МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕХНОГЕННОЙ ПУСТОШИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕХНОГЕННОЙ ПУСТОШИ

И.Е. Хоменко, магистрант Е.П. Колпак, д-р физ.-мат. наук, профессор Санкт-Петербургский государственный университет (Россия, г. Санкт-Петербург)

DOI:10.24412/2500-1000-2024-10-3-74-79

Аннотация. Экономическая деятельность человека сопровождается изменением экологической обстановки в зоне расположения крупных промышленных центров. Одной из задач математического моделирования является поиск рациональных вариантов восстановления экосистемы после снятия антропогенной нагрузки. В работе разработана математическая модель «зарастания» техногенной пустоши растительностью, представленная начально-краевой задачей для уравнения переноса. Приведена оценка линейной скорости распространения растительности. Дано вероятностное распределение покрытия территории растительностью. Математическая модель построена на основе дифференциальных уравнений в частных производных.

Ключевые слова: выживаемость, математическая модель, популяция, техногенная пустошь, растительность, дифференциальные уравнения.

Металлургическое производство сопровождается выбросами в атмосферу кислотных окислов и металлов, выпадения которых на поверхность земли приводит к гибели флоры и фауны. На значительных расстояниях от точек выбросов территория превращается в пустошь. На окраинах пустошей проективное покрытие растительного покрова не превышает 0,1-0,5% [1]. По мере удаления от источника загрязнения численность видов увеличивается вплоть до естественных значений, которые характерны для «чистых» территорий.

Загрязнители территории, такие как тяжелые металлы (медь, никель, цинк, кадмий, свинец) могут сохраняться в почве многие десятилетия. Так, например, медь и цинк растворяются или выносятся из почвы на протяжении около 300 лет, а свинец - около 1 000 лет [2]. Часть загрязнителей включается в трофические цепи, оказывая тем самым стрессовое давление на все живое. После прекращения загрязнения территории естественное восстановление растительного покрова без очистки почв от полютантов невозможно [3]. Хемофитостабилизация, как способ очистки территории, улучшает свойства почв, но не уменьшает содержание доступных растительности полютантов до допустимого уровня. Наиболее эффективным, но и дорогим, способом восстановления пустошей является реме-

диация путем нанесения на поверхность загрязненных почв плодородного слоя [3].

В математической модели предполагается, что техногенная пустошь после хемофитоста-билизация начинает зарастать растительностью. Распространение растительного покрова на частично очищенной территории начинается от границы между пустошью и прилагающей к ней не нарушенной зоной. Часть полютантов в почве после ее восстановления сохраняется, но в значительно меньших концентрациях, чем на незагрязненной территории. Изменение их концентрации растет по экспоненциальной зависимости от границы пустоши до точки выбросов [2].

Траектория распространения растительности в математической модели представлена отрезком длиной I. Растительность движется за счет расширения корневой системы и распространения семян растений на небольшие от растений расстояния.

Пусть рост растительности в конкретной точке отрезка описывается логистическим уравнением [4], а ее распространение вдоль отрезка происходит за счет линейного смещения [5]. С учетом этих предположений модель распространения растительного покрова на «чистой» территории представлена дифференциальным уравнением в частных производных [5].

Ou Ou — = -v--+ jUU

Ot Ox

\ _

V K у

(1)

где и - линейная плотность фитомассы, v - линейная скорость движения растительности, / - удельная скорость увеличения объемов фитомассы, К - плотность фитомассы в равновесном состоянии (емкость среды, [4]). В дальнейшем за единицу измерения принимается емкость среды, то есть считается, что

К = 1.

Распределение полютантов вдоль траектории описывается экспоненциальной зависимостью с максимальным значением в точке

расположения источника загрязнения [2], убылью по направлению к границе пустоши. Предполагается, что удельная скорость роста фитомассы уменьшается с увеличением концентрации полютантов, уменьшается и линейная емкость среды, и линейнная скорость движения границы пустоши. С учетом этих предположений модель зарастания «чистой» территории (1) переходит в модель зарастания «загрязненной» территории:

Ou о / _ж \ — = _v—(e u)

Ot 0xy '

о

+ ju

u

(2)

где а - параметр.

Модель (2) нормирована таким образом, что при а = 0 она переходит в модель (1). Предполагается, что граница «пустоши» рас-

положена в точке х = 0, а источник загрязнения находился в точке х = I.

Заселение территории начинается от точки х = 0 . Этому условию соответствует граничное условие при х = 0

du (л ч

— = ju (1 _ u) - vu.

dt

(3)

Предполагается, что из этой точке часть растительности смещается по направлению к точке х = I.

Начальное условие при х = 0

u = u0, где u « 1,

означает, что восстановление территории Уравнение (3) имеет две стационарные

начинается с малого количества фитомассы. точки

u = 0 и u = 1--.

J

Вторая точка реализуется, если выполняется неравенство V < /Л . в этом случае эта точка будет устойчивой. Поэтому растительность будет распространяться вдоль отрезка, если

скорость ее распространения не будет превышать удельную скорость роста.

В отсутствие полютантов (при а = 0 в (2)) при достаточно больших временах (при ^ = да ) уравнению (3) удовлетворяет функция

и exp

и

—x V V у

1 - и + и exp

x

V V У

где и = 1 -

(4)

V

м

При х ^го, как следует из (4) и ^ 1, то есть со временем покрытие территории растительностью будет близко к проективному покрытию.

Стационарное распределение значений функции и(? = го, х) находится как решение

уравнения

V

д ( - ax \

—(e и) = ми

дх

и

(5)

с граничным условием при х = 0 : и = 1 — С учетом этого в этой точке

V

м

du

— =(1 + a)

dx

г \

1 - V

V

м

> 0.

у

То есть функция и(х) в окрестности этой точки растет с ростом х . Уравнение (5) преобразуется к виду

du = и (м(1 - ue2 ax ) + аЛ

dx ^ v v ' у

(6)

При х ^ го правая часть уравнения (6) должна принимать отрицательные значения. Из этого следует оценка значения функции и (? = го, х)

Г

—2ax

V

Л

1 + a

v му

< и(t = го, x).

Таким образом, модель (2) допускает зарастание территории в окрестности источника загрязнения.

Решение нелинейного уравнения (2) строится с применением численных методов. Дис-

кретизация дифференциального уравнения на равномерной пространственной сетке с шагом И, временной сетке с шагом т приводит к системе алгебраических уравнений

ui = uc

uk - uk-i

uk - uk-1

= -rv

rvuk +Tjuuk 1 (l - uk ),

* ( uk - uk-i )

h

+ rju

k-i

- ax _ ui ^

V

У

(7)

i = 2,3,

где и - значение сеточной функции в 1 -

ом узле в дискретный момент времени к . Используется неявная схема аппроксимации производных [4]. Временной шаг выбирался ТУ

из условия — < 0.2. Этим обеспечивается

сходимость последовательности (6) к решению уравнения (2).

Решение уравнений (7) строилось для единичного отрезка ( 0 < х < 1). Принималось, что источник загрязнения находится в точке х = 1. Движение растительности, появившейся в точке х = 0, происходит по направлению к точке х = 1. Параметры / , v и а выбирались из диапазонов: а е (0.1,0.3), / е (0.02,0.08), V е (0.001,0.005). Значения параметров соответствуют данным приведенным в [2, 3], но применительно к модели

импактной зоны единичной длины. Скорости роста растительности оценивались по данным, приведенным в [6, 7]. За единицу времени приняты 30 суток. Выбранный диапазон параметров соответствует росту различных трав и кустарничков.

На рисунке 1 приведено изменение функции u(t, х) вдоль координаты в моменты

времени t = 35 и t = 175 для параметров а = 1.5, J = 0.08 , V = 0.005 . Пунктирной линией отмечено решение уравнения (2). Шаг по пространственной сетке принимался равным 0.004, а по временной - 0.2.

Имитационная модель вероятности распределения покрытой растительностью площади в момент времени t = 175 (рис. 2) строилась на основе выбора случайным образом параметров j, v и а из заданных диапазонов 1 000 раз.

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

s\ V t=175

\

\ .=35 t=œ

0.2

0.8

0.4 0.6

x

Рис. 1. Зависимость функции u (t, х) от х в моменты времени t = 35, t = 175 и t = œ

1

<

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

0 30

40

70

80

50 60

Покрытие (%)

Рис. 2. Вероятность распределения покрытой растительностью площади

в момент времени ? = 175

Как следует из анализа полученных результатов, наличие полютантов на почве после хемофитостабилизации не позволяет растительности со временем покрыть всю пустошь до проективного значения. Применительно к импактной зоне Мончегорского мед-но-никелевого комбината, как следует из данных приведенных в [2, 6, 7], пустошь распространяется на 10-15 км. С учетом полученных результатов (рис. 1), через 15 лет после закрытия источника загрязнения в радиусе около 3 км растительность еще не появится. Наиболее вероятное покрытие будет составлять около 55% (рис. 2) от естественной, не подверженной загрязнению территории. Та-

менные оценки могут быть использованы на стадии проектирования очистки территорий [8].

Хемофитостабилизация не удаляет полю-танты из почвы. Более эффективным способом восстановления пустошей является реме-диация путем нанесения на поверхность загрязненных почв плодородного слоя. В этом случае модели зарастания пустоши соответствует модель (1). При ремедиации вместе с плодородной почвой на пустошь могут вноситься и различные виды растений. Естественно рациональнее, чтобы эти виды не составляли конкуренцию видам, проживающим на окраинах пустоши.

кие теоретические пространственные и вре-

Библиографический список

1. Коротков В.Н., Копцик Г.Н., Смирнова И.Е., Копцик С.В. Восстановление растительности на техногенных пустошах в окрестностях Мончегорска (Мурманская область, Россия) // Russian Journal of Ecosystem. - 2019. - Vol. 4 (1). - С. 1-18. - DOI 10.21685/2500-0578-2019-1-4.

2. Гончарова А.Б., Колпак Е.П., Гасратова Н.А. Модели антропогенного давления на экосистему Учебное пособие / Санкт-Петербургский государственный университет. - Казань, 2024. -102 с.

3. Копцик Г.Н., Копцик С.В., Смирнова И.Е. Эффективность ремедиации техногенных пустошей вблизи комбината «Печенганикель» в Кольской Субарктике // Почвоведение. - 2013. - №10. - С. 1263-1273.

4. Колпак Е.П., Гончарова А.Б., Гасратова Н.А. Имитационные модели одиночной популяции Учебное пособие / Санкт-Петербургский государственный университет. - Казань, 2024. - 112 с.

5. Гончарова А.Б., Колпак Е.П., Виль М.Ю., Абрамова А.В., Бусько Е.А. Математическое моделирование злокачественных опухолей яичников // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2022. - Т. 18. - № 1. -С. 120-134.

6. Черненькова Т.В. Реакция лесной растительности на промышленное загрязнение. - М.: Наука, 2002. - 191 с.

7. Ярмишко В.Т., Игнатьева О.В. Многолетний импактный мониторинг состояния сосновых лесов в центральной части Кольского полуострова // Известия РАН. Серия биологическая. -2019. - № 6. - С. 658-668. DOI: 10.1134^0002332919060134.

8. Кривополенова С.Д., Гончарова А.Б. Первичный анализ данных для построения системы поддержки принятия решений Процессы управления и устойчивость. - 2019. - Т. 6. - № 1. -С. 250-254.

MATHEMATICAL MODEL OF RECOVERY MAN-MADE WASTELAND

I.E. Khomenko, Graduate Student

E.P. Kolpak, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor St. Petersburg State University (Russia, St. Petersburg)

Abstract. Human economic activity is accompanied by a change in the environmental situation in the area of large industrial centers. One of the tasks of mathematical modeling is the search for rational options for ecosystem restoration after the removal of anthropogenic load. The paper develops a mathematical model of the "overgrowth" of a man-made wasteland by vegetation, represented by the initial boundary value problem for the transfer equation. The linear velocity of vegetation propagation is estimated. A probabilistic distribution of vegetation coverage is given. The mathematical model is based on partial differential equations.

Keywords: survival rate, mathematical model, population, man-made wasteland, vegetation, differential equations.