Математическая модель своевременного обнаружения воздействия опасных факторов на природу Текст научной статьи по специальности «Математика»

------------------------------- © А.С. Астракова, Д.В. Банников,

М.М. Лаврентьев (мл.), С.Г. Черный, 2009

УДК 539.3

А. С. Астракова, Д.В. Банников, М.М. Лаврентьев (мл.),

С.Г. Черный

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВОЕВРЕМЕННОГО ОБНАРУЖЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ ОПАСНЫХ ФАКТОРОВ НА ПРИРОДУ

Рассмотрена задача оптимального расположения датчиков для выявления воздействий опасных факторов на окружающую среду. Для ее решения используется оптимизационный генетический алгоритм. Метод применяется для поиска оптимального расположения глубоководных станций возле АлеутоАляскинской области источников волны цунами.

Ключевые слова: мониторинг состояния окружающей среды, генетический алгоритм, оптимальное расположение датчиков, цунами.

~П работе ставится и решается задача оптимального распо-

-Я-М ложения датчиков для обнаружения негативного воздействия на окружающую среду, вызванного природными или техногенными факторами. К таким воздействиям относятся загрязнение, возгорание, превышение предельной дозы концентрации вредных веществ, катастрофическая волна цунами и т.д. В условиях увеличения вероятности возникновения чрезвычайных ситуаций в связи с вмешательством человека в происходящие в природе процессы возрастает актуальность предмета исследования. Предложенная в настоящей работе модель применяется для выявления волн цунами с помощью придонных датчиков гидростатического давления.

1. Общая постановка задачи

Пусть Р - область источников негативных воздействий, которая подвергается мониторингу. Мониторинг будет проводиться в некоторой более широкой области П , содержащей Р. Через D обозначим подобласть П, в которой могут устанавливаться датчики. Требуется для заданного числа датчиков Ь определить их расположение, обеспечивающее минимально возможное время обнаружения негативного воздействия из любой точки Р. Область источников Р будем задавать набором точек |р. Пусть qi е D, i = 1,...^

- датчики регистрации негативного воздействия. Назовём конфигу-

рацией Q = ^,...,qL} взаимное расположение Ь датчиков, представляющих одно из возможных решений рассматриваемой задачи.

Пусть известно минимальное время г(р х) распространения воздействия опасного фактора от точки р до произвольной точки х из П . Тогда время его первого обнаружения всей конфигурацией Q из Ь датчиков составит

КрРQ) = ттг(рqi). (1)

-1 1<^ -1

Гарантированное время обнаружения конфигурацией Q воздействия из любой точки р е Р , определится как ТО) = тах 1(р., Q). (2)

1< .<Р -1

2. Математическая постановка оптимизационной задачи

Математически задача нахождения конфигурации О оптимальной в смысле минимизации гарантированного времени обнаружения возмущения из любой точки Р формулируется следующим образом.

Найти конфигурацию О = ^,...,qL}, обеспечивающую минимальное значение функционала Т(О) из (2) ттТ(О) (3)

при наличии фазовых ограничений

О е D . (4)

3. Общая схема алгоритма решения

Метод решения поставленной задачи основывается на генетическом алгоритме и состоит из следующих шагов. Более подробно алгоритм нахождения решения, применяемый в настоящей работе, изложен в монографии [1].

1. Формируется начальная, соответствующая s = 0 и р = р0,

популяция о;,..., о:,..., ор , состоящая из р индивидуумов. Каждый индивидуум - это набор параметров (8), определяющих конфигурацию, подлежащую оптимизации, при этом О)! е D, k = 1,...,р . Начальная популяция создаётся случайным образом применительно ко всем параметрам так, чтобы каждый индивидуум удовлетворял фазовым ограничениям (4).

2. Для каждого индивидуума в популяции вычисляется соответствующее значение функционала Т(Ок) в (2).

3. Производится отбор некоторого количества Тг • р (Тг < 1) наилучших, которым соответствуют наименьшие значения функционала Т индивидуумов, и по которым с помощью операций рекомбинации, мутации и клонирования строится новая популяция

Q;+1 л;+1 ^"^;+1 Л

1 ,...,Ок ,...,Ор , состоящая из р < р0 индивидуумов.

4. Осуществляется переход на шаг 2 с переприсвоением ; = ; +1, пока не будет рассчитано N поколений, обеспечивающих достижение глобального минимума функционала Т.

4. Оптимальное расположение датчиков возле АлеутоАляскинской области источников волны цунами

В задаче выявления волн цунами время добегания возмущения г(р х) определяется из длинноволнового приближения зависимости скорости волны от глубины [2]. После всесторонней верификации построенного алгоритма [3] он был применён для поиска оптимального расположения датчиков на реальной акватории в районе Алеуто-Аляскинской области источников волн цунами (рис. 1). Белой линией ABCD на рисунке отмечены границы области фазовых ограничений D. Здесь же приведены расположения трёх реально установленных станций американской системы предупреждения цунами. На рисунке также приведены расположения трёх датчиков, полученные в результате решения оптимизационной задачи.

Для различного числа датчиков были проведены по пять оптимизационных запусков, и из них был выбран лучший результат. Повторение расчётов проводилось с целью подтверждения устойчивости получаемых решений к случайным начальным вариациям конфигураций датчиков. Обычно достаточно провести около пяти расчётов, чтобы убедиться в достоверности полученного решения. Значения полученных функционалов представлены на рис. 2. Также на этом рисунке нанесено значение минимального времени обнаружения возмущения из любой точки области Р тремя реально установленными станциями.

Предложенная модель может быть использована для решения задач, в которых есть негативные воздействия других вредных факторов.

я-*

>гк

5Г>

яго «■>:

176*1: ІКГ |7<ПУ І6ЯЛУ іяги І46ЛУ

Рис. 1. Акватория возле Алеуто-Аляскинской области источников волн цунами с реально установленными датчиками (□) и полученными в результате

Отличия в алгоритмах будут определяться механизмами возникновения источников воздействий и скоростью их распространения. Следует отметить, что возможна постановка оптимизационной задачи, в которой положения N из L (N<1) датчиков могут быть заранее зафиксированы, а положения остальных L-N будут находиться в процессе решения.

Заключение

Предложена постановка задачи нахождения оптимального расположения заданного количества датчиков, позво-

решения оптимизационной задачи (О)

2000 1500

Т 1000

500

Рис. 2. Зависимости значений функционалов от числа датчиков: ■ - численное решение; х - для реально установленных датчиков

ляющего за минимально возможное время обнаруживать возмущение, возникшее в любой точке области источников негативных воздействий. На основе оптимизационного генетического алгоритма создан эффективный численный метод решения поставленной задачи. Решена задача оптимального расположения заданных количеств станций около Алеуто-Аляскинской области источников возникновения волны цунами.

-------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Черный С.Г., Чирков Д.В., Лапин В.Н. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах. Новосибирск: Наука, 2006. 202 с.

2. Marchuk An.G. A method for determination of wave rays in non-homogeneous media. Math. Modelling in Geophysics: Bulletin of the Novosibirsk Computing Center, 2005. Vol. 10, P. 51-58.

3. Lavrentiev M.M. Jr., Cherny S.G., Bannikov D.V., Astrakova A.S., Optimal sensor network on example: fast tsunami wave detection // Intern. Workshop of Destruction, COE, Keio Univercity, Yokohama, Japan, 2007. P. 13-28. ШИЭ

Astrakova A.S., BannikovD. V,, LavrentievM.M. (Jr.),

Cherny S. G.

MATHEMATICAL MODEL OF THE TIMELY DETECTION OF AN INFLUENCE OF NOXIOUS AGENTS ON NATURE Problem of the optimal sensors placement for an influence of noxious agent’s detection is considered. To solve the problem genetic algorithm is used. This approach for problem of optimal deep-see sensor placement near Aleuto-Alaskan area of tsunami wave sources is applied.

Key words: Environmental monitoring, genetic algorithm, optimal sensor placement, tsunami.

— Коротко об авторах ------------------------------------------------

Астракова Анна Сергеевна - студентка магистратуры механико-математического факультета НГУ, E-mail: anna.astratova@gmail.com Банников Денис Викторович - аспирант механико-математического факультета НГУ, E-mail: denis.bannitov@gmail.com

Лаврентьев Михаил Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, декан факультета информационных технологий НГУ, Email: mmlavr@yahoo.com

Черный Сергей Григорьевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией в ИВТ СО РАН,

E-mail: cher@ict.nsc.ru