Математическая модель связи изохронных вариаций переменных состояния системы управления с возмущениями параметров ее составных частей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.271

В. Н. Арсеньев, А. Г. Кохановский, А. С. Фадеев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗИ ИЗОХРОННЫХ ВАРИАЦИЙ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ ЕЕ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ

Рассматривается задача построения линейной модели связи вариаций переменных состояния системы управления с отклонениями параметров ее составных частей от номинальных значений. Предложен подход к определению параметров модели, позволяющий повысить ее точность.

Ключевые слова: система управления, переменные состояния, модель, параметры, точность.

Введение. В практике создания летательных аппаратов (ЛА) достаточно часто возникает задача согласования характеристик разброса параметров системы управления с требованиями, предъявляемыми к точности ее функционирования [1]. Качество решения этой задачи зависит от точности модели, связывающей случайные параметры системы с переменными, характеризующими состояние ЛА в заданные моменты времени. К модели предъявляются два противоречивых требования: с одной стороны, она должна быть простой, а с другой — однозначно описывать связь характеристик разброса параметров с характеристиками точности системы управления. Построить такую модель можно на основе исходной модели, представляющей собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих возмущенное движение системы. При этом показатель близости исходной и упрощенной моделей должен иметь вероятностный характер в силу случайной природы причин, вызывающих разброс переменных состояния системы в характерные моменты времени [2].

Постановка задачи. Достаточно в общем виде поведение системы управления может быть описано векторным нелинейным дифференциальным уравнением [3]

мХ

— = Р(х, и, х, г), х(*о) = Хо, (1)

аг

где знаком „А" отмечены величины, являющиеся случайными; Х(г) = Хн (г) + ДХ(г) е Яп — вектор переменных состояния (в частном случае — фазовых координат) системы управления в момент времени г, здесь Хн (г) — его номинальное значение, ДХ(г) — вектор случайных отклонений (вариаций) переменных состояния системы относительно номинального значения Хн (г);

и е Я^ — вектор-функция программ управления; X = Xн + ДХ е Ят — вектор случайных параметров системы, не зависящий от времени, здесь X н — его номинальное значение, ДХ— вектор независимых случайных возмущений (отклонений параметров системы от номинальных значений),

оказывающих влияние на движение ЛА; X(t0 ) = X0 — вектор переменных состояния системы в начальный момент времени; t е (0,tk) — время функционирования системы.

Закон распределения (АХ,) вектора АХ полагается известным, причем его математическое

ожидание Ма^ = 0, а ковариационная матрица Kд- = diag{d^ ,D^ ,...,D^ } , где

^, i е 1, m, — дисперсии компонент вектора АХ, характеризующие разброс параметров системы

управления относительно номинальных значений m > n, где n — размерность вектора X(t) .

Пусть в заданный момент времени tk вектор AX(t^ ) распределен по нормальному закону с математическим ожиданием МАх = 0 и ковариационной матрицей K^ . Матрица K^ характеризует разброс переменных состояния системы в момент tk и рассматривается как ее

точностная характеристика [4].

В качестве модели, связывающей отклонения параметров системы с вариациями ее состояния, предлагается использовать линейную зависимость

ДХ м = AAX, (2)

где A — nxm-матрица коэффициентов, подлежащая определению.

Такой выбор модели обусловлен тем, что во многих практических задачах случайные отклонения параметров системы невелики, а зависимости вариаций переменных состояния системы от этих отклонений являются гладкими функциями.

Матрица коэффициентов модели (2) может быть определена по-разному. При этом особое значение имеет требование о близости оценок точности системы управления, получаемых на основе моделей (1) и (2) при одних и тех же характеристиках разброса параметров. Формально это требование имеет вид K дх = K дх или, с учетом выражения (2),

Дх ДХм

K дх = AK ДХ A". (3)

Определение матрицы коэффициентов линейной модели. В некоторых случаях в качестве матрицы A может использоваться матрица чувствительности H, элементами которой

dAXi (tk) — -

являются частные производные Hj = —дДХ- , i е 1, n, j е 1, m [1], и тогда модель при-

j ДХ=0

нимает вид ДХн = НДХ .

Такой выбор матрицы коэффициентов модели (2) отражает физическую зависимость вектора AXX(tk ) от вектора АХ,, но при этом иногда не учитывается вероятностный характер связи между ними и не обеспечивается выполнение условия (3). Поэтому предлагается матрицу А определять исходя из условия ее близости к матрице Н при строгом выполнении уравнения (3).

Тогда задача определения параметров модели (2) состоит в нахождении такой матрицы А, которая обеспечивает минимум функционала

tr {(A - H)KAi(A - H)T} (4)

при условии (3).

Для ее решения используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Минимизируемая функция имеет вид

L = tr {(A - H)K^ (A - Н)T + Л (Kдхх - AKдХAT )} , (5)

где пхп-матрица Л является симметричной и состоит из подлежащих определению множителей Лагранжа.

Математическая модель связи параметров системы управления 27

Для вычисления частных производных от функции LH по матрицам A и Л и получения необходимых условий минимума правая часть выражения (5) представляется в виде Lh = tr {AK ^ - нк ^ - AK н + HK + ЛК AX - ЛАК Ai } . Тогда частные производные определяются выражениями

дТ дГ

—н = 2AK аХ -2НК - -2ЛAK ; —н = К аХ - AK AT,

dA АХ АХ АХ' дЛ ^XX А)- '

а необходимые условия минимума -dLi = о; -dLi = о трансформируются в уравнения

dA дЛ

AK Ах - HK Ах - ЛAK А) = 0> (6)

Ах ---Ах А)

kAx - AKА)

K АXX - AK А) ^ = 0- (7)

Из уравнения (6) следует

A = (I - Л)-1 Н, (8)

где I — единичная матрица.

Подстановка полученного выражения в уравнение (7) дает

КдХх - (I - Л)-1 НКдХИ7 (I - Л)-1 = о

или

Кдхх = (1 - Л)-1 НКдХИ7 (I - Л)-1. (9)

т

Следует заметить, что матрица НК - Н является положительно- (неотрицательно) оп-

ДХ

ределенной и может быть представлена в виде

НК ДХ нТ = 8ДХ Одх 8дх = (8 ДХ <8^ )2, (10)

где Бдх — диагональная матрица, а 8дх — ортогональная матрица, состоящие соответст-

т

венно из собственных значений и собственных векторов матрицы НК дХ Н .

В связи с этим формула (9) может быть представлена следующим образом:

Кдх - Л)-1 (8дхвДх^Дх )2 (I - Л)-1.

Умножение обеих частей этого уравнения слева и справа на матрицу 8 дх бД^Дх дает

1^2 т 1!2 т 12 т 1 / 12 т \2 1 1^2 т

8ДХБДХ8ДХКдх8дхбдх8дх = 8ДХБДХ8ДХ (I - Л) (8ДХБдх8дх) (I - Л) 8дхбдх8д

ь АХ

или

S АХ DAxSAX K AX 8ах »А^АХ =

в dv2ST (I - Л)-1 S d1/2ST '

8АХDAXSАХ V1 Л SАХDAXSАХ,

2

Поскольку матрица, стоящая в левой части, является неотрицательно- (положительно)

определенной, то с помощью ортогонального преобразования она может быть приведена к

диагональной матрице:

ух т ух т т ( 112 т \2

8дхбдх8дхКдхх8дхбдх8дх = 8дхбдх8дх =(8ДХБДХ8ДХ) , (11)

где Бдх и 8дх — диагональная и ортогональная матрицы, состоящие соответственно из собственных значений и собственных векторов матрицы 8дхбДХ^ДхК8дхбДХ8Дх • Тогда имеет место уравнение

(1/2 T \2 1/2 T -1 12 T

SAxDAxSAx j = |_SAXDAXSAX (I - Л) SAXDAXSAX,

из которого следует

SAxDAxSAx - SAXDA2SAX (T Л) SAXDAxSAX

'Ax" Ax Ax

и

(T - Л)-1 - S D-V2Sr S D1/2 S D"1/2^

vi J-b-J - IJAIUAI Í'AYA'avijay'5AI "W &f ■

'ах"лх лх"лх°лх°лх"лх °лх •

Подстановка этих выражений в уравнение (8) дает формулу для вычисления матрицы коэффициентов А:

А = ^х ®лх2^лх8ахВахБах^ ®лх2^лх Н . (12)

Нетрудно проверить, что подстановка этой матрицы в уравнение (3) обращает его в тождество.

Матрица коэффициентов (12) достаточно близка к матрице чувствительности Н, но при этом обеспечивает равенство ковариационных матриц векторов вариаций фазовых координат моделей (1) и (2).

Пример. Рассмотрим свободное движение системы угловой стабилизации летательного аппарата в одной плоскости. Решение линеаризованного дифференциального уравнения

+ с^Ч с24 = 0, Ч(0) = 40 = 0,1; У(0) = 0; с1 = 2 с-1; с2 = 1,25 с-2 , описывающего угловое движение по углу рыскания ¥(7) , имеет вид

¥(г) = 4вт(Х2г + В0), (13)

ч0>/х2+х2 _____ ~ . ( -х2

где X1 =-1; X2 -0,5; Aq --

X2

- -0,2236; B0 - arcsin

Л

v^f+X2

--0,4637.

'2 J

Примем, что под влиянием возмущающих факторов значения параметров ^ и ^ изменяются случайным образом относительно номинальных значений = -1 и X 2н = 0,5, т.е.

= + Л^1 и Х2 = X2н + ЛХ2, причем случайные отклонения ЛХ1 и ЛХ2 распределены равномерно на интервалах [-а, а] и [-Ъ, Ь] соответственно. Вследствие этих причин в любой фиксированный момент времени г угол поворота летательного аппарата ¥(7)=¥н (г)+Л¥(г) также будет изменяться по случайному закону, а номинальное движение аппарата будет описываться выражением (13). Математическое ожидание и второй начальный момент для ¥(г) определяются по формулам

M

M

A0e1'lt sin(X2t+B0)

1 a 1 о

Aq— f e( +AX1))dAX1 — f sin(X2Ht+AX2t+B0)dAX2 2a J 20 J,

A0eX—Ht (eat - e-at) [cos(X2Ht - 0t + B0) - cos(X2Ht + 0t + B0 )]

M

¥2(t)

M

4a0t2

A2 eTklt sin2(X21 + B0)

AQe2^ (e2at - e"2at ) [40t - sin(2X2Ht + 20t + 2B0) + sin(2X2Ht - 20t + 2B0)]

2

32аЫ

Дисперсия угла ¥(г) (отклонения Л¥(г) ) определяется в соответствии с выражением

D

¥(t)] - D [A¥(t)] - M [¥2 (t)] - M2 [¥(t)

(14)

Пусть tk - 10 c, a - 0,1 -|X1H| - 0,1, 0 - 0,1 -|X2H| - 0,05, тогда d(A¥) - 4,0405• 10-11 рад2.

Математическая модель связи параметров системы управления 29

Модель, описывающая зависимость отклонения ДЧ от возмущений Д?ц и ДАх и построенная на основе коэффициентов чувствительности, имеет вид Д^ н = 9,9948 -10-5 Дк1 +

+1,7779 -10-5 ДАх . Дисперсия ^ДЧд) = 3,3562-10-11 рад2, а ее относительная погрешность составляет 17 %.

Линеаризованная предложенным выше способом зависимость ДЧ от Д?ц и ДАх определяется следующим образом: ДЧ^ = 1,0966 -10-4ДА^ +1,9507 -10-5ДА2. При этом дисперсия

^(ДЧ^) совпадает с точным значением Б (Д^Р), что свидетельствует о существенно более

высокой точности разработанной модели по сравнению с моделью, построенной на основе коэффициентов чувствительности. Более того, она позволяет прогнозировать значения дисперсии Б (Д*Р) при изменении характеристик возмущений ДА и ДАх без проведения многократных испытаний модели (1).

Пусть диапазоны изменения возмущений увеличились на 10 % по сравнению с принятыми при построении моделей, т.е. а = 0,11 = 0,11, Ь = 0,11 -|Ахн| = 0,055. В этом случае

точное значение дисперсии, найденное по формуле (14), б(др) = 5 ,0769 • 10 рад . Полученная выше линеаризованная модель дает оценку дисперсии б(д*Чм ) = 4,889 •Ю-11 рад2, относительная погрешность которой менее 4 %. Для сравнения следует заметить, что относительная погрешность оценки дисперсии, полученной по модели, построенной на основе коэффициентов чувствительности, превышает 20 %.

Заключение. Предложенная модель связи вариаций фазовых координат системы управления ЛА с вектором отклонений ее параметров от расчетных значений однозначно отражает вероятностный характер этой зависимости. Разработанную модель целесообразно использовать при решении прямых задач, связанных с исследованием влияния характеристик разброса параметров системы управления на точность системы. Она оказывается весьма полезной и при решении обратных задач, когда по заданным требованиям к точности функционирования системы необходимо найти допустимые диапазоны изменений ее параметров.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Юсупов Р.М., Розенвассер Е. Н. Чувствительность систем управления М.: Наука, 1981. 464 с.

2. Арсеньев В. Н. Определение требований к характеристикам разброса параметров системы управления летательного аппарата // Изв. вузов. Приборостроение. 1996. Т. 39, № 8—9.

3. Росин М. Ф., Булыгин В. С. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления М.: Машиностроение, 1981. 312 с.

4. Миронов В. И. Задача приведения вариаций фазовых координат динамических систем к заданным условиям испытаний // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1970. № 3.

Владимир Николаевич Арсеньев —

Андрей Геннадьевич Кохановский — Александр Сергеевич Фадеев —

Рекомендована кафедрой автоматики и электроники

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, кафедра автоматики и электроники, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

канд. техн. наук; Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, Санкт-Петербург; нач. отдела; E-mail: [email protected] канд. техн. наук; Центр эксплуатации объектов наземной космической инфраструктуры, Москва; генеральный директор

Поступила в редакцию 10.07.12 г.