CC BY
59
УДК 681.315
Тулекенова1 Д.Т., Ергалиев2 Д.С., ТулегулоВ2 А.Д.
Ылматинский университет энергетики и связи, Алматы, Казахстан 2Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МОДЕЛЬ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КА В ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ С УЧЕТОМ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ ДЛЯ НАКЛОННЫХ ОРБИТ
Основные участки орбит ИСЗ проходят на значительных высотах (выше 150-200 км), где воздух крайне разрежен и поэтому оказывает очень малое сопротивление движению спутника. Однако это воздействие носит вековой характер и может по истечении достаточного промежутка времени привести к существенному изменению основных параметров движения ИСЗ. Сравнение моментов, действующих на ИСЗ, показывает, что до высот над поверхностью Земли 200-300 км преобладают аэродинамические моменты, на высотах, в области 300-500 км сравнимы по величине гравитационные, аэродинамические и магнитные моменты. На высотах больших 500 км, преобладают гравитационные моменты. При исследовании движения ИСЗ на низких орбитах следует учитывать гравитационный и аэродинамический момент.
Исследование аэродинамических эффектов проводится, как правило, в модельной постановке задачи: предполагается, что аэродинамический момент зависит только от высоты орбиты и конструктивных параметров спутника и влияние атмосферы сводится к силе сопротивления, приложенной в центре давления и направленной против скорости центра масс спутника. Известно, что аэродинамические моменты оказывают определенное стабилизирующее действие на закрученный спутник, влияние момента сил аэродинамической диссипации приводит, к «опрокидыванию» динамически вытянутого спутника (т.е. к вращению в режиме «кувыркания») и к стабилизации динамически сжатого спутника (стремление к чистому вращению вокруг оси симметрии).
Для построения уравнения движения спутника вокруг центра масс воспользуемся динамическими уравнениями Эйлера в системе координат, жестко связанной со спутником, а именно, в осях Кени-га:
.ар
где А,В,С - главные моменты инерции, Р,2,Я -проекции мгновенной угловой скорости вращения на оси Кенига, М? ,М? ,М? - проекции мо-
мента гравитационных сил,
МаМа Ма - проек-
Я Земля тт Земля 1 , Н2
- напряженность геомагнитного поля Зем-
ции момента аэродинамических сил
- Земля
, Щ
ли действующих на спутник.
Компоненты углового вращения орбитальной системы координат в осях Кенига имеют вид:
Кр6 =КР6-& А) = Кр6-Р,
>орб-0, (2)
■0
Здесв е15е25®з ~~ оси Кенига (ОК) , жестко связанные с КА и направленные вдолв главных осей ■о о о „
инерции е1,е2,е3- орбиталвная система координат
2 '
И^6 = 1¥ор6 • (е®,ё2) = IVор
(ОСК), единичный плоскости орбиты, - вектора орбиты,
-о
ектор е, перпендикулярен
к
о
'орб
направлен вдоль радиуса - радиус - вектор центра
масс КА, /3,Р ,Р" - направляющие косинусы.
Проекции углового ускорения ОСК в осях Кени-га определяются отношениями:
dw1 орб _ аю _ _ ал ажорб
аг
~Л + ю-,
аг аг
ажорб аю
аг
ал''
=-л + ю-
аг аг
где
А— + Я2{С - В) = М? + Ма + Н1З аг
аю аг
2-с0 л-с
орб
аг
2в-С„2
аю , ал
--л + ю-,
аг аг
аг
'орб
аг
р'
I 'орб
^ (и -упер ) ,
(3)
(4)
Ва2+РЯ(А - С)=М% + М1 + НЗемля
(1)
ая
С — + Р<2(В - А) = М? + М° + Н3 аг
ал
= (сое ц/ вт в сое (р - вт ц/ вт ф)ц/ + (сое ц/ сое (р - вт ц/ вт ^вт ф) ■ ф + вт ц/ • сое в ■ сое (р ■ в,
(5)
а?1
—- = -ыунусозв-ц/ + 5тц/5тв -в, Л
С учетом этих соотношений получим систему уравнений для определения вращения КА в орбитальной системе координат:
АаР = дг - (В - С) - ¡А^— + (дЖорб + гЖ°рб - Ж°рбЖ°рб) - (С - В) \ + М% +Ма + Н3емля, аг I аг \
Вад = рг - (С - А) - + (рЖ°рб + Жорб - Ж орбЖорб) - (А - С) \+М! +Ма + Н Змя,
аг I аг I
^аг иажз46
^ = др - (А - В)-\С—з— аг I аг
ау р - эш ср+д - сов^ аг
ар втр совр
— = г - р---д--,
аг г?е г?в
ав
— = р - совр-д - втр аг
■ (рЖорб + дЖ1 орб - ЖорбЖорб) - (В - А) \ + М! + М1 + Н
аи С,
Земля
з
аг
(Р/ )2
(1 + в сов (и -Упер ))
(6)
В эти формулы вместо производных углов Эйлера подставляем их выражения через (р^гг) , что позволяет сделать эту систему уравнений замкнутой для определения
р(г), д(г), г(г), у(г), в(г), р(г) .
= ю =
Момент гравитационных сил определяется формулами В.Белецкого:
(7)
Mg =Mfel +Mfe2 +Mfe3
Mg = 3-- В)-Г2. Гз
R
Mg = 3-£-(A-C)-Yi. n R
И
(8)
М Ц = - Л)-у - у 2
к
здесь ц - постоянная гравитации, У\,У2,Уз -направляющие косинусы.
Момент формулой:
1 з
Мг = 1' Р 'Т/^6' х2, (10)
2 ]=1
ма=о
Искусственные спутники, двигаясь по орбите вокруг Земли, взаимодействуют с магнитным полем Земли. Момент сил, возникающих от взаимодействия внешнего магнитного поля с напряженностью Н и собственного магнитного поля тела, обладающего магнитным моментом I . Магнитный момент спутника:
(11)
/=/°, /°=/°.£
Т О
Момент аэродинамических сил определяется где 1 -постоянный момент.
М = Ра'К2 'Ср[ву х *,] (9)
Здесь: Уа - скорость центра масс спутника относительно набегающего потока, ра -
Напряженность геомагнитного поля Земли определяется формулой В.Белецкого:
Н3— =Ш1-Ъ-{к1,ег)-ег}
(12)
плотность потока,
р
- коэффициент сопротивления вращению, ev - орт вектора скорости Vq , k - орт оси симметрии оболочки спутника.
Момент аэродинамических сил в осях Кенига запишется
1 3
М" = ра -Y/Ot- ßjs-cp- х- <Р- ,
2 j=i
где к1 -орт оси магнитного момента Земли, ег -единичный вектор по направлению радиуса -вектора орбиты, ц -величина магнитного момента
Земного диполя ( ~8 • 1025 эрстед • смЪ ) .
Координаты Я
в осях Кенига:
Н* = (Я,в/) = ^• ^к,т ■ («„., -3-ууст) (13)
К т=1
Используя (6) и (13), получим систему уравнений для определения вращения КА в орбитальной системе координат:
AddP = qr- (B - C) - J A^^ + (qW3op6 + rW.°рб - W2 „3 dt I dt
(C - B)J + 3-И- (C - B)-(siny- cos^ + R
13 и
cos у - sin в- sm Ф)- cos у- с°ъв + -- ра■ Yyj - ßj,K -cp- X1 - е°к,\ + И- kn '(а1 -1 - 3 - Г1- c1)'
2 j=1 R
Bdq = pr- (C - A) -j BdWW2°P- + (pW3op6 + rW°p6 - W°p6W3p6) - (A - C) 1 + 3 - И - (A - C) - cosy -dt J dt J R
cose-
(14)
1 3 и
(sin у - sin ф - cosy - sin в - cosф) + - - ра • YVGP- - ßjK 'Cp- X2- С +И3- k 2 - (а2 -2 - 3 - Г2 - c2).
2 j=1 R
C— = qp- (A -B) - j CdW3°P- + (pW°p6 + qWор6 - Wlop6W°p6) - (B - A) 1 + 3-И(B - A)(siny sinф -dt I dt J R
- cosysinвcosф)(sinycosф + cos у sin в sin ф) + з - (а3.3 - 3 - r - ^) ,
R3
Блок-схема указана на рисунке 1.
Рисунок 1 - Блок схема уравнений (14), с учетом гравитационного и магнитного поля и атмосферы Земли для наклонных орбит. 0,^ф-углы Эйлера, А,В,С-главные моменты инерции, Р^,К -проекции мгновенной угловой скорости вращения на оси Кенига
3
Рисунок 2 - Применяя главных момент инерции и направляющих косинусов на выходе получим момент
гравитационных сил, момент аэродинамических сил
Рисунок 3 - Описывает подсистему напряженность геомагнитного поля. На выходе получим -Н3, Н3, Н3
Рисунок 4 - Показывает P,Q, R -проекции мгновенных угловых скоростей.
По оси Ox расположено время t
ЛИТЕРАТУРА
1. Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника. - М.: Наука, 1985. - 288 с.
2. Жилисбаева К.С. Идентификация динамических параметров намагниченного спутника по угловым измерениям // Известия МОН РК. Серия физ.-матем. 2012.
3. Артемов И.И. Особенности алмазного шлифования изделий из твердого и хрупкого материалов с применением наночастиц в смазочно-охлаждающей жидкости /Артемов И.И., Кревчик В.Д., Соколов А.В., Симонов Н.П., Артемова Н.Е. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2012. № 4 (24). С. 145-159.
4. D. Shishulin, N. Yurkov, A. Yakimov Modeling the Radiation of a Mirror Antenna taking Vibration Déformations into Account. Measurement Techniques. -2014. -Vol. 56, № 11, February. -P. 1280-1284
5. Артемов И.И. Модель развития фреттинг-коррозии в поверхностном слое листа рессоры / Артемов И.И., Кревчик В.Д., Меньшова С.Б., Келасьев В.В., Маринина Л.А. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2011. № 1. С. 213-224.
6. Меркульев А.Ю. Программные комплексы и системы проектирования печатных плат / Меркульев А.Ю., Сивагина Ю.А., Кочегаров И.И., Баннов В.Я., Юрков Н.К. // Современные информационные технологии. 2014. № 19 (19). С. 119-128.
7. Куприянова Н.В., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Селиванова А.С. Пассивная магнитная стабилизация первого российского наноспутника ТНС-0 / Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. - М., 2005. -32 с.
