ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Научная статья УДК 534.2
doi: 10.18522/1026-2237-2024-3-15-24
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ФОРМЫ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПО ДИАГРАММЕ РАССЕЯНИЯ
ЗВУКОВОГО ПОЛЯ
Наталия Кристиановна Мусатова
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия musatova.nataliasfedu.ru@gmail.com
Аннотация. Строится математическая модель для обратной задачи восстановления формы и размера простейшей модели беспилотного летательного аппарата на основе акустического следа, который он оставляет. В целях упрощения расчетов в качестве возможных моделей исследуемых объектов для численных экспериментов выбраны четыре простейшие двумерные геометрические формы -окружность, эллипс, квадрат и четырехлепестная роза. Входные данные - диаграммы рассеяния звукового поля для каждого исследуемого контура, взятые из решения прямой задачи дифракции. Строится функционал невязки в виде разности между истинными данными о рассеянном звуковом поле, известными из условия задачи и полученными полуаналитическим методом с помощью использования метода граничных интегральных уравнений и интегрального уравнения Фредгольма второго рода при решении прямой задачи дифракции. Минимизация данного функционала приводит к решению обратной задачи дифракции. После дискретизации граничной кривой задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, из которой находится функция, численно описывающая форму объекта.
Ключевые слова: аэроакустика, беспилотный летательный аппарат, обратная задача дифракции, метод граничных интегральных уравнений, метод градиентного спуска
Для цитирования: Мусатова Н.К. Математическая модель в задаче идентификации формы летательного аппарата по диаграмме рассеяния звукового поля // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 3. С. 15-24.
Благодарности: автор выражает признательность своему научному руководителю, профессору ЮФУ М.А. Сумбатяну за постановку задачи и обсуждение полученных результатов.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article
A MATHEMATICAL MODEL IN THE PROBLEM OF AIRCRAFT SHAPE IDENTIFICATION BASED ON A SOUND FIELD SCATTERED DIAGRAM
Natalia K. Musatova
Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia musatova.nataliasfedu.ru@gmail.com
Abstract. This paper proposes a mathematical model to solve an inverse problem reconstructing the shape and size of possible models of an unmanned aerial vehicle based on its acoustic trail. To simplify the calculations, four two-dimensional simplest geometric shapes were chosen for numerical experiments - a circle, an
© Мусатова Н.К., 2024
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
ellipse, a square and a four-petal rose. The scattering diagrams of the sound field, as a solution to direct diffraction problem for each contour, were taken as the input data. A residual functional is constructed as a difference between the true data of the scattered sound field and the data obtained using the semi-analytical boundary integral equation method and the Fredholm integral equation of the second kind, in the direct diffraction problem. The minimization of this functional leads to the inverse diffraction problem. After discretiz-ing the boundary curve, the problem is reduced to a linear algebraic equation system, from which a function is found that numerically describes the shape of the object.
Keywords: aeroacoustics, unmanned aerial vehicle, inverse diffraction problem, boundary integral equation method, gradient descent method
For citation: Musatova N.K. A Mathematical Model in the Problem of Aircraft Shape Identification Based on a Sound Field Scattered Diagram. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(3):15-24. (In Russ.).
Acknowledgments: the author expresses gratitude to his scientific supervisor, SFedU professor M.A. Sum-batyan for setting the problem and discussing the results obtained.
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Введение
Задача идентификации беспилотного летательного аппарата (БПЛА) сегодня представляет собой довольно актуальное исследовательское направление. Одним из важных факторов идентификации летательного аппарата является его акустическая заметность. В ходе полета БПЛА генерирует акустические волны, которые могут регистрироваться приемниками в виде специальных микрофонов. Источниками вышеупомянутых волн могут служить двигательные установки и лопасти воздушных винтов.
В мировой научной литературе автором не было обнаружено примеров восстановления конкретных размеров и форм областей по диаграмме рассеяния для задачи аэроакустики. В основном много работ посвящены задачам гидролокации - определению положения подводных объектов. Проблемам, связанным с воздушным пространством, уделяется значительно меньше внимания.
И даже среди задач гидролокации, наиболее часто встречающихся в литературе, имеются именно задачи активной гидролокации, т.е. когда в сторону объекта излучается сигнал и объект его отражает. В статье [1] представлена модель гидролокатора для обнаружения малых целей в подводном акустическом волноводе. В статье [2] предлагается метод акустической визуализации подводной цели. В работе [3] рассматривается рассеяние на трехмерной преграде в виде алюминиевой сферы, погруженной в пространство океанских отложений и озвученной акустическим источником. В работе [4] исследуют улавливание гидролокатором сложных целей (в том числе пластиковые объекты сантиметрового масштаба и оптические волокна), закопанных в отложениях.
Исследования, посвященные пассивной гидролокации, т.е. направленные на определение положения подводного объекта по звуковым сигналам, излучаемым самим объектом, более редки. В работе [5] изучается акустическое обнаружение кашалотов. Авторы выделяют щелчки, которые издают кашалоты, из общего потока данных. Интересный вариант пассивного обнаружения подводных источников звука - нахождение целей, излучающих звук, в районах, покрытых льдом. Для примера были проделаны эксперименты во льдах Арктики [6].
Близкий к настоящей задаче вопрос из области пассивной гидролокации рассмотрен в [7]. Здесь предлагается метод для обнаружения гребного винта судна по его акустическим сигналам. Задача похожа на настоящую тем, что мы также по акустическим сигналам пропеллеров идентифицируем саму область. Однако основное отличие состоит в том, что мы считаем задачу обнаружения уже решенной и решаем задачу идентификации обнаруженного объекта. А в работе [8], также из области задач гидролокации, как и в нашей задаче, особое внимание уделено форме и размеру цели. Авторы берут за основу распределение Вигнера - Вилля.
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Наиболее близка к теме настоящего исследования работа [9]. В ней рассматривается трехмерная задача дифракции на объемном неоднородном теле. Главное отличие двух задач - мы рассматриваем дальнее поле, а в работе [9] - ближнее. В [10] дан большой обзор методов, применяемых к решению обратных задач дифракции на твердых телах. Также были найдены работы [11, 12], посвященные теоретическому описанию обратной задачи дифракции.
Стоит отметить, что большинство работ по этой тематике опубликовано в последние годы. Это свидетельствует о большом интересе к тематике акустической идентификации объектов.
Постановка задачи
Рассматривается объект, вблизи которого располагаются 4 источника звука. Будем считать, что такая комбинация является неким приближением летательного аппарата - квадрокоптера, где 4 источника звука - это 4 пропеллера. В результате решения прямой задачи дифракции получается набор данных, определяющих диаграмму рассеяния отраженного звукового поля. По этим данным необходимо определить форму и размер объекта. При проведении численных экспериментов рассматриваются 4 различные формы объекта.
Пусть известно расстояние от точки приемника до идентифицируемого объекта в дальней
, О шп 1 а 1000 рад/с -1
зоне (для определенности примем К = 100 м, волновое число к =— =-« 3 м , где
с 343 м/с
угловая скорость вращения винтов примерно соответствует использованному реальному ми-никоптеру китайского производства). Возьмём в полярной системе координат набор из Ы
углов: вп = ,п = 1,Ы , которому соответствует набор из Ы расстояний р(вп), п = 1,Ы . Эта
система определяет форму и размер восстанавливаемого объекта. Также нам известен набор величин акустического давления р(вп), п = 1,Ы, по каждому направлению.
Имеем функционал невязки, который необходимо минимизировать, чтобы получить р{вп) -функцию, описывающую контур объекта:
M
F\p(en)] = | \A- A0\f = Y\_A(pn)-Ao(pn)]2 ^min,
(1)
k=1
ГлЛ
где Ao pn ) = Ao
JM
pM ,
- истинная функция рассеяния, которая известна нам по усло-
вию решения прямой задачи дифракции в виде массива размером 1 х Ы . А(рп) находится аналитическим способом:
A(p(^n )) =
i p^5-^ dl
dnp
ikh M
T lp' r
(r jn ■n j )
H
1(1) (kJ )dlJ
jn
, n = 1, M.
Здесь
rjn = |p-a| = pj cosdj - Rcos0n ;pj sindj - R sin6n },
(2)
n j , hhJ
dl, =-J 2
j+i -x j Nj- y, У W(x j-i- x j y+(yj-i- y, У
(3)
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Метод граничных интегральных уравнений
Функция давления полного акустического поля p(í) из уравнения (2) находится в явном виде. Ее получим, решив задачу дифракции с помощью метода граничных интегральных уравнений (ГИУ). Аналогичный подход представлен в работе [13]. Метод ГИУ уменьшает размерность задачи и сводит её к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода по граничному контуру неизвестной области: p(r¡)_ 2 J-dGÍ-n) p(í)dl = 2pinc (n), П e l.
l dn^
Здесь n, í - внешняя точка и точка интегрирования соответственно. Функция Грина для двумерной задачи - это функция Ханкеля первого рода G(í, п) = G(r) = H(kr).
Производная функции Грина вычисляется как производная сложной функции:
=dG =_ k H (i) (kr ).¿:ní).
dn4 dr dní 4 1 r
После дискретизации граничной кривой и численного интегрирования с помощью метода прямоугольников имеем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
pk + «f pm fc-lO H11) (km )dlm = 2 p?.
2 m=1 rmk
Здесь величины нормали к контуру в точке í , т.е. величины nm и элементарной длины дуги dlm вычисляются аналогично формуле (3). А расстояние между внешней точкой и точкой интегрирования равно
rmk =\í-l\ = {PmCOS dm _ Pk cOS ^; pm Sin &m _ Pk sin }.
Акустическое давление падающей волны состоит из вклада четырех источников звука:
2 pT° = 2 I H« (krkS ).
2 j=i
В результате решения данной СЛАУ получаем функцию полного давления на контуре p = ... , которую в явном виде подставляем в формулу для A(p) (2).
pm
Градиентный спуск для минимизации функционала
В итоге на каждой итерации решается прямая задача дифракции. Результатом ее решения является набор значений давления на контуре рк, к = 1,М , зависящих от функции контура рк . Эти значения затем подставляются в формулу (2) для рассеянного поля. Результатом также является набор значений рассеянного поля в каждой точке в дальней зоне А(рт ), т = 1,М . Затем эти значения подставляются в функционал (1).
Задача минимизации функционала решается при помощи метода градиентного спуска. Для первых двух итераций подбираются произвольным образом р[о] и р[1] как два круга, правдоподобных по размеру, однако затем они корректируются, исходя из дальнейшей работы метода градиентного спуска. Для последующих итераций применяется следующая формула:
р[ +1] = р[]- е • §га^[1]), I = 2,М -1, где е - параметр, определяющий скорость работы градиентного спуска.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Так как функционал задан в дискретном виде, можем записать его градиент следующим образом: grad(FW)= lim F(p + PF(рР.
Ар^о Ар
На каждом шаге итерационного процесса для каждого направления вп берется малая величина Ар и оценивается ее вклад в функционал F, т.е. вычисляется градиент функционала. Этот градиент указывает направление движения для функции р(вп ) в сторону минимальной ошибки. Вычисление среднеквадратической ошибки на каждом шаге позволяет понять, в какой момент достигнута ошибка, достаточно малая, чтобы прервать итерационный процесс.
Численные эксперименты
Первый пример восстановления - окружность радиуса 1 м (рис. 1.1a). В качестве первых двух итераций взяты окружности радиусов 0,8 и 0,9 м соответственно. Координаты точек источника - (1,2;0), (0;1,2), (-1,2;0), (0;-1,2).
Рис. 1. Пример 1. Вверху (рис. 1.1) - исходный контур объекта (а) в виде окружности и его диаграмма рассеяния (b). Внизу (рис. 1.2) - восстановленный контур (а) и его диаграмма рассеяния (b) / Fig. 1. Example 1. Fig. 1.1 - the initial contour of a circle (a) and its scatter diagram (b); Fig. 1.2 is the reconstructed contour (a) and its scatter diagram (b)
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
В качестве метрики оценки качества работы градиентного спуска взята среднеквадратичная ошибка (mean squared error - MSE). Предельное значение выбрано равным
2-10 . На 143 -й
итерации оно было достигнуто: MSE=0,01993111. Восстановленный контур по форме близок к окружности, и размер восстановлен достаточно точно (рис. 1.2a). Диаграммы рассеяния для исходного контура и восстановленного визуально абсолютно идентичны.
Второй пример - эллипс с большой и малой полуосями, равными 1 и 0,5 м соответственно (рис. 2.1a). Первые две итерации - окружности с радиусом 0,5 и 0,6 м. Координаты точек источника, как и в первом примере, (1,2;0), (0;1,2), (-1,2;0), (0;-1,2).В ходе итерационного процесса контур приобрел черты эллипса - вытянулся по горизонтали. На 405-й итерации достигнута минимальная ошибка MSE=0,01992888. Размер восстановленной области соответствует действительной, форма немного отличается от исходной и имеет некие точки, которые выбиваются из общей эллипсоидной формы (рис. 2.2a). Диаграммы рассеяния для исходного контура и восстановленного также идентичны (рис. 2.1б и 2.2б).
-0,8 -0,6 -0,4 -0.2 0.0 02 0.4 0.6 0-в ¡70"
2.2а/а 2.2б/Ь
Рис. 2. Пример 2. Вверху (рис. 2.1) - исходный контур объекта (а) в виде эллипса и его диаграмма рассеяния (б). Внизу (рис. 2.2) - восстановленный контур (а) и его диаграмма рассеяния (б) / Fig. 2. Example 2. Fig. 2.1 is the original contour of an ellipse (a) and its scatter diagram (b); Fig. 2.2 is the reconstructed contour (a) and its scatter diagram (b)
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Третий пример восстановления - квадрат со стороной, равной 2 м (рис. 3.1a). Первые две итерации - окружности радиусов 1,1 и 1,0 м. Координаты точек источника - (1,2;0), (0;1,2), (-1,2;0), (0;-1,2). На 218-й итерации ошибка составляет MSE=0,01994738. Размер угадан достаточно точно, форма близка к квадратной (рис. 3.2a). Также заметны точки, которые выбиваются из контура.
Рис. 3. Пример 3. Вверху (рис. 3.1) - исходный контур объекта (a) в виде квадрата и его диаграмма рассеяния (б). Внизу (рис. 3.2) - восстановленный контур (a) и его диаграмма рассеяния (б) / Fig. 3. Example 3. Fig. 3.1 is the initial contour of a square (a) and its scatter diagram (b). Fig. 3.2 is the reconstructed contour (a) and its scatter diagram (b)
Четвертый пример восстановления - четырехлепестковая роза (рис. 4.1а). Первые две итерации - окружности радиусов 0,7 и 0,8 м. Координаты точек источника - (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1). На 260-й итерации ошибка составляет М8Е=0,01995808. Размер угадан достаточно точно, как и четырехлепестковая форма (рис. 4.2а), однако близость к исходному контуру и гладкость среди всех четырех примеров худшие.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
0.60.4 ■
о.г-o.o ■
-о.г-
-0.4 ■ -0.6--о.в
os ■ 060.40.20,0 ■ -0.2 ■ -0,4-0,6 ■ -0,6 ■
Рис. 4.1. Пример 4. Вверху (рис. 4.1) - исходный контур объекта (а) в виде четырехлепестковой розы и его диаграмма рассеяния (б). Внизу (рис. 4.2) - восстановленный контур (а) и его диаграмма рассеяния (б) / Fig. 4.1. Example 4. Fig. 4.1 is the initial contour of a four-peaks rose (a) and its scatter diagram (b); Fig. 4.2 is the reconstructed contour (a) and its scatter diagram (b)
Заключение
Анализ результатов исследования показал, что использование метода градиентного спуска в простейшей форме при решении обратной задачи дифракции оправдывает себя. Основной целью исследования было восстановление размеров объектов, и в этом отношении метод градиентного спуска продемонстрировал положительные результаты - размеры и формы объектов удалось успешно восстановить. Однако некоторое несоответствие между исходными и восстановленными областями объясняется стандартными трудностями, характерными для решения некорректных обратных задач. Во-первых, решение обратной задачи не является единственным, так как нескольким областям может соответствовать одна и та же диаграмма рассеяния. Здесь важно правильно подобрать как первоначальное приближение, так и коэффициент скорости работы градиентного спуска s . Кроме того, из-за сложного M-мерного пространства функционала (в случае численных расчётов было взято 90-мерное пространство) мог быть найден локальный, а не глобальный минимум. Существует также возможность попадания в «овраг», что замедляет сходимость или даже приводит к ее полной остановке.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
Таким образом, использование метода градиентного спуска оправдано для приблизительной реконструкции размеров простых двумерных контуров. Однако для достижения более точных результатов, создания более плавных контуров без осцилляций необходимо прибегнуть к использованию тех или иных методов регуляризации, применяемых при решении обратных задач. Это и станет предметом ближайших исследований автора в данном направлении. Заметим, что прямое применение метода градиентного спуска без использования регуляризации дает хотя и грубое, но качественно верное представление о типе объекта при его идентификации.
Список источников
1. Xiang Pan, Shu Hui, Xu Wen, Chapman N.R. TR-MIMO detection of a small target in a shallow water waveguide environment // Applied Acoustics. 2014. Vol. 79. P. 16-22.
2. Siwei Kou, Xi'an Feng. Angle-micro-Doppler frequency image of underwater target multi-highlight combining with sparse reconstruction // Applied Acoustics. 2022. Vol. 188. P. 108563. Doi: 10.1016/j.apacoust.2021. 108563.
3. Lim R. Scattering by an obstacle in a plane-stratified poroelastic medium: Application to an obstacle in ocean sediments // J. Acoust. Soc. Am. 1994. Vol. 95(3). P. 1223-1244. Doi: 10.1121/1.408566.
4. Leighton T.G., EvansR.C.P. The detection by sonar of difficult targets (including centimetre-scale plastic objects and optical fibres) buried in saturated sediment // Applied Acoustics. 2008. Vol. 69(5). P. 438-463. Doi:10.1016/j.apacoust.2007.05.002.
5. Morrissey R.P., Ward J., DiMarzio N., Jarvis S., Moretti D.J. Passive acoustic detection and localization of sperm whales (Physeter macrocephalus) in the tongue of the ocean // Applied Acoustics. 2006. Vol. 67. P. 1091-1105. Doi: 10.1016/j.apacoust.2006.05.014.
6. Cheng Wang, Guangping Zhu, Jingwei Yin, Longxiang Guo, Yuzhe Zhang. Experimental study of passive detection of underwater targets across ice // Applied Acoustics. 2022. Vol. 191. P. 108672. Doi: 10.1016/j. apacoust.2022.108672.
7. Yongxing Song, Jingting Liu, Linlin Cao, Ning Chu, Dazhuan Wu. Robust passive underwater acoustic detection method for propeller // Applied Acoustics. 2019. Vol. 148. P. 151-161. Doi: 10.1016/j. apacoust.2018.12.024.
8. Yushuang Wu, Xiukun Li, Yang Wang. Extraction and classification of acoustic scattering from underwater target based on Wigner-Ville distribution // Applied Acoustics. 2018. Vol. 138. P. 52-59. Doi: 10.1016/j.apacoust.2018.03.026.
9. Евстигнеев Р.О., Медведик М.Ю., Смирнов Ю. Г., Цупак А.А. Двухшаговый метод решения скалярной обратной трехмерной задачи дифракции на объемном неоднородном теле // Изв. высших учебных заведений. Поволжский регион. 2019. № 4 (52). С. 12-28. Doi: 10.21685/2072-3040-2019-4-2.
10. Добровольский Н.Н., Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. О решениях обратных задач дифракции звуковых волн // Чебышев^й сб. 2019. № 20 (3). С. 220-245. Doi: 10.22405/2226-8383-201920-3-220-245.
11. Ramm A.G. On the Inverse Diffraction Problem // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1984. Vol. 103. P. 139-141.
12. Буров В.А., Горюнов А.А. Обратная задача скалярной дифракции // Вестн. МГУ. Физика. Астрономия. 1980. № 21 (6). С. 44-49.
13. Сумбатян М.А., Мусатова Н.К. Излучение звука точечным источником вблизи поверхности летательного аппарата // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2020. № 1 (205). С. 17-25. Doi: 10.18522/1026-2237-2020-1-17-25.
References
1. Xiang Pan, Shu Hui, Xu Wen, Chapman N.R. TR-MIMO detection of a small target in a shallow water waveguide environment. Applied Acoustics. 2014;79:16-22.
2. Siwei Kou, Xi'an Feng. Angle-micro-Doppler frequency image of underwater target multi-highlight combining with sparse reconstruction. Applied Acoustics. 2022;188:108563. Doi: 10.1016/j.apacoust.2021.108563.
3. Lim R. Scattering by an obstacle in a plane-stratified poroelastic medium: Application to an obstacle in ocean sediments. J. Acoust. Soc. Am. 1994;95(3):1223-1244. Doi: 10.1121/1.408566.
4. Leighton T.G., Evans R.C.P. The detection by sonar of difficult targets (including centimetre-scale plastic objects and optical fibres) buried in saturated sediment. Applied Acoustics. 2008;69(5):438-463. Doi: 10.1016/j. apacoust.2007.05.002.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 3
5. Morrissey R.P., Ward J., DiMarzio N., Jarvis S., Moretti D.J. Passive acoustic detection and localization of sperm whales (Physeter macrocephalus) in the tongue of the ocean. Applied Acoustics. 2006;67:1091-1105. Doi: 10.1016/j.apacoust.2006.05.014.
6. Cheng Wang, Guangping Zhu, Jingwei Yin, Longxiang Guo, Yuzhe Zhang. Experimental study of passive detection of underwater targets across ice. Applied Acoustics. 2022;191:108672. Doi: 10.1016/j. apacoust.2022.108672.
7. Yongxing Song, Jingting Liu, Linlin Cao, Ning Chu, Dazhuan Wu. Robust passive underwater acoustic detection method for propeller. Applied Acoustics. 2019;148:151-161. Doi: 10.1016/j.apacoust.2018.12.024.
8. Yushuang Wu, Xiukun Li, Yang Wang. Extraction and classification of acoustic scattering from underwater target based on Wigner-Ville distribution. Applied Acoustics. 2018;138:52-59. Doi: 10.1016/j.apacoust.2018.03.026.
9. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Two-step method for solving the scalar inverse three-dimensional problem of diffraction on a volumetric inhomogeneous body. Izv. vysshikh uchebnykh zavedenii. Povolzhskii region = Proceedings of Higher Educational Institutions. Volga Region. 2019;(4):12-28. Doi: 10.21685/2072-3040-2019-4-2. (In Russ.).
10. Dobrovolsky N. N., Larin N. V., Skobeltsyn S. A., Tolokonnikov L. A. On solutions of inverse problems of diffraction of sound waves. Chebyshevskii sb. = Chebyshev Collection. 2019;(20):220-245. Doi: 10.22405/2226-8383-2019-20-3-220-245. (In Russ.).
11. Ramm A.G. On the Inverse Diffraction Problem. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1984;103:139-141.
12. Burov V.A., Goryunov A.A. Inverse problem of scalar diffraction. Vestn. MGU. Fizika. Astronomiya = Moscow University Physics Bulletin. Series 3. Physics. Astronomy. 1980;(21):44-49. (In Russ.).
13. Sumbatyan M.A., Musatova N.K. Sound radiation by a point source near a surface of aircraft. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus region. Natural Science. 2020;(1):17-25. Doi: 10.18522/1026-2237-2020-1-17-25. (In Russ.).
Информация об авторе
Н.К. Мусатова - аспирант, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the author
N.K. Musatova - Postgraduate Student, Department of Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
Статья поступила в редакцию 02.02.2024; одобрена после рецензирования 24.03.2024; принята к публикации 04.07.2024. The article was submitted 02.02.2024; approved after reviewing 24.03.2024; accepted for publication 04.07.2024.