МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСФОРМАТОРНОГО ДАТЧИКА ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.586.78

doi:10.21685/2307-5538-2023-1-4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСФОРМАТОРНОГО ДАТЧИКА ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

А. А. Трофимов1, Е. А. Фокина2, Д. М. Марков3, И. Е. Смирнов4, В. Н. Пономарев5

1 2, з, 4, 5 Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1 alex.t1978@mail.ru, 2 1 4 5 iit@pnzgu.ru

Аннотация. Актуальность и цели. В настоящее время эффективность развития и эксплуатации современных автоматизированных систем контроля и управления различными технологическими процессами во многом определяется технико-экономическими характеристиками первичных преобразователей информации (датчиками), среди которых важное место занимают датчики перемещений. Рассмотрена математическая модель взаимоиндуктивных датчиков линейных перемещений, лежащая в основе алгоритма расчета, разработанная на основе решения краевой электродинамической задачи взаимодействия однородного переменного поля с электромагнитным штоком. Материалы и методы. В работе были использованы системы уравнений Пуассона и Лапласа относительно векторного потенциала. Результаты. В результате проведенных исследований предложена математическая модель, которая использована при разработке трансформаторного датчика перемещений, предназначенного для измерения перемещений солнечных батарей спутникового аппарата в условиях открытого космоса.

Ключевые слова: датчик, математическая модель, перемещение, электромагнитное поле, чувствительный элемент

Для цитирования: Трофимов А. А., Фокина Е. А., Марков Д. М., Смирнов И. Е., Пономарев В. Н. Математическая модель трансформаторного датчика линейных перемещений // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. 2023. № 1. С. 31-37. doi:10.21685/2307-5538-2023-1-4

MATHEMATICAL MODEL OF A TRANSFORMER LINEAR DISPLACEMENT SENSOR

A.A. Trofimov1, E.A. Fokina2, D.M. Markov3, I.E. Smirnov4, V.N. Ponomarev5

12. i ^ 5 Penza State University, Penza, Russia 1 alex.t1978@mail.ru, 2 1 4 5 iit@pnzgu.ru

Abstract. Background. At present, the efficiency of development and operation of modern automated systems of control and management of various technological processes is largely determined by the technical and economic characteristics of the primary transducers of information (sensors) among which the important place belongs to displacement sensors. The mathematical model of mutual inductive linear displacement sensors underlying the calculation algorithm developed on the basis of the solution of the boundary electrodynamic problem of interaction of a homogeneous alternating field with an electromagnetic rod is considered. Materials and methods. The systems of Poisson's and Laplace's equations with respect to the vector potential were used in this work. Results. As a result of this research, a mathematical model was proposed, which was used in the development of the TDS designed to measure the movements of the solar panels of a satellite vehicle in open space conditions.

Keywords: sensor, mathematical model, displacement, electromagnetic field, sensing element

For citation: Trofimov A.A., Fokina E.A., Markov D.M., Smirnov I.E., Ponomarev V.N. Mathematical model of a transformer linear displacement sensor. Izmerenie. Monitoring. Upravlenie. Kontrol' = Measuring. Monitoring. Management. Control. 2023;(1):31-37. (In Russ.). doi:10.21685/2307-5538-2023-1-4

Совершенствование информационно-измерительных систем, систем автоматического управления и контроля во многом обусловлено достижениями в области датчиков [1-3], метрологические и надежностные характеристики которых определяют достоверность контролируемой информации и обеспечивают качество работы систем в целом.

Среди большого разнообразия требований, предъявляемых к датчикам перемещений, работоспособным в жестких условиях эксплуатации, основными являются требования по

© Трофимов А. А., Фокина Е. А., Марков Д. М., Смирнов И. Е., Пономарев В. Н., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

обеспечению высокой точности преобразования, длительного ресурса и метрологической надежности, под которой в соответствии понимается надежность средства измерения в части сохранения его метрологической исправности, т.е. в конечном счете сохранение метрологических характеристик в течение назначенного ресурса. Следующими требованиями, предъявляемыми при разработке датчиков перемещений, являются требования конструктивного характера. Прежде всего, это минимальные габаритные размеры и вес, простота конструкции и технологичность ее изготовления. Под технологичностью понимают оптимальный путь изготовления для данного производства.

Учитывая жесткие условия, в которых эксплуатируются датчики перемещений специального назначения, к ним предъявляются требования по устойчивости их метрологических характеристик к внешним воздействующим факторам, таким как вибрация, ударные ускорения, влажность, широкий температурный диапазон. К эксплуатационным требованиям также необходимо отнести удобство монтажа и демонтажа в системе, удобство консервации и расконсервации, ремонтопригодность.

Трансформаторные датчики перемещений (ТДП) используются для измерения линейных перемещений в диапазонах от миллиметра до нескольких десятков сантиметров [4-6]. Для измерения линейных перемещений до 5 мм может быть использован ТДП (рис. 1), в котором электромагнитное поле создается катушкой соленоидного типа 1, а подвижный элемент -шток 2 с ферромагнитной вставкой 3 перемещается внутри обмотки питания. Выходной сигнал с измерительной обмотки 4 определяется положением ферромагнитной вставки 3. Оптимизация конструкции ТДП применительно к задаче измерения линейных перемещений сводится к выбору размеров подвижного элемента, количества и координат расположения измерительных обмоток 4, реализующих выходной сигнал, удобный для дальнейшей обработки: преобразования перемещений в код, подавления воздействия внешних дестабилизирующих факторов и т.п.

Ш_

г!

Рис. 1. Расчетная модель ТДП

Для решения поставленной задачи оптимизации конструктивного исполнения ТДП необходимо разработать математическую модель датчика, позволяющую исследовать перечисленные вопросы и допускающую варьирование основных внешних влияющих факторов в широком диапазоне их изменения.

Проведя анализ конструкции ТДП, можно сделать следующие допущения, упрощающие разработку математической модели: выходной сигнал ТДП определяется положением ферромагнитной вставки 3; подвижный элемент датчика - шток 2 - находится в однородном переменном магнитном поле Н0 • в]ш , направленном вдоль оси ТДП. Такое допущение правомерно, так как поле внутри возбуждающей катушки достаточно однородно, вставку 3 можно представить в виде вытянутого эллипсоида вращения (сфероида). Таким образом, математическая модель ТДП может быть разработана на основе решения краевой электродинамической задачи по расчету взаимодействия однородного переменного магнитного поля с вытянутым ферромагнитным сфероидом.

Учитывая выбранную геометрию подвижного элемента, решение поставленной задачи осуществляется в системе вытянутых сфероидальных координат Ç, n, Ф, используя при этом результаты работы [7]. Электромагнитное поле системы «ферромагнитный сфероид в однородном переменном магнитном поле» описывается системой уравнений Пуассона и Лапласа относительно векторного потенциала:

аав _-^oуст ; аа _ ^

(i)

где АВ - векторный потенциал поля в воздухе; АФ - векторный потенциал поля в ферромагнитном сфероиде; А - оператор Лапласа; уСТ - плотность стороннего тока; Ц0 - магнитная проницаемость воздуха.

В системе вытянутых сфероидальных координат уравнение (1) запишется в следующем

виде:

i

(

а2 (Ç-n) д^

дтК2 -1)

дАп Y|

дn )) а2(Ç2 -i)(i-n2)

M-oJct ;

д^ i

(J4 i (i-n2)

д^ ) дn

дАф - Аф___Аф

дn J i-n2 ç2 - i _

где АВ и Аф — ф компоненты векторных потенциалов АВ и Аф , остальные составляющие которых равны нулю в силу осесимметричности поля; 2а - межфокусное расстояние сфероидальной системы координат.

Векторный потенциал в воздухе представим в виде суперпозиции

а> + ар _ ав

(2)

где А0 - векторный потенциал однородного магнитного поля; АР векторный потенциал поля реакции, обусловленный намагниченностью сфероида.

Функция А0 является частным решением уравнения Пуассона и имеет следующий вид:

А _- 2 ^ • H o • а • Pi (Ç)Pi (n),

(З)

где р1 - присоединительный полином Лежандра 1-го рода.

Векторный потенциал реакции сфероида является общим в решении уравнения Лапласа и выбирается с учетом условия равенства нулю АР на бесконечности

Ар _ I С, • Pi (Ç) ei (n),

(4)

где Q! - присоединительные полиномы Лежандра 2-го рода; Сп - постоянные интегрирования.

Вектор-потенциал внутри ферромагнитного сфероида также удовлетворяет уравнению Лапласа и его решение строится с учетом регулярности в замкнутой области:

Аф _ I Вп • Pi (Ç) Pi (Ç)Pi (n),

(5)

где Вп - постоянные интегрирования.

Коэффициенты Сп и Вп определим из граничных условий

_ э(А^Л/Ç2TT)_^a^JÇ2^!) Ç_Ç

А _ Ав ; дÇ _цф • дÇ ;

n_i

n_i

где ЦФ - относительная магнитная проницаемость материала вставки; 52 - сфероидальная координата, определяющая поверхность вставки.

Подставляя аналитические выражения (2)-(5) в граничные условия (6), получим Сп = Вп = 0 для п >1. Для определения коэффициентов С1 и В1 получим систему линейных уравнений, которая в матричной форме запишется так:

61(5) -Р (5) цф • а(52) -Р1 (52)

С1

X

В1

2 Ц 0 • я • Н 0 • Р1 (5)

2Ц> ЦФ • я • Н0 • Р1 (52

(7)

где Р1 (52) и 61 (52) - полиномы Лежандра 1-го и 2-го рода.

Решая матричное уравнение (7), получим коэффициенты С1, В1 :

С = 1 Н ( _ 1) ^1(52)61(52)-^й^) ^^ Л" ^ФР1(52Ш52)_Р^)^)'

В = 1 Н ^1(52)61(52) _ Р^)^) ^ " ^Цфр1^)^2)-Р(52)61(52) ■

Рассчитанные коэффициенты С1 и В1 определяют векторные потенциалы полей АВ и АФ в воздухе и подвижном ферромагнитном элементе.

Полученные аналитические выражения являются основой построения ТДП и позволяют построить его выходную характеристику при различных конструкциях измерительной обмотки, а также исследовать влияние размеров формы и электрофизических свойств подвижного элемента на выходные сигналы датчика.

ТДП (рис. 1) содержит в общем случае N измерительных обмоток 4, используя которые, возможно промоделировать различные конструкции датчика. Положение этих обмоток вдоль оси г определяется координатами 21, 22, ..., 2N. Первая обмотка совмещена с началом координат 2 = 0. Положение подвижного элемента на оси задается координатой Ь1, где 0 < Ц < Ь. Напряжение, вносимое в 7-ю измерительную обмотку, определим следующим образом:

ивн((Я,27) = Щ Ъ Е?й1, Ер =-/Ы.р(Ь1,27),

где Ер - напряженность электрического поля реакции ферритового сфероида; , 2{, Я -число витков, координата и радиус 7-й обмотки.

Используя выражение (4) для вектор-потенциала поля реакции и учитывая асимметричность поля, получим

Цвн (Ь,я, 27) = -УЮ2П • Я • С! • Р1 (п) • 61 (57),

где П и 5 - сфероидальные координаты 7-й измерительной обмотки.

Заменив полиномы Лежандра Р1(П7-) и 611( 57) их аналитическими выражениями, получим аналитическое выражение для напряжения ивн, вносимого в 7-ю измерительную обмотку ТДП:

ивн = №^0 (ф - 1)Н0а^-^Г^ - 0,5пЯ;Ц0 (Цф -1)0аС^(52 -1) (1 -п2) :

Р(5 2) • Р11(52)

где С0 =

Цф • р1^) - Р1(52) • 61(5 2)

Последнее уравнение можно представить в нормированном виде, удобном для численного анализа, через безразмерные коэффициенты, характеризующие электрические и конструктивные параметры трансформаторного датчика:

V(а), г •( - 1) С0 -2У.л/^17!•( -1) 0,^(2 -1)-(1 -л?) 1п.

Сфероидальные координаты , П рассмотрим как функции I 1 и . Они вычисляются с помощью уравнений связи сфероидальной и декартовой систем координат и записываются через безразмерные переменные следующим образом:

V2 (x, - а)2

i1+e2 (À2-l) + (x,-а)2 (l + e2 (À2-1) + (x,, -а) -4e2 (À2-l) + (x,-а)2

yl+e2 (À2-, + (x,-а)2 +yj (l + e2 (À2-, + (x, -а) -4e2 (À2-, + (x, -а)2

' -1 В последних трех уравнениях использованы следующие обозначения:

2r R

R

t a [72 7 r L, zt TT L W, ч ивн

À — ; 17 — ^À2-l; e —— ; а — -!; x,, — -; H — - ; y, — ; F(а)¡ ;

L

W

U„,

R

R

R

W

Uo

Uo — jюп-R2 • Bo • W ; ^ —

À

; Bo — ц •Ho.

Выходной сигнал ТДП определим как отношение напряжения, наводимого в измерительных обмотках, к напряжению на компенсационной обмотке, содержащей секции, включенные последовательно-встречно и содержащие одинаковое число витков у. Выходной сигнал данной обмотки не зависит от перемещения а, а определяется только размерами и электрофизическими свойствами подвижного элемента. Положим вначале У = 1, тогда выходной сигнал с компенсационной обмотки равен

1 Ы

ик = — X ф', (а х).

У V ,=1

Выходное напряжение ТДП определяется следующим образом:

F (а) — Z та(а, x, ); ¥,(а, x, )— —

—l l ,

(8)

NZ ФП ( x: )

—l

Функции ф,(а,,х{) и фя(а,хп) находятся в соответствии с полученными выше выраже-

ниями:

x>ЧС* x)1-gg + ÎV ( -ni (x. «))( (а, x)-1) .n ^ ; Ф: (а.. x: b-Ê («. x: ^^^ + ^(^ ( • x: ))(2 ( * x: Ь^ ^^ '

где

^ Kx: )

—

P2 + e2 (À2-, + (: -а)2 (p2 + e2 (À2-1) + (x: -а) -4e2 (À2 -I •(x::)2

V2e^À2 - l

цп (а, хп )=т Хп-а •

^ (хп, а) -елД2 -1'

Л

Р = —— отношение средних радиусов компенсационной и измерительной обмоток.

Л

Сформированный выходной сигнал ТДП позволяет подавить влияние воздействия вариаций электрофизических свойств материала подвижного элемента на выходную характеристику датчика. Задавая определенные значения параметрам , можно изменять количество измерительных обмоток, их расположение и схему включения, оптимизируя таким образом вид выходной характеристики ТДП.

Разработанная математическая модель использована при разработке ТДП, предназначенного для измерения перемещений солнечных батарей спутникового аппарата в условиях открытого космоса, конструктивная схема ТДП представлена на рис. 2, а его технические характеристики в табл. 1.

Рис. 2. Конструктивная схема чувствительного элемента ТДП: 1 - обмотка возбуждения; 2, 3 - обмотки считывания; 4 - ферромагнитная вставка; 5 - корпус; 6 - кабельная перемычка; 7 - шток

Таблица 1

Основные технические характеристики ТДП

Параметр Характеристика

Диапазон измерения перемещений от 0 до 5 мм

Основная приведенная погрешность не более 1,5 %

Воздействия синусоидальной вибрации частотный диапазон от 5 до 100 Гц амплитуда ускорения до 20g

Диапазон рабочих температур от -50 до +50 °С

Потребляемый ток не более 125 мА

Выходной сигнал от 0 до 6,3 В

Напряжение питания 27 ± 2 В

Список литературы

1. Конюхов Н. Е., Медников Ф. М., Нечаевский М. Л. Электромагнитные датчики механических величин. М. : Машиностроение, 1987. 256 с.

2. Трофимов А. А., Трофимов А. Н. Взаимоиндуктивные датчики перемещений : монография. Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. 174 с.

3. Трофимов А. Н., Трофимов А. А. Расширение температурного диапазона растровых трансформаторных датчиков перемещений // Измерительная техника. 2009. № 6. С. 24-27.

4. Гаврилов В. А., Трофимов А. А. Система измерения линейных перемещений // Датчики и системы. 2005 № 9. С. 44-46.

5. Трофимов А. А., Конаков Н. Д. Трансформаторные датчики перемещений с расширенным диапазоном измерений // Датчики и системы. 2005. № 9. С. 8-10.

6. Трофимов А. Н., Блинов А. В., Трофимов А. А. Унифицированный ряд высокотемпературных растровых электромагнитных датчиков перемещений // Датчики и системы. 2007. № 7. С. 24-29.

7. Морс М., Фижбах К. Методы теоретической физики. М. : Иностр. лит., 1961. 762 с.

References

1. Konyukhov N.E., Mednikov F.M., Nechaevskiy M.L. Elektromagnitnye datchiki mekhanicheskikh velichin = Electromagnetic sensors of mechanical quantities. Moscow: Mashinostroenie, 1987:256. (In Russ.)

2. Trofimov A.A., Trofimov A.N. Vzaimoinduktivnye datchiki peremeshcheniy: monografiya = Mutually inductive displacement sensors: monograph. Penza: Izd-vo PGU, 2009:174. (In Russ.)

3. Trofimov A.N., Trofimov A.A. Expansion of the temperature range of raster transformer displacement sensors. Izmeritel'naya tekhnika = Measuring technique. 2009;(6):24-27. (In Russ.)

4. Gavrilov V.A., Trofimov A.A. System for measuring linear displacements. Datchiki i sistemy = Sensors and systems. 2005;(9):44-46. (In Russ.)

5. Trofimov A.A., Konakov N.D. Transformer displacement sensors with an extended measurement range. Datchiki i sistemy = Sensors and systems. 2005;(9):8-10. (In Russ.)

6. Trofimov A.N., Blinov A.V., Trofimov A.A. Unified series of high-temperature raster electromagnetic displacement sensors. Datchiki i sistemy = Sensors and systems. 2007;(7):24-29. (In Russ.)

7. Mors M., Fizhbakh K. Metody teoreticheskoy fiziki = Methods of theoretical physics. Moscow: Inostr. lit., 1961:762. (In Russ.)

Информация об авторах /Information about the authors

Алексей Анатольевич Трофимов

доктор технических наук, доцент, профессор кафедры информационно-измерительной техники и метрологии, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: alex.t1978@mail.ru

Aleksey A. Trofimov

Doctor of technical sciences, associate professor, professor of the sub-department of information and measuring equipment and metrology, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Екатерина Александровна Фокина

аспирант,

Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: iit@pnzgu.ru

Ekaterina A. Fokina

Postgraduate student, Penza State University

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Дмитрий Максимович Марков

аспирант,

Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: iit@pnzgu.ru

Dmitry M. Markov

Postgraduate student,

Penza State University

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Иван Евгеньевич Смирнов

аспирант,

Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: iit@pnzgu.ru

Ivan E. Smirnov

Postgraduate student,

Penza State University

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Владислав Николаевич Пономарев

аспирант,

Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: iit@pnzgu.ru

Vladislav N. Ponomarev

Postgraduate student,

Penza State University

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию/Received 24.10.2022 Поступила после рецензирования/Revised 24.11.2022 Принята к публикации/Accepted 27.12.2022