CC BY
32
© М.В. Косенкова, 2012
М.В. Косенкова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ В ГОРНОМ ДЕЛЕ В ВИДЕ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Предложена математическая модель социальной системы образования в области горного дела в виде дискретной задачи оптимального управления. Ключевые слова: оптимальное управление, система образования, уравнение динамики.
В настоящее время в связи с переходом к двухуровневой системе высшего образования, реформированием школьного образования, демографическим спадом в РФ возникают проблемы набора абитуриентов на различные направления подготовки и, в целом, выбора стратегических направлений развития системы образования с учетом социально-экономических факторов и региональных особенностей.
За это десятилетие ожидается резкое, более чем на 40 %, уменьшение числа выпускников школы и соответственное уменьшение приема во все учреждения профессионального образования [3]. В связи с этим возникает необходимость в определении спроса на учебные места и расчета количества учебных мест для каждого региона, что в значительной мере и определяет уровень образования — один из главных индикаторов уровня жизни.
В данной работе опишем функционирование социальной системы образования в горном деле, где рассматривается та часть населения, которая работает, обучается или предполагает будущее обучение в сфере горного дела.
С целью моделирования системы образования разобьем население на следующие классы: — класс людей, получающие среднее специальное образование, 02 — высшее, 03 — обучающиеся в аспирантуре, 04 — класс людей, работающих в сфере горного дела, а также потенциальные будущие студенты (выпускники школ, люди, проходящие повышение квалификации, переобучение).
Рис. 1. Общая структура системы образования в сфере горного дела
Булем предполагать, что структура социальной системы остается неизменной на протяжении конечного периода времени [0,Т], разбитом дискретными точками 0,1,2,...,Т с шагом дискретизации — один гол. Тогда её можно представить в виде ориентированного графа 6=(Б,Р) (рис. 1.), где Б — множество его вершин, соответствующих классам группировки, а Р — множество дуг. Возможность перехода из класса ф в класс £>;. определяется наличием дуги (/, у) е Р.
Под динамикой социальной системы будем понимать изменение численности объектов в классах ф с течением времени (см. [2]). Обозначим х1 — численность объектов в классе в момент времени 1.
Будем считать, что переход объекта из класса в класс зависит от распределения денежных средств по различным сферам, таким, как образование, поддержка малого бизнеса, содействие занятости населения и т.д. Тогда (и(^)) — численность
объектов класса , переходящих в момент времени 1 в класс
, где и(^ = (и и, (¿)) — это вектор, координаты которого
представляют собой инвестиции в соответствующую сферу финансирования. Причем, если дуга (/, у) не принадлежит Р,
то ЦиЦ)) = 0.
Тогда в момент времени 1 величина х; ^) определяется следующим образом:
х (V = х, ^ -1) + £ ^ Ш)) - £ 4 Ш) + ,
¡="1,1*1 1=1,1*,
/ = 1,...,4; I = 1,..., Т , (1)
где y(t) = B(t) - D(t), B(t) — прирост объектов за счет выпускников шкод, переобучения, повышения квалификации, а D(t) — убыль объектов вследствие ухода на пенсию, смены профессиональной деятельности, смерти в году t, которые определяются путем имитации на основе статистических данных региона,
|1, если i = 4, ' [0, если i = 1,2,3.
Соотношение (1) будем называть уравнением динамики социальной системы, или социальным процессом. В начальный момент t=0 известно количество объектов x0 в каждом классе Q :
X(0) = x0 , i = 1,...,4 . (2)
Предполагается, что численность класса Q наложены ограничения (at, Pt - фиксированные числа):
at < x(t) <Pt; t = 1,..., T; i = 1,...,4 . (3)
Очевидно, что из класса Q не должно выйти объектов больше, чем в этом классе находится. Тогда:
4
£ f9m) < X(t-1); t = 1,..., T, i = 1,...,4. (4)
j= 1, j * i
В силу того, что количество объектов, переходящих из класса Q в класс Q, не может быть отрицательным, то необходимо выполнение условий:
/.(u(t)) > 0, i = 1,...,4; j = 1,...,4; t = 1,..., T. (5)
Будем считать, что экспертным путем определено соотношение мест, выделяемых ежегодно на учреждения среднего профессионального и высшего образования (в том числе на аспирантуру). Этот факт можно записать в виде следующих соотношений:
4 (u(t)) = X (4 (u(t)) + 4 (u(t))), 4 Mi)) = 4 (4 Mi)) + 4 (u(t))), t = 1,..., T, Xi,X2 e R1. (6)
Общее количество выпускников учреждений среднего профессионального и высшего образования должно быть равно количеству вакантных рабочих мест на момент времени t:
/14 Mt)) + 4 Mi)) + 4 Mt)) = W)), t = 1,..., t, (7)
где W(u(t)) — зависимость количества вакантных рабочих мест от инвестиций в соответствующие сферы.
Предположим, что на момент времени t количество денежных средств uk(t), k = 1,...,l, ограничено:
0 < щ(t) <5k, k = 1,..., 1, t = 1,..., T. (8)
В качестве первого критерия эффективности развития рассматриваемой социальной системы возьмем функционал, отражающий суммарную «полезность» региона от функционирования системы образования:
J(x0,u) = ££ £ Wj/j.(u(i))^max , (9)
t=i /=1 j=i
а второй критерий качества будет отражать минимизацию суммарных затрат:
J2 (x0, u) = £ £ Uk (t) ^ min, (10)
t=1 k=1
где вектор u(t) составлен из управляющих параметров в момент t, а wtj характеризует положительный эффект от перехода одного объекта из класса Q в класс Q.
Допустимое управление и* ( ) = { и* (1),..., и* (T)} , доставляющее максимальное значение критериям (9)—(10), будем называть оптимальным управлением, а допустимую траекторию
x* ( ) = { x* (0), x* (1),x* (T)} , соответствующую оптимальному управлению и* () — оптимальной траекторией системы (1)-(10)
[1, 4].
Соотношения (1)—(9) представляют собой математическую модель социальной системы образования в области горного дела в виде дискретной задачи оптимального управления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данилов H.H. Основы математической теории оптимальных процессов [Текст] / Н. Н. Данилов, В. В. Мешечкин. — Кемерово: Кузбассвузиздат, 2004. — 219 с.
2. Косенкова М.В. Исследование системы образования региона при помощи математического моделирования в контексте устойчивого развития [Текст] / М.В. Косенкова, Е.С. Чернова // Вестник КемГУ. — 2011. — Вып. 3 (47). — С. 69—76.
3. Пресса о проблемах образования (обзор подготовлен пресс-центром министерства) [Электронный ресурс]. — 2004. — http://ed.informika.ru / min/press/2004/01/pressa/925,print/.
4. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов [Текст] / А. И. Пропой. — М.: Наука, 1973. — 256 с. ШШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ
Косенкова Мария Викторовна — ассистент, Кемеровский государственный университет, kosenkovam@mail.ru.
