CC BY
17
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В РАДИАЛЬНО ВРАЩАЮЩЕМСЯ КРИВОЛИНЕЙНОМ КОНВЕРГЕНТНОМ КАНАЛЕ
А.Г. БАГОУТДИНОВА, Я.Д. ЗОЛОТОНОСОВ
Казанский государственный энергетический университет
В работе на базе полных уравнений движения и неразрывности рассмотрено течение вязкой жидкости в криволинейном конвергентном канале. Решение системы уравнений с граничными условиями позволит определить параметры скоростей и давлений в проточной части канала.
Рассмотрим течение жидкости в криволинейном конвергентном канале, вращающемся вокруг своей оси, перпендикулярной направлению движения жидкости, с постоянной угловой скоростью ю . Течение жидкости ламинарное, установившееся, стационарное. Вращающийся канал представляет собой поверхность вращения, которая задана уравнением 2 = Н(т), снабженную радиальными лопатками (рис. 1, 2).
Рис.1 Схема конвергентного канала
Рис.2 Сечение канала
Запишем уравнения движения и неразрывности для течения вязкой жидкости в цилиндрической системе координат г,ф,г с учетом центробежных и кориолисовых сил [1, 2]:
д Уг д г
д Уф
+ у дУ^ г д г
дУ
д ф
1 д р р д г
+ V
у2у. -
2д Уф г2д ф
+ 2ю Уф + ю г;
у._Ф+ УФ-дуФ + V;
ф
д г
д уг д г
г дф
УФд уг
гд ф
д У. д Уг
дг
д уг д г 1 д Уф
+ Уг
УгУф = 1 д р
г
1 д р
рг д ф
+ V
- 2юУ.;
(1)
= --^ + vV2У1 р д г
дг
г. + = о,
г д ф
+
+
г
+
+
+
д
г
г
© А. Г. Багоутдинова, Я. Д. Золотоносов Проблемы энергетики, 2005, № 7-8
_2 д2 1 д 1 а2 д2
где V =------— +-------+ —----------------------— +-— - оператор Лапласа.
а г2 г д г г2 дф2 д г2
В качестве условий однозначности для системы уравнений (1) зададим
профили скорости, давление во входном сечении канала и граничные условия на твердых стенках:
г = 0 : У, = 0, дР = 0, У = „, ^ = „ ф = 2 : Уг = 0, Уф=юг, У = 0;
г дг ’ дг ’ дг 2 (2)
г = И(г) : Уг = 0, Уф =юг, Уг = 0 ; ф = -2.. уг = 0, Уф = юг, Уг = 0.
Кроме того, при ф = -2 следует учесть влияние сил Кориолиса.
Решение системы (1) будем искать в виде
Уг = «0/(%,Ф), Уф = «0с(%,ФЬ Уг = «0н(%,Ф), Р- Р0 = «0Рт^ф). (3)
Здесь % = — - безразмерная переменная; «0 - начальная скорость; Р0 -г
давление на свободной границе; /с,Н,¥ - соответственно безразмерные
компоненты радиальной, тангенциальной, осевой скоростей и параметра давления.
Подставляя вид решения (3) в систему (1), получим
V-5/)+СV -с2V 5+±\? /+(,+42)д22+ г/ -2дс _ 1 +^^
' ^'д? дФ ^ д? ЯеУ д? V ^ /=,,2 а_2 дФ ■>\
д? дф
( - 5 /)+С/с д? дФ
дф Яе
1\*дС ( ^д2? дС „д/ „1 „ДГ,
—^%-дг+р ?2ЯЧ +^+2^ф-сг- 1М/;
Яе\ д% ' 'д52 дф2 дф ]
Г(я - 5 /)+сМЪ-дт +Х \? 8Н+(,+?2)522+ А/
' ^'д? дф д? Ве\ д? ' ' ак2 -з_2
(4)
д? дф ^
? д/-зн-дс -/=0 д? д? дф
д? Яе \ д? ' 7д?2 дф
Здесь N = Юг - число закрутки; Яе = «0 г - число Рейнольдса.
«0 v
Граничные условия (2) трансформируются к виду
% = 0: Н = 0,= 0, — = 0, — = 0; ф = “2: / = 0 Н = 0, ° = ^
* д% д% д% 2
% = %я: / = 0,Н = 0,в = N ф = --2 : / = 0, Н = 0, в = N.
2
Силы Кориолиса на стенке определим из уравнения баланса сил трения и давления при установившемся движении вязкой жидкости
Я сеч
АР = £ б
ок (ргг + Руг )+ Рк .
(5)
Здесь >Усеч - площадь радиального сечения; ^боК -площадь бокового сечения канала; ргг, Рф2 - тензоры напряжений, вычисляемые по формулам[1]
Ргг =Ц
Уг +Э Уг 'I Гд Уф 1 д у.
, ф. ^ дг г Зф
+ -
(6)
тела.
д г д г
= 2юКфМ - сила Кориолиса, где М = рУ - масса жидкости; V - объем Объем тела вычислим по формуле
У =
.0
/ к"1 (г) йг
+ г 2 г
Здесь г = к (г) - обратная функция к функции г = к(г); 20 = к(т0) ; и -число лопаток.
Радиальным сечением канала будет являться часть боковой поверхности цилиндра радиуса г , высотой 2г. Площадь сечения вычисляется по формуле
4пгг
Площадь боковой поверхности канала складывается из площадей лопаток и двух частей площади поверхности вращения:
( - ^
Ябок = 2 '
|к(г) йг + — |к 1 (г) 1 + (йк 1 (г)/йг )йг
г0
Подставив выражения (3), (6) в (5), получим
ЯсечР =
Я
бок
Re
д / ед Н д О д Н
+ -
2 НОУ
д£ ’ д£ дЕ дф
Таким образом, для определения параметров скоростей и давления в проточной части радиально вращающегося конвергентного канала следует решать систему (4) со следующими граничными условиями:
Е = 0: Н=0, д/ = 0, — = 0, — = 0; ъ д§ д£ дЕ
Е=Е: / = 0,H = 0,0=N ф=^2: / = 0, Н=0, О=N Р= Ябок
1 Гд / „д Н д в д Н
1 —=^-Е-------+—+---------
Ясеч Re^дЕ дЕ дЕ дф
+-
2НвУ
гЯс
ф = -—: / = 0, Н=0, в=N. 2
2
п
п
Интегрирование системы уравнений (4) с граничными условиями (7) позволит определить параметры скоростей и давления в проточной части радиально вращающегося криволинейного конвергентного канала.
Summary
The mathematical model of viscous liquid flow in radially rotating curvilinear convergent channel is studied in this paper. The integration of motion and continuity equation system with boundary conditions enables to find volocity and pressure parameters in flow through area of the channel.
Литература
1. Лойцянский Л.И. Механика жидкости и газа.- Изд. 4-е.- М.: Наука, 1973.- 840 c.
2. Соколов В.И. Центрифугирование.- М.: Химия, 1976.- 408 с.
Поступила 12.07.2005
