Математическая модель течения жидкости через модулятор динамического роторного гидромеханического диспергатора с упругим элементом Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

----------------------------------- © Л.В. Кулецкий, А.М. Балабышко,

2005

УДК 622.33.002.5

Л.В. Кулецкий, А.М. Балабышко

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ МОДУЛЯТОР ДИНАМИЧЕСКОГО РОТОРНОГО ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОГО ДИСПЕРГАТОРА С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ

Семинар № 16

Я а сегодняшний день приведено достаточно доказательств того, что динамический роторный гидромеханический диспергатор (ДРГМД) с упругим элементом, соединяющим валы роторов аппарата и привода, удовлетворяет всем признакам автоколебательной системы. Для построения математической модели, описывающей автоколебания ротора ДРГМД и скорость течения жидкости через модулятор, примем следующую физическую модель.

Пусть на ротор действуют следующие моменты сил:

- момент упругих сил со стороны упругого элемента Муп= сф, где с - коэффициент упругости кручения, ф - угловое смещение от положения равновесия ротора аппарата относительно вращающейся системы координат;

- момент сил Кориолиса, возникающий вследствие радиального течения жидкости в патрубке вращающегося ротора Мкор=2<рІр.3а^(у(ґ), где р - плотность жидкости; 1р.э.=1р+1пр - эффективная длина ротора равная сумме длины патрубка в боковой стенке ротора и присоединенной длине на входе в патрубок ротора, которая возникает при нестационарных течениях и физически следует из-за наличия присоединенной массы; ар - ширина патрубка ротора; Н - высота патрубка ротора; w0 -скорость вращения привода, у(ґ) - переменная скорость течения жидкости за период; ґ - время; 2с - число патрубков в

статоре, равное числу патрубков в роторе, которые открывают на данном периоде модуляции патрубки статора, остальные 2р

- 2с патрубков ротора являются закрытыми, естественно, при эквидистантном расположении патрубков на боковой рабочей поверхности ротора и статора. Если N =

1Р/1С, то 1р - 1С = (N-1) 1С, где N, как правило, целое число. В этом случае все патрубки статора идентичны: они начинают открываться и закрываться одновременно.

Допустим, что дополнительный момент сил вязкого сопротивления в зазоре, который определяется только дополнительными колебаниями ротора, пропорционален колебательной скорости:

Мсоп = к~Т = кф (1)

аґ

где к - коэффициент увлечения жидкости в полости ротора, зависящий от объемного расхода жидкости через аппарат, формы внутренней полости ротора, вязкости жидкости.

При вышеуказанной физической модели запишем уравнение колебаний ротора относительно лабораторной системы отсчета:

•ф = Мкор - кф - сф, (2)

где ф = — 2ф/ —2; • - сумма приведенных моментов инерции колебательной системы и присоединенной массы жидкости.

Приведенный момент инерции роторов аппарата 1а и привода 1п вычислим по формуле:

•а

(3)

1 + J п / Ja

Здесь предполагается, что 1п>>1а , хотя последнее выражение не ограничено приведенным неравенством. Оно справедливо для любого соотношения моментов инерции роторов.

Для вычисления момента инерции присоединенной массы жидкости допустим, что масса жидкости в зазоре между ротором и статором много меньше массы жидкости в полости ротора и ею мы будем пренебрегать. Присоединенную массу жидкости в полости ротора вычислим из кинетической энергии вращающейся жид-

кости:

л_-,

И

^0; —Іпж = I ^0крг2пг—гНв

—р *р

= пкрНвw02 | гъйг =

(4)

PH в [(* р - Ір )4 -I

4

2

Отсюда следует, что момент инерции при соединенной массы жидкости

в полости ротора вычисляется из выражения:

_ П

J пж ~ рН в Х

2

Ов

X [(* р - Ір )4 -\-2Lj ] (5)

где г - радиальная координата; Не - высота полости ротора;

К уточнению площади проходного сечения диафрагмы модулятора динамического роторного ГМД

- внутренний диаметр входного патрубка в аппарат; *р - радиус внешней рабочей поверхности ротора.

Проведя алгебраические преобразования, формула (2) примет вид:

ф + 2вф + П 2ф = / + ффу(ґ), (6)

где в = к/2І О02 = с/І; /0= р 1р.эарН/1 - в нашей физической модели постоянные.

Скорость течения жидкости в патрубке статора у(ґ) определим из уравнения Коши-Лагранжа [1] при развитом турбулентном (автомодельном) течении, которое наблюдается при значении модифицированного критерия Рейнольдса Яв0с = у0—эср/ц>500 [2], где у0 = (2АР/р)1/2 - скорость течения идеальной жидкости с плотностью р при разности давления жидкости на моду-ляторе АР; —эс = 48а/Пс - эквивалентный гидравлический диаметр патрубка статора; 8с = а^Н - площадь проходного сечения патрубка статора шириной ас и высотой Н, в данном случае равной высоте патрубка ротора; Пс = 2(ас+Н) - смачиваемый периметр нормального сечения патрубка статора.

= Но[і-#(ф',ф',ґ')У2(ф',0] , (7)

где ф ’ = ф/^0І0; Ус - скорость течения жидкости в патрубке статора; Но = у$^21 - критерий гомохронности, харак-

2

2

2

4

4

теризующий нестационарность процесса течения жидкости; ґ0 = ас^0Кр - масштаб времени; І - эквивалентная длина модулятора; £(ф’,ф' ,ґ’) - коэффициент гидравлического сопротивления модулятора, зависящий от относительных углового смещения ф’ от положения равновесия во вращающейся системе координат, колебательной скорости ф ' ’ и относительного времени.

Искомая скорость в патрубке ротора определяется из уравнения непрерывности несжимаемой жидкости

УсасН = УрарН. Откуда следует

Ур = удг / а„ = Ус / А

(8)

(9)

Допустим, что коэффициент гидравлического сопротивления £ при нестационарном течении несжимаемой жидкости (//узв<<Т, что всегда выполняется; Т - период модуляции, узв - скорость звука в жидкости) равен коэффициенту гидравлического сопротивления при стационарном течении. В несжимаемой жидкости скорость возмущения равна бесконечно большой величине, и говорить о фронте волны некорректно, и, тем более, об его искажении при нестационарном течении - источнике зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от ускорения.

Исходя из справочной литературы для гидравлических сопротивлений получим выражение для коэффициента гидравлического сопротивления модулятора:

1

+ £в,

SsS') - 1 у где = const = 1; ^ = const = 0,5;

(10)

е = 0,57+0,043/(1,1-S’) (11)

[(1 + p')t', 0 < t'< t[, S'(t1) = 1

s'(t1) - (1 + p')t', t1 < t'< t2, s'(t2) = s.

(12)

S'=S'+

где ґ’ = ґ / ґ0; д’=д/ас; д - величина радиального зазора между ротором и статором;

$’= £>дф (ґ’)/$0с; у’=у/у0; ґ1 и Ґ2 определим ниже. Очевидно, что (Бдф (ґ))тах = асН , тогда (8 (ґ ))тах 1.

Выражение для определения Б’(ґ’) представляет собой кинематическое уравнение движения внешней рабочей боковой поверхности ротора относительно статора и его неподвижных патрубков. При рассмотрении движения патрубков ротора относительно патрубков статора возможны три варианта: ар>ас (А>1); ар = ас (А = 1); ар<ас (А<1). Практический интерес представляют только два первых варианта: А>1.

При движении ротора от начального момента времени ґ0= 0 до ґ1 площадь проходного сечения диафрагмы модулятора 8(ґ) = ар(ґ)Н, где ар(ґ) - переменная ширина прямоугольной диафрагмы высотой Н; Б’(ґ’) = Нар(ґ)/асН = ар(ґ)/ас, а величину ар(ґ) можно найти из следующего дифференциального уравнения

daP

■= (wo +p) Rp

(13)

Л/ ' 0 " р’

с начальными условиями в общем виде:

/ = ф = ф^о) (14)

откуда

ар(/) _ Яр [^ (/ - /о) + Р(/) - 'РОо)]. (15)

В частности, при г0 = пТ, п = 0, 1, 2, 3, ..., получим:

ар (/) _ Яр [^о (/ - пТ) + р(/) - р(пТ)], (16) а при п = 0

ар (/) _ Яр [м>о* + Ф(/)]. (17)

Тогда с учетом решения дифференциальных уравнений (13) и (14), описывающих изменение ширины диафрагмы ар(г), выражение для величины 8’(г’) примет вид:

2

S '(f) =

Rp [wo (t - to) + P(t) - p(to)]/ ac,

1,

1 - Rp [wQ (t'-t\ ) + p(t') - p(t\ )]/ ac

S',

nT’ < t < nT’+t’1;

nT’+t’1 < t'< nT'+t'2; nT'+t'2 < t'< nT'+t'3; nT'+t'3 < t < (n + 1)T’.

(18)

Для уточнения формул (12) и (18) для площади проходного сечения диафрагмы рассмотрим относительное движение боковых стенок ротора и статора (рис. 1). За начало отсчета периода модуляции примем момент времени, когда совпадают точки Ар и Вс (они находятся на одном радиусе вращения) и начинается процесс открывания патрубка статора, тогда ґ1 в формулах (12) и (18) соответствует моменту времени совпадения точек Ар и Ас, когда заканчивается процесс открывания патрубка статора, ґ2 - моменту времени совпадения точек Вр и Вс, когда заканчивается промежуток времени истечения жидкости через открытый патрубок статора, ґ3 - соответственно точек Вр и Ас, когда заканчивается процесс закрывания патрубка статора, ґ4 - момент времени, когда

процесс модуляции заканчивается и точка Ар совпадает с точкой Вс1 и процесс модуляции приходит в исходное динамическое состояние, эквивалентное совпадению точек Вр и Вс.

В заключение заметим, что для дифференциального уравнения, описывающего колебательный процесс, наличие нелинейности для члена, содержащего первую производную, ведет к возникновению устойчивых автоколебаний, которые описываются уравнениями (6), (7), (10), (11), (18), и условием периодичности функций £ке(г) = £кв((+Т), отсюда следует, что у(г) = у(/+Т), ф(/) = ф(/+Т), замыкающие задачу по определению колебаний ротора и скорости течения через модулятор динамического роторного гидромеханического дис-пергатора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Балабышко А.М., Карепанов С.К., Юда-ев В. Ф. Механизм автоколебаний подвижных элементов роторного аппарата. Сборник трудов Х1У Международной конференции «Математические методы в технике и технологии». Т. б, Смоленск, 2001 г.

2. Юдаев В.Ф. Переходный режим течения

жидкости через модулятор роторного аппарата. Строительные материалы, оборудование, технологии ХХ1 века. № 12, 2002 г., с. 27.

— Коротко об авторах -------------------------------------------------------------------

Кулецкий Л.В.,

Балабышко А.М - профессор, доктор технических наук,

кафедра «Горные машины и оборудование», Московский государственный горный университет.