МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕРОЯТНОСТИ ЗАХВАТА СТЕРЖНЕВЫХ ЗАГОТОВОК В ФОРМЕ КОЛПАЧКА В БУНКЕРНОМ ЗАГРУЗОЧНОМ УСТРОЙСТВЕ С ЗУБЬЯМИ И РЕГУЛИРУЕМЫМ ОРИЕНТАТОРОМ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНЫ, АГРЕГАТЫ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

УДК 621.9.06-52

БО!: 10.24412/2071-6168-2024-8-3-4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕРОЯТНОСТИ ЗАХВАТА СТЕРЖНЕВЫХ ЗАГОТОВОК В ФОРМЕ КОЛПАЧКА В БУНКЕРНОМ ЗАГРУЗОЧНОМ УСТРОЙСТВЕ С ЗУБЬЯМИ И РЕГУЛИРУЕМЫМ ОРИЕНТАТОРОМ

С.А. Лукин

В статье представлены разработанные математические модели вероятности захвата стержневых заготовок в форме колпачка в усовершенствованном универсальном бункерном загрузочном устройстве с зубьями и регулируемым ориентатором в виде кольцевого сектора для описания его фактической производительности, а также результаты математического моделирования вероятности захвата и его производительности на примере заготовок со сферическим торцом в форме колпачка.

Ключевые слова: автоматическая загрузка, бункерное загрузочное устройство с зубьями и регулируемым ориентатором, заготовки в форме колпачка, вероятность захвата, производительность.

Проектирование механических дисковых бункерных загрузочных устройств [БЗУ] должно способствовать реализации загрузки различных по форме и размерам заготовок в форме колпачка с возможностью быстрой переналадки с одного типаразмера на другой, обеспечению надежного функционирования БЗУ при ориентировании заготовок, повышению вероятности захвата заготовок карманами БЗУ с целью повышения его производительности. В связи с этим для ориентирования стержневых цилиндрических заготовок в форме колпачка с целью их дальнейшей подачи в технологическое оборудование было предложено универсальное БЗУ с зубьями и регулируемым ориентатором, выполненным в форме кольцевого сектора и расположенным в пазу неподвижного основания [1].

Математическую модель производительности усовершенствованного универсального БЗУ с зубьями и регулируемым ориентатором, выполненным в виде кольцевого сектора будем строить на основе изложенной в работах [2 - 4] концепции, подтвержденной результатами экспериментальных исследований концепции и ранее применяемой при моделировании производительности и других типов механических дисковых БЗУ [5 - 14]. В основе данной концепции заложены основы теории вероятностей, которая позволяет описать принципы захвата единичной заготовки из общей массы.

Модель производительности универсального БЗУ с зубьями и регулируемым ориентатором будем искать в виде выражения

( л \

60и

П = ~Р(Рс

1 —

пред

(1)

Вероятность р^ будет определена из условий, при которых будет обеспечен захват заготовок в форме колпачка в требуемом положении. В универсальном БЗУ с зубьями и регулируемым ориентатором захват заготовок карманами, расположенными между зубьями, должен осуществляться их закрытым основанием (дном). Для создания благоприятного для захвата положения заготовки сначала западают в расположенные с шагом t на вращающемся диске радиальные пазы, а из них - в карманы.

На рис. 1 представлены расчетные схемы для определения вероятностей нахождения на поверхности вращающегося диска засыпанных в БЗУ различных заготовок в форме колпачка на каждой из их основных поверхностей - ! (наибольший по диаметру торец - вероятность рI), !! (наименьший по диаметру торец - вероятность рд), !!!

(боковая цилиндрическая поверхность - вероятность Р!!! ).

Определим с помощью рис. 1 вероятности р!, рд и рщ . Получим для представленных на рис. 1 заготовок в форме колпачка выражения:

1 I — хс - для заготовок (см. рис. 1, а, б, в); (2)

р! =

2 2у](! — хс )2 + 0,25^4

Р! =-

- для заготовки (см. рис. 1, г);

(3)

2^(1 — хс )2 + 0,25й^

1

2

p _ 1__xc l + ¡1_- для заготовки (см. рис. 1, а);

2 xc -1 + /1)2 + 0,25d/

PII _■ PII _ PII _

1

2yl x2 + 0,25d4

- для заготовки (см. рис. 1, б);

xc Ид

для заготовки (см. рис. 1, в);

xc - для заготовки (см. рис. 1, г);

2<Jx* + 0,25 dl

PlII _ 1 - (pi + pH) - для всех заготовок (см. рис. 1),

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

где Ид и /д - геометрические размеры дна заготовки (см. рис. 1, в); /у - геометрические размеры некоторого участка

д д

боковой поверхности заготовки (см. рис. 1, а, в, г).

у

w Л1

_ r[7\

Ю

и

а б в г

Рис. 1. Расчетные схемы к нахождению вероятностей p^, рц и рщ для различных заготовок

в форме колпачка для патронов спортивно-охотничьих: а - полуфабрикат гильзы до обрезки; б - полуфабрикат гильзы после обрезки; в - оболочка пули; г - гильза

Захват карманов засыпанных в БЗУ заготовок их дном возможен или сразу поверхностью I, или в результате поворота оказавшейся своей боковой поверхностью III заготовки на дне вращающегося диска к карману поверхностью I. В связи с этим определяем вероятности p■ и п. , которые показывают распределение вероятности

'max 'min

p. по всех органам захвата, находящимся на периферии, где заготовки располагаются соответственно одним слоем и несколькими слоями.

В соответствии с работой [3] получим выражение для вероятности p. после выполнения некоторых

'max

преобразований:

для заготовки, представленной на рис. 1, а:

(

pi _ pii +

'max

piii

arccos

xc - l + ¡1

,/(xc -1 +11)2 + 0,25dl4

- arcsrn-

аб

для заготовки, представленной на рис. 1, б:

f

pi _ pii + 'max

piii

arccos

Vxc2 + 0,25d2

- arcsin-

для заготовки, представленной на рис. 1, в:

(

p _ pii + 'max

pin

П

arccos

xc \

xc - Ид )2 + 0,25l_4

а б

-arcsrn-

аб

(9)

(10)

для заготовки, представленной на рис. 1, г:

(

Pi = PII +

'max

PIII

arccos

V 4xc

Jxc2 + 0,25ö?14

- arcsin -

a б

(12)

где в зависимости от вида заготовок вероятность рц, определяется по одной из формул (4) - (7), вероятность рщ -

по формуле (8) в зависимости от вероятности рц и вероятности pi, определяемой формулой (2) или (3).

Вероятность р. для всех представленных на рис. 1 заготовок будет определяться по формуле: min

Pimin = PII + Pi * (13)

где ф = у — ß - угол отклонения заготовок от направляющей поверхности радиального паза, переходящего в карман, обусловленный его шириной, способствующий захвату, углы у и ß определяются из расчетных схем (рис. 2).

в г

Рис. 2. Расчетные схемы к нахождению углов у и в для заготовок в форме колпачка: а - полуфабрикат гильзы до обрезки; б - полуфабрикат гильзы после обрезки; в - оболочка пуль; г - гильза

С помощью расчетных схем получим: - для заготовок рис. 2, а, б:

Pii

- для заготовки рис. 2, в:

Pi ■ = ^

min 2п

- для заготовки рис. 2, г:

piii

min 2п

(

1 I-

vd2 +12

arcsin

Ч

Vd2+(/—/1)2

— arcsin

di Л

yjdi +

di Л

л/di2 + (/ —li)2 J

Pi. = ^ min 2n

arcsin

^d2 +/2

— arcsin

д/d2 + /2

(14)

(15)

(16)

Зона захвата заготовок в универсальном БЗУ с зубьями и регулируемым ориентатором определиться по формуле, представленной в работе [3]:

фзахв = 2arccos

• Г~- 2 • 2 2

|a-sin2a5 + ||/sin 2ag —4sin ag-(1 + | )-cos2a5

(17)

2 2 2sin aQ -(1 + | )

Число заготовок, которое может разместиться в зоне захвата по периферии вращающегося диска

. пДФзахв , (18)

k = -

180d1

5

б

а

где R - радиус вращающегося диска БЗУ по оси расположения кармана.

Вероятность pj, входящая в выражение (1), будет определяться формулой (19) [3], коэффициенты которой будут определяться формулами (2) - (18):

Pi = 1 -(1 - Pi )3 (1 - Pi-f ■ (19)

' \ 'max / \ 'mm !

Подставив в формулу (19) выражения (9) - (16), получим для каждого вида рассмотренных заготовок выражения для вычисления вероятности pj:

для заготовки, представленной на рис. 1, а:

(

Pi = 1 -

1 -

(

1 P Рш

1 - pII--

п

Л

arccos

xc -1 + /1

V

1 • Ц

, - arcsin—

xc -1 + /1)2 + 0,25 jf аб

у у

Рш 2п

d1

^Фз,

arcsin

, - arcsin .

Vd2+1 Vd2+1

180d1

уу

для заготовки, представленной на рис. 1, б:

f f

Pi = 1 -

1 -

1 P PnI

1 - PII--

п

arccos

yjx2 + 0,25d^

- arcsin

PIII 2п

d1

аб

уу

^Фзахв

arcsin

, - arcsin .

7d12 + /12 VJ12 + lf

180 d

у

для заготовки, представленной на рис. 1, в: f f

Pi = 1 -

1 P PIII

1 - PII--

п

arccos

xc Ад

- arcsin—

4 аб

УУ

1-

PIII 2п

d

АЛ

arcsin

,-- arcsin- ,-

Vd2 + (l - /1)2 Vd2 + (l - /1)2

пRфзaх: 180d1

УУ

для заготовки, представленной на рис. 1, г: f f

Pi=1 -

1 P Pm

1 - Pii--

п

arccos

, - arcsin—

Vxc2 + 0,25df а б

1-

PIII 2п

arcsin

л/d2 +12

- arcsin

d1

yy

^Фзахв

Л Л 180j

+12

у у

(20)

(21)

(22)

(23)

Вероятность рс в математической модели вероятности захвата позволяет учесть влияние на производительность БЗУ взаимосцепляемости заготовок при захвате и определяется по выражению:

2

Pc =1 -

1

^•и Fii=1

х( F1 +F2)i

(24)

2

где И - количество образующих заготовку поверхностей и число п их сочетаний [15]; ^ - площади всех образующих заготовку поверхностей; ^ ^, ^ ^ - углы возможного поворота двух соприкасающихся поверхностей с площадями и без отрыва друг от друга по плоскостям соответственно х и у.

На рис. 3 представлены все возможные сочетания поверхностей некоторых видов заготовок в форме колпачка друг с другом.

Заготовки (см. рис. 3, а, б) имеют по п = 3 поверхности, поэтому возможно 9 их сочетаний. Для заготовки (рис. 3, в) сочетания всех поверхностей с боковыми цилиндрической диаметра и конической, образованной переходом торца большего диаметра на меньший, поверхностями являются неустойчивыми, поэтому примем ее боковую поверхность единой, имеющей длину / — /1 (см. рис. 1. г).

Формулы площадей всех поверхностей некоторых стержневых заготовок в форме колпачка показаны в табл. (г - радиус сферического торца заготовки, представленной на рис. 3, а; /2 - длина цилиндрического торца с меньшим диаметром заготовки, представленной на рис. 3, в).

1 2

1 2

1 2

V

4 5

f

Т cü cü

II-II П-I II-III I-II I-I I-III III-II rrr-I III-III

а

4 5

6 7

1=S Д

1-П I-I I-III III-II III-I III-III

б

4 5

=i Я

6 7

cX U

tr

и

er

:i n:

I

II-II II-l II-III I-II I-I I-III III-II III-I III-III

в

Рис. 3. Возможные сочетания поверхностей трех видов заготовок: полуфабрикаты гильзы до обрезки (а) и после обрезки (б), гильза (в)

Площади поверхностей заготовок в форме колпачка

Поверхность заготовки

Вид заготовки

Fi = 0,25nd1

Fn = 2пгИд

FII = 0,25nd2

III

Fn =ndi(l — Ид)

Fn = nd1l

Fn = ndi (/ — /1) + nd2/2 + + 0,5n(di + d2) x

*V (/1 — /2)2 + (0,5di)2

I

II

Углы ^ х ■ и Е,у! возможного поворота двух соприкасающихся поверхностей заготовок определяются через коэффициенты трения между ними, что позволяет заменить в формуле (24):

^/й + =\!аг^ап2 + агйап2 .

7

Тогда преобразуем полученное выражение для каждого из 9 сочетаний, приведенных на рис. 3 заготовок, в результате чего получим выражения для оценки данного параметра. Тогда, для полуфабриката гильзы до обрезки

положения

5 - аге^ап цз\/2;

для поло-

(см. рис. 3, а) получим: для положений 1, 2, 3, 4, 7, 9 - + = 0, для

жений 6, 8 - аго1ап Дз; где ^ - коэффициент трения между соприкасающимися поверхностями заготовки. Для полуфабриката гильзы после обрезки (см. рис. 3, б) и гильзы (см. рис. 3, в) получим: для положений 1, 2, 4, 5 -

= агйапцзл/2; ДОя положений 3 6, " 8 - + = агйапдз; ДОя положения 9 -

+ ^^Уу = 0, где Дз - коэффициент трения между соприкасающимися поверхностями заготовки.

Подставив полученные формулы в выражение (24), получим: - для полуфабриката гильзы до обрезки (см. рис. 3, а):

аге1ап дз • л/2 • 0,5 + 2гЪд + (/ - Ъд)

Рс =1-

• (0,25^2 + 2гЪд + ¿1(/ -Ъд))

для полуфабриката гильзы после обрезки (см. рис. 3, б):

аг^ап дз

Рс =1--

для гильзы (см. рис. 3, в):

аге1ап дз

л/ЭД2 + с%) + 0,5 + 0,5 ^2 + Щ

(25)

(26)

Рс =1

п • (0,25^2 + 0,25^-2 + ¿1/)

л/2(^2 + ¿2) + 0,5^2 + 0,5 + 4^(/ - /1) +

+4^2 + 2(^ + ^2^(/1 - /2)2 + (0,5й?1)2)

(27)

п • (0,25^2 + 0,25^2 + (/ - /1) + ¿2/2 + +0,5(^1 + ¿2)у1(/1 - /2)2 + (0,5^1 )2)

Предельное значение окружной скорости ипред , входящая в выражение (1) для БЗУ с зубьями определя-

прсд

ется по формуле:

пред

: 81п аб

¿1

0,5Ъз + Ък - 0,5

¿1

(28)

*з 1 1 з у

где Ъз - толщина зубьев универсального БЗУ [16].

Математическая модель вероятности захвата в зависимости от типа заготовок описывает производительность универсального БЗУ с помощью полученных выражений (1) - (28).

В качестве примера проведем исследования, что именно наибольшим образом влияет на вероятность захвата и производительность универсального БЗУ для заготовок со сферическим торцом в форме колпачка (см. рис. 1, а):

П =

60и

(

1 -

(

1 Р рШ

1 - р11--

%

агеео8

хс - / + /1

3

, -- аго81п —

д/(хс - / + /1)2 + 0,25^4 аб

1-

РШ 2п

й1

лйфзахв

ЛЛ 180^,

аго81п

- аго81п-

УУ

1-

аге1ап дз

^2 +1 ^14+1

л/2 • 0,5 ¿2 + 2гЪд + 2й1(1 - Ъд)

9^2 • (0,25^2 + 2гЪд + ¿1 (/ - Ъд))

х {1 --

^1п аб ¿1

0,5Ъз + Ък - 0,5

ъз

X

4

и

На рис. 4 представлены зависимости вероятности захвата и производительности универсального БЗУ при различных соотношениях координаты центра масс к длине заготовки хс / / = 0,4; 0,3; 0,2 и значениях коэффициента

трения д = 0,2; 0,3; 0,4; 0,5-Параметры заготовки и БЗУ: ^ = 10 мм, / = 2^, /1 = 0,9/, г = 0,5^, дз = 0,5, Я = 200 мм, аб = 45°, Ик = 1,2 -

Рис. 4. Графики зависимости вероятности захвата и производительности (шт./мин) универсального БЗУ от окружной скорости захватывающих органов (м/с) при различных соотношениях координаты центра масс к длине заготовки xc /1 = 0,4; 0,3; 0,2 и значениях коэффициента трения: а - 0,2; б - 0,3; в - 0,4; г - 0,5

На вероятность захвата заготовок в универсальном БЗУ и его производительность наибольшее влияние оказывают коэффициент трения и положение координат центра масс. Разработанные математические модели позволят определить численные значения вероятности захвата и производительности БЗУ и оценить, что на них влияет в наибольшей степени, чтобы скорректировать эти значения - повысить или понизить эти значения в соответствии с производственной необходимостью.

Список литературы

1. Лукин, С.А. Разработка и математическое моделирование конструктивных ограничений на органы захвата и ориентирования бункерного загрузочного устройства с зубьями и регулируемым ориентатором / С.А. Лукин, Е.В. Пантюхина // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2024. № 7. С. 98-103.

2. Пантюхина, Е.В. Методология комплексного подхода для оценки производительности механических дисковых бункерных загрузочных устройств / Е.В. Пантюхина // Материалы IV Международной научно-технической конференции в г. Омск; науч. ред. П.Д. Балакин. 2020. С. 380-388.

3. Васин, С. А. Методика определения вероятности захвата асимметричных деталей формы тел вращения в дисковых бункерных загрузочно-ориентирующих устройствах / С.А. Васин, Е.В. Пантюхина // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2023. № 3. С. 64-88.

4. Pantyukhina E.V. Integrated approach methodology for evaluating the feed rate of mechanical disk hopperfeeding devices // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1546 (2020) 012024. DOI: 10.1088/17426596/1546/1/012024.

5. Пантюхина, Е.В. Результаты моделирования производительности бункерного загрузочного устройства с радиальными карманами / Е.В. Пантюхина, И.В. Пузиков // В сборнике: Вестник Тульского государственного университета. Автоматизация: проблемы, идеи, решения. Сборник научных трудов Национальной научно-технической конференции с международным участием. Тула, 2023. С. 115-122.

6. Пантюхина, Е.В. Результаты теоретического и экспериментального исследования вертикального бункерного загрузочного устройства с роликами для плоских и близких к равноразмерным деталям с неявной асимметрией / Е.В. Пантюхина, В.В. Прейс, И.В. Пузиков, Э.В. Дьякова // Проблемы машиноведения: материалы V Международной научно-технической конференции. Омск, 2021. С. 377-386.

7. Pantyukhina E.V., Preis V.V., Puzikov I.V., Dyakova E.V. Results of a theoretical and experimental research of a vertical hopper feeding device with rollers for flat and close-to-equal-sized parts with implicit asymmetry. IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conference Series. 2021 1901 (2021) 012017 D0I:10.1088/1742-6596/1901/1/012017.

8. Pantyukhina E.V., Puzikov I.V., Erzin O.A. Scientific basis of design of automatic hopper feeding device for three-piece caps // Lecture Notes in Mechanical Engineering: Proceedings of the 9th International Conference on Industrial Engineering (ICIE 2023), Sochi, Russia, 2023, Р. 661-670.

9. Давыдова, Е.В. Математическая модель производительности дискового бункерного загрузочного устройства с тангенциальными профильными гнездами / Е.В. Давыдова, В.В. Прейс, К.Н. Провоторова // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2014. №10. С. 7-10.

10. Пантюхина, Е.В. Математическая модель производительности бункерного загрузочного устройства с тангенциальными карманами и гребенкой / Е.В. Пантюхина, В.В. Прейс // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2021. № 8. С. 372-378.

11. Давыдова, Е.В. Развитие теории производительности механических дисковых бункерных загрузочных устройств / Е.В. Давыдова, В.В. Прейс // Производительность и надежность технологических систем в машиностроении: сб. науч. трудов Международной научно-техн. конференции, посвященной 85-летию со дня рождения д-ра техн. наук, проф. Волчкевича Л.И., 20-23 мая 2015 года в г. Москве, МГТУ им. Н.Э. Баумана; под науч. ред. В.В. Прейса и И.Л. Волчкевича. М.; Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. С. 88-92.

12. Давыдова, Е.В. Математическая модель производительности вертикального бункерного загрузочного устройства для плоских асимметричных предметов обработки / Е.В. Давыдова, В.В. Прейс, А.В. Чурочкин // Машиностроение и техносфера XXI века: материалы XXIII Международной научно-технической конференции. 2016. С. 9194.

13. Пантюхина, Е.В. Теоретическое исследование производительности механического дискового бункерного загрузочного устройства с тангенциальными карманами для элементов патронов стрелкового оружия / Е.В. Пан-тюхина // Будущее машиностроения России: сборник докладов: в 2 т. / Союз машиностроителей России, Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет). 2020. Т.2. С. 12-15.

14. Pantyukhina E.V., Preis V.V., Khachaturian A.V. Feed rate evaluation of mechanical toothed hopper-feeding device with ring orientator for parts, asymmetric at the ends // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1260. 2019. Р. 032032.

15. Pantyukhina E. V., Puzikov I. V., Erzin O.A. Scientific basis of design of automatic hopper feeding device for three-piece caps // Lecture Notes in Mechanical Engineering: Proceedings of the 9th International Conference on Industrial Engineering (ICIE 2023), Sochi, Russia, 2023, Р. 661-670.

16. Васин, С.А. Теоретическое и экспериментальное исследование производительности зубчатого бункерного загрузочно-ориентирующего устройства для асимметричных деталей тел вращения / С.А. Васин, С.Н. Шевченко, Е.В. Пантюхина, С.А. Лукин // Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 26, № 1, 2024. С. 63-69.

Лукин Сергей Анатольевич, генеральный директор, tpz@tulammo. ru, Россия, Тула, АО «Тульский патронный завод»

MATHEMATICAL MODEL OF PROBABILITY OF GRIPPING ROD BLANKS IN FORM OF CAP IN HOPPER FEEDER

WITH TEETH AND ADJUSTABLE ORIENTATOR

S.A. Lukin

The article presents developed mathematical models ofprobability of gripping of rod blanks in the form of a cap in an improved universal hopper feeding device with teeth and an adjustable orientator in the form of an annular sector to describe its actual feed rate, as well as the results of mathematical modeling ofgripping probability and its feed rate using the example of blanks with a spherical end in the form of a cap.

Key words: automatic feeding, hopper feeding device with teeth and adjustable orientator, blanks in the form of a cap, probability of capture, feed rate.

Lukin Sergey Anatolyevich, general director, tpz@tulammo. ru, Russia, Tula, Joint Stock Company «Tula Cartridge

Plant»