CC BY
134
aerodynamic quality of bearing system increase not for of a carrying power, but for reduction force offront resistance of bearing system force is used. The assumption possibility ofthe analytical methods application unity that allows essentially to simplify essentially the search of the decision at qualitative level is taken out that in turn will allow to reduce the quantity of experiments, including virtual, to receive required results.
Keywords: airfoil boat, interferention.
УДК629.6:629.735.33
М. И. Антипин, И. Н. Гусев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ ЭКРАНОПЛАНА НА СТАДИИ ТЕХНИЧЕСКОГО ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Построена математическая модель выбора рациональных параметров экраноплана при эскизном проектировании методом исследования пространства параметров. Получены численные значения аэродинамических коэффициентов су (а, И) и т2 (а, И), относительной координаты аэродинамического фокуса х(а, И), распределение аэродинамической нагрузки по несущей поверхности для трех аэродинамических схем несущих поверхностей: «самолетная», «утка», «гибрид». Построены функциональные зависимости су = /(а, И), т2 = /(а,И), х= /(а, И).
Ключевые слова: математическая модель, экранный эффект, экраноплан, центр тяжести, 5У-образное крыло с отрицательным углом стреловидности.
Проект нового экраноплана на этапе технического предложения должен отражать результаты проектно-конструкторских изысканий рациональных параметров экраноплана. Под рациональными параметрами понимаются такие, которые наилучшим образом отвечают поставленным тактико-техническим требованиям и техническому заданию. Выбор рациональных параметров летательного аппарата, рассмотренный в работах [1; 2; 3], позволяет решать задачи многопараметрической оптимизации, где в качестве целевой функции Ф = / (А, /) принимают либо приведенные затраты, либо критерий, отражающий устойчивость летательного аппарата.
Задачу выбора рациональных параметров экраноплана необходимо рассматривать как многофункциональную, поскольку требуется при проектировании обеспечить максимальное аэродинамическое качество, устойчивость аппарата, минимальную массу конструкции,
минимальные приведенные затраты, минимальное лобовое сопротивление.
Существующие методы оптимизации, основанные на свертывании векторного критерия целевых функций и перехода к одноцелевой задаче, приводят к замене одной задачи другой, а получаемое решение не соответствует исходной постановке. Поэтому решать данную задачу необходимо методом, позволяющим учитывать несколько целевых функций, решать задачу в исходной постановке - методом исследования пространства параметров (ИПП).
В данном случае математическая модель была построена для трех основных компоновочных схем, «самолетной», «утка», «гибридная», и трех видов несущих поверхностей треугольное с углом поперечного V < 0, треугольное с углом поперечного V > 0 [4], прямоугольное (рис. 1).
Рис. 1. Основные аэродинамические компоновки экранопланов
Сформулируем задачу выбора рациональных параметров экраноплана.
Варьируемые параметры:
- удлинения несущих поверхностей 1j, 12, ..., 1п;
- вынос дополнительных несущих поверхностей, переднего горизонтального оперения, относительно крыла
L1, L2 ,., Ln ;
- вынос по высоте дополнительных несущих поверхностей, переднего горизонтального оперения, горизонтального оперения относительно крыла h1,h2,...,hn;
- угол установки дополнительных несущих поверхностей, переднего горизонтального оперения, горизонтального оперения относительно крыла Да1, Да2, ., Дап ;
- относительная площадь дополнительных несущих поверхностей, переднего горизонтального оперения, горизонтального оперения S1, S2,..., Sn.
Целевые функции:
- аэродинамические коэффициенты;
- массовая целевая функция;
- характеристики силовой установки;
- технико-экономические показатели.
Функциональное ограничение - продольная устойчивость; критерии качества.
Получим теперь математическую модель, связывающую варьируемые параметры с целевыми функциями. Для этого сначала необходимо получить функциональные зависимости cy =fljx, h), mz =_Да, h), х/=Ла, h) для трех компоновочных схем.
Методом дискретных вихрей решались линейные задачи стационарного безотрывного обтекания несжимаемой жидкостью системы тонких несущих поверхностей, конечного размаха прямоугольной формы в плане. Результат решения данных задач: численные значения аэродинамических коэффициентов cy (а, h) и mz ( а, h), относительной координаты аэродинамического фокуса х(а, h), распределение аэродинамической нагрузки по несущей поверхности для трех аэродинамических схем несущих поверхностей «самолетная», «утка», « гибрид».
По полученным числовым значениям коэффициента продольного момента, подъемной силы, безразмерной координаты фокуса аппарата относительно крыла методом интерполяции функции нескольких переменных получены функциональные зависимости су = Да, h), mz = f(а, h), хр = fa, h) для компоновки «утка»:
- коэффициент подъемной силы:
Cy (a, h) = -1,729 5^ (Cy„ (A, H) +
+Cy0 (a, h)) - 0,032 39L _ (Cy0 (A, H ) + Cy0 (a, h)) --0,020 34a„о (Cy0 (A, H) + Cy0 (a,h)) --4,498 82hHro (Cy0 (A, H ) + Cy0 (a, h)) +
+0,034 031Йнг°/ LнГ0 (Cy0 (A, H) + Cy0 (a, h)) -/a
-0,007 26 W a но (Cy0 (A, H ) + Cy„ (a, h)) +
.
+16,659 57 ^ hjm (Cy0 ( A, H ) +
+Cy0 (a, h)) - 0,002 348Lнwaoa(cyo (A, H) + Cy„ (a, h)) +
+0,200 428Lllrohнг0 (Cy0 (A, H) + Cy„ (a, h)) +
+1,046 618ангоhнгo (Cy0 (A, H) + Cy„ (a, h)) +
+1,496 741^^) (Cyo(A,H) +
+Су0 (а, И)) + 0,003 172^ (Су, (А, Н) + Су, (а, И)) --0,000 51ано (Су0 (А, Н) + Су, (а, И)) --435,58^ (Су0 (а, И) + Су, (А, Н)) -
-221,940 5 (^) Инго (Су„ (А, Н) + Су, (а, И)) +
+1022,288 (^ ) Ин2го (Су„ (А, Н) + Су, (а, И)) -
-586,298(^ Инго | (Су„ (А, Н) +
+Су„ (а, И)) + Су0 (А, Н) + Су0 (а, И);
- коэффициент продольного момента:
т2 (а, И) = 0,956 445 (А, Н) +
+т2„ (а, И)) - 0,869 02/ нго (т, (А, Н) + т, (а, И)) --0,087 72анГо (т20 (А, Н) + т20 (а, И)) +
+80,359 21Ь К, (А, Н) + т, (а, И)) -
-1,145 21^ /го (т2„ (А, Н) + т20 (а, И)) -
-0,059 27 Ьнго/ анго (т20 (А, Н) + т20 (а, И)) -/°
-0,149 ^ Инго (т2„ (А, Н) + Су, (а, И)) +
+0,019 2594,а(т20 (А, Н) + т20 (а, И)) --10,9813/нго Инго (ти (А, Н) + т20 (а, И)) --3,744 83ангоИшо (т, (А, Н) + т, (а, И)) -
-2,985 42 (^ ) (т20 (А, Н) + т20 (а, И)) +
+0,078 725/£(т20 (А, Н) + т20 (а, И)) +
+0,012 138а2го (т, (А, Н) + т20 (а, И)) - -1631,36И]2го (т, (а, И) + т, (А, Н)) -
-7,968 49 (^ ) Инго (т2„ (А, Н) + т20 (а, И)) +
+1870,196 () лнТо (т2„ (А, Н) + т20 (а, И)) -
-917,071^°^Инго) (т20(А,Н) +
+т2„ (а, И)) + т20 (А, Н) + т20 (а, И);
- безразмерная координата аэродинамического фокуса:
х^ (а,И) = 0,133 457 (хЛ (А, Н) +
+х^ (а, И)) -1,824 72/ „о (х^ (^1, Н) + х^.„ (а, И)) +
+0,052 378а^о (х„, (А, Н) + х№ (а,И)) +
+691,349 9И (х^ (А, Н) + х^ (а, И)) -
-0,668 96 ^ /нго (х№ (А, Н) + х№ (а, И)) --0,01142 ^ ант. (х№ (А, Н) + х№ (а, И)) -
-1953,9ЬнуЬа Инго (х^„ (А, Н) + х^ (а,И)) -
-0,058 39/нгоа(х^„ (А, Н) + х^„ (а, И)) --15,320 6/нгоИнго (х^„ (А, Н)0х^ (а, И)) --0,678 35ангоИнго2(х^0 (А, Н) + х^ (а, И)) -
-1,032 4^^ ^ (х^0 (А, Н) + х^ (а, И)) +
+0,225 833/£ (х^ (А, Н) + х^ (а, И)) --0,002 79анго (х^ (А, Н) + х^ (а, И)) --16 233И12го (х^„ (а, И) + х^ (А, Н)) +
+1344,992(ЬнгуЬа ^ Инго (х^„ (А, Н) + х^„ (а,И)) +
+49 914,45 [ ЬуЬ' ^ Ин2го (х^„ (А, Н) + х№ (а, И)) -
-35 393,4(ЬнгоЬа Инго(х^0 (А,Н) +
+х№ (а, И)) + х№ (А, Н) + х№ (а, И).
Аналогичные выражения для коэффициентов можно получить для «самолетной» компоновки:
- коэффициент подъемной силы:
Су (а, И) = -3,557 14 ^ (Су, (А, Н) +
+Су, (а,И)) - 0,105 39/го(Су, (А,Н) + Су, (а,И)) + +0,0317 77аго (Су, (А, Н) + Су, (а, И)) +
+3,714 205Иго (Су, (А, Н) + Су, (а, И)) +
+0,211581*™/ ¿го (Су, (А,Н) + Су, (а,И)) -
а
-0,069 7 Ьго/ а го (Су, (А, Н) + Су, (а, И)) -
-20,589 1
^ кго (су, (4 Н) + Су, (а, к))-
+0,024 938!гоаго (с„ (А, Н) + с„ (а,к)) --0,039 66¿гокго (Су, (А, Н) + Су, (а, к)) +
+0,004 564агокто (с, (А, Н) + Су, (а, к)) +
+5,217 594 (^ (Су, (А, Н) + Су, (а, к)) -
-0,000 21^ (Су, (А,Н) + Су, (а, к)) --0,005 44а1 (с„ (А, Н) + Су, (а, к)) +
+4,231 439кг2о (2Су, (а, к) + Су, (А, Н)) +
+26,394 42' Ьго/ 1 кго (Су, (А, Н) + Су, (а, к)) -
-21,8727
кго (су,(А, Н) + Су,(а, к)) +
+269 207 4
кг.
(Су, (А, Н) +
+Су, (а, И)) + Су, (А, Н) + Су, (а, И);
- коэффициент продольного момента
т2 (а, И) = 12,573 06 (тг, (А, Н) +
+т2, (а, И)) - 0,571 58/ го (т2, (А, Н) + т, (а, И)) --0,599 96аго (тг, (А, Н) + тг, (а, И)) + +6,889 258Иго (т, (А, Н) + т„ (а, И)) -
-1,466 7 ^ ¿го (т2, (А, Н) + т, (а, И)) +
+1,225 05
7Ъ аго К,(А, Н) + т2,(а,к))-
+24,000 64 кго(т,(А,Н) + Су,(а,к)) -
-0,217 314о аі (т, (А, Н) + ти (а, к)) + +0,105 0184,кго К, (А, Н) + т, (а, к)) + +0,487 911агокТ0 (т, (А, Н) + т, (а, к)) -
-29,632 5' Ьго
(т, (А, Н) + тг, (а, к)) -
-0,073 764 (т„ (А, Н) + ти (а, к)) --0,06141а г2о (т, (А, Н) + ти (а, к)) + +1,19817Щт„ (а, к) + т, (А, Н)) -
-77,328(^0 кго К, (А, Н) + ти (а, к)) + +30,876 791 *4
+4,0373 46 аго (хй (А, Н) - хй (а, к)) -
/ . а
-97,113 ^ кго (хй (А, Н) - хй (а, к)) -
-0,548 27¿го а го (х№ (А, Н) - х№ (а, к)) + +2,689 857¿го кго (хй (А, Н) - хЛ (а, к)) + +2,099 685агокго_(хго (А, Н) - х^ (а, к)) -
-77,1818' Ьго
(хЛ (А, Н) - х№ (а, к)) +
+0,290 628/о (хЛ (А, Н) - хЛ (а, к)) --0,04115а2о (хй (А, Н) - хй (а, к)) +
+27,425 76к2 (х, (а, к) - хй (А, Н)) +
+30,078 05 ' Ьго/1 кго (хй (А, Н) - хЛ (а, к)) -
-45,063 51 "гоЬ | ко (хЛ (А, Н) - хй (а, к)) -
-26,428 4
кг
I кго (т2, (А, Н) + т2, (а, к)) -
) (т, (А, Н) +
+т2, (а, к)) + т, (А, Н) + тг, (а, к);
- безразмерная координата аэродинамического фокуса
-69,817 91 "го,/ кг(
х_р (а, к) = 48,172 7 ^ (х№ (а, к) - х№ (А, Н)) +
+4,749 686¿ го (хр,(а, к) - хЛ (А, Н)) --1,687 21аго (х№ (а, к) - х№ (А, Н)) + +48,898 69й (хЛ (А, Н) - хЛ (а, к)) -
-8,080 47 ЬгуЬ ¿го (хЛ (А, Н) - хЛ (а, к)) +
/* "Г„ 0 (хй (А, Н) -
- х^ (а, И)) - хЛ (А, Н) + хЛ (а, И). Функциональные зависимости коэффициентов для компоновки «гибрид:
- коэффициент подъемной силы Су (а, И) = 0,085 203/ „го (Су, (а, И) + с^_ (А, Н)) +
+2,884 814Ипго (Су,_ (А, Н) + Су, (а, И)) +
+4,172 279
(Су,пго(А, Н) + Су,(а, к)) -
-0,190 132¿го (Су,пго (А, Н) + Су, (а, к)) --3,943 717 ^Дкпго (Су, пго (Л Н) + +Су, (а, к)) - 0,188 437¿^ктосуошо (А, Н) --0,03153а _ кпго с,„пго (А, Н) --2,246 337ЬгУ кпгос пго(А,Н)-
’ / ь пго у,пго V > /
-5,074 07¿ кпгос (А, Н) -
’ го пго у,пго V > /
-6,054 128кпго аго Су,пго (А, Н) --0,428 328¿го^.опго(А,Н) -
-0,202132 аго ^,„пго (А, Н) +
+0,379 1571 пго
Су,пго (А, Н) +
+50,755 22ИпгоС^ (а, И) -
-6,561358(Ьго/суопго(А,Н);
- коэффициент продольного момента
т2(а,И) = 19,349 56^о/ тгпго(А,Н) +
+1,728 912/ т (А, Н) +
’ пго 2 пго V ? /
+21,344 88к т (А, Н) -
’ пго . 2пго V > /
-32,250 92 г;Ьат^о (А, Н) +
+2,127 166/го т^о (А, Н) +
+34,54189 т.„ (А, Н) -
-9,398498(6-^)<й/Ь« т™ <А,Н * +
+15,04179/пго к т (А, Н) +
* пго пго 2пго V * /
+7,277154апГО кто (А, Н) -
-15,966 96кпго (Ь7Ьа)тгп1о (А, Н) +
+26,848 16кпго/ т (А,Н);
’ пго го 2пго V >
- безразмерная координата аэродинамического фокуса
хЕ (а, к) = -300,272 3кпго (хЕ (а, к) + +х^пго (А, Н) + х№о (А, Н)) -16,853 88 Ь™/а (х^ (а, к) +
+х^пго (А, Н) + х^го (А, Н)) +
+0,472 105/го (^ (а, И) + (А, Н) +
+х^го (А, Н)) - 2,390 15 Ьпго//а /пго (х^ (а, И) +
+х^ (А, Н) + х^го (А, Н)) +
+15,229 53 Ипго (х^ (а, И) + х^ (А,Н) +
Ьа
+х^го (А, Н)) - 31,019 59апгоИШо (хЕ (а, И) +
+х^ (А, Н) + х^го (А, Н)) -
-4,730 539Ипго ЬгуЬа (х^ (а,И) + х^ (А, Н) +
+х^го (А, Н)) + 200,789Ипго /го (хЕ (а, И) +
+х^пго (А, Н) + х^го (А, Н)) +
+32,730 4Ипгоаго (хЕ (а, И) + х^ (А, Н) +
+х^го (А,Н)) +1,263 621Ьгу/Ьа аго (х^ (а,И) +
+х^пго (А, Н) + х^го (А, Н)) +
+1,399 461(х^ (а, И) + х^ (А, Н) +
+х^го (А, Н)) - 2,490 428(Ьпг/—а)2 (х^ (а, И) +
+х^пго (А, Н) + х^го (А, Н)) -
-2 077,063(Ипго)2 (х^ (а, И) + х^ (А, Н) +
+х^го (А, Н)) + 32,648 05(Ь^-а)2 (х^ (а, И) +
+х^ (А, Н) + х^го (А, Н)).
Вышеприведенные формулы учитывают значения коэффициентов изолированных несущих поверхностей. Рассмотрим зависимости, приведенные для изолированных крыльев различной формы в работе [4]:
- для треугольного крыла с углом поперечного V < 0: су = 0,264а -1,204 4аИ - 0,01197а2 + 0,119 57а2И + +2,715аИ2 - 0,212 3а2И2 - 0,003 69а3 - 0,003 41а3И --2,633 4аИ3 + 0,018а3И2 + 0,0911а2И3 -0,007 4а3И3 +
+0,000 55а4 - 0,000 82а4И + 0,943 9аИ4; тг = -0,066 8а+ 0,304 2аИ + 0,001 97а2 -0,019а2И -0,703 9аИ2 + 0,033 7а2И2 + 0,000 617а3 + 0,000 43а3И + +0,707 2аИ -0,002 7а3И2 -0,014 4а2И + 0,0011а3И --8,873 • 10-5а4 + 0,00013а4И - 0,260 6аИ4;
- для плоского крыла прямоугольной формы в плане малого удлинения:
су = 0,243 5а -1,226 6аИ - 0,003 3а2 + 0,072 1а2И + +2,843 3аИ2 -0,134 4а2И2 -0,004 5а3 + 0,002 35а3И --2,849аИ3 + 0,008 3а3И2 + 0,050 7а2И3 - 0,002 27а3И3 + +0,000 54а4 - 0,000 84а4И +1,054 76аИ4; т2 = -0,070 6а + 0,378 7аИ-0,000 95а2 -
-0,006 5а2И - 0,908 3аИ2 + 0,014 1а2И2 + 0,001 25а3 --0,00192а3И + 0,945 1аИ + 0,000 367а3к2 - 0,002 7а2И -
-0,000 7а3И - 0,000 12а4 + 0,000 2а4И - 0,360 7аИ;
- для треугольного крыла малого удлинения с углом поперечного V > 0:
су = 0,127 8а- 0,520 8аИ - 0,005а2 + 0,048 8а2И + +1,149 9аИ2 - 0,086 2а2И2 - 0,001 44а3 --0,00147а3И -1,102 6аИ3 + 0,007 3а3И2 + +0,037а2И3 - 0,003 05а3И3 + 0,000 22а4 --0,000 32а4 И + 0,391 4аИ4; т2 = -0,029 9а + 0,125аИ + 0,000 83а2 --0,007 3а2И - 0,282 6аИ2 + 0,012 7а2И2 +
+0,000 19а3 + 0,000 24а3И + 0,280аИ3 --0,001 07а3И2 - 0,005 5а2И3 + 0,000 46а3И3 --2,953 • 10-5 а4 + 4,33 • 10-5а4И - 0,102аИ4.
Данные формулы позволяют перейти от компоновки с прямоугольными несущими поверхностями к крыльям различной формы в плане.
Коэффициент сопротивления аппарата составляет
тогда зависимость индуктивного сопротивления от подъемной силы крыла можно представить формулой
2 1
Схі 2
(О1
'¡wy (z)r: (z )dz.
Теперь перейдем к массовой целевой функции. Взлетная масса экраноплана имеет вид [1]
,, mH + т
m0 =—=--------H--=§?---=-
1 - тк - ттс - тсу - тоб
где относительная масса крыла находится по уравнению [5]
• -ф--------------------
h+4 f1 m-1
h + 3
-0,005.
Икр = 1,15-10-4 • кма кш , _
^0- co • cos1-5 c h + 1 относительная масса фюзеляжа [5]:
Шф = 1-14кдв (1+0-4 рКаб) ( d -1)ф5 ш;3/4-относительная масса оперения [5]:
Шоп = км к (4-4 + 0-8-10-3 • mo)Son;
mo
относительная масса шасси (при колесном) [5]:
Шш = кмт кобт (6 Hш +11-3) • 10-3 + 0- 0625кпН
1 + Рпн.гл
Для шасси на воздушной подушке массу можно определить согласно работе [6]. Относительная масса силовой установки для ТВД имеет вид [5]
Шсу = I-36 • ксу -Удв • No -
ксу = 1-1+(1-36/ У дв )(0-1+0-9/ N/3). Относительная масса оборудования управления для пассажирского варианта рассчитывается по формуле [5]:
Шоб.упр = — + 0-2тЦн-(1 + 0-1Zp /Крейс) + 0-08. то
Относительная масса топлива для экраноплана с поршневыми двигателями или турбовинтовыми [5]:
270 he • K
1
се -V • t
+ 0,006.
, - 75Гшах . К
7 кре-с шах V 'в УК шах
Характеристики силово- установки. Потребная тяга (мощность) и число двигателе- для взлетного режима можно оценить по следующим зависимостям [8], при едино- силово- установке:
Рп
=-
К Р
дв дв
Рп =
r L 1 Л
¿JL +
g Кг
при раздельной силовой установке, число маршевых двигателей составляет [8]
т а
N1 =
(К • Рм )’
V кр двї /
число стартовых двигателей рассчитывается по выражению [8]
NГ! = -
1
Кст РСТ дв дв
1
л
g + K г
т g - Nм Км Р
о& дв дв дв
для крейсерского режима полета потребная тяговоору-женность имеет вид
Р = 1/К
кр кр •
Технико-экономические показатели экраноплана можно оценить по методике, предложенной в работах [1; 5]. Таким показателем являются приведенные затраты, которые находятся следующим образом:
апр = а + ак
где себестоимость перевозок составляет [1; 5] 100 А
а =
тЛРейс ’
А = А +.
+ Атос + Ат од + Леи + Азп + Ва
Приведенные капиталовложения имеют вид [1; 5]: 100•е-(1,05Сс + 1,03Сд,пдв • Ь)
кап. влож
^ком тком ^рейс Вгод
Введем функциональные ограничения с целью обеспечения безопасности движения для проектируемого аппарата, в качестве которых примем условия статической устойчивости экраноплана [9]:
/2(А) > х —=------ > ЛЕИ
хеэ
с1су ^ сЙ
< 0
т2 = 0 5=ООП81
Первое ограничение обеспечивает статическую устойчивость аппарата по углу тангажа, второе - по относительной высоте полета.
Основная цель, ради которой создается экраноплан, это высокое аэродинамическое качество, максимальный коэффициент подъемной силы, минимальная взлетная
Рис. 2. Блок-схема выбора рациональных параметров экраноплана
масса, минимальная тяговооруженность аппарата, минимальные приведенные затраты, тогда нетрудно записать критерии качества:
- аэродинамическое качество Ф1 (А) = тах(Су / Сх);
- коэффициент подъемной силы Ф 2 (А) = тах(Су);
- взлетная масса экраноплана Ф3 (А) = тт(т,);
- тяговооруженность аппарата Ф5 (А) = тт( Р,);
- приведенные затраты Ф 6 (А) = тт(апр).
Также могут быть добавлены дополнительные критерии качества, такие как дальность полета, длина разбега и пробега и др.
Допустимое варьирование параметров выбирают на основе статистического анализа существующих конструкций экранопланов. Зондирование пространства параметров можно осуществить любым методом, одним из которых может быть метод квазислучайных последовательностей (ЛП-последовательностей), рассмотренный в работе [10].
Алгоритм выбора рациональных параметров представлен на рис. 2.
Представленная математическая модель позволяет определить параметры экраноплана для различных аэродинамических схем с различными несущими поверхностями; выбрать из ряда проектов решение, наилучшим образом отвечающее поставленным тактико-техническим требованиям и техническому заданию.
Библиографический список
1. Егер, С. М. Проектирование самолетов / С. М. Егер [и др] ; под ред. С. М. Егер. М. : Логос, 2005.
2. Панченков, А. Н. Теория оптимальной несущей поверхности / А. Н. Панченков. Новосибирск : Наука, 1983.
3. Брусов, В. С. Оптимальное проектирование летательных аппаратов: Многоцелевой подход / В. С. Брусов, С. К. Баранов. М. : Машиностроение, 1989.
4. Антипин, М. И. Анализ несущих поверхностей экранопланов / М. И. Антипин, И. Н. Гусев // Вестник Сиб-ГАУ Красноярск. 2008. С. 101-105.
5. Бадягин, А. А. Проектирование легких самолетов /
A. А. Бадягин, Ф. А. Мухамедов. М. : Машиностроение, 1978.
6. Гусев, И. Н. Расчет взлетной массы летательных аппаратов с применением ЭВМ / И. Н. Гусев ; Иркут. политехн. ин-т. Иркутск : [Б. и.], 1988.
7. Маскалик, А. И. Экранопланы - транспортные суда XXI в. / А. И. Маскалик, Р. А. Нагапетян. М. ; СПб. : Судостроение, 2005.
8. Маскалик, А. И. Экранопланы. Особенности теории и проектирования / А. И. Маскалик, Б. А. Колызаев,
B. И. Жуков. М. : Машиностроение, 2000.
9. Жуков, В. И. Особенности аэродинамики, устойчивости и управляемости экраноплана / В. И. Жуков. М. : Изд. отдел ЦАГИ, 1997.
10. Соболь, И. М. Выбор рациональных параметров / И. М. Соболь. М. : Дрофа, 2006.
M. I. Antipin, I. N. Gusev
MATHEMATICAL MODEL OF THE ECRANOPLAN PARAMETERS CHOICE AT THE STAGE OF THE TECHNICAL OFFER
The mathematical model of the rational parameters choice is constructed at outline designing by a method ofresearch of space of parameters. Values of aerodynamic factorscy=f(a, h) andmz = f(a, h), relative coordinate of aerodynamic focus x= f(a, h), distribution of aerodynamic loading on a bearing surface for three aerodynamic schemes of bearing surfaces plane, «duck», «hybrid» are received numerically. Functional dependences cy = f(a, h), mz = f(a, h), x= f(a, h) are constructed.
Кeywords: mathematical model, ground effect, ekranoplan, center of gravity, reversed delta wing.
УДК 519.622
Е. А. Новиков, Л. В. Кнауб
ПРИМЕНЕНИЕ ЯВНОГО ТРЕХСТАДИЙНОГО МЕТОДА ТИПА РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ1
Получены коэффициенты явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутта. Построены неравенства для контроля точности вычислений и устойчивости численной схемы. Приведены результаты расчетов двух моделей орегонатора, подтверждающие повышение эффективности за счет дополнительного контроля устойчивости.
Ключевые слова: методы Рунге-Кутта, контроль устойчивости, орегонатор.
При решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений средней жесткости и большой размерности в ряде случаев можно применять явные методы. Они не требуют обращения матрицы Якоби и поэтому могут быть эффективнее неявных численных схем. Однако для эффективного использования явных методов при решении задач средней жесткости требуется контролировать не только точность вычислений, но и устойчивость численной схемы. В противном случае, на участке установления вследствие противоречивости требований точности и устойчивости шаг интегрирования раскачивается. В лучшем случае это приводит к большому количеству повторных вычислений решения, а шаг выбирается значительно меньше максимально допустимого. В настоящее время можно выделить два подхода к контролю устойчивости [1; 2]. Первый связан с оценкой максимального собственного числа матрицы Якоби / через ее норму с последующим контролем неравенства Ц/у\\< Б [1], где h - шаг интегрирования, а положительная постоянная Б зависит от размера области устойчивости. Ясно, что для явных методов, где матрица Якоби не участвует в вычислительном процессе, это приводит дополнительно к ее нахождению и, следовательно, к значительному увеличению вычислительных затрат. Второй подход основан на оценке максимального собственного числа Хшах матрицы Якоби степенным методом через приращения правой части системы дифференциальных уравнений с последующим контролем неравенства < Б
[2]. Такая оценка фактически не приводит к увеличению
затрат [3]. Здесь построено неравенство для контроля устойчивости явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутта. Алгоритм интегрирования применяется для численного моделирования орегонатора, дающего сложный предельный цикл.
Для численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
У' = / (у)> У (¿о) = Уо > ¿о <х < Ч > (1)
рассмотрим явный трехстадийный метод типа Рунге-Кут-та, который имеет вид
Уп+1 = Уп + М + Р2 к2 + РзК К = ¥(Уп); К = ¥ (Уп + Р21к1); (2)
к3 = ¥(Уп + Рз1К1 + Рз2 К2), где у и / - вещественные п-мерные вектор-функции; t - независимая переменная; h - шаг интегрирования; К1, к2 и к3 - стадии метода,р1,р2,р3; Р21, Р31 и Р32 - числовые коэффициенты, определяющие свойства точности и устойчивости. В случае неавтономной системы у = /X, у), у(Х0) = У0, ¿0 < t < ¿к, схема (2) записывается следующим образом:
Уп+1 = Уп + Р1К1 + Р 2 к2 + Р3к3; к1 = ¥ (X, > упк2 = ¥ (хп +Р2А Уп +Р21к1); (3)
к3 = ¥(Хп + [Ь31 + Р32 ]^ уп + Ь31к1 + Р32к2 ).
Ниже для сокращения выкладок будем рассматривать задачу (1). Однако построенные методы можно применять для решения неавтономных задач.
1 Работа поддержана грантами РФФИ N»08-01-00621 и Президента НШ-3431.2008.9.
