CC BY
42
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Уилмсхерст Т. Разработка встроенных систем с помощью микроконтроллеров PIC. М. : МК-Пресс, 2008. 543 с.
2. Специализированные ЦВМ / под ред. В.Б. Смо-лова. М. : Высшая школа, 1981. 279 с.
3. Мухопад Ю.Ф. Микропроцессорные системы управления работами-манипуляторами. Иркутск : Изд-во ИГУ, 1984. 124 с.
4. Мухопад Ю.Ф. Микроэлектронные информационно-управляющие системы. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2004. 407 с.
5. Мухопад Ю.Ф., Пашков Н.Н., Пунсык-Намжи-лов Д.Ц. Адаптивные системы управления с динамической структурной организацией в режиме реального времени // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 3 (23). С. 171-175.
6. Мухопад Ю.Ф. Теория дискретных устройств. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2010. 172 с.
7. Мухопад Ю.Ф., Федченко А.И., Лукашенко
B.М. Функциональные преобразователи с ограниченным числом хранимых констант // Управляющие системы и машины. 1978. № 5.
C. 86-88.
8. А.с. 1290305 СССР. Устройство для вычисления функций / Ю.Ф. Мухопад, В.Б. Смолов 1987. БИ № 6.
9. Смагин А.А. Сжатие информации в табличных структурах. Саратов, 1985. 124 с.
10.Информационные системы. Табличная обработка информации / под ред. Е.П. Балашова, В.Б. Смолова. Л. : Энергоатомиздат,1985. 184 с.
11. Мухопад Ю.Ф. Микроэлектронные системы управления. Братск : БрГУ, 2009. 285 с.
12. Зубрицкий Э.В., Мухопад Ю.Ф., Бадмаева Т.С. Контроль электрических параметров аналого-цифровых схем автоматики // Автоматизированные системы контроля и управления на транспорте. Иркутск : ИрИИТ, 1999. С. 127-128.
13.А.с. 1087996 СССР. Устройство для программного управления с применением коммутатора / Ю.Ф. Мухопад, Т.С. Бадмаева. БИ 1984. № 15.
14. А.с. 714408 СССР. Адаптивный аналого-цифровой фильтр / Мухопад Ю.Ф., Кучина Е.М. Опубл. 10.02.1980, Бюл. № 5.
15. Barry Wilkinson. The essence of digital design. Prentice Hall, Europe, 1998. 318p.
16. Соловьев В.В., Климович А. Логическое проектирование цифровых систем на основе ПЛИС. М. : Горячая линия-Телеком, 2008. 374 с.
17. Закревский А.Д., Поттосин Ю.В., Черемисинова Л.Д. Основы логического проектирования. Кн.3. Проектирование устройств логического управления. Минск : ОИПИНАП Беларусь, 2004. 226 с.
18. Мухопад А.Ю. Теория управляющих автоматов технических систем реального времени. Новосибирск : Наука, 2015. 176 с.
19. Елисеев В.К. Формирование локальных сетей в АСУ // Вопросы радиоэлектроники. Сер.: ЭВТ. 1989. Вып. 10. С. 3-7.
УДК 681.31:620.179.14 Степанов Александр Леонидович,
к. т. н., доцент кафедры «Теоретическая электротехника и электрические машины»,
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет), тел. 8-961-824-00-04, e-mail: stepanovgmi@mail.ru Дорош Наталия Владимировна, к. т. н., доцент, кафедра «Медицинская информатика», Львовский национальный медицинский университет имени Данила Галицкого (ЛНМУ), Львов,
e-mail: nvdorosh54@mail.ru
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВИХРЕТОКОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ.
РЕШЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
A. L. Stepanov, N. V. Dorosh
MATHEMATICAL MODEL OF THE EDDY CURRENT PROBE. THE IMPLEMENTATION OF INDIVIDUAL TASKS
Аннотация. Работа посвящена созданию математического обеспечения САПР методов и средств неразрушающего вих-ретокового контроля материалов и изделий. Она содержит решение отдельных фрагментов построения универсальной математической модели вихретокового трансформаторного преобразователя линейно-протяженной формы, предназначенной для теоретического описания процесса контроля плоских многослойных проводящих объектов, в том числе:
а) определения и обоснование выражений, описывающих вектор-потенциал синусоидального квазистационарного электромагнитного поля, создаваемого с помощью обмотки возбуждения, и определяющих ЭДС, наводимую в измерительной обмотке этого преобразователя.
вычислительная техника и управление
б) определения зависимостей указанных параметров как теоретических выходных характеристик преобразователя:
- в виде модели из двух параллельных нитевидных двухпроводных линий (обмотка возбуждения и измерительная обмотка);
- в виде модели из двух попарных параллельных друг другу проводящих пластин линейно-протяженной формы с поперечным сечением в виде многоугольника или в виде гладкой фигуры (также обмотка возбуждения и измерительная обмотка);
в) разработана методика расчета характеристик таких моделей, которая дополнена методикой и алгоритмом расчета знаков слагаемых в выражениях, определяющих указанные параметры.
Полученные результаты позволяют обеспечить строгую обоснованность алгоритма расчета такой моделей и расширить ее функциональные возможности.
Ключевые слова: математическая модель, вихретоковый преобразователь, обмотка возбуждения, измерительная обмотка, вектор-потенциал поля, ЭДС.
Abstract. The work is dedicated to creating CAD software for methods and tools for eddy current non-destructive testing of materials and products. It contains the solution of individual fragments of building a universal mathematical model of linearly extended eddy current probe form, designed for plane multilayer conductive objects testing process theoretical description, including:
a). Identification and justification of expressions describing the vector potential of the quasi-stationary sinusoidal electromagnetic field generated by a drivo winding and determining the EMF induced in the measuring coil of the transducer.
b). Determining dependencies specified parameters as theoretical output drive characteristics:
- a model of two parallel thread-like two-wire lines (drive winding and measuring winding of eddy current probe);
- a model of two pairwise mutually parallel linearly elongated conductive plates with a polygonal or smooth cross section a (also drive winding and measuring winding of eddy current transducer).
c). The method of calculating the characteristics of these models complemented by the methodology and algorithm for calculating digits term in determining these parameters.
The results allow to provide strict validity of the algorithm for calculation of such models and to extend its functionality.
Keywords: mathematical model, eddy-current transducer, drive winding, measuring, taping, vector-potential fields, EMF.
Введение
Теоретический анализ и практическое осуществление методов и средств неразрушающего вихретокового контроля (ВТК) материалов и изделий основаны на предварительном создании математических моделей (ММ) такого процесса и последующем их использовании при автоматизированном проектировании условий и параметров этих методов и средств [1, 2].
Цель и задачи работы
Данная работа завершает проведенные исследования [3-6] и объединена с ними единой целью: создание ориентированной для САПР универсальной ММ трансформаторного накладного и погружного вихретокового преобразователя (ВТП) линейно-протяженной формы, предназначенной для автоматизированного проектирования методов и средств ВТК плоских многослойных проводящих объектов.
Ориентированностью для САПР любой ММ является обязательное наличие алгоритма ее расчета [2]. В данной статье приведены решения отдельных задач, которые не рассматривались в [3-6] и делают последующее выполнение алгоритма расчета этой модели математически строго обоснованным, однозначным, а также расширяют функциональные возможности указанной ММ:
I. Описать построение первоначальной ММ ВТП в виде нитевидных двухпроводных линий.
II. Создать методику определения знаков слагаемых в выражениях [5, 6], описывающих поле обмотки возбуждения (ОВ) и ЭДС измерительной обмотки (ИО) с поперечным сечением в виде многоугольника.
III. Расширить функциональные возможности ММ ВТП путем учета в одной модели расчет обмоток с поперечным сечением в виде гладкой фигуры [7].
Построение первоначальной ММ ВТП В литературе математические модели ВТП в виде нитевидной одно-, двухпроводной линии, нитевидного контура круглой или иной формы называют идеализированными [1 ]. По мнению авторов, это не совсем точно определяет степень реализации свойств ВТП в его ММ. Поскольку ММ любого уровня сложности и учета реальных свойств ВТП все равно является идеализированной, то название указанной модели «первоначальная (простейшая) ММ» яснее отражает её функциональные возможности.
Обоснуем расчетную базу рассмотренных моделей [5, 6]. Для этого построим первоначальную ММ ВТП, используя полученные результаты работы [4], в которой решена следующая задача. Нитевидная двухпроводная линия с синусоидальным током расположена в пустоте (термин «пустота» понимается в электротехническом смысле [8]) между многослойными проводящими полупространствами. Выражение, описывающее, в частности, результирующее квазистационарное синусоидальное электромагнитное поле вектор-потенциала в области пространства между проводящими средами, имеет вид [4]
М12 = ^ х
2X
-X|x-x I- jX y
-e
x2\-jX y2 F1 X(x-jyl )
X F
e
x
F 2 -Л (x+jy1) F 3 Л( x-jy2) F 4 - k(x+jy2)
Л F
■ + e Л F
+ e Л F
необходимо потребовать выполнения (4), после
'(1) чего (3) п
зимет вид (5).
где
F i =
F 2 =
Л
1-
V Н
sh(Ax1)+— Dm вСКЛ^)
. Н ,
Л
эЬЛ(/о - xi) +— D„ HChk(t0 - xi) Н 0
Л
D
/
Л
1--Dm
Но
lim
x^± да
lim
x^± да
да
í j
-да
да í j
sin Л (y - y )
sin k(y - У2)
dk
dk
= 0;
= 0.
(4)
— Al X-X
Л
F=—(Dn н + Dm в )Л(Л /0) Н0
1+
Л2
л
008
DD
2 _п н_m в
л(У - У)-e
-л x-x
008
Л(У-У2 )
sh(Л /0);
Л
dЛ . (5)
Интеграл (5) симметричен относительно X . - изображение по Фурье указанного вектора; Его можно видоизменить следующим образом:
х1; у , х2, у2 - координаты проводов линии А1 В1; I - комплекс действующего значения тока в про-
+да -Л| х-X I л / \
- e 1 1 cos Л(у - y )- e
- Л1 х-х.
■í
008
Л(У - У2)
Л
dЛ (6)
да - av - hv 1 2
e - e , h2 + m -cos mv dv = п
22 a + m
2 2
a + п
водах линии; t0 - расстояние между проводящими и вычислить как линейную комбинацию табличных средами; ц 0 - магнитная постоянная; X - параметр интеграл°в [Ш]: интегрального преобразования Фурье и
определяют с помощью формул, аналогичных формулам для и соответственно, в которых необходимо заменить х на х2. Постоянные интегрирования Отв и рассчитывают по известным рекуррентным выражениям [1]. Истинное значение для модуля векторного потенциала определяют, используя обратное преобразование Фурье [9]
í
да е-av 1 í-(cos mv - cos nv)dv = — ln
22 2 a + m
да g-av Q-hv да с av
I-cos mv dv-1-(cos mv-cos nv)dv =
v ^ v
0 v 0 v
1, h2+ m2
= -ln
-1ln
2 2 a2 + п
2 a2 + m2 2 a2 + m2
A(x, y) = — í A(k, x) • ejy • dk .
да -av -hv -i » 2 2 1 2 2
e cos nv - e cos mv 1 h+ да 1 , a+ п
í-dv = — ln —-г---ln —:--
í v 2 a2 + m2 2 a2 + m2
2л
В результате получим
1, h2 + m2 Vh
= — ln —-r- = ln
2 2
2 + m
■Ja2 + п2
a =1 н0 да -Лx-x +jk (y-У1) -Лx-x2 +jA (y-У2 ) e - e
Ad12 = 4л J да Л
F1 Л --L e Л F [x+j (y-y1)] F 2 -k[x-j (У-У1)] kFe -
F, л - e Л F x+j(y-y2)] F 4 - k[x- j(y-y2)] Л Fe dk. (2)
2 а2 + и2
Используя эти выражения для (6), представим его как величину вектор-потенциала первичного поля линии (первое слагаемое в (2)):
\2 , ( \2
A = A012 =
^0 2л
ln
V(x - x1)2 +(У - У1)2 ^
V(x - x2 )2 + (у - У2 )2
1k,
(7)
где 11,1],1к - орты правой прямоугольной декар-Выделим первое слагаемое в (2). В соответствии с товой системы координат Охуг .
По форме построения (7) полностью совпадает с выражением для вектор-потенциала поля би-филярной нити с постоянным током [11], что под-^. (3) тверждает корректность вышеприведенных преобразований.
формулой Эйлера eja = cos a + j sin a имеем
+да í
-Л x-x, . / N. -Л x-x. . / \
e 1 11 cos Л (у - y )+je 1 11 sin Л(у - y )
Л
e 1 x x2cos Л(у - y 2)+je
1 Л(У-У2)
Л
Остальные слагаемые в (2) определяют вно-
Электромагнитное поле создается токами, симый вектор-потенциал Авн12, описывающий
распределенными в пространстве с действитель- поле вихревых токов (создаваемое вихревыми то-ными координатами. Учитывая свойство коммута- ками, протекающими в проводящей среде) в обла-тивности и линейности преобразования Фурье [9], сти пространства между проводящими средами
(вторичное поле). Применяя к этим слагаемым
Л
x-x
e
л t
0
e
-Л x-x
2
e
да
2
e
X)
0
-да
вычислительная техника и управление
условия аналогичные (4) и (6), определим этот вектор:
А
Авн12 ^ J
2%
ЕеХ + Е2в~
X Е
-cos
Е3? + Ее'
X Е
-cos
х(У - У 2)
х(у -У1) -
йХ 1к.
(8)
Е2 = -./шД
й12
1к;
Е.
= 0;
Е,
= 0;
л л ^ л ^ л 1 л 1
И = Их 11+ Ну 1] ; Их =— гсЛ хАй12 =—
Мю Мю
5 Ай12 11
д у
Н у =—г^ уА й 12 =- —
М0 М0
дАй12 Г..
д х
Ох =£0 Ех;
В = МИ , (10)
где Е, И, О, В - вектора напряженности электрического и магнитного полей, вектора электрической и магнитной индукций соответственно.
В работе [12] приведены выражения, описывающие начальную (Е034), вносимую (Евн34) и результирующую (Ей 34) ЭДС, наводимые в другой нитевидной двухпроводной линии Л2 (хъуъ) В2 (х4У4 ) на единице ее длины (измерительная обмотка (ИО)), расположенной параллельно линии А1(х у1) В1(х2 у2). Выражения (7)-(10), описывающие поле линии А В и приведенные в [12], описывающие ЭДС, наводимую в линии Л2 В2, составляют основу первоначальной (простейшей) ММ трансформаторного ВТП с обмотками линейно-протяженной формы для моделирования ВТК плоских проводящих сред.
Расширение функциональных возможностей ММ ВТП В качестве наиболее общей (универсальной и более совершенной) взята ММ ВТП с линейно-протяженными обмотками и с поперечным сечением в форме многоугольника (в общем случае произвольного). Тогда все выходные характеристики такого
ВТП определит интегрирование по площади поперечного сечения многоугольника соответствующих выражений для первоначальной ММ. Известно [5], что интегрирование формул типа (7), (8) по площади поперечного сечения (выпуклый многоугольник) с целью определения параметров А^к , Апк, Еок, ЕвЛ позволяет получить выражения
Выражение (8) по форме построения также подобно известному решению задачи о нити с переменным током вблизи проводящей пластины [11]. Результирующее поле в области пространства между проводящими средами можно описать с помощью вектор-потенциала Ай 12 .
Ай12 = А012 + Авн12 . (9)
Также это поле можно описать с использованием других векторов:
вида
) Апй , (Е0к
)Евнк ) =
: Ц 4)12 , (ААвн12; I ЦЕ034 , (Евн34)й^йХ 51 V 5 2
п
= ЕЕ^ах.! ,
(11)
где Ак, А к, Е0к, к - соответственно параметры ОВ и ИО линейно-протяженной формы, которые имеют площадь поперечного сечения в виде указанного многоугольника; ЕЕ - первообразная после вторичного интегрирования выражения, описывающего аА012 Аънй2, Е034, Евн34 для первоначальной ММ ВТП; ,, х ■ , - максимальная и ми-
^ ШаХ.,1 ' тш.,(
нимальная координата вершин многоугольника, ограничивающих его ; -ю сторону; п - число сторон многоугольника, соответствующего каждой половине обмотки.
Для определения знаков слагаемых в (11) разработана методика, пригодная и для ОВ, и для ИО, использующая особенности расположения указанного многоугольника на плоскости Оху (рис. 1):
1. Возможно расположение многоугольника (например, поперечное сечение правой половины ОВ (координатам присвоен индекс 2)), когда одна его вершина имеет максимальное значение координаты х (В1(х21 = хшах ; у21)) и только одна
его вершина имеет минимальное значение этой координаты (Вг-1(х2,г-1 = хшШ.;у2,г-1)) (рис. 1, а).
Опустим из произвольной вершины В перпендикуляр на ОН . Уравнение прямой ОН и координаты основания перпендикуляра ВгВ"
можно определить известными выражениями [9]. Рассмотрим условия для вершин: • если для координат соседних вершин справедливы соотношения у2г >у^г и у2 г+1 >у£ г-+1
(например, для В 2 и В 3) или у2г = у^г
и 1>у"г+1 (например, для В и В), или
у2/ ^ и у2,¿+1 = у",;+1 ^^^^ для В;-2 иВ,-1 ),
СО
0
1 =1
то перед соответствующим слагаемым в (11) ставится сомножитель (+1);
• если справедливы с соотношения
у 2; = у5; и у2,;+1 < уЪ +1 ^р™^ для В- Н В. X
] е{2,3,..., п -1}, тогда сомножители при первых п -1 слагаемых в (11) равны (+1), последнего -(-1);
• если (рис. ^ в) х21=хшах.;х22=хш,п. и пРи ЭТ°м
11 у 21 =уп1; у 22 = У 22 , а также У2, ; 7e{3,4,..., п} ,
и В), или у2! <у2пгиух,+1 = у2пг+1 (например, для тогда сомножитель первого слагаемого - (+ 1),
остальные - (-1).
3. Возможна ориентация многоугольника, когда координата х двух его вершин одинакова
или Ути < Ун и У2,i+1 < У,
(например, для Ви-1
Вп и B), то перед соответствующим слагаемым в (11) ставится сомножитель (-1).
2. Возможна ориентация многоугольника, когда прямая GH совпадает с одной из сторон (рис. 1, б, в). При этом:
• если (рисЛ , б) Х21 = Xmax. ; X2n = xmin. и .ри этом
X "f i — X ")
(рис. 1, г). В этом случае координатам
У21 = У ni; Утп = y.n =
также
у 2j ^ y\j;
вершины В присваивают значения
поскольку из рассматриваемых двух вершин Б и Б 2 она имеет большее значение координаты у.
Рис. 1. Возможные схемы расположения вершин многоугольника в поперечном сечении обмотки
Х21 = Хmax. ; У21
а
вычислительная техника и управление
Тогда коэффициенты для первых п -1 слагаемых в выражении (11) определяются указанным в условиях 1 и 2 способом, а коэффициент для последнего слагаемого будет равен нулю, т. к. оно представляет определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования. Другие возможные виды ориентации многоугольника не вносят ничего нового в закономерность определения знаков слагаемых в (11).
Условия 1-3 обеспечивают однозначное определение знаков слагаемых в (11) и совместно с результатами, полученными в [5,6], позволяют
рассчитать параметры Аак, Д^, Ёок, Ёъик ОВ и ИО.
В работах [5, 6] в качестве формы поперечного сечения обмоток рассматривается простой плоский выпуклый многоугольник как одномерный, так и двумерный (терминология многоугольника общепринята [13]). Если многоугольник не является выпуклым, то определяют координаты вершины двух смежных его сторон, нарушающих выпуклость многоугольника. После этого диагональю, проходящей через эту вершину, многоугольник делят на два выпуклых и т. д.
Разработана методика расчета параметров
А0к , Л к , Е0к, Ёш к для ММ обмоток с поперечным сечением в виде гладкой фигуры (эллипса, круга и т.п.), позволяющая унифицировать методику и алгоритм расчета указанных параметров. Она основана на замене указанной гладкой фигуры эквивалентным многоугольником (рис. 2) с последующим алгоритмом расчета А0/с , АМк , Бок, к как для модели с поперечным сечением в виде многоугольника. В системе координат Ох "у", связанной с половиной обмотки уравнение эллипса известно:
,» 2
."2
■ + -
у
— 1.
у"- у'ю = (х"- х; г)
(13)
х№
Рис. 2. Схема, поясняющая возможность замены обмотки с поперечным сечением в виде эллипса на многоугольник
где
бх"
2;; и-2
,+1 )2 ,/1-х7тссвд^
/ 49'/ 49- 1. (12)
((М1;,+1у2)2 ((М4Нп-2У2)2
Большую ось эллипса на четное число отрезков симметрично относительно оси у" (точки 1—7). Для каждой точки на эллипсе, полученной в результате деления его оси (точки N , N 2, N3,..., N ,..., Nп) определяют её координату у;, из (12) по установленной координате х""г точками
деления. Используя уравнение касательной к точке N , как касательной к точке плоской кривой [9]
определяют ориентацию прямых N^2, ^^ и т. д. для каждой точки N, (, е {1,2,3, и}). Решая систему двух линейных уравнений типа (13), определяющих касательные соседних точек деления эллипса (например, N, и на рис. 2), рассчитывают координаты точки их пересечения, как вершины предполагаемого многоугольника, описывающего эллипс (точка В (х"ы у") на рис. 2).
Зная координаты вершин, определяют площади многоугольника ^ и эллипса 5эл [9]. После чего определяют погрешность замены эллипса многоугольником, которую сравнивают с предварительно заданной величиной
8 = 1(51 - ^Эл )/ 5эл| .
При необходимости процесс вычислений повторяют, вдвое увеличивая число разбиений оси эллипса.
Заключение и выводы по работе
Таким образом, в данной работе:
- с учетом результатов работы [12] построена и строго обоснована первоначальная ММ ВТП в
х
х —х
N,
х —х
N1
виде двух двухпроводных нитевидных линий, помещенных между многослойными проводящими полупространствами, которая является
математической основой для разработки более сложных ММ ВТП;
- разработаны методика и алгоритм расчета выходных характеристик более сложной ММ ВТП в виде попарных параллельных линейно-протяженных проводящих пластин с поперечным сечением в виде многоугольника или в виде гладкой фигуры.
Решение задач, поставленных в данной работе, совместно с результатами, полученными в работах [5, 6, 12], позволяет однозначно и объективно построить алгоритм расчета универсальной ММ трансформаторного ВТП для ВТК плоских проводящих сред и расширить ее функциональные возможности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Герасимов В.Г., Клюев В.В., Шатерников В.Е. Методы и приборы электромагнитного контроля. - М.: издательский дом «Спектр», 2010. -256 с.
2. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. - М.: Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2002. - 336 с.
3. Степанов А.Л. Ориентированная для САПР универсальная ММ ВТК плоских проводящих сред. Часть 1. Постановка вспомогательной задачи. Труды СКГМИ (ГТУ). Выпуск двадцать первый. Владикавказ, 2014. С. 103-111.
4. Степанов А.Л., Дедегкаев А.Г. Ориентированная для САПР универсальная ММ ВТК плоских проводящих сред. Часть 2. Решение задач для
построения ММ. Труды СКГМИ (ГТУ). Выпуск двадцать первый, Владикавказ, 2014. С. 112-122.
5. Дедегкаев А.Г., Степанов А.Л. Ориентированная для САПР универсальная ММ вихретоко-вого преобразователя. Часть 1. Результирующее поле обмотки возбуждения. ВЕСТНИК Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №1 (т. 36), 2015 С.70-78.
6. Степанов А.Л., Воронин П.А. Математическая модель линейно-протяженного вихретокового преобразователя для контроля плоских многослойных проводящих сред. Деп. в ВИНИТИ 06.08.97. № 2619-В97.
7. Никольский С.М. Курс математического анализа. т. 1. - М.: Наука, 1983. - 461 с.
8. Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. Т.1. - М.: Энергоиздат,
1981. - 536 с.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1974. - 832 с.
10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.
11. Штафль М. Электродинамические задачи в электрических машинах и трансформаторах. -М.-Л.: Энергия, 1966. - 200 с.
12. Степанов А.Л., Дедегкаев А.Г. Математическая модель вихретокового преобразователя. ЭДС измерительных обмоток. Труды СКГМИ (ГТУ). Выпуск двадцать второй, 2015. С. 22-31.
13. Математическая энциклопедия / Под ред. И.М. Виноградова. - М.: Советская энциклопедия,
1982, т.3. - 592 с.
УДК 519.715 Кедрин Виктор Сергеевич,
к. т. н., доцент, Иркутский государственный университет, тел. (3952) 24-22-14, 24-22-28, e-mail: kedrinvs@mail.ru Кузьмин Олег Викторович, д. ф.-м. н., профессор, Иркутский государственный университет, тел. (3952) 24-22-14, 24-22-28, e-mail: quzminov@mail.ru
Хоменко Андрей Павлович, д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел./факс 8(3952)63-83-11, e-mail: homenko@irgups.ru
СТРУКТУРНАЯ ОЦЕНКА СИНГУЛЯРНОГО СПЕКТРА В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
V. S. Kedrin, O. V. Kuzmin, A. P. Khomenko
STRUCTURAL EVALUATION OF THE SINGULAR SPECTRUM IN TASKS OF DISCRETE SEQUENCES MODELS DYNAMICS ANALYSIS
Аннотация. В данной работе, относящейся к области разработки методов и алгоритмов решения задач системного анализа и обработки информации, предложена модификация аппарата сингулярного разложения матрицы развертки для графического анализа структуры сложной динамики моделей дискретных последовательностей. Разработаны критерии и методы
