Математическая модель траектории движения взаимодействующих инвестиционных проектов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

^(саЯ&мшса-мл^млтиггасае

мофелира&гНие

УДК 330.4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

А. А. МИЦЕЛЬ,

доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем управления

E-mail: maa@asu.tusur.ru Томский государственный университет систем управления ирадиоэлектроники

А. Н. ВАЖДАЕВ,

кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры информационных систем E-mail: wazdaev@ngs.ru Юргинский технологический институт (филиал) Томского политехнического университета

В статье предложена новая математическая модель, позволяющая отслеживать траектории движения взаимодействующих инвестиционных проектов в рамках одного предприятия малого бизнеса. Прогнозирование траекторий движения инвестиционных проектов с использованием созданной модели позволяет видеть тенденции движения проектов предприятия малого бизнеса.

Ключевые слова: математическая модель, малый бизнес, траектория, движение, инвестиции, проект.

Введение

В настоящее время известно большое количество научных работ, посвященных вопросам

исследования эффективности инвестиционных проектов. Подавляющее большинство из них [4, 7—9] описывает оценку эффективности инвестиционных проектов на основе временного фактора, с использованием общеизвестных показателей, таких как срок окупаемости, чистая текущая стоимость доходов, внутренняя ставка доходности проекта, модифицированная ставка доходности и др. Кардинально новых подходов в этих работах не описывается, авторы предлагают разные условия применения и анализа показателей эффективности.

Гораздо меньшая часть работ посвящена исследованиям инерционных моделей инвестиционных проектов [5] в качестве моделей экономической динамики, в которых новое состояние зависит от

предшествующих состояний и решений, а также от предшествующей истории функционирования. Такого рода модели позволяют исследовать разнообразие возможных траекторий развития инвестиционных проектов, их зависимость от проводимой на предприятии экономической политики. В своей работе [10] Э. Ю. Околелова описывает фазовые траектории движения инвестиционных проектов с позиций законов физики, что позволяет прогнозировать поведение экономических систем. В то же время она не рассматривает возможности взаимодействия разных инвестиционных проектов в рамках одного предприятия и прогнозирования траекторий их развития в этих условиях.

В работе [2] делается особый акцент на специфику малого бизнеса:

- при подготовке любых методических материалов для малого бизнеса необходимо иметь в виду, что, по существующим рекомендациям ведения бухгалтерского учета, малые предприятия могут отражать свою финансово-хозяйственную деятельность на основе упрощенной формы бухгалтерского учета;

- методика оценки эффективности инвестиционных проектов малого бизнеса должна основываться на стандартной отчетности для малых предприятий. Поэтому стандартный перечень документов для предприятий малого бизнеса должен быть несколько сокращен, требования к расчетной системе показателей эффективности инвестиционных проектов упрощены, а рекомендации по подготовке соответствующей документации понятны для персонала, не имеющего высшего образования;

- в отличие от стандартных методик разработки и оценки эффективности инвестиционных проектов методика, ориентированная на применение в малом бизнесе, должна использовать ограниченное количество укрупненных показателей;

- таким образом, инвестиционный проект для малых предприятий должен представлять собой существенно упрощенный вариант стандартного проекта с добавлением и выделением особо важных для малого предприятия пунктов.

Работа [3] посвящена исследованию вопроса взаимодействия связанных между собой производств. В работе приводятся методический подход и алгоритмы оценки эффективности функционирования межотраслевого комплекса и прогнозирования динамики основных показателей развития

промышленного производства. Но не исследуется вопрос взаимодействия производств в рамках одного предприятия.

В целом обзор существующих научных работ показывает большой интерес со стороны многих исследователей к вопросу оценки инвестиционных проектов. Несмотря на это, в данной научной области можно выделить наименее исследованное направление — анализ развития малого предприятия на основе осуществляемых им взаимодействующих инвестиционных проектов.

В большинстве случаев деятельность предприятия малого бизнеса (ПМБ) начинается с осуществления инвестиционного проекта или нескольких инвестиционных проектов, которые будут определять направления и виды деятельности ПМБ.

Ранее проведенные исследования [1] показали, что предприятия малого бизнеса осуществляют в рамках своей деятельности параллельно разное число инвестиционных проектов. Было изучено 41 предприятие малого бизнеса в Кемеровской области и их инвестиционные проекты (ИП):

- три ПМБ (7,32%) осуществляли по одному

ИП;

- двадцать два ПМБ (53,66 %) — по два ИП;

- одиннадцать ПМБ (26,83 %) — по три ИП;

- три ПМБ (7,32%) — по четыре ИП;

- два ПМБ (4,88 %) — по пять ИП.

Большая часть предприятий (80,49 %) одновременно выполняли по два и три инвестиционных проекта.

Модель одного проекта

В классическом случае предприятие малого бизнеса осуществляет свою деятельность в рамках одного инвестиционного проекта. Для этой ситуации можно построить модель, в которой будут взаимосвязаны наиболее важные показатели деятельности предприятия — доходы, постоянные и переменные расходы, налоги, расходы, идущие на внутреннее потребление и прибыль. В табл. 1 приведено описание параметров модели.

Таблица 1

Параметры модели для одного инвестиционного проекта

Параметр Обозначение в модели

Доходы ПМБ, получаемые в процессе его функционирования за период 1 от /-го проекта х.«> 1

Текущий период осуществления инвестиционного проекта, где я — число периодов /■(/■= 1 ...я)

Окончание табл. 1

Параметр Обозначение в модели

Приростдоходов проекта периода (/ — 1) по сравнению с периодом (г"—2) Дх.('-1> =

Постоянные и переменные расходы ПМБ ЕУ 1

Налоги, которые ПМБ платит в различные виды бюджетов Та® 1

Коэффициент, характеризующий зависимость суммы расходов на потребление /-го ИП за счетрасходов_/'-го ИП отдоходов_/'-го ИП В.. ч

Коэффициент, характеризующий зависимость суммы инвестиций /-го ИП за счет расходов_/'-го ИП отдоходов_/'-го ИП й.. ч

Коэффициент, характеризующий зависимость суммы накоплений /-го ИП за счет расходов_/'-го ИП отдоходов_/'-го ИП е.. ч

Коэффициент, характеризующий зависимость суммы вознаграждения /-го ИП за счет расходов_/'-го ИП от доходов_/'-го ИП Л

Расходы, идущие на потребление в периоде 1 Л.хУ Ч '

Расходы ПМБ на развитие своей деятельности, приносящее увеличение доходов или ведущее к стабильности функционирования (инвестиции) йГ.х.М Ч '

Направление расходов на накопление, которое даже если и приноситдоходы, то они намного меньше доходов от инвестирования (денежные средства в кассе, на расчетном счете) е.х.« Ч '

Расходы на денежное вознаграждение собственников /х.«> ■>у 1

Коэффициент, характеризующий зависимость направления суммы прибыли_/'-го ИП в адрес /-го ИП от прироста доходов_/'-го ИП А.. ч

Коэффициент, характеризующий зависимость суммы инвестиций /-го ИП за счет прибыли_/'-го ИП от прироста доходов_/'-го ИП а.. ч

Коэффициент, характеризующий зависимость суммы накопления /-го ИП за счет прибыли /-го ИП от приростадоходов_/'-го ИП ь.. ч

Коэффициент, характеризующий зависимость суммы вознаграждения /-го ИП за счет прибыли_/'-го ИП от прироста доходов /-го ИП е.. ч

Прибыль ПМБ, остающаяся в его распоряжении после учета расходов и уплаты налогов Ч '

Вложение прибыли ПМБ в развитие своей деятельности, приносящее увеличение доходов или ведущее к стабильности функционирования (инвестиции) Й..ДХ.С-1) Ч '

Накопление прибыли ПМБ, котороедаже если и приносит доходы, то они намного меньше доходов от инвестирования (денежные средства в кассе, на расчетном счете) Ч '

Денежное вознаграждение собственников ПМБ (дивиденды или иные выплаты) С..ДХ.С-1) Ч '

Расходы, идущие на потребление в периоде t, рассчитываются по формуле:

У ' = Н + е. + ) х?).

Прибыль ПМБ, остающаяся в его распоряжении после учета расходов и уплаты налогов, равна:

А.. Ах('= (а.. + Ъ.. + с .. )Ах ('.

у • у у у у' •

Приведем два представления математической модели развития одного инвестиционного проекта, осуществляемого предприятием малого бизнеса. В общем представлении доходы и их изменения учитываются в целом, а в расширенном представлении — в зависимости от источников по трем направлениям движения: на накопление, дивиденды и инвестиции.

Общее представление модели одного инвестиционного проекта:

х(' ) = Е('' + Та(') + Бх('-1 + ААх('ч).

Первое слагаемое учитывает постоянные и переменные расходы предприятия малого бизнеса во временном периоде второе слагаемое — налоги, которые предприятие малого бизнеса платит в различные виды бюджетов, третье слагаемое — расходы, идущие на потребление, за счет доходов, полученных в периоде ^ — 1, четвертое слагаемое учитывает прибыль предприятия, остающуюся в его распоряжении после учета расходов и уплаты налогов, за счет доходов, полученных в периоде ^ — 1. Нижний индекс у введенных переменных опущен, поскольку речь идет об одном проекте.

Расширенное представление модели одного инвестиционного проекта имеет вид: хс) = Е с) + Та с) + ^ + е + f) хс-ц + + ъ + с)Дхе-ц _

Предложенные модели являются двухточечными дискретными динамическими моделями. Для проведения расчетов по этим моделям необходимо знать значения доходов в начальный =0)и последующий =1) моменты времени.

Модель двух и трех взаимодействующих проектов

В более распространенных случаях предприятие малого бизнеса осуществляет свою деятельность в рамках двух или трех взаимодействующих инвестиционных проектов. Для этого случая построим модели, в которых будут взаимосвязаны наиболее важные показатели деятельности предприятия, аналогичные модели одного инвестиционного проекта.

Для случая двух и более одновременно осуществляемых инвестиционных проектов денежные потоки могут перераспределяться между проек-

тами. Такие инвестиционные проекты назовем взаимодействующими. В общем представлении такой модели доходы и их изменения учитываются по каждому проекту в отдельности, а в расширенном представлении — по трем направлениям: на накопление, дивиденды и инвестиции — для каждого проекта-источника и проекта-получателя. Прибыль каждого из проектов может идти как на сам проект, так и на взаимодействующие по отношению к нему другие инвестиционные проекты. В то же время расходы каждого из проектов, идущие на потребление, могут расходоваться как на сам проект, так и на взаимодействующие по отношению к нему другие инвестиционные проекты.

Общее представление модели двух взаимодействующих инвестиционных проектов будет иметь вид:

' х(') = £(') + Т^С') + вп х('-1) +

+ д2 хГ + ЛцЛхГ + 42 ЛхГ

< х« = е'2 + та? + дл('-С) + д2 -с) +'

где А12Ах2('-1^ и А21х1{(-1^ - пере-

крестные члены, учитывающие взаимосвязь двух проектов.

Расширенная модель двух инвестиционных проектов записывается также в виде системы двух дискретных уравнений. В отличие от системы (1) здесь представлены источники денежных средств по трем направлениям движения — накопление, дивиденды и инвестиции.

' х« = Е« + Та? + М( + е„ + /(() Х(('"с) + + (^(2 + е(2 + /12) хГ() + (а„ + Ъ(( + сп)АХ(('ч) + + (а12 + Ъ(2 + с12 )Дх2' _1)

х2° = Е2° + Та?) + (^21 + е21 + /2() х(( '"С) + ' +(^22 + е22 + /22) х2' _1) + (а2( + Ъ2( + с2()Ах((' _1) + + (а22 + Ъ22 + с22) Дх2' _1) По аналогии с моделью двух проектов запишем модель трех взаимодействующих проектов. Общее представление модели трех инвестиционных проектов имеет вид:

' х« = Е(0 + Та? + Бп х(('-() + Д2 х?с) + +Д3 4'-() + Ап Дх^1) + А12 Ах2^() + А13 Дх3'_1)

Х2 — Е'.^ I Т а2 I ^2 (Х( I &22 Х2 I

' + Аз^ + АА!'с) + А,2Ах2'-() + ^Ах^ • (2) х« = Е3° + Та3° + £31 ХС('-С) + Д2 х2'-() + + Д3 х3'_1) + ^31Ах1('^1) + А32 Ах2'_1) + А^Ах?1

Расширенная модель трех инвестиционных проектов записывается в виде:

' х« = E(0 + Tct? + (d„ + e„ + fn) xf+

+(d12 + e12 + f12)x<2 ~() + (d13 + e13 + У1з)x3'^ +

+ (an + b11 + c11)AxC_1) + (a12 + b12 + c12)Ax(2'_1) +

+ (a13 + b13 + c13)Ax3'_1)

x2° = £2° + Ta? + (d21 + e21 + f21) xf +

^ + (d22 + ^22 + f22) x2'^ + (d23 + ^23 + У2з) x3'^ + + (a21 + b21 + c21) Axf_1) + (a22 + b22 + c22) Ax2'_1) +

+ (a23 + b23 + C23)Ax3'^

x3° = £3° + Ta3° + (d31 + e31 + f31) xf +

+ (d32 + e32 + f32) x2' ^ + (d33 + e33 + f33) x3'^ + + (a31 + b31 + C31)Ax1(t ^ + (a32 + b32 + C32)Ax2'^ +

+ (a33 + b33 + c33)Ax33'_1)

N-мерная модель взаимодействующих проектов

По аналогии с моделями двух и трех проектов можно построить я-мерные общую и расширенную модели взаимодействующих инвестиционных проектов соответственно, где п — количество инвестиционных проектов, осуществляемых одновременно.

' x(0 = £1(t) + Ta? + D11 x?+ ... + Duxf -1) + ... +Dnx?-1) + AnAxC-1) + ... + AuAxf-1) + АыД*?^

x? = É? + Tai? + Dia xf -1) + „. + Dux('-Í) +... ' + Dm 4-1) + Д. 1 Axf-1) + ^ + Au Áxf -1) + ^ Am Ax?-1) '

x?' = ' + TaП' + D„1 xf-1) + ^ + D„xf-1) + ^ .+Dm хГ + Ап1АхГ + ^ + ^BiAxf-1) + ^ АхГ1) ' x') = E® + Ta1') + (dn + e„ + У11) xf+ ^

+ (du + e, + fu )xf-1) + ^ + (dXn + e1n + fin )xn' +

+ (an + bn + cn )^x¡'_1) + - • + (a1i + bu + c1i) to' + • • •

+ (ab + b1n + crn )Ax(n-l)

xf) = E'' + Ta(') + (di1 + ei1 + Л) x('-1) + ^ ( + (dtí + eu + i1i )xf"1) + ^ + (dm + e? + fm )x?'-1) + ' + (ай + bi1 + Ci1)Axf'-1) + ^ + (ай + bü + cu )Axf' +... ' + (a? + bn + с? )Ax?-1)

14 12 10 8 6 4 2 0

Для модели трех инвестиционных проектов матрица Zи вектор С определяются как:

г =

Иц + Ап д2 + д2 ^13 + ^13 ^

^21 + А1 А2 + ^22 А3 + 4

1А1 + 41

' 41 Д2

А = ^21 42

1Л 42

А2 + ^32

4з ^

^33 У

, с(к) =

13

3

А3 + ^33 у

^) + Та? >

Е?) +Га2к) (к)

\

Е3к) + Га!

у

-(0)

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

- 8 = 30%

- 8 = 20%

----8=10%

Рис. 1. Расчетпогрешностейдлядвух взаимодействующихпроектов, тыс. руб.

ХЩ) = ЕП) + ТаП + еИ1 + /л) х1' ^ + ...

+ + еш + )Х( ^ + - + (<п + епп + /пп )ХП'^ +

+ (ап1 + ъп1 + Сп1) Ах!'-1) + ... + (а„. + ъп, + сш.) Ах^' ч) + ...

+ (а + Ъ + с )Дх('_1)

пп пп пп п

Полученные модели являются системами двух-шаговых конечно-разностных уравнений. На каждом этапе развития предприятия в ходе осуществления им одного или нескольких взаимодействующих инвестиционных проектов показатели х(() являются оценкой состояния каждого из проектов. Анализ динамики изменения этих показателей позволяет построить траекторию ихдвижения во времени.

Устойчивость модели к входным данным

Исследуем на предмет устойчивости к входным данным 2- и 3-мерные общие модели. Выполним ряд преобразований над системами (1) и (2), в результате которых получим следующее выражение: х(к) = 2х(к-1) - Ах(к-2) + С(к), где* = 2,...,и. (3) Таким образом, имеем двухшаговую модель с начальными данными х(0) и х(1)- Для модели двух инвестиционных проектов матрица Z и вектор С определяются как:

Г А1 + Д1 А2 + Д2

+ ^21 А2 + ^22

(Я (к)

С(к) =

21 23 Мес.

г =

Е(к) + Та(к)

А =

\

А1 4: Ап А

,(к)

Е(к) + Та

2 -I- 1 «2 У

(1)

Изменим начальные данные х и х Тогда по формуле (3) получим: х(к) = 2х(к-1) - Ах(к-2) + С(к). (4) Из выражений (3) и (4) находим разность решений, полученных для разных начальных данных:

?(к-2) N

X(к) - х(к) = г(х(к-1) - х(к-1)) - А(х(к-2)-Переходя к нормам, получим:

ИХ(к) - х(кЧ < I\г(х(к-1) - х(к-1))| + I\А(х(к-2) - х(к-2))||

или

е(кЧ < г(х(к-1) - х(к-1) ) + \А(х(к-2) - х(к-2))

(5)

где||ек|| = ||х(к) - х(к)||.

С помощью выражений (4) и (5) проводим исследование модели на устойчивость к входным данным. Погрешности начальных данных задава-" ~(0) = 0 и I|е(1)|| = 5II х(1) II, где 5 - отно-

лись равными: е

г(1).

сительная погрешность начальных данных хл

На рис. 1 приведены расчеты погрешности решения для двух взаимодействующих инвестиционных проектов, при 5 = 10%, 5 = 20% и 5 = 30%. Видно, что погрешность быстро затухает с увеличением номера периода к.

Расчеты показателей модели на практике

Проведем практические расчеты на примере взаимодействующих инвестиционных проектов компании по оказанию услуг в области информационных технологий ООО «Система» (название изменено в целях соблюдения коммерческой тайны) за 2007—2008 гг. (табл. 2).

Первый проект был посвящен организации консультационной поддержки клиентов компании в области информационных технологий, второй проект был связан с установкой систем электронной сдачи отчетности в государственные органы (налоговая инспекция, пенсионный фонд и др.). В качестве входных данных были взяты помесячно значения доходов, налогов и расходов по каждому инвестиционному про-

Таблица 2

Доходы, расходы и налоги ООО «Система» при осуществлении двух инвестиционных проектов

за 2007—2008гг.,тыс. руб

Параметр Месяцы

Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

2007

х1 41,8 51,56 75,46 60,96 65,06 86,31 71,56 55,66 104,428 82,653 85,8 84,56

х2 0 0 0 0 0 0 0 0 2,728 3,267 7,36 0

Е, 18,33 40,769 35,085 34,311 32,778 50,941 29,876 36,324 46,61 36,669 46,064 36,815

е2 0 0 0 0 0 0 0 0 1,218 1,449 3,951 0

Та 1 7,131 8,97 12,305 10,813 10,574 13,72 12,282 11,613 16,394 14,672 14,119 14,819

Та2 0 0 0 0 0 0 0 0 428 580 1,211 0

2008

х1 77,09 80,66 99,46 111,74 91,77 101,7 118,869 118,420 108,820 158,95 132,99 147,265

х2 0 4,435 0 0 0 1,275 4,204 5,505 5,719 11,495 1,3 2,647

Е, 57,36 43,318 61,892 67,266 96,762 65,805 44,429 64,838 51,921 81,433 79,614 96,881

Е2 0 2,382 0 0 0 825 1,571 3,014 2,729 5,889 778 1,741

Та 1 19,68 15,448 14,217 17,17 18,122 72,168 17,53 17,859 22,735 20,528 20,576 23,48

Та2 0 849 0 0 0 905 620 830 1,195 1,485 201 422

екту в отдельности. В качестве коэффициентов модели были взяты усредненные значения перераспределения средств между проектами и их составными частями.

На основании представления модели (1) построим систему для этого примера (коэффициенты были предоставлены руководством компании):

.о - тг(').

м)

'1 М 1 * "1 1 1 1

+ 0,00525x2'_1) + 0,01209Ах,('_1) + 0,00178Дх2'ч)

(')

= £2') + Та? + 0,00554х,'" +

•2'_1) + 0,00054Дх^ + 0,00014Ах2'_1) На рис. 2 показаны две траектории движения первого инвестиционного проекта: первая построена на основании уже имеющихся данных, вторая — на основании модели.

На рис. 3 показаны траектории движения второго инвестиционного проекта, который взаимодействовал с первым. При сравнении значений показателей траекторий движения инвестиционных проектов, полученных с помощью математической модели, с данными контрольного примера было рассчитано среднее значение расхождения прогноза от фактических значений, которое составило 23 %. При этом средняя ошибка для первого проекта составила 16%, для второго проекта — 30 % (такой высокий процент расхождений можно объяснить тем, что второй проект в определенные периоды имел нулевой доход).

На 18-й месяц (период) осуществления инвестиционных проектов при-

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

шелся пик расхождении прогнозируемой и реальной траекторий движения инвестиционного проекта. В течение трех предшествующих месяцев проект динамично развивался, о чем свидетельствует соответствующая траектория движения проекта. В силу того, что модель является двухшаговой системой конечно-разностных уравнений, рост траектории продолжился, а реальная картина ухудшилась — это в совокупности и породило резкое расхождение. Но в дальнейшем своем движении траектория отразила наметившуюся тенденцию и уже к 20-му месяцу относительная погрешность стала сравнительно небольшой. Если же не учитывать влияния резкого пика расхождений, пришедшегося на 17-й и 18-й месяцы исполнения проектов, то средняя ошибка по проектам составит 18 %.

1

3

5 7 9 11

Фактические доходы Прогнозируемые доходы

13 15 17 19

21

23 Мес.

Рис. 2. Динамика доходов ПМБ от первого инвестиционного проекта,

тыс. руб.

23 Mec.

Фактические доходы Прогнозируемые доходы

Рис. 3. Динамика доходов ПМБ от второго инвестиционного проекта, тыс. руб

Таблица 3

Результаты исследований шести предприятий за 2008 г.

отдельным инвестиционным проектам, то объяснением этого является нестабильное продвижение этих проектов и их серьезное отклонение от запланированных значений.

В целом, спрогнозированные траектории движения повторяют реальное поведение взаимодействующих инвеста -ционныхпроектов. Имеющиеся отклонения не оказывают значительного влияния на траекторию движения проектов.

Заключение

Предприятие Количество периодов Количество проектов Ошибка, %

Проект 1 Проект 2 Проект 3 Средняя величина

ПМБ-1 12 2 18 30 - 24

ПМБ-2 12 3 16 16 9 14

ПМБ-3 12 3 31 26 35 31

ПМБ-4 12 2 8 64 - 36

ПМБ-5 12 2 45 29 - 37

ПМБ-6 12 2 13 53 - 33

Были проведены дополнительные исследования шести разных предприятий за 2008 г., обобщенные результаты приведены в табл. 3.

Полученные значения ошибки расхождения являются сравнительно небольшими для быстро меняющейся области предприятий малого бизнеса. Что касается довольно больших расхождений по

В работе предложена новая математическая модель, позволяющая отслеживать траектории движения взаимодействующих инвестиционных проектов в рамках одного предприятия малого бизнеса.

Использование математической модели траекторий движения взаимодействующих инвестиционных проектов, основанной на анализе движения денежных потоков смежных инвестиционных проектов по трем основным направлениям — накопление, дивиденды и инвестиции — и учете их влияния на каждый проект в отдельности, позволило авторам работы по-новому взглянуть на изучение вопроса движения траекторий инвестиционных проектов. Такой подход сделал возможным сравнительно эффективно отслеживать траектории движения инвестиционных проектов в случае нехватки ресурсов для проведения анализа в условиях малого бизнеса.

Прогнозирование траекторий движения инвестиционных проектов с использованием созданной модели позволяет видеть тенденции движения проектов предприятия малого бизнеса.

Список литературы

1. Важдаев А. Н. Модель и алгоритм анализа процесса самоорганизации новых инвестиционных проектов на основе предшествующих //Известия Южного федерального университета. Технические науки, 2009. № 2.

2. Тладышевский А. И. Некоторые особенности разработки и отбора инвестиционных проектов для малого бизнеса // Проблемы прогнозирования, 2005. № 5.

3. Почукаева О. В. Прогнозирование межотраслевой эффективности взаимодействующих производств // Проблемы прогнозирования, 2004. № 6.

4. Родионов В. В., Суетина Т. А. Экономико-математическая модель инновационного проекта в авиационной промышленности //Известия вузов. Авиационная техника, 2003. № 3.

5. Чернов В. Т. Мягкие вычисления в инерционных моделях динамики инвестиционных проектов // Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена, 2007. №41.

6. Чистов Л. ^.Эффективное управление социально-экономическими системами. СПб.: Петрополис, 1998.

7. Царев В. В. Оценка экономической эффективности инвестиций. СПб: Питер, 2004.

8. Царев В. В., Новиков А. В. Выбор типичного предприятия-аналога / http://www.cfm.ru/fmanalysis/value/analog-mai. shtml.

9. Яновский В., Торянский Д. Методы и критерии оценки эффективности инвестиционных проектов // Риск: Ресурсы, Информация, Снабжение, Конкуренция, 2009. № 1.

10. URL: http://www.volsu.ru/s_conf/tez_htm/024.htm.