CC BY
45
что цилиндр свободно расширяется вдоль оси z:
ст„ =-
1 г Iя
[—2 ¡а ■ t(r) -rdr + — Ja • t(r)rdr];
У Л п
1-ц r\J
ст = ———[—7 fa • /(г) • rdr + 1-М- г о
°экв = О/ »
где ст,
(CTi + (a2 -^з)2 + (°з -^i)2
интенсивность напряжения; ст,,ст2,ст3 - главные напряжения. Параметры контакта двух тел (цилиндра и плоскости) определяются по формуле
1 R
+ — ja ■ t(r) ■ rdr - a ■ t(r)~\ ;
¿ = 1,131,
If
1-m2 , i-rê
v 3
2 y
CT. = -
1-Ц
iV
Ja • ¿(r) • rdr - a • /(r)
л
Вычислить интеграл ja-i(r)-r<ir и опре-
0
делить напряжение можно, если известен закон изменения температуры t(r) по толщине цилиндра. Здесь сг,стф,ст2 - главные напряжения: радиальные, тангенциальные и осевые; a - коэффициент термического расширения; Е - модуль упругости; р. - коэффициент Пуассона, соответствующий средней температуре. По теории прочности точки с максимальным эквивалентным напряжением будут самыми опасными, и в них появятся первые признаки разрушения тела [3]:
где Ъ - полуширина полоски контакта; Р - сила сжатия двух тел; Я - радиус цилиндра; 1 -длина цилиндра; Ех и Ег - модули упругости материалов; ^ и ц2 - коэффициенты Пуассона для цилиндра и плоскости. Зная ширину полоски, можно определить угол контакта ср.
Список литературы
1. Блох А.Г., Журавлев Ю.А., Рыжков JI.H. Теплообмен: Справочник. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 432 с.
2. Кривандин В.А., Мастрюков B.C. и др. Металлургическая теплотехника: В 2 т. Т. 1: Теоретические основы: Учебник для вузов. - М.: Металлургия, 1986. - 424 с
3. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наука, 1988.-736 с.
УДК 666.97.035.55
К.В. Аксенчик, Н.И. Шестаков Череповецкий государственный университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВНУТРЕННЕГО ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА В БЕТОННЫХ ПЛИТАХ, ПОДВЕРГАЕМЫХ ТЕПЛОВЛАЖНОСТНОЙ ОБРАБОТКЕ
Известно, что градиенты температур и вла-госодержаний являются деструктивными факторами процесса ускоренного твердения бетона, так как они вызывают внутренние напряжения и деформации, которые в конечном счете приводят к дефектам структуры и разрушениям. Для исследования температурных и влажностных полей в бетонных плитах на шлаковом щебне, подвергаемых тепловлажно-стной обработке в пропарочных камерах ямно-го типа, была разработана математическая модель процессов внутреннего тепло- и массо-
обмена. В отличие от подобных моделей, в которых применяются аналитические решения [1], в частности для исследования температурных полей ограждающих одно- и многослойных конструкций [3], [7], в данной работе использован численный метод решения дифференциальных уравнений, описывающих процессы тепло- и массообмена в бетонах на шлаковом щебне.
Процессы тепломассообмена в капиллярно-пористых телах, таких как бетон, древесина и т.д., математически описываются системой
дифференциальных уравнений Лыкова [5], которая при отсутствии градиента давлений (УР = 0) имеет вид
^- = KUV2U + K1272T; (1) ох
~ = K2yU + K22V2T, (2)
где II - удельное влагосодержание; Т - температура.
Коэффициенты, входящие в уравнения (1) и (2), равны:
ки=а1=ап,8Т;
К2\ ~ат1Ж'>
с
^22=
С
где ат - коэффициент диффузии влаги; ат -
коэффициент термодиффузии влаги; 5Т - термоградиентный коэффициент; ат1 - коэффициент диффузии пара; гп - удельная теплота парообразования (конденсации); с - приведенная удельная теплоемкость; а - коэффициент температуропроводности; аТтХ - коэффициент
термодиффузии пара.
В пропарочных камерах тепловой обработке подвергают изделия различной формы. В качестве объекта моделирования были выбраны бетонные плиты размером 3200 х 1200 х х 100 мм. На основании того, что толщина плит значительно меньше двух других размеров (рис. 1), плиту можно рассматривать как неограниченную пластину толщиной Н= 25.
Система уравнений (1) и (2) для одномерного случая будет иметь вид:
(3)
(4)
dU дх d2U дх2 + Ки д2Т дх2
дТ дх = К21 д2и дх2 + К22 д2Т дх2
Рис. 1. Схема бетонного образца
Процессы переноса теплоты и влаги, согласно системе уравнений (3) и (4), являются связанными, т.е. температурные градиенты вызывают градиенты влагосодержания и наоборот. Если принять, что эффекты термодиффузии и внутренних фазовых превращений пренебрежимо малы [8], т.е. коэффициенты Ки = К2\ = 0, то система уравнений (3) и (4) распадается на два независимых уравнения -дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для твердого тела и уравнение диффузии, записанное через влагосодержание:
дТ д2Т L
■ = а дх дх
+ ■
ср
dU d2U
-~ат-Г
дх дх
(5)
(6)
где а - коэффициент температуропроводности; Iq - источник тепла, обусловленный процессами гидратации, протекающими в твердеющем бетоне; с - удельная теплоемкость; р - плотность; ат - коэффициент диффузии влаги.
Уравнения (5) и (6) позволяют моделировать сложные процессы тепло- и массообмена без учета их взаимного влияния друг на друга. Данное обстоятельство упрощает решение поставленной задачи.
Учитывая, что плиты направляются на тепловую обработку непосредственно после формования без предварительной выдержки, температура и влагосодержание приняты постоянными по всему объему плиты. Таким образом, получены начальные условия:
Т(х, 0) = Т0 = const при х = 0 и 0 < х < Я; (7) U(x,0) = U0= const прит = 0 и 0<х<Н. (8)
Граничные условия 3-го рода были получены из закона Ньютона - Рихмана:
9 = а[г(х,х)5-Гср(х)],
где ц - количество теплоты, воспринимаемое (отдаваемое) единицей поверхности тела в единицу времени; а - коэффициент конвективной теплоотдачи; Т (х., т) - температура на
поверхности материала; Гср (х) - температура
среды в зависимости от времени. Тогда
при х = 0 и 0<х<хц
а
при х = Н и 0 < х < хц
(9)
(10)
Анализ информации позволил установить, что температура паровоздушной среды в камере изменяется по следующей зависимости:
W =
T0 + wit-х, если 0<х<хпрог, 7Ш, если тпрог < х <хпрог + хю, тю ~ Щт ■ ec™ xmor + хиз < х < хи
(П)
где 7о - начальная температура в камере; м>\Т -скорость подъема температуры; х - время; м>1Т - скорость охлаждения; хпр0г, хиз, хц - длительность периода прогрева, изотермической выдержки и цикла пропаривания, соответственно. Скорость подъема температуры, скорость охлаждения, длительности периодов регламентируются инструкциями [6] и режимом пропаривания.
Значение д задается условиями внешнего тепло- и массообмена и изменяется по периодам тепловой обработки.
В период прогрева а - коэффициент теплоотдачи при конденсации насыщенного пара или пара из смеси с воздухом; при отсутствии пленки конденсата (в период изотермической выдержки) а - коэффициент теплоотдачи при испарении влаги с поверхности материала; в период охлаждения а - коэффициент теплоотдачи от поверхности материала к холодному воздуху.
Для влагосодержания были заданы симметричные граничные условия 1-го рода:
-при х = 0 и 0<х<хц : t/(0,x)s =ср(х), (12)
-при х = Н и 0<х<хц: U[H,x)s =cp(x), (13)
где ф(х) - функция вида ().
Таким образом, предлагаемая математическая модель внутреннего тепло- и массообмена состоит из двух подмоделей:
- подмодели внутреннего теплообмена, включающей дифференциальное уравнение
(5), начальное условие (7) и граничные условия (9)-(11);
- подмодели внутреннего массообмена, включающей дифференциальное уравнение
(6), начальное условие (8) и граничные условия (12), (13).
Уравнение (6) представляет собой модификацию уравнения (5), называемого в математической физике уравнением диффузии, поэтому метод решения уравнений (5) и (6) с начальными и граничными условиями один и тот же. Математическая модель решалась методом конечных разностей на ЭВМ в программе Mathcad по неявной схеме. Выбор схемы обусловлен ее абсолютной устойчивостью и уменьшением затрат времени счета на ЭВМ.
Для численного эксперимента были взяты следующие входные значения параметров модели: удельный расход цемента та = 324 кг/м3; теплоемкость, плотность, коэффициент теплопроводности бетона на шлаковом щебне с = 830 Дж/(кг • К), р = 1860 кг/м3, X = = 0,58 Вт/(м • К) [4]; начальная температура в плитах То = 20 °С; начальное влагосодержание плит U0 = 0,241 кг/кг; размеры плит 3,2 х 1,2 х х 0,1 м; режим пропаривания: прогрев от 20 до 85 °С - 4 ч, изотермическая выдержка при температуре 85 °С - 6 ч, охлаждение до 40 °С -4 ч; количество теплоты, воспринимаемое (отдаваемое) единицей поверхности тела в единицу времени, по периодам qa = 2500 Вт/м2, qm = 250 Вт/м2, #охл= 250 Вт/м2; среднее значение за весь цикл тепловлажностной обработки коэффициента теплоотдачи а = 508 Вт/(м ■ К)
(7); коэффициент диффузии влаги ат = 1,35 х х Ю"5 м2/с [5]; точность расчетов s = 0,01.
Объемный источник теплоты вследствие гидратации цемента определялся по формуле
q = Шц (о, 6t2 +16,5t - 3,5) • 10~3 Вт/м3,
где г - средняя температура периода, °С [2].
Было принято следующее изменение влаго-содержания поверхности материала (граничные условия):
ф(т) =
0,241 +1,465-10~5т при 0 < т < 4 ч,
0,452 при 4<х<10ч,
0,452-0,006т при 10<х<14ч.
Результаты моделирования представлены графически на рис. 2 и 3.
о
100
90
80
70
я 60 а.
£ 50
а.
<L>
s 40
<L>
н 30 20 10 0
ж -+4-+-Л
л*
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 Толщина бетонной плиты, м
поверхности и минимальна в центральной плоскости плиты (на глубине 0,05 м от поверхности). В период изотермической выдержки (следующие 6 ч цикла) градиент температур незначителен и составляет не более 5 °С. При этом максимум температур находится в центральной плоскости плиты. В конце периода максимум температур в центральной плоскости охлаждения сохраняется, но градиент температур увеличивается. Распределение влагосодержаний устанавливается к концу периода прогрева и сохраняется приблизительно постоянным в различные периоды тепловой обработки (минимум в центральной плоскости и максимум на поверхности), причем градиенты влагосодержания достаточно велики: АГ7 = = 0,35 кг/кг.
Таким образом, разработана математическая модель внутреннего тепло- и массообме-на в плитах из бетона на шлаковом щебне при тепловой обработке в пропарочных камерах ямного типа. После проверки адекватности созданной модели предполагается провести исследование процессов внутреннего тепло- и массообмена и термонапряженного состояния при различных условиях тепловой обработки: режимах пропаривания, составах бетона, несимметричных граничных условиях.
-0ч -7ч
2,1ч ■ -9,8 ч
-в-3,5 ч
-4-14 ч
Список литературы
Рис. 2. Поле температур в плите из бетона на шлаковом щебне
0,5
0,45I
иI
0,4
* 035
Я
5 0,3 I 0,25
I °'2
I 0,15 « 0,1 0,05 0
О 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 Толщина бетонной плиты, м
» 0ч х 3,5 ч —в—7ч —А—14ч
Рис. 3. Поле влагосодержаний в плите из бетона на шлаковом щебне
Как видно из рис. 2 и 3, в плитах наблюдается параболический характер распределения температур и влагосодержаний. Так, в период прогрева (4 ч) температура максимальна на
1. Гамаюнов Н.И., Испирян P.A., Клингер A.B. Расчет температурных полей в керамзитобетоне при его тепловой обработке // Инженерно-физический журнал. - 1977. -Т. 33, №2.-С. 360-361.
2. Заседателев И.Б., Петров-Денисов ВТ. Тепло- и массоперенос в бетоне специальных промышленных сооружений. — М.: Стройиздат, 1973. - 168 с.
3. Ибрагимов A.M. Нестационарный тепло- и массоперенос в строительных материалах и конструкциях при несимметричных граничных условиях. Ч. 1 // Строительные материалы. - 2006. - № 7. - С. 72-73.
4. Кучеренко A.A. Тепловые установки заводов сборного железобетона. Проектирование и примеры расчета. -Киев: В ища шк., 1977.-280 с.
5. Лыков A.B. Тепломассообмен: Справочник. - М.: Энергия, 1978. - 480 с.
6. Руководство по тепловой обработке бетона и железобетонных изделий. -М.: Стройиздат, 1974.-31 с.
7. Федосов C.B., Ибрагимов A.M., Гущин A.B. Влияние тепловлажностной обработки на прочность железобетонных ограждающих конструкций и изделий // Строительные материалы. - 2006. - № 9. - С. 7 - 8.
8. Федосов C.B., Ибрагимов A.M., Гущин A.B. Применение методов математической физики для моделирования массо- и энергопереноса в технологических процессах строительной индустрии // Строительные материалы. - 2008. - № 4. - С. 65 - 67.
