

Пусть Qi - суммарный объем учебной

нагрузки в часах /-й кафедры (i = 1,п), W]■ - суммарный объем учебной нагрузки в часах, приходящийся на ] -ю образовательную программу

(] = 1, m), являются известными, т. е. определенными из рабочих учебных планов для соответ-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

=а

1 = 1, п,

(1)

= ж, , ] = 1,т, (2)

ствующих контингентов студентов. Расчет значений этих показателей, как правило, не вызывает никаких затруднений.

Пусть штатным расписанием вуза предусмотрено к категорий должностей для преподавателей с ученой степенью и учеными званиями и I категорий для преподавателей без ученой степени и ученого звания. Категории должностей ППС в вузах известны: заведующий кафедрой (профессор или доцент, доктор наук или кандидат наук), профессор кафедры (доктор наук или кандидат наук), доцент кафедры (доктор наук или кандидат наук), старший преподаватель (кандидат наук или без ученой степени), преподаватель или ассистент (кандидат наук или без ученой степени).

Обозначим через хр подлежащее определению количество ставок, планируемых преподавателям с ученой степенью или с учеными званиями р -й категории должностей (р = 1, к), работающим на 1 -й кафедре (1 = 1,п), для выполнения учебной нагрузки по у -й образовательной программе (у = 1, т), а через у-у - количество ставок, планируемых преподавателям без ученой степени г -й категории (г = 1,1) 1 -й кафедры для выполнения учебной нагрузки по у -й образовательной программе.

Поскольку суммарная учебная нагрузка каждой кафедры известна и известна суммарная учебная нагрузка, приходящаяся на каждую образовательную программу, можно записать следующие ограничения:

т ( к I

I Еррхр +Еугу

1=1 v р=1 г=1

Е (Е Р рхр +Е у-уг

1 = 1 V р = 1 г=1

где /Зр - норма учебной нагрузки в часах на одну ставку преподавателя с ученой степенью или ученым званием р -й категории, а уг - норма учебной нагрузки в часах на одну ставку преподавателя без ученой степени или ученого звания г -й категории.

Данные ограничения означают, что должна быть выполнена вся учебная нагрузка, как по каждой кафедре, так и по всем образовательным программам.

Общее количество ставок преподавателей в вузе должно быть не более нормативной численности ППС, т. е.

п т ( к I ^

ЕЕ Ехр +Еу- < нч, (3)

г=1 1 =1 v р=1 г=1 / где НЧ - нормативная численность ППС, рассчитанная исходя из соотношений «студент : препо-

даватель» по всем программам и формам обучения.

Пусть а - максимальное количество ставок, которые может занимать преподаватель. Тогда количество ставок, которые могут занимать преподаватели с учеными степенями и званиями р -й категории на 1 -й кафедре, определяется условиями

т _

Е хр < а • Р/ , 1 = 1, п, (4)

1=1

а количество ставок, которые могут занимать преподаватели без ученой степени и ученого звания - -й категории на 1 -й кафедре, - условиями

ЕУ1- < а • рг, 1 = 1,п,

(5)

1=1

где рр - число преподавателей р -й категории на -й кафедре, имеющих ученую степень или ученое звание, а Р[ - количество преподавателей без ученой степени или ученого звания г -й категории на 1 -й кафедре.

Кроме того, можно ввести ограничения, которые бы обеспечивали наличие на каждой кафедре всех категорий преподавателей, чтобы обеспечивать естественную смену поколений. Это может быть выражено как

Е хр ^ 0, Е у- ^ 0, у = гт, р = 1Д , г = й. (6)

1=1 1=1

Если обозначить через ср затраты (заработная плата, надбавки за должность и степень, стимулирующие надбавки, доплаты за литературу и т. п.), связанные с использованием преподавателей с ученой степенью или ученым званием р-й

категории, а через dг - затраты, связанные с использованием преподавателей без ученой степени или ученого звания г-й категории, то общие затраты на использование ППС не должны превысить фонд заработной платы, т. е.

п т { к I \

ЕЕ Есрхр+Е^у;

< ФОТ.

(7)

1=1 1=1 v р=1 г=1

где ФОТ - фонд оплаты труда ППС.

Обозначим через г, долю ставок преподавателей с ученой степенью или ученым званием в общем количестве ставок преподавателей по 1 -й образовательной программе. Тогда г, находится как

ЕЕ^

1=1 р=1

п ( к I \

Е Е хр+Е у

/=1 V р=1 -=1

у = 1,т.

(8)

г

Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

С помощью алгебраических преобразований соотношения (8) можно привести к нормальному линейному виду

1(1 хр +Ъг]-Ц*Р =0 1 = ^. (9)

i=1

p=1

r=1

i=1 p=1

Поскольку доля ставок преподавателей с учеными степенями и учеными званиями в общем количестве ставок преподавателей, обеспечивающих подготовку по всем образовательным программам, должна быть не меньше лицензионного норматива, введем ограничения

2порI(1*Р +Ъг 1-еЕР *0>1 = 1>т, (10)

p=1

i=1 p=1

7 пор

- заданное значение доли ставок преподавателей с учеными степенями или учеными званиями к общему числу ставок преподавателей.

Тогда оптимальная структура ППС может быть найдена из решения следующей задачи оптимизации.

п т ( к I

^ mm

(11)

(12)

II Icpxp +Td-y

1=1 J=1 [ p=1 r=1

при ограничениях

m f k l 1 _

II IPpxp + Iyryr 1 = Q,, i = 1, n,

j=1 [ p=1 r=1 )

IfIPpxp + IYryr 1 = Wj, j = irm, i=1 [ p=1 r=1 ) mm

I xp < a • Pip, I yr <a-Ptr, i = 1, n,

j=1 j=1

p = \k, r = U,

mm

I x? > 0, I yr > 0, i = 1, n, p = 1, k,

j=1 j=1

r = 1, l,

n m f k l 1

II[I*S + Iyi ) <НЧ,

i=1 j=1 [ p=1 r=1 )

n m f k l I

III IcX +Idryr |< ФОТ,

i=1 j=1 [ p=1 r=1 )

n f k l Л n k

Z Il I xp +I yil-IIxj < 0,

i=1 [ p=1 r=1 ) i=1 p=1

j = 1, m,

xp > 0, yr > 0,i = 1, n, j = 1, m, p = 1, k, r = 17.

Задача оптимизации (11), (12) является задачей линейного программирования. Для ее решения можно воспользоваться симплексным методом линейного программирования.

Постановка задачи оптимизации формирования штата ППС (11), (12) по эффективности является позитивной, так как подготовка ведется качественным составом ППС (выполнен лицензионный норматив), присутствуют все категории пре-

подавателей, затраты на использование преподавателей минимальны. В то же время очень часто при формировании штата ППС требуется определить такую структуру ППС и его распределение по кафедрам и образовательным программам, при котором доля ставок преподавателей с учеными степенями или учеными званиями к общему числу ставок преподавателей максимальна. Такая постановка задачи очень важна, например, для вузов, проходящих в текущем учебном году процедуру государственной аккредитации.

При принятии решения о соответствии уровня вуза тому или иному виду (институт, академия, университет) необходимо сопоставить с критериальными значениями более десяти показателей. При определении интегральной характеристики деятельности вуза - индекса соответствия критериям аккредитации 3 учитываются критериальные (пороговые) значения каждого показателя аккредитации и в то же время реализуется механизм «компенсации» недостатков одних показателей существенным превышением порогового уровня по другим, по крайней мере, в рамках одного показателя.

Это означает, что максимизация доли ставок преподавателей с ученой степенью или учеными званиями увеличивает вероятность отнесения вуза к более высокому статусу.

Напомним, что доля ставок преподавателей с ученой степенью или ученым званием в общем количестве ставок преподавателей, обеспечивающих подготовку по ] -й образовательной программе, находится как

II

i=1 p=1

j = 1, m . (13)

1 п ( к I

II хр уг

/=1 ^ р=1 г=1

Поскольку доли преподавателей с учеными степенями и учеными званиями должны быть вы-

ровнены, т. е. z1 « z2

: zm, введем новую пе-

ременную 2 , обозначающую искомую выровненную остепененность. Тогда можно записать следующее выражение:

Z:

i=1 p=1

n f k l 1

I Ixp1 +IУп

i=1 [ p=1 r=1

11,xim i=1 p=1

Tk г

. (14)

II xm

i=1 [ p=1

I yr>

Вуз заинтересован не только в выравнивании остепененности по всем образовательным программам, но и в ее максимизации.

Тогда задача нахождения оптимальной структуры ППС, заключающаяся в определении оптимальной численности преподавателей разной категории на разных кафедрах и в их распределении по образовательным программам таким обра-

r=1

r=1

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(15)

при ограничениях

f k

= Qt, i = 1,n, = W,, j = 1, m,

(16)

X X^ + X^j

j=1 V p=1 j=1

X fX epxj+X fy;

i = 1 V p = 1 r =1 m _

Xxj i = 1,n,

j=1

n m f k l ^

XX X+Xyj *^

i=1 j = 1 V p=1 j=1 у

n m f k l ^

XX Xc"xPP+Xdryj * фот,

i=1 j=1 V p=1 r=1 у

n f k l \ n k

ZX X+Xyj -XXxj * 0,

=1 V p=1 r=1 у i=1 p=1

j = Im,

xp > 0, yij > 0, Z > 0, i = 1~n, j = 1"m,

ij ij

p = 1k, r = 1"/.

Задача оптимизации (15), (16) является задачей нелинейного программирования, так как содержит в ограничениях (16) нелинейные неравенства

( к I Л п к

p=1

zX Xxpp +Xyj -XXxp*0, j=г

m.

i=1 p=1

Нелинейность неравенствам придают произведения 2х? и , которые содержатся в качестве слагаемых неравенств.

Ранее уже отмечалось, что задачи нелинейного программирования решаются значительно труднее, чем задачи линейного программирования. Но если задача нелинейного программирования обладает рядом свойств, ее можно свести к линейной задаче. Одним из таких свойств является сепарабельность всех нелинейных функций в ограничениях и целевой функции. А в основу решения задачи нелинейного программирования с сепарабельными нелинейными функциями может быть положена кусочно-линейная аппроксимация нелинейных сепарабельных функций, которая может быть решена симплексным методом линейного программирования.

Произведения 2хр и не только придают нелинейность задаче (15), (16), но они - единственные несепарабельные функции в исходной задаче. Чтобы исключить такие произведения

зом, при котором обеспечивается равномерность доли преподавателей с учеными степенями и учеными званиями и достигается ее максимальное значение, может быть записана следующим образом.

Найти

Z ^ max

и получить сепарабельную форму, воспользуемся следующим приемом [1].

Пусть мы имеем произведение х1х]-. Чтобы

исключить такое произведение и получить сепара-бельную форму, введем две новые переменные

у и у,:

1

2'

yi =-(x + xj), уj = 2-xj). (17)

Тогда

2 2 xixj = У - У2

(18)

и мы имеем сепарабельную форму относительно новых переменных у1 и у 1 .

Таким образом, в результате замены в ис-

2 2

ходной задаче вместо х,х, появляется у, - у, .

1 1 " 1 " J

Кроме того, мы включаем в задачу два дополнительных ограничения (18).

Так как в выражение (17) для у^ входит разность х1 и х1 , то у1 может принимать значения

любого знака, даже если х1 и х1 должны быть не-

1 1

отрицательными. Это не вызывает никаких трудностей в постановке приближенной задачи, так как в дальнейшем Хы в приближенной задаче будут всегда неотрицательными. Если интервалы изменения х. и х. есть 0 < х- < а. и 0 < х. < а . со-

I ] 11 11

ответственно, интервалом изменения y j будет

-а j ^ у, j.

Поскольку Zxp и Zyj - единственные несе-

парабельные функции в исходной задаче, после указанной замены все функции в ограничениях становятся сепарабельными, и мы можем от нее перейти к приближенной задаче решения задачи нелинейного программирования на базе кусочно-линейной аппроксимации нелинейных функций в ограничениях задачи.

Отметим, что этот подход требует введения двух новых переменных и двух дополнительных

ограничений для каждого произведения Zxp и Zyj . Обозначим эти переменные как qp, qj и

wj, wj соответственно для Zxp и Zyjr .

ij' ij ^ ij y ij

Подставляя вместо произведений в (16) переменные qp , qj , wj, wj, выраженные через qp ,

qj, wj, wj, и ограничения (17), а вместо нелинейных функций (qp)2, (qj)2, (wj)2, (wj)2 их

кусочно-линейные приближения, переходим к следующей форме приближенной задачи:

Z ^ max (19)

при ограничениях

г=1

Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

11вхр +Ъгу„

1=1 Vр=1 (к

г=1 /

I 1врхр +1^

V р=1

=Qi,i=1,п,

= Ш : 1 =1,т,

Iхр <а-Рр,£уГ <а-Р[,i =1, п,р = 1, к,г = 1, /,

1=1

;=1 1=1

1=1 / \

II I хр +1 уг

V р (к

Л г=1

< ,

<=1 1=1

Л

II +£гу;

V р=

< ФОТ,

чр = | ^ + 2),чр = 1 ^ - гл

i =1, п, 1 = 1, т,р =1,к,

1

1

Ч = 2 (у1 + = 2 (у1 - гл

i =1,п,1 = 1, т,г = 1,/,

п к и п к и

i=1 р=1 У=0 /=1 р=1 у=0

п / и п / и

г

1=1 г=1 у=0 1=1 г=1 у=0

-Цхр <0,1 = 1т, i=1 р=1

ии

=41 =оя

у=0 у=0

i =1,п,1 = 1, т,р =1,к,г=1,/,

>0,^ >0,/' =1п,1 = 1т, р=1к,г=ц

хр >0,уг >0,2 >0, i =1Тп,1 = 1т, р=1к,г=й.

(20)

В результате, приближенная задача в форме (19), (20) становится задачей линейного программирования.

Приемы приведения задачи к сепарабельной форме значительно повышают ее размерность. Размерность задачи еще более увеличивается в случае сведения ее к приближенной форме на основе метода кусочно-линейной аппроксимации нелинейных функций. Но поскольку в основе решения приближенной задачи используется симплексный метод, такой подход к решению задачи является очень эффективным.

Следует отметить еще одно обстоятельство. Множество допустимых решений (18) в задаче распределения ставок среди преподавателей кафедр выпукло, а целевая функция (17) - прямая. Это означает, что любой относительный максимум целевой функции на множестве допустимых решений является одновременно ее глобальным максимумом. Следовательно, любой локальный максимум в приближенной задаче также является глобальным. В условиях, когда локальный максимум является также и глобальным, решение приближенной задачи дает приближение к глобальному максимуму. Делая разбиение интервалов для переменных все более мелким, мы получаем последовательность максимальных значений целевых функций приближенных задач, сходящуюся к абсолютному максимуму целевой функции (17).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М. : Мир, 1967. 506 с.

т

г=1

п т

п т

г=1