Математическая модель управления качеством продукции Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 65.018

Гитман М.Б., Столбов В.Ю., Федосеев С.А.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ

ПРОДУКЦИИ1

Аннотация. В статье приводится общая математическая модель управления качеством продукции на всем протяжении ее жизненного цикла. Отмечено, что процесс формирования качества продукции зависит от совокупности других процессов (планирования, изготовления, сбыта, обслуживания и т.д.). Предлагается подход к описанию качества продукции как объекта управления позволяет систематизировать методы управления качеством для конкретных видов функционалов качества.

Ключевые слова: качество продукции, управление качество, жизненный цикл.

Введение. Предметом исследования настоящей работы является рассмотрение понятия качества продукции как объекта управления.

Под объектом управления будем понимать управляемую систему, воспринимающую управляющие воздействия со стороны органа управления (управляющей системы). В работе [1] рассмотрен принцип отражения, согласно которому «качество процесса переносится (отражается) на качество результата». В соответствии с данным принципом, рассматривая качество как объект управления, можно перейти к рассмотрению управления взаимосвязанными процессами, участвующими в формировании качества продукции на протяжении всего ее жизненного цикла. Тогда качество как объект управления представляет собой результат системы взаимосвязанных процессов, участвующих в формировании качества продукции на протяжении всего ее жизненного цикла. К этим процессам можно отнести процессы прогнозирования, планирования, производства, сбыта, обслуживания и т.п. При этом следует отметить, что все вышеуказанные процессы, в свою очередь, могут быть разбиты на подпроцессы и/или этапы жизненного цикла продукции. Пример такого разбиения приведен в работе [2].

'Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (договор № 02.G25.31.0068 от 23.05.2013г. в составе мероприятия по реализации постановления Правительства РФ № 218).

Тогда под управлением качеством продукции будем понимать постоянный, планомерный, целеустремленный процесс воздействия на всех стадиях, обеспечивающих создание продукции и полноценное ее использование.

Следует отметить, что качество продукции как объект управления характеризуется соответствующими показателями (проектными, производственными, эксплуатационными и прогнозируемыми) и вероятными отклонениями от этих показателей. Необходимо не только уметь оценивать эти отклонения, но и располагать возможностями, необходимыми для воздействия на процессы жизненного цикла продукции для устранения вероятных отклонений показателей ее качества. Ухудшение показателей качества может происходить вследствие физического износа продукции, изменения ее внутренней структуры или состояния в процессе эксплуатации, морального старения продукции и т.п.. Качество продукции может отклоняться от заданных параметров под влиянием производственных причин и всегда зависит от совершенства технологии, качества поступающих материалов, состояния оборудования, приспособлений и инструмента, мотивации персонала и других переменных внутренней и внешней среды предприятия. Другими словами, качество продукции может изменяться в каждый момент времени ее жизненного цикла и зависит от

параметров различных процессов, взаимодействующих и взаимовлияющих друг на друга. При этом процессы, протекающие во времени и влияющие на качество продукции, могут обладать «короткой» или «длительной памятью», которую необходимо учитывать при описании качества продукции как объекта управления.

Таким образом, качество продукции, характеризующиеся широким спектром показателей, изменяющихся во времени, формируется системой взаимосвязанных процессов жизненного цикла продукции, которые, в общем случае, являются многопараметрическими и нелинейными, обладают памятью и часто реализуются в условиях различной неопределенности. Из этого следует, что качество продукции представляет собой сложный объект управления, требующий разработки эффективных механизмов воздействия на все процессы, его формирующие, т.е. построения целостной системы управления качеством продукции.

1. Общая математическая постановка задачи управления качеством продукции. Как было отмечено выше, управление качеством продукции представляет собой постоянный, планомерный, целеустремленный процесс воздействия на всех стадиях жизненного цикла продукции (бизнес-процесс), обеспечивающих создание продукции и полноценное ее использование в условиях имеющихся ограничений.

Перейдем к математической постановке задаче управления качеством продукции.

Будем считать, что жизненный цикл некоторой продукции задается отрезком времени [?о, Т]. При этом интегрированный бизнес-процесс включает N последовательных процессов.

Тогда

Все параметры, отвечающие за качество бизнес-процесса (всех входящих в него процессов), можно разбить на два множества - множество параметров состояния

х( •) (х( )=(л:Д •), х2( ■), ..Хл{ •))), в качестве которых выступает "-мерная вектор-функция из пространства кусочно-гладких функций КС1 фо,Т[, Я" ), где Я" - «-мерное евклидово пространство (обычно п > N), и множество параметров управления и( ■), в качестве которых выступает г-мерная вектор-функция из пространства кусочно-непрерывных функций КС (\^0,Т\, Яг), где Яг - г-мерное евклидово пространство.

Введем вектор-функцию качества продукции

К = К(0, ¿0 <1<Т,

где К - некоторая вектор-функция, определяющая всю совокупность заданных показателей качества продукции, значения которых изменяются во времени и зависят от всей предыстории процесса формирования качества продукции, Т - время жизненного цикла продукции.

Отметим, что в том случае, когда количество показателей качества продукции велико, могут применяться различные операции их агрегирования [3, 4]. Поэтому введем 2 - некоторый оператор агрегирования показателей качества:

Будем считать, что качество продукции в некоторый момент времени t определяется качеством бизнес-процесса, т.е. совокупностью значений параметров состояния и управления всех процессов за весь период времени <T<t.

Тогда можно записать:

К(?) = Р(? ,х(т)Лт\те[Г0,ф,

где Г - некоторый заданный функционал качества, зависящий от исследуемого бизнес-процесса.

Для построения критерия оптимальности задачи управления качеством введем

некоторый функционал JQ(tnx{^),u{•)),

экстремум которого и будет определять оптимальное качество продукции.

Например, при необходимости получения заданных параметров качества К * в момент времени и критерий оптимальности может быть записан в виде невязки, которую необходимо минимизировать, т.е.:

Если необходимо максимизировать обобщенный показатель качества в заданный момент времени, то J()(ti,x(•),?'('))=

Н(Х(7.)) —> шах .

В качестве ограничений задачи управления могут выступать различные функциональные ограничения в виде равенств и неравенств (на ресурсы, на технологии, на качество материалов и т.п.), дифференциальные связи между параметрами состояния и параметрами управления, а также ограничения на сами параметры состояния и управления. При этом ограничения также могут быть жесткими и нежесткими, в последнем случае они могут быть записаны в вероятностном виде, нечетком виде и т.п.

Теперь общая постановка задачи управления качеством продукции может быть представлена следующим образом:

Найти такой управляемый процесс

а-, хЦ-Х щ(')) е ^хКС1 фо,Т\, ВТ)

при котором

^¡,х(-\и(-)) -> ех1г (1)

при ограничениях, в качестве которых выступают:

а) соотношения между показателями качества продукции и параметрами бизнес-процесса:

#(0 = Я^*(г),и(г),ге[^])

(2)

б) соотношение между параметрами состояния и параметрами управления процессами (дифференциальные связи):

1 = (3)

где - заданные вектор-функции для каждого процесса.

в) краевые условия:

X (*/)=*., / = (4)

г) функциональные ограничения на ресурсы:

з^х^.щ(•)) = /=,

j = l,...,m^ (5)

* 0, /• = У = т'+1, (6)

д) ограничения на параметры состояния и управления:

(7)

мДОеС/уСО =

(8)

где Ж - общее количество процессов, составляющее интегрированный бизнес-процесс; т - общее количество различных функциональных ограничений в виде равенств и неравенств; X\ (I), и, (I) - заданные множества значений параметров состояния и управления, соответственно.

Отметим, что задача оптимального управления качеством (1) - (8) при некото-

рых видах функционала JQ(tnx{•),u{^))

может быть отнесена к классической теории оптимального управления [5].

Следует подчеркнуть, что для постановки и решения конкретной задачи управления качеством продукции необходимо описать соответствующий бизнес-процесс, провести необходимое (возможное) агрегирование показателей качества и построить функционалы процессов, совокупность которых и определяет качество продукции. Перейдем к рассмотрению возможных подходов к решению этих частных задач.

2. Качество продукции как функционал процессов, протекающих на всех этапах жизненного цикла. Как было отмечено выше, процесс формирования качества продукции зависит от совокупности

других процессов П( г) (планирования, изготовления, сбыта, обслуживания и т.д.), определяющих заданные показатели качества продукции в рассматриваемый период времени.

Тогда в момент времени т = t значение качества продукции К) можно определить как функционал процессов П(г) в виде:

£(О = ^[*;П(г),*0<г<Г] (9)

Построение конкретных видов функционалов Е для различных видов продукции представляет собой сложную проблему квалиметрии качества продукции. Поэтому на практике пытаются упростить эту задачу различными способами. Например, в качестве основных берут только функциональные показатели продукции К ^ ),

а в качестве процессов, определяющих качество продукции, рассматривают только

технологические процессы П^, (т) . В этом

случае:

£/(0 = Рр[г,Пр(т), (0<т<П.

(10)

Подобный подход обычно называется технологическим. При этом вместо функционала (10) устанавливаются функциональные отношения между комплексными показателями качества и параметрами технологических процессов [4-9\.

Аналогично можно ввести группу социально - экономических показателей

качества продукции Ке5 (?), определяемых

процессами организации производства и

сбыта продукции По(г) [7]:

КеЛ*) = Ро[ПП0(т), Г0<т<Г].

(11)

Следует отметить, что в простейшем случае значения вектора показателей качества (9) в момент времени t является просто аналитической функцией параметров процесса в этот же момент времени. Тогда можно записать:

т=/ (що).

(12)

Примером такого подхода может быть прочность материала в некоторый момент времени, которая определяется только его химическим составом в этот момент времени.

Если значение показателей качества определяется не только показателями процессов, но и скоростью изменения показателей этих процессов, то при условии дифференцируемости показателей процесса можно функционал качества представить в виде универсальной функции от всех производных показателей процессов по t.

£(Г) = ^|/;П(г), ¿о <г<^] = й П (Г) й 2 П (Г)

Ф (П (Г),

Ж

&2

(13)

Следует отметить, что функционал качества можно аппроксимировать функцией некоторого конечного числа производных.

Примером в этом случае может быть твердость поверхности, которая определяется не только температурой закалки, но и скоростью охлаждения.

В случаях, когда качество продукции зависит не от всего времени ее изготовления, а только от небольшого отрезка рассматриваемого интервала времени, то функционал качества можно записать в виде:

Щ) = \В(?,т)Щт)с1т,

(14)

где - некоторая универсальная

функция памяти (ядро функционала) для всех показателей качества. Если для каждого показателя качества своя функция памяти, то функционал качества (14) может быть представлен суммой многократных интегралов.

В этом случае в качестве примера можно рассмотреть уровень остаточных напряжений в изделии, который определяется не всей историей процесса, а только последней операцией пластического деформирования.

Отметим, что практически во всех случаях функционал (9) можно рассматривать как предел функции многих переменных. При этом интервал t — t0 разбивается

на п равных отрезков А Г — Ткл — Тк,

(,к=0,1,...,п-1), т0 =t0, тп=( и берется

набор значений показателей процессов, формирующих качество продукции:

П, =Щтк).

Далее рассматривается функция качества п переменных:

Кп = 3 (П П2 ,..., Пп). (15)

Известно, что для функционала вида (9) всегда найдется такая функция " переменных (15), что существует предел

1Ш1 К„ = ^;П(г), Г0<т<Г].

II—»со

(16)

При этом функция (15) при некотором " может быть аппроксимирующей для функционала (9).

Построение конкретных видов функционалов (9) для различных видов продукции и технологических процессов их изготовления является одной из фундаментальных проблем современной теории ква-лиметрии и качества.

Заключение. Приводится общая математическая модель управления качеством продукции на всем протяжении ее жизненного цикла. Отмечается, что процесс формирования качества продукции зависит от совокупности других процессов (планирования, изготовления, сбыта, обслуживания и т.д.). Предлагаемый подход к описанию качества продукции как объекта управления позволяет систематизировать методы управления качеством для конкретных видов функционалов качества. Например, в случае, когда показатели качества продукции представляются аналитическими функциями параметров процесса, удобно использовать теорию оптимизации функции многих переменных, если функционалами, то может быть использован математический аппарат теории вариационного исчисления или оптимального управления.

Список литературы

1. Субетто А.И. Сочинения. Ноосферизм: В 13 томах. Том восьмой: Квалитативизм: философия и теория качества, квалитология, качество жизни, качество человека и качество образования. Книга 1 / Под ред. Л.А. Зеленова. С.-Петербург -Кострома: КГУ им. Н.А.Некрасова, 2009. 392 с.

2. Бочкарев С.В., Петраченков А.Б. Управление качеством: учебное пособие. Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. 347 с.

г

I

о

3. Управление качеством продукции на современных промышленных предприятиях: монография / С.А. Федосеев, М.Б. Гитман, В.Ю. Столбов, А.В. Вожаков. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011. 229 с.

4. Управление качеством продукции в технологиях метизного производства: монография / Корчунов А.Г., Чукин М.В., Гун Г.С., Полякова М.А. М.: Издательский дом «Руда и металлы», 2012. 164 с.

5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. 2-е изд. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. 384с.

6. Кузнецов Л.А. Современный подход к управлению металлургической технологией // Производство проката. 1999. №9. С. 27-34.

7. Гитман М.Б., Столбов В.Ю., Федосеев С.А. Организационный подход к управлению качеством продукции // Стандарты и качество. 2012. №5. С. 80-84.

8. Квалиметрическая оценка производственных процессов изготовления металлоизделий / Ме-зин И.Ю., Яковлева Е.С., Касаткина Е.Г., Куцепен-дик В.И. // Вестник Магнитогорского государственного технического университета им Г.И. Носова. 2010. № 2. С. 67-69.

9. Разработка теории квалиметрии метизного производства / Рубин Г.Ш., Чукин М.В., Гун Г.С., Закиров Д.М., Гун И.Г.// Черные металлы. 2012. № 6. С. 15-20.

References

1. Subetto A.I. Sochinenija. Noosferizm: V 13 tomah. Tom vosmoj: Kvalitativizm: filosofija i teorija kachestva, kvalitologija, kachestvo zhizni, kachestvo cheloveka i kachestvo obrazovanija [Scientific works. Noosphere studies: 13 Volumes. Vol. 8: Quality study: philosophy and theory of quality, quality analysis, quality of life, human qualification and quality of education]. Book 1. EdL.A. Zelenova. St. Petersburg -Kostroma: Sh. Nekrasov, 2009, 392 p.

2. Bochkarev S.V., Petrachenkov A.B. Upravlenie kachestvom [Quality control]: a tutorial. Perm: Publisher PGTU, 2008, 347 p.

3. Fedoseev S.A., Gitman M.B., Stolbov V.Ju., Vozhakov . A.V. Upravlenie kachestvom produkcii na sovremennyh promyshlennyh predprijatijah: monografja [Quality management at modern enterprises: monograph]. Perm: Publisher PNIPU, 2011, 229 p.

4. Korchunov A.G., Chukin M.V., Gun G.S., Poljakova M.A. Upravlenie kachestvom produkcii v tehnologijah metiznogo proizvodstva: monografja [Quality management in hardware production technology: monograph]. Moscow: Publishing house "Ore and Metals", 2012, 164 p.

5. Alekseev V.M., Tihomirov V.M., Fomin S.V. Optimalnoe upravlenie [Optimal control]. No. 2. Moscow.: FIZMATLIT, 2005, 384 p.

6. Kuznecov L.A. Modern approach to management in metallurgy. Proizvodstvo prokata [Rolled products manufacture]. 1999, no. 9, pp. 27-34.

7. Gitman M.B., Stolbov V.Ju., Fedoseev S.A. Managerial approach to the product quality control Standarty i kachestvo [Standards and quality]. 2012, no. 5, pp. 80-84.

8. Mezin I.Ju., Jakovleva E.S., Kasatkina E.G., Kucependik V.I. Qualimetric estimation of productions of manufacturing of hardware. Vestnik Magnitogorskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta im. G.I. Nosova [Vestnik of Nosov Magnitogorsk State Technical University]. 2010, no. 2, pp. 67-69.

9. Rubin G.Sh., Chukin M.V., Gun G.S., Zakirov D.M., Gun I.G Qualimetry theory development for hardware manufacture. Chernye metally [Ferrous metals]. 2012, no. 6, pp. 15-20.