Математическая модель структурной модернизации производства для многофакторной экономической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сараев А. Л.

Математическая модель структурной модернизации производства для многофакторной экономической системы // Вестник Самарского государственного университета. Серия «Экономика и управле-284 ние». 2015. № 9/1 (131). С. 284-292

УДК 330.101.54

А.Л. Сараев*

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРНОЙ МОДЕРНИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА ДЛЯ МНОГОФАКТОРНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

В статье разработана модель динамики прибыли и затрат многофакторной производственной экономической системы, находящейся в условиях структурной модернизации производства. Предложен вариант структурно-феноменологического подхода к описанию взаимодействия производственных компонентов этой системы. Получены уравнения динамики процесса модернизации системы в виде замены старого технологического уклада производства на новый технологический уклад. Вычислены макроскопические параметры производственной функции, функции затрат и функции прибыли экономической системы в целом.

Ключевые слова: затраты, макроскопические свойства, модернизация, предприятие, прибыль, производственная функция, ресурсы, структура, усреднение, факторы производства, экономическая система.

Пусть для производства и выпуска продукции некоторой экономической системы (предприятия, холдинга, отрасли) требуется конечное множество ресурсов, представимых в виде " -мерного вектора пространства Я" объемов факторов производства

О = (21, 02,•, 0").

Компонентами этого вектора 0 могут быть основной капитал (производственные фонды), трудовые ресурсы, используемые в производстве материалы, технологии и т. д. Каждому радиус-вектору О " -мерного евклидова пространства, представляющему собой конфигурацию ресурсов, ставится в соответствие некоторая точка N = (01,02 , • • •, ) в декартовой системе координат.

Совокупность всех таких точек пространства образует некоторую область, трактуемую как математический континуум однопродуктового распределенного производства.

Выпуск продукции производства ТЯ обеспечивается многофакторной производственной функцией Кобба-Дугласа

тя = я-ПоТ. (1)

I =1

Здесь Т представляют собой эластичности выпуска по соответствующему

ресурсу, Я — стоимость продукции произведенной на единичные объемы ресурсов.

* © Сараев А. Л., 2015

Сараев Александр Леонидович (alex.saraev@gmail.com), кафедра математики и бизнес-информатики, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Переменные пропорциональные затраты производства TVC выражаются в виде линейной комбинации

TVC = ]Т7Уг = tP ■ Qi. (2)

i=1 i=1

Величины TVi = Pi ■ Qi представляют собой затраты, связанные с использованием фактора производства Qi, а величина P означает стоимость затрат на единичные объемы этого ресурса.

Переменные сверхпропорциональные затраты производства TSC выражаются в виде суммы

TSC = tTSi =ft(Si ■ Qi)bi. (3)

i=1 i=l

Здесь сверхпропорциональные затраты TSi = (Si ■ Qi) ' связаны с использованием фактора производства Qi, а величина Si есть стоимость затрат на единичные сверхпропорциональные объемы этого ресурса, bi — показатели нелинейности для сверхпропорциональных затрат.

Прибыль PR = TR — TVC — TSC — TFC , представляющая собой разность между стоимостью выпуска продукции и стоимостью затрат на его производство, выражается соотношением

PR = R■ пQai —tP■ Qi —tSi ■ Q^ — tfc. (4)

i=1 i=1 i=1

Здесь TFC — постоянные затраты предприятия.

Предположим, что рассматриваемая экономическая система подвергается некоторой модернизации с полной или частичной сменой технологических укладов. При этом в ее структуре возникает и развивается новый компонент производства, как правило, с более высоким уровнем выпуска продукции производства и более низким уровнем производственных затрат. Такой ситуации соответствует внедрение новых технологий, использование современных материалов, рациональное использование основных фондов и квалифицированных трудовых ресурсов.

Очевидно, что макроскопическое поведение экономической системы в целом и ее характеристики будут определяться как числовыми параметрами производственных функций и функций затрат каждого компонента, так и способом взаимодействия этих компонентов производства между собой.

В евклидовом П -мерном пространстве распределенного производства общему объему продукции производства можно поставить в соответствие геометрический n

объем V = П Qu , а объему продукции модернизированного производства можно

i =1

n

поставить в соответствие геометрический объем V2 = П Qli, объему продукции

s=l

старого производства будет соответствовать объем V = V — V2.

Тогда формула (2) для переменных пропорциональных затрат принимает вид

TVCS =t Psl ■ Qsl, (5)

i=i

формула (3) для переменных сверхпропорциональных затрат записывается в виде

n b

TSCs =Z(Ssl ■ Qsi)bsi • (6)

i=1

Формулы для производственных функций компонентов производства имеют вид

TRs = Rs-n(Qsi)asi • (7)

i=i

Здесь Qsi — объемы факторов компонентов производства и линейные размеры объемов V и Vj , (s = 1,2) •

Стоимость продукции произведенной на единицы объемов ресурсов Rs

представляются в виде произведения единиц объемов ресурсов каждого фактора производства в отдельности

Rs =U(Rsi)asi' (8)

i=i

а многофакторная производственная функция записывается в виде произведения

TRs =f[TRsi , (9)

i=i

Здесь TRsi = (Psi ■ Qsi) asi •

Для установления макроскопических характеристик всего неоднородного производства в целом необходимо установить связь между средними значениями величин выпуска продукции (TR^, пропорциональных затрат (TVC}, сверхпропорциональных затрат (TSC и факторов производства .

Вычисление всех этих величин выполняется в соответствии с алгоритмами процедуры усреднения локальных соотношений для затрат и локальных производственных функций, описанных в работах [1—5].

Макроскопическая величина (TV^j, представляющая собой усредненные пропорциональные затраты, связанные с использованием среднего фактора производства (qQ^ , находится по формуле

(TVi) = P*-(Qi) • (10)

Здесь

P* = Р,. qi + w2 ■(Pi -1)

i 1i qi -w2 ■(pi - 1\(qi -1). (11)

Pi = PpL, qi = Q- ,w2 =П qi • P1i Q1i i=1

звездочкой обозначены эффективные значения величин.

Макроскопическая величина (TS^j, представляющая собой усредненные сверхпропорциональные затраты, связанные с использованием среднего фактора

= ^--^ у^ч ^ (14)

производства , находится из уравнения

Я2, (Щ ^ -(д,-Ыя, + {„ - !)■ ") = . (12)

Я, + ¡2 ЧЭ - 1 )

Здесь э ■ = • г ^

Если показатели нелинейности для сверхпропорциональных затрат одинаковы для обоих компонентов производства ¿1 , = ¿2, = Ь,, то уравнение (12) принимают

(га, )=(?*■ е))Ь • (13)

Здесь

Я, + ¡2 ■ , -1) Я - "2 - 1),(Я1 -1)

Макроскопические постоянные затраты неоднородного производства представляют собой среднее значение постоянных затрат компонентов производства и вычисляются по правилу смесей

(ТЕС) = (1 - ю2)■ ТЕС1 + ю2 ТЕС2 • (15)

Средняя величина (Т^ представляющая собой усредненный выпуск продукции, связанный с использованием среднего фактора производства находится из уравнения

-1 Я2 ■ (т )(а-1~а- "■ Я-1 -(Я -1) ,(Я +(г -1) , ")

(т^р ■Я-ЛТы-я 1 + = <а>• (16)

Я, + ®2 ■ (г,-1)

Здесь г = •

Если показатели нелинейности для сверхпропорциональных затрат одинаковы для обоих компонентов производства «1 , = а2, = а,, то уравнение (16) принимает вид

(тя, )=(я*, е,))а • (17)

Здесь

я* = я, ■ Я'+ " 'в -') ) • (18)

Я, - "2 ЛП -1) ЛЯ1 -1)

Макроскопическая функция прибыли модернизируемого предприятия вычисляется по формуле

(яя) = (тя) - {ТУС) - {ТБС) - (ТЯС) (19)

При полной или частичной модернизации производства, сопровождающейся заменой и вытеснением старого производства новым производством, его объемное содержание "2 и соответствующие относительные размеры Я будут меняться от нуля до единицы^ В общем случае зависимости скоростей изменений этих размеров от изменения объемного содержания будут не постоянными Процесс модернизации предприятия допускает условное разделение на несколько этапов^

В начале процесса для сравнительно небольших значений С 2 происходит относительно медленное формирование организации нового производства. Этот начальный этап характеризуется плавным ростом величин объемного содержания

СО 2 и относительных размеров Яг. Далее для средних значений СО2 развитие нового производства ускоряется, а для значений СО2 сравнимых с единицей рост нового производства замедляется и сопровождается асимптотическим полным вытеснением старого производства.

Деление процесса модернизации на два этапа достаточно условно, так как на практике оба процесса наблюдаются параллельно с преобладанием одного из них в разных стадиях развития. Поскольку объемное содержание нового производства удовлетворяет неравенству 0 < ®2 £ 1, то целесообразно ввести вспомогательную переменную

X =, (20)

1 - С

описывающую протяженность процесса модернизации предприятия, и изменяющейся на полу бесконечном интервале (0 < X < +да). Значение параметра X = 0 соответствует началу процесса модернизации и отсутствию новой нового производства, а неограниченное увеличение параметра X ® ¥ соответствует асимптотическое приближение к концу процесса модернизации и исчезновению старого производства.

Процесс возникновения и развития нового производства может быть описан

кинетическими уравнениями роста относительных размеров Яг нового производства. Легко видеть, что в общем случае приращение величины на малом отрезке А^ можно считать пропорциональным произведению трех функций — @г (()(г (Яг )Уг (Яг). Функции (р^ (д^) обеспечивают рост размеров Яг, функции у (яг), (0 < у { (я{ )< 1) ограничивают их рост до единичного предельного значения, а функции 0г (X), (0 < 9г (Х)< 1) представляют собой удельные скорости изменения величин Яг, и описывает либо эволюционное развитие экономической системы, либо смену ее технологических укладов, либо ее кризисные явления. Таким образом, соотношение для баланса изменения величины Яг имеет вид

АЯг = 9г (Х) ' Рг (Яг ) У (Яг ) ' АХ

Предельный переход при А^ ® 0 приводит к нелинейному дифференциальному уравнению

^ = 0г (X) р> Я )уг Я ). (21)

Начальное условие для уравнения (21) имеет вид

Яг\4=0 = 0. (22)

Функции (г (д г) в общем случае могут быть представлены в виде степенного ряда

¥

Р(Яг)=Хат'Я1 , (23)

п=1

а в качестве функции у (д{) можно выбрать либо степенную функцию

у (я, )=1 - я1, (24)

либо выбрать экспоненциальную функцию г г. л

У(Я, ) =

ехр

1 - Я,

(25)

Здесь параметры 1, описывает интенсивность стремления функции у(д,) к своему предельному нулевому значению^

На рис 1 показаны кривые функции (23) в зависимости от размера д, •

На рис 2 показаны кривые функции (25) в зависимости от размера д, •

Ч(Я1)

у(я1 )

1,0

0,5

1,0

0,5

0,5

1,0

Рис 1 Графики функции у (д , )= 1 - я1 • Цифры у кривых — значения параметра 1 ,

0|_^—Я,,

0 0,5 1,0

Рис Графики функции

У (Я, )= ехР

(

- 1 ■я

Л

1 - Я, 0

Цифры у кривых — значения параметра 1 ,

Если в формуле (23) ограничиться первыми двумя слагаемыми, а в функции (24) положить все параметры 1 = 1, то уравнение (21) принимает вид

^ = в, (Х),(и + Ъ Я ),(1 - Яг )• (26)

ад

Здесь и, = а ю, V, = а,1 • Аналитическое решение задачи Коши (26), (22) имеет вид

я, =

с

= ехр

т -1

], + v

(27)

(и , + V Ив (х ^ах

0

Если процесс возникновения и развития нового производства является однородным и равномерным, то функции удельной скорости роста объемного содержания нового производства тождественно равны единице (в,(Х~) = 1), и соотношение (23) принимают вид

Я

0

0

4; =

т —1

т + V (28) т = ехр((мг- + V,) -х).

Возвращаясь в соответствии с формулой (20) к величине объемного содержания Щ, находим

т -1

4; =

т + V

т = ехр

(и; + V)-

ю2

Л

(29)

1 — ®2

Форма интегральных кривых уравнений (21) определяются уровнем отклонения функций 0( = 0((х) от единицы, который задает варианты развития процесса

развития экономической системы [6—8].

Для значений этих функций, близких к единице, кривые, построенные в соответствии с решениями уравнений (21), описывают монотонный эволюционный процесс работы экономической системы. Для близких к нулю и для отрицательных значений функции в; = в; (X) интегральные кривые уравнений (21) описывают процессы смены технологических укладов экономической системы и кризисные явления ее динамики.

Если полная или частичная замена технологического уклада экономической

« *

системы происходит в некоторой окрестности точки x = x , то процесс замедления, провала и последующего восстановления экономического роста выпуска продукции может быть достаточно точно описан функциями [9]

' (х — х-)Л

в; (х) =1 — ю-ехР

2 -О;

(30)

Здесь Щ — максимальные значения глубин падений удельных скоростей роста, О; — размеры ширины интервалов перестройки технологий производства

или кризиса экономической системы.

Если экономическая система претерпевает несколько смен кризисных техно-

*

логических укладов производства в различных точках Хз , то в качестве функций

относительной удельной скорости роста целесообразно выбрать произведение функций вида (29)

=Пв« () = П

5=1 5=1

1 — Щз 'ехР

к—х!

х\

2- о;

(31)

V и 00

В частном случае при п = 3 полученные результаты совпадают с трехфак-торной моделью, построенной в работе автора [10].

Библиографический список

1. Сараев А.Л., Сараев Л.А. К расчету эффективных параметров оптимизации производства с микроструктурой // Вестник Самарского государственного университета. 2012. № 1 (92). С. 231-236.

2

2. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Прогнозирование эффективных характеристик затрат неоднородного производства // Вестник Самарского государственного университета. 2012. № 4 (95). С. 109-114.

3. Сараев А.Л., Сараев Л.А. К теории структурной модернизации производственных предприятий // Вестник Самарского государственного университета. 2012. № 10 (101). С. 160-169.

4. Сараев А.Л., Сараев Л.А. К оценке прибыли и затрат предприятий, модернизирующих структуру производства // Вестник Самарского государственного университета. 2013. № 1 (102). С. 186-195.

5. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Прогнозирование прибыли и затрат предприятия в условиях структурной модернизации // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 4 (115). С. 184-192.

6. Дубровина Н.А., Сараев А.Л., Сараев Л.А. К теории нелинейной динамики многофакторных экономических систем // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 2(113). С. 186-191.

7. Дубровина Н.А., Сараев Л.А. Модель экономического развития машиностроения, учитывающая кумулятивную динамику факторов производства // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 4(115). С. 177-183.

8. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Особенности динамики выпуска продукции и производственных факторов модернизируемых предприятий // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 6(117). С. 251-260.

9. Сараев А.Л. Динамическая многофакторная модель модернизации производственного предприятия // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 5(127). С. 224-232.

10. Сараев А.Л. Модель формирования прибыли и затрат производственного предприятия в условиях структурной модернизации // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 8(130). С. 192-199.

References

1. Saraev A.L., Saraev L.A. On the calculation of effective parameters of optimization of production with microstructure. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2012, no. 1(92), pp. 231-236 [in Russian].

2. Saraev A.L., Saraev L.A. Prognostication of effective characteristics of costs of inhomogeneous production. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University]. Samara, 2012, no. 4(95), pp. 109-114 [in Russian].

3. Saraev A.L., Saraev L.A. On the theory of structural modernization of industrial enterprises. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University]. Samara, 2012, no. 10(101), pp. 160-169 [in Russian].

4. Saraev A.L., Saraev L.A. On the estimate of profit and costs of enterprises modernizing the structure of production. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University]. Samara, 2013, no. 1(102), pp. 186-195 [in Russian].

5. Saraev A.L., Saraev L.A. Prognostication of profits and costs of an enterprise in conditions of a structural modernization. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University]. Samara, 2014, no. 4(115), pp. 184-192 [in Russian].

6. Dubrovina N.A., Saraev A.L., Saraev L.A. On the theory of nonlinear dynamics of multifactor economic systems. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 2(113), pp. 186-191 [in Russian].

7. Dubrovina N.A., Saraev L.A. Model of economic development of machine building industry taking into consideration cumulative dynamics of factors of production. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 4(115), pp. 177-183 [in Russian].

8. Saraev A.L., Saraev L.A. Peculiarities of dynamics of production output and production factors of modernized enterprises. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 6(117), pp. 251—260 [in Russian]

9. Saraev A.L. Dynamic multifactor model of modernization of an industrial enterprise. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2015, no. 5(127), pp. 224-232 [in Russian].

10. Saraev A.L. Model of formation of profit and costs of an industrial enterprise in conditions of structural modernizations. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2015, no. 8(130), pp. 192-199 [in Russian].

A.L. Saraev*

MATHEMATICAL MODEL OF STRUCTURAL MODERNIZATION OF PRODUCTION FOR MULTIFACTOR ECONOMIC SYSTEM

In the published article, the model of dynamics of income and expenses of multifactor productive economic system that is in the conditions of structural modernization of production is developed. A variant of structural and phenomenological approach to the description of interaction of the components of the production system is suggested. The equations of dynamics of the process of modernization of the system as a replacement of the old technological order of production on a new technological order are received. We calculate macroscopic parameters of the production function, cost functions and profit function of the economic system as a whole.

Key words: costs, macroscopic properties, modernization, enterprise, profit, production function, resources, structure, averaging, factors of production, economic system.

Статья поступила в редакцию 10/VII/2015. The article received 10/VII/2015.

* Saraev Alexander Leonidovich (alex.saraev@gmail.com), Department of Mathematics and Business Informatics, Samara State University, 1, Acad. Pavlov Street, Samara, 443011, Russian Federation.