CC BY
36
Машиностроение к компьютерные технологии
Сетевое научное издание
http://www.technomagelpub.ru
Ссылка на статью:
// Машиностроение и компьютерные технологии. 2017. № 10. С. 1-12.
Представлена в редакцию: 13.09.2017
© НП «НЭИКОН»
УДК 621.865, 004.942, 519.876.5
Математическая модель связи "винт-гайка" для универсальных программ анализа динамических систем
^_______________п А 1,*
Мартынюк В.А. , Трудоношин В.А. Федорук В.Г.1
Ши1опо&11Ц1@та1[л1
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В статье рассматривается математическая модель связи двух трехмерных тел по типу "винт-гайка", пригодная для использования в универсальных программах анализа динамики технических объектов. Кроме математических зависимостей, описывающих поведение тел, связанных данным типом связи, приведена его эквивалентная схема, позволяющая визуально оценить влияние отдельных компонентов сил и моментов на связываемые тела. Приведено сравнение результатов расчета динамики объекта, включающего данный тип связи, в программном комплексе ПА8 и модуле динамики комплекса NX10.
Ключевые слова: математическая модель, моделирование систем с сосредоточенными параметрами, механика твердых тел, комплекс моделирования
Введение
Для моделирования поведения сложных трехмерных механических систем в настоящее время широкое распространение получили универсальные программные комплексы такие как АМЕб1ш [1], МаШМоёеНса [2], БтиМопХ [3], ПА9 [4], РКАОК [5]. В данной статье рассматривается математическая модель (ММ) связи "винт-гайка", адаптированная к особенностям методики моделирования пространственных механических систем [6]. Примерами моделей, полученных с использованием данной методики, могут служить ММ упругой балки [7] и карданного шарнира [8].
1. Математическая модель
Связь "винт-гайка" (рис. 1) рассматривается как невесомая связь между двумя абсолютно жесткими телами.
Рис. 1 Связь "винт-гайка"
В качестве одного из тел может выступать неподвижное основание, с которым связана глобальная система координат (ГСК). Тело обладает масс-инерционными свойствами. Его состояние характеризуется значениями следующего набора переменных: Ух, Уу, У2 - компоненты вектора линейной скорости центра масс в ГСК; шх, шу, ш2 - компоненты вектора угловой скорости тела в ГСК; х,у,г - координаты центра масс тела в ГСК;
Чо, Чъ Ч2, Ч3 - параметры Эйлера [9], определяющие угловую ориентацию тела в ГСК.
Параметрами связи "винт-гайка" являются следующие:
- шаг резьбы на радиан угла поворота И;
- координаты точки на оси винта в локальной системе координат (ЛСК) тела 1;
- направляющие косинусы оси винта в ЛСК тела 1;
Отметим, что параметры связи - величины постоянные и определены в ЛСК тела 1.
Однако все расчеты, связанные с моделированием пространственной системы, выполняются в единой ГСК. В связи с этим необходим постоянный пересчет параметров связи из ЛСК первого тела в ГСК. Такой пересчет несложен - сначала по параметрам Эйлера находится матрица поворота, которая затем умножается на соответствующий вектор (локальных координат или направляющих косинусов). В результате имеем:
- гх, гу, гг, - компоненты радиус-вектора из центра масс тела 1 в точку на оси
винта в ГСК;
- сх, су, сг, - направляющие косинусы оси винта в ГСК.
Компоненты радиус-вектора из центра масс тела 2 в точку на оси винта в ГСК рассчитываются с помощью простых выражений
П
X
= X1 + Гх — X2,
ту = У1 + Гу - у2, г2 = г1 + г/ — г2.
Поведение связи "винт-гайка" описывается следующими группами уравнений. Во-первых, относительная линейная скорость центров масс двух тел однозначно связана с их угловыми скоростями, что дает следующие три зависимости:
ц.21 _ — Гуш1 — г2Шу +ГуШ2 + 1г(Шх — а>х),
V21 = -г/+ + г2ш2 - г2ш2 + к(ш2 - Ц),
V21 = ГуШх — Т%й)у — Гуй)2+ Г2Шу + Л. О! — (¿1).
Во-вторых, вектор разности угловых скоростей тел направлен вдоль оси винта: (ш2 — ш1)/сх = (ш2 — ш1)/Су) = ((¿1 — ш\ ) /с г,
отсюда
ШУ 1 = (ШУ — Ш>0 = (ШХ — сУ / с Х-: шг1 = (— шг) = (шх — ш1) сг/сх.
В-третьих, сила реакции в связи создаёт моменты, действующие на связываемые
шарниром тела. Это еще шесть зависимостей
М1 = -г1 И21 + г1/^21 11х г 1у ' 'у1 г >
М1 — ггР21 — г1/^21 1 1у 'г 1х 'х 1 г >
М1 = -г1 И21 + г1/^21 1 'г 'у 1 х ' 1 х 1 у >
М2 — г2Р21 — г2Р21 1 1х 'г 1 у у г >
М2 = — г2Р21 + г2Р21
J 'г 1 х ' 'х 1 г >
М2 — г2Р21 — г2Р21 1 'г 'у 1 х 1 х 1 у >
где - компоненты силы реакции, измеряемые в источниках .
В-четвёртых, вектор разности моментов сил инерции тел перпендикулярен оси винта (его проекция на ось равна нулю):
схМ21 + СуМ21 + с2М21 = 0.
Отсюда
с м21 + г М21
х ~ >
Сх
где - компоненты вектора момента, измеряемые в источниках .
В-пятых, момент, обусловленный поступательным движением гайки вдоль оси винта, зависит от силы реакции в связи и шага резьбы:
Ма = к (1 + Су1у2 1 + 1 ) .
Его компоненты по осям координат вычисляются по формулам
= схМа,
= суМа, = с2Ма.
Эквивалентная схема ММ связи "винт-гайка" представлена на рис. 2. Она позволяет визуально оценить влияние отдельных источников сил, моментов сил и скоростей на связываемые тела. Кроме того в программных комплексах ПА8 и ПА9 по эквивалентной схеме автоматически строятся топологические уравнения.
Рис. 2 Эквивалентная схема ММ связи "винт-гайка"
Следует отметить два недостатка данной модели.
1) В некоторых выражениях ММ присутствует деление на направляющий косинус сх оси винта. Это обстоятельство приведет к исключению "деление на ноль" в ситуации, когда ось винта окажется перпендикулярной оси x ГСК.
2) В модели не фигурируют координаты центров масс тел, соединяемых связью. Это может привести к значительному "рассогласованию" в положении тел в ходе моделирования многопериодических переходных процессов. Однако, указанный недостаток можно устранить, дополнив ММ упругой связью.
2. Вычислительные эксперименты в комплексе ПА8
Для проверки предложенной ММ были выполнены вычислительные эксперименты средствами программного комплекса ПА-8, связанные с моделированием поведения механической системы "домкрат", структура которой представлена на рис. 3.
Рис. 3 Общий вид механической системы "домкрат"
Основные параметры системы: длина тяг - 130 мм, масса верхнего башмака (совместно с поднимаемым грузом) - 306 кг, сила веса, действующая на башмак, - 3000 Н, начальное положение башмака - 130 мм по вертикали. Шаг резьбы винта - 2 мм/об, ручка винта принудительно вращается с угловой скоростью 2 об/с. Начальные значения скоро-
стей всех элементов объекта согласованы с этим воздействием. Модельное время расчета -10с.
На рис. 4 представлены результаты вычислительного эксперимента.
Файл Вид Изменить Окно Команды
Рис. 4 Результаты численного эксперимента
Здесь красный график - значение вертикальной координаты (м) центра масс башмака; синий - значение горизонтального смещения (м) центра масс винта; зеленый - значение горизонтальной силы (Н) в паре "винт-гайка"; коричневый - значение момента сил (Н*м) в паре "винт-гайка". Значения диапазонов построения графиков даны в левой части рисунка (сверху верхние пределы, снизу - нижние).
3. Вычислительные эксперименты в комплексе ^10
Для проверки адекватности предложенной реализации ММ также выполнялось моделирование описанной механической системы "домкрат" с помощью встроенных средств динамического анализа ПК NX10[10]. На рис. 5 дан график зависимости величины вертикально перемещения (мм) башмака от времени. Различие в абсолютных значениях положения башмака на рис. 4, 5 обусловлено неодинаковым положением начала системы координат в численных экспериментах.
Рис. 5 График зависимости перемещения от времени
Рис. 6 содержит график зависимости момента сил (Н*мм) в паре "винт-гайка".
2 4 6 3
Рис. 6 График зависимости момента от времени
Сравнение полученных результатов показывает совпадение достаточное для практических расчетов.
4. Учет сухого трения в паре "винт-гайка"
Кроме того с помощью комплекса ПА-8 проводилось моделирование эффекта "самоторможения" в паре "винт-гайка". Для этого описанная модель дополнялась источником момента сил сухого трения, характеристика которого представлена на рис. 7.
м
(О
Рис. 7 Характеристика источника момента
Здесь М - генерируемый момент сил (Н*м), ю - разность угловых скоростей винта и гайки (рад/с), ю1 - малая величина (в эксперименте 1е-6 рад/с), М1 - величина, рассчитываемая как произведение среднего радиуса резьбы (0,01 м), коэффициента трения (0,1 для пары сталь по стали) и модуля (абсолютной величины) силы взаимодействия винта с гайкой в осевом направлении. Очевидно, что последний сомножитель является величиной переменной.
В численном эксперименте к винту прикладывался переменный момент сил пропорциональный модельному времени. Результаты эксперимента представлены на рис.8.
Здесь фиолетовый график - значение (Н*м) внешнего момента сил, действующего на винт; зеленый - значение (Н) осевой силы в паре "винт-гайка"; темно-коричневый - значение (Н*м) момента сил трения; красный график - значение (м) вертикальной координаты центра масс башмака; синий - значение (м) горизонтального смещения центра масс винта; светло-коричневый - значение (рад/с) угловой скорости вращения винта. Графики свидетельствуют, что домкрат удерживает "груз" неподвижным до тех пор, пока внешний момент не достигнет величины 7 Н*м.
Заключение
Результаты проведенных численных экспериментов показали применимость разработанной математической модели связи "винт-гайка" для исследования поведения сложных механических объектов с помощью универсальных программ анализа динамических систем.
Список литературы
1. LMS Imagine. Lab AMESim. The integrated platform for 1D multi-domain system simulation. Режим доступа:
http://www.dta.com.tr/pdf/lms amesim/lms amesim urun/brosuru.pdf (дата обращения 14.11.2017).
2. Wolfram System Modeler: Driving insight, innovation and results. Wolfram System Modeler - это удобная в использовании современная среда для численного моделирования мультифизических систем. Режим доступа: http://wolfram.com/system-modeler/ (дата обращения 14.11.2017).
3. Simulation X by ESi. Режим доступа: https://www.simulationx.com (дата обращения 14.11.2017).
4. Применение комплекса ПА9 для проектирования объектов машиностроения. Режим доступа: http://wwwcdl.bmstu.ru/Press/Press.html (дата обращения 9.11.2017).
5. PRADIS - программный комплекс для анализа динамики систем различной физической природы. Режим доступа: http://www.laduga.ru/pradis/pradis.shtml (дата обращения 9.11.2017).
6. Трудоношин В.А., Федорук В.Г. Методология моделирования трехмерных механических систем с помощью универсальных программных комплексов анализа // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 9. С. 225-236.
DOI: 10.7463/0915.0810599
7. Трудоношин В.А., Федорук В.Г. Математические модели балки и направляющих на ее основе для программ моделирования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 12. С. 215-225. DOI: 10.7463/1215.0824860
8. Трудоношин В.А., Федорук В.Г. Математическая модель карданного шарнира для универсальных программ анализа динамических систем // Инженерный вестник. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 11. С. 1032-1038. Режим доступа: http://engsi.ru/doc/850954.html (дата обращения 9.11.2017).
9. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел: пер. с англ. М.: Мир, 1980. 292 с. [Wittenburg J. Dynamics of systems of rigid bodies. Stuttgart: Teubner, 1977. 224 p.].
10. Данилов Ю.В., Артамонов И.А. Практическое использование NX. М.: ДМК Пресс, 2011. 331 с.
Mechanical Engineering & Computer Science
Electronic journal
http://www.technomagelpub.ru
Mechanical Engineering and Computer Science, 2017, no. 10, pp. 1-12.
Received: © NP "NEICON"
13.09.2017
A Mathematical "Screw-Nut" Connection Model for the Universal Software to Analyse Dynamical Systems
V.A. Martynyuk1, V.A. Trudonoshin1'*, V.G. Fedoruk1
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
trudono shiti@mail.m
Keywords: mathematical model, modeling of systems with concentrated parameters, mechanics of
solids, system modeling
The article deals with a mathematical model of the "screw-nut" connection adapted for using in universal software systems to analyse dynamic characteristics. This article is sequel to a number of earlier authors-written articles devoted to object simulation of 3D mechanics. Such a model available in the library of mathematical models of the modelling system will significantly extend the list of simulated mechanisms. The mathematical model of "screw-nut" connection suggests such a connection between absolutely rigid bodies. The "screw-nut" connection parameters are the following:
• thread pitch by the radian of the angle of pitch;
• coordinates of the point on the axis of the screw in the local coordinate system of the body 1;
• direction cosines of the screw axis in the local coordinate system of the body 1.
Note that the connection parameters have constant values. Two drawbacks of this model should be noted.
1. Some expressions of the mathematical model involve dividing by direction cosine cx of the screw axis thereby eliminating "division by zero" when the axis of the screw is perpendicular to the x-axis of the global coordinate system. The software-based way allows eliminating this shortcoming.
2. The model does not include coordinates of mass centres of bodies tied by connection. This can lead to a significant "mismatch" in the position of the bodies in modelling of multi- periodic transient processes. However, adding an elastic model to the mathematical model can eliminate this drawback.
The article demonstrates the "screw-nut" connection model to simulate a jack using the PA8 system and comparing its results with those obtained with help of the NX10 complex.
Gives, in addition, the results of influence in terms of dry friction in the "screw-nut" connection. Taking into consideration the dry friction allows us to reflect the effect of "self-stopping" in the jack.
References
1. LMS Imagine. Lab AMESim. The integrated platform for 1D multi-domain system simulation. Available at: http://www.dta.com.tr/pdf/lms_amesim/lms_amesim_urun/brosuru.pdf, accessed 14.11.2017.
2. Wolfram System Modeler: Driving insight, innovation and results. Wolfram System Modeler - eto udobnaia v ispol'zovanii sovremennaia sreda dlia chislennogo modelirovaniia mul'tifizicheskikh system [Wolfram System Modeler: Driving insight, innovation and results. Wolfram System Modeler is convenient to use a modern environment for numerical simulations multiphysics systems]. Available at: http://wolfram.com/system-modeler/, accessed 14.11.2017 (in Russian).
3. Simulation X by ESi. Available at: https://www.simulationx.com, accessed 14.11.2017.
4. Primenenie kompleksa PA9 dlia proektirovaniia ob'ektov mashinostroeniia [The use of complex nA9 for the design of engineering objects]. Available at: http://wwwcdl.bmstu.ru/Press/Press.html, accessed 9.11.2017 (in Russian).
5. PRADIS - programmnyj kompleks dlia analiza dinamiki system razlichnoj fizicheskoj prirody [PRADIS - software complex for the analysis of dynamics of various physical systems]. Available at: http://www.laduga.ru/pradis/pradis.shtml, accessed 9.11.2017 (in Russian).
6. Trudonoshin V.A., Fedoruk V.G. A simulation technique for three-dimensional mechanical systems using universal software systems of analysis. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2015, no. 9, pp. 225-236.
DOI: 10.7463/0915.0810599 (in Russian)
7. Trudonoshin V.A., Fedoruk V.G. Mathematical models of beam and rails for the simulation programs. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2015, no. 12, pp. 215-225. DOI: 10.7463/1215.0824860 (in Russian)
8. Trudonoshin V.A., Fedoruk V.G. A mathematical model of u-joint for multi-purpose programs for the analysis of dynamic systems. Inzhenernyj vestnik MGTU im. N.E. Baumana [Engineering Bulletin of the Bauman MSTU], 2016, no. 11, pp. 1032-1038. Available at: http://engsi.ru/doc/850954.html, accessed 9.11.2017 (in Russian).
9. Wittenburg J. Dynamics of systems of rigid bodies. Stuttgart: Teubner, 1977. 224 p. (Russ. ed.: Wittenburg J. Dinamika system tverdykh tel. Moscow: Mir Publ., 1980. 292 p.).
10. Danilov Yu.V., Artamonov I.A. Prakticheskoe ispol'zovanie NX [The practical use of the NX]. Moscow: DMK Press, 2011. 331 p. (in Russian).
