Математическая модель сварки неповоротных стыков труб для мультимедийного тренажёра сварщика Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВАРКИНЕПОВОРОТНЫХ СТЫКОВ ТРУБ ДЛЯ МУЛЬТИМЕДИЙНОГО ТРЕНАЖЁРА СВАРЩИКА

В.В. Кривин, М.Ю Виниченко., В.А. Толстов

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ»

Volgodonsk Engineering Technical Institute the branch of National Research Nuclear University «MEPhI»

Описан подход к построению математической модели формирования сварного шва неповоротных стыков труб для использования в мультимедийном тренажёре сварщика.

Ключевые слова: сварка, трубопровод, неповоротный стык, математическое моделирование.

The article describes an approach to modeling of nonrotatable pipes welding joints. The model is intended to be used in multimedia welding simulator.

Keywords: welding, pipeline, nonrotatable joint, mathematical modeling.

При строительстве энергетических объектов и установок необходимо получать неразъёмные соединения металлических конструкций, например, при монтаже трубопроводов. Ручная дуговая сварка (РДС) является одним из самых распространённых способов их получения, особенно в случае неповоротных стыков. Подготовка сварщиков ручной дуговой сварки является сложным и длительным процессом, результатом которого является формирование моторных навыков у обучаемых. Правильность закрепления навыков на реальном процессе определяется субъективной оценкой инструктора при обучении, которая не всегда однозначна. Применение тренажеров для некоторых этапов обучения позволяет оценить действия сварщика в режиме реального времени и тем самым сделать оценки более объективными. Кроме того, возможность записи и последующего анализа сеанса делает обучение более прозрачным, более доступным для анализа как обучаемым, так и инструктором. Для реалистичного изображения процесса сварки в тренажере необходима математическая модель, описывающая процесс формирования сварного шва. В статье «Модель стержневых конечных элементов для теплового расчёта виртуального сварного шва»[1] приведена такая модель для простейшего случая сварки двух плит в нижнем положении.

На рисунке 1 приведена схема взаимодействия математических моделей, используемых в мультимедийном тренажере, и место модели формирования шва в нем.

Для случая формирования сварочного шва неповоротного стыка труб в модель, описанную в работе [1], потребовалось внести ряд изменений. Опишем подробнее полученную модель.

Рисунок 1 - Схема взаимодействия моделей

Главным отличием от модели, рассматриваемой в работе [1], является использование вместо прямоугольной системы координат (х;у;£), связанной с плитой, цилиндрической системы координат (г;Н;ф), связанной с трубой. Система координат показана на рисунке 2.

Рисунок 2 - Цилиндрическая система координат трубы

Для оси «к», параллельной оси цилиндра, выбрано нестандартное обозначение «Н», т.к. «к» далее обозначает абсолютную высоту точки. При расчете тепло- и массопередачи учитывается, что два из краев «плиты» склеены, т.е. конечные элементы (КЭ) с противоположными границами ф=0° и ф=360° обмениваются теплом и расплавом.

Для определённости будем считать, что ось Н направлена горизонтально. Этот

случай является достаточно общим, чтобы результаты можно было распространить на произвольное пространственное положение труб.

Модель основана на модифицированном методе конечных элементов. В металле труб выделены три слоя с номерами п=1.. .3:

- п=1 - внутренняя поверхность трубы - металл в твердом состоянии;

- п=2 - поверхность плавления/кристаллизации;

- п=3 - внешняя поверхность расплава.

Эти поверхности аппроксимируются тремя сетками точек:

Чп = (г;Н; ф)=(г^п;1 -АН;]-АФ). (1)

и

где 1]п - точка сетки слоя с номером п;

АН - размер КЭ по оси Н;

Аф - размер КЭ по оси ф,

Г;] - индексы точек-вершин КЭ,г=0,.,гтах; ]=0,..^тах, причем]тахАф=360°, гю,кр

ТГ,]тах,кр и ТГ0,расп ТГ,]тах,расп.

В частном случае полного расплавления/кристаллизации внутренние/внешние две поверхности сливаются. Слой п=1 не меняется во времени, т.е. Гу]=гвнутр (внутренний диаметр труб), т.к. в модели пока рассмотрено формирование только внешней поверхности сварного шва и не учитывается провисание внутренней поверхности при полном проплавлении. В момент моделируемого времени 1=0 справедливо Ту3=твнеш (внешний диаметр труб), за исключением области шва, где Тц3 задает форму разделки.

Результатом расчетов по модели для т/'-й точки п-го слоя Ьуп в момент времени 1 являются величины:

Тщп температура (°К),

Ещп - теплосодержание (Дж/м3^,

Рщ - давление расплава (н/м ) (сумма гидростатического, поверхностного и давления дуги),

Тип - т-координата.

Дискретные функции ТщпЕщпРип, Тщп используются в тренажере для аппроксимации соответственно недискретизованных функций Т(1,т,Н,ф), Е(1,т,Н,ф), Р(1,Н,ф), т(Щ,ф,п) при визуализации процесса РДС. Аппроксимация вдоль всех «ребер» соединяющих точки сети (1) используется линейная, кроме случая определения кривизны поверхности в формуле (17).

При моделировании функций Т, Е, Р, т используются следующие соотношения и особенности этих функций:

Тщ2 равна температуре плавления стали Тплав, кроме случаев полного расплавления/кристаллизации.

Е(1,т,Н,ф) имеет разрыв на поверхности плавления/кристаллизации. Соответственное дискретное значение Ещ2 равно теплосодержанию расплаваЕ(1,т+0,Н,ф), а теплосодержание в этой же точке со стороны твердой фазы равно:

Е(1, т - Н, ф) = Е1у2 + йплае у)

где Qmаe- удельная (объемная) теплота плавления стали.

В модели учтены три основных процесса происходящих в металле шва: теплообмен, массообмен и плавление/кристаллизация. Их моделирование в течение

каждого кванта моделируемого времени At разделено на три этапа:

1. Поверхностная передача тепла - вдоль поверхностей с одинаковым п. На этом же этапе учитывается внешний теплообмен: отдача тепла во внешнюю среду и получение его от дуги.

2. Передача тепла «вглубь» - вдоль оси г, связанная с плавлением/кристаллизацией, т.е. перемещением слоя п=2.

3. Массообмен, т.е. перетекание расплава вдоль осей Н,ф и перемещение слоя

п=3.

Рассмотрим первый этап. Пусть за квант времени At поток тепла вдоль «стержня» малого сечения /х/, соединяющего точки Ьупи Дупвызвал изменение теплосодержаний с Е^п на Е+м,уП и с Епуп на Е+^уп. Потоки тепла показаны на рисунке 3а.

а)

б)

Рисунок 3 - Схемы теплопередачи на этапах: а) первый - поверхностная, б) второй - «вглубь»

Тогда общая сумма теплосодержаний не изменилась:

Б1 + Б = Б + Б

м+ди^'п + М+МДт Муп + М^'п . Не изменилось и теплосодержание в центре стержня Б х :

(3)

Б + Б

Б =-

1 2

Б1цп + Бй',)'п 2

(4)

Изменение количества тепла в одной половине равно теплу, протекшему через середину «стержня»:

(Б + Б

допш

^уп

ПОЛОВИНЫ

Б + Б ^

2

|Т _Т I 1--р 'у _'_г

2 ^-Ч = да = да I2

2 р ах р _ т

(5)

й^'п

^Цп

2

2

2

т.,., _ т

т _ т '

где X - коэффициент теплопередачи металла.

Окончательное изменение теплосодержания будет равно сумме притока тепла по четырем направлениям:

т _т

Б.+д^п = 4ДаУ *п + Б„п . (7)

|ТЙ7п Т11)п

С учетом потоков тепла во внешнюю среду и от дуги получим:

А Л

Б+Д.,уп = .х) п + Д.

—-^ + W + т. V

/ . ,2 дуги ^п у

(8)

2

где Шдуги - удельный (на м поверхности) поток тепла от дуги, V - удельный коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду.

Новые температуры в конце первого этапа рассчитываются по формуле:

т _ Et+Д1,уп

Т t+ДО;п =

С .

где с - удельная теплоемкость металла.

(9)

Рассмотрим второй этап - радиальный теплоперенос. Пусть тепло переносится по стержню малого сечения /х /.соединяющему точки Ьу1 и Ьф. За квант времени At этот перенос привел к изменению теплосодержаний Ецц на АЕ1 и Еф на АЕ3 и сдвигу на Аг2,:

= г.Ц2 + Дг2; Б+дш = Е.Ц1 + ДБ1 ; Б+д^ = Е.Ц3 + ДБ3. (10)

Так как сумма теплосодержаний в частях стержней не изменилась, то с учётом линейной аппроксимации:

(Е.+Д,1Д + Б+ДеД^ ^плав ^(Г[+Д.,1)2 ГИЦ1 )+(Б.+Д.Д2 + Б+Д^уЭ ^СГ.и3 Г.+Д.,1]2 ) = (ЕйЛ + ^2 ^плав ХГ^2 _ГИЛ )+ (Б1и2 + )(г.и3 _ Г1щ2 )

(11)

Упрощая и пренебрегая величинами второго порядка, получим:

+ + _дплав)ДГ2 + ДБ!(г^ _гф)+ ДБ^(г.Ц3 _Г1Ч2)= 0 . (12)

Кроме того, тепло, прошедшее через границы Тщ2 и г+А,у2 должно быть равно изменениям количества тепла в соответствующих частях «ребра». В твердой части стержня справедливо соотношение:

Е1+Д1,Ч1 + Еч+Д^^ ^плав .2 ( _ )_ Ей]1 + 2 Qплав ,2 ( _ )

2 1 Ч^+ДЦ^ _ Г1+Д1,г)1 )— ^ 1 (гч2 _ rtlJl)

х, - X

(13)

= -плав

Г — Г

Отсюда:

ЛТ7 ^ _ г ,+ ,Е + Е

11ц2 г1ц1 / + \Etij1 + Е1щ2

X _х

ДЕ1 (Г1у2 _Г„1 )+(Е1й1 + ЕЧ2 _д„лав )ДГ2 = 2Д& . (14)

Гй]2 ГйД

Аналогичное соотношение для расплава:

ДЕз(г*^З — Гу2)— (Е*1|З + Ет)ДГ2 = 2Д1Х *3 . (15)

Г1ц3 Г-11]2

Таким образом, получаем систему трех линейных уравнений (12, 14, 15) из которых находим неизвестные Дг2 , ДЕ1 , ДЕ3 , а по ДЕ и ДЕ3 находим новые температуры на поверхностях труб.

Для расчёта массопереноса рассмотрим тонкий слой толщиной I, перпендикулярный оси Н. Пусть в этом слое из точки Ьу3 в точку Ьц+1,з перетекает малая масса расплава М, как показано на рисунке 4. Переместившаяся масса М должна пересечь границу клеток сетки г, поэтому выполнено приближенное соотношение:

М = рМгГ Д1. (16)

где V - скорость течения, м/с;

р - плотность расплава, кг/м3.

Гг = (Гц3 _ ГЦ2 + Г 1+1 3 - Г 1+1 2 )/ 2

г \у3 ч2 ^+l,з г,}_ длина сечения четырёхугольника с расплавом

границей г.

Рисунок 4 - Схема для расчета массопереноса

Разность потенциальной энергии перенесенной массы переходит в кинетическую энергию перетекающей жидкости. При вычислении потенциальной энергии необходимо учесть поверхностное давление Рпов, определяемое по формуле Лапласа:

Р™„ = а

' 1 О

--1--

Vу

(17)

где а - коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

Ях, Яу - два главных радиуса кривизны в точке поверхности, м.

Главные радиусы вычисляются с помощью квадратичной аппроксимации соседних точек поверхности расплава. Наличие Рпов эквивалентно наличию дополнительного столба жидкости, а вынесение ее малого объема из области под давлением - эквивалентно опусканию такого же объема сверху этого столба. Поэтому удельная (объемная) потенциальная энергия жидкости на ее поверхности равна:

е уд =Р§Ь + Рпов . (18)

Аналогично действует и давление дуги, поэтому будем далее считать его включенным в Рпов. Разница давлений воздействует на весь слой жидкости, поэтому перемещается весь четырехугольник ЬузЬц+^з^ц+и^!-

= МЦ + Рпов, -Рпов,и+1 - (19)

2 Р Р

где Б - площадь четырехугольника.

Подставляя в (19) соотношение для массы (16), получаем:

у _ 2Г Р§Ц + Рповд - Р§^,]+1 - Рпов,ц+1 ^^

' РБ .

Определив скорость перетекания, рассчитываем перетекшую массу М, а из нее получим изменение г у3.

Таким образом, сформирована математическая модель переноса металла в неповоротном стыке при сварке труб. Внедрение данной модели в мультимедийный тренажёр для обучения РДС позволит обучаемому сварщику и инструктору наблюдать формирование данного вида соединений. Реализация модели на момент публикации находится в стадии отладки.

Литература

1. Кривин В.В., Виниченко М.Ю., Толстов В.А. Модель стержневых конечных элементов для теплового расчёта виртуального сварного шва. // Актуальные вопросы развития современной науки, техники и технологий: Материалы IV Всерос. науч.-практ. (заоч.) конф. (Москва, 27-29 апр. 2011 г.) - М.: НИИРРР, 2011. - С.89-94.

2. Кривин В.В., Виниченко М.Ю., Ишигов И.О., Толстов В.А. Математическая модель для имитации сварочного процесса в виртуальном тренажере сварщика. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2009. - Спец. вып. - С. 61-64.

3. Виниченко М.Ю., Толстов В.А. Проверка адекватности тепловой модели стержневых конечных элементов для расчёта виртуального шва. // Динамика научных

исследований: Материалы VII Международ. науч.-практ. конф. (Пжемышль, 5-17 июля 2011 г.) - Sp.z.o.o. «Nauka I studia», 2011. - С.31-34.

4. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

5. Трофимова Т.И. Курс физики. 11-е изд. - М.: Академия, 2006. - 560 с.

Кривин Валерий Вольфович - доктор технических наук, профессор,заведующий кафедрой «Информационные и управляющие системы», Волгодонский инженерно-технический институт - филиал Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». E-mail: VVKrivin@mephi.ru

Виниченко Михаил Юрьевич - кандидат технических наук, доцент, кафедра «Информационные и управляющие системы», Волгодонский инженерно-технический институт - филиал Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ».

Толстов Виктор Андреевич - ассистент кафедры «Информационные и управляющие системы», Волгодонский инженерно-технический институт - филиал Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ».

Krivin Valéry V. - Doctor of Technical science, Professor, head of the Information and managing systems department, Volgodonsk Engineering Technical Institute the branch of National Research Nuclear University «MEPhI». E-mail: VVKrivin@mephi.ru

Vinichenko Michael Y. - candidate of Technical science, associate professor, the Information and managing systems department, Volgodonsk Engineering Technical Institute the branch of National Research Nuclear University «MEPhI».

Tolstov Viktor A. - assistant, the Information and managing systems department. Volgodonsk Engineering Technical Institute the branch of National Research Nuclear University «MEPhI». E-mail: tolstov_victor@mail.ru