CC BY
11
(
xerfc
1 £
2V 1 K Ф1 i®
JdK ф!(т + 1) + J4K ф2 h + di7
+exp
( ( I-=-7 ЛЛ
4K ф2 h1 + di2
1__+ i ^
dK ф!(т+1)
(
xerfc
^ dh1 Kr~\ Ф1(^П + 1)"J4Kф2h1 + ä:
2 Л AM i »
(11)
1 x 2 1 ~ 2 где erfx = ,— J e -x dx , erfcx = ,— J e "x dx , л/2 п о л/2 п x
ю = -
K ф!(ЛЦ+ 1)(ц + 1)t
(тц +1)
. При этом
(х, I) = 7 2и (х, /).
Зависимость (11) является результатом решения уравнения (7) и характеризует переменный режим движения воды в дренирующем слое дорожной одежды с учетом фильтрации в капиллярной зоне.
В приведенное расчетное уравнение входят параметры: I - поперечный уклон дна корыта; х - путь фильтрации, м; К фЬ К ф2 - коэффициенты фильтрации соответственно материала дренирующего слоя и грунта естественного основания, м/сут, при относительной плотности, установленной по методу стандартного уплотнения; ц - коэффициент, представляющий собой отношение расходов воды в капиллярной зоне к расходу в свободной зоне; п - коэффициент, характеризующий неравномерность водонасыще-ния песка; т - коэффициент водоотдачи песка; q атм -удельный приток воды, образуемый атмосферными осадками, м3/сут с 1 м2 поверхности покрытия; Нк -дополнительный приток за счет выдавливания воды при воздействии на грунтовое основание колесной нагрузки, м; d - глубина активной (рабочей) зоны верхней части земляного полотна, м.
Таким образом, исходя из продолжительности увлажнения возможно определить максимальную глубину потока воды в дренирующем слое в любой точке пространства в произвольный момент времени. Что особенно важно, так как по максимальной глубине потока можно рассчитать толщину конструкции дренирующего слоя.
Согласно принятой методике расчета, в дренирующем слое может находиться различное количество свободной воды, которое зависит, в первую очередь, от интенсивности притока воды снизу от воздействия колесной нагрузки. Как было отмечено выше, максимальное значение модуля деформации песка на поверхности дренирующего слоя может быть достигнуто при влажности песка, равной молекулярной, т. е. в том случае, когда над потоком свободно фильтрующейся воды будет находиться слой песка, толщина которого равна или превышает высоту капиллярного поднятия. Таким образом, чтобы обеспечить необходимую несущую способность дренирующего слоя и его эффективную работу по отводу избытка свободной воды за пределы покрытия, необходимо, чтобы толщина его конструкции превышала сумму высоты потока, фильтрующегося в дренирующем слое, и высоту капиллярного поднятия воды.
Литература
1. Бабков В.Ф. Реконструкция автомобильных дорог. М.,
1973.
2. Бируля А.К. Проектирование автомобильных дорог. М.,
1961.
3. Курьянов В.К., Афоничев Д.Н., Бурмистрова О.Н., А.В. Скрыпников. Повышение транспортно-эксплуата-ционных качеств автомобильных дорог лесопромышленного комплекса: Монография / Воронеж. гос. лесотехн. акад., Ухтинск. гос. техн. ун-т. Воронеж, 2002.
4. Аверьянов С.Ф. Зависимость водопроницаемости почво-грунтов от содержания в них воздуха // Докл. АН СССР. 1949. Т. 69 № 2.
Воронежская государственная лесотехническая академия
16 декабря 2004 г.
УДК 532
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ПАРОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ ПРИ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ РАБОЧЕЙ СРЕДЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ
© 2005 г. В.Н. Колодежнов, А.С. Сидоренко
Большой ассортимент изделий, получаемых методом экструзии, имеет пористую структуру [1]. Пористость в ряде случаев может быть обусловлена механизмом парообразованием влаги, входящей в состав перерабатываемого материала. Наличие ее, например, в изделиях типа «кукурузные палочки»
существенно улучшает структуру готового продукта. В то же время в других изделиях, таких как РТИ, наличие пустот крайне нежелательно. В этой связи представляют интерес задачи по моделированию роста паровых пузырьков в перерабатываемой среде.
Наиболее простой задачей, которая поддается строгому аналитическому описанию, является задача роста сферического макроскопического пузырька в неограниченном объеме перегретой жидкости (объемное кипение) [2]. Основные результаты по вопросу роста паровых пузырей в объеме жидкости получены в исследованиях Скрайвена [2], Борнхорста и Хэтсо-пулоса [3, 4], а также Д. А. Лабунцова [5]. Подробный анализ публикаций по этой тематике представлен в монографиях [6-8] и обширной библиографии к ним.
В данной работе рассматривается математическая модель роста парового пузырька при его перемещении в канале матрицы, с учетом изменения теплофи-зических параметров пара в зависимости от продольной координаты канала. При этом предполагается, что «зарождение» паровых пузырьков происходит на некоторой, вообще говоря, криволинейной поверхности, где выполняются условия начала фазового перехода.
Рассмотрим одномерное осесимметричное установившееся течение вязкой жидкости в цилиндрическом канале. Схема движения парового пузырька в канале представлена на рис. 1. Канал имеет длину Ьк и радиус Як. п
4- Lk -►
считать, что в моделируемом процессе отсутствуют механизмы коалесценции, т.е. сближения мелких пузырьков и их объединения в пузырек большего размера, а также прямо противоположные процессы дробления пузырей.
Тогда, уравнение изменения объема Уъ паровой полости с центром в некотором поперечном сечении канала может быть принято в виде [7, 9]
dVb (z)
dt
= Sb (z)Ub (z),
(1)
где г - отсчитываемая от входного сечения продольная координата рассматриваемого поперечного сечения канала матрицы; Бъ (г) - площадь поверхности фазового перехода (поверхность паровой полости); иъ (г) - принимаемая постоянной для данной полости скорость пара на границе фазового перехода. Здесь время отсчитывается от момента возникновения каждого пузырька в отдельности.
Допуская, что паровая полость имеет форму сферы, поверхность паровой полости и ее объем могут быть выражены через радиус Яъ (г) следующим образом
Бъ (г) = 4пЯ1 (г); Уъ (г) = 3пЯ3ь (г). (2)
Предполагая, что рост пузырька происходит за счет подвода теплового потока из основного объема рабочей среды к границе раздела жидкость-пар, с учетом условия Стефана можно записать
-А
дГ_ дг
r=Rb (z)
= рb (z)L (z)Ub (z),
(3)
Рис. 1. Схема движения парового пузырька в канале
Введем цилиндрическую систему координат. Начало отсчета оси г системы совместим с точкой О, лежащей на оси симметрии канала.
Рассмотрим движение жидкости за счет перепада давления АР = Р 0 - Р ь. Здесь Р0 давление среды на входе в канал, а Рь, соответственно, - на выходе из канала.
В процессе экструзии по достижению рабочей средой необходимого перегрева, в том числе за счет диссипации, начинается рост паровых пузырей. Полагаем, что парообразование возникает при фиксированном значении радиальной координаты гк в точке, отстоящей на расстоянии г сЛ от входного сечения канала, в которой физические параметры принимают необходимые значения для начала фазового перехода. В процессе перемещения двухфазовой смеси к выходу из канала матрицы паровые пузырьки увеличиваются в объеме и двигаются вместе с рабочей средой. Будем
где 1 - коэффициент теплопроводности среды; Т (г) -
распределение температуры в рабочей среде в окрестности парового пузырька; г - радиальная координата в сферической системе отсчета с началом отсчета в центре пузыря; ръ (г), Ь (г) - плотность пара и
удельная теплота парообразования, зависящие от продольной координаты г , соответственно.
Будем считать, что температурное поле в рабочей среде в окрестности данного парового пузырька является квазистационарным, и зависящим лишь от радиальной координаты г. В этом случае уравнение теплопроводности имеет вид [10]
d(г2 dT\ = 0. dr 1 dr
(4)
Запишем граничные условия г Т = Т^(г); г = Яъ (г), Т = (Р (г)), (5)
где Т^(г) - температура среды на достаточно большом удалении от пузырька; Т6. (Р (г)) - температура фазового перехода (парообразования), зависящая от
давления рабочей среды Р (2) в данном поперечном
сечении канала.
Будем полагать, что экструдируемую среду можно представить как однородную массу, состоящую из раствора сухого вещества в жидкости. Тогда дополнительно будем считать, что температура фазового перехода рабочей среды в первом приближении равняется значению температуры фазового перехода в свободном объеме жидкости (растворителя) для тех же значений давления.
Решение (4) с учетом (5) имеет вид
Г = *(2)((Р(-))-Г^)) + Г.(2). (6)
Г
Выражая теперь и ь (2) из (3) с учетом (6), подставляя затем в (1), и принимая во внимание (2), приходим к следующему уравнению, определяющему динамику изменения размера парового пузырька с течением времени
dRb (z) _ -k(T„(z)-Ts {P (z))) dt pь (P (z))L (P (z))Rb (z) ■
(7)
dRb (z) ^(T„(z)-Ts (P(z)))
dz pь (P(z))L (P(z))Rb (z)U
(8)
Отсюда получаем выражение для нахождения радиусов пузырьков в зависимости от координаты 2
Rb (z)_
2 z X(T„(z)-Ts (P(z)))d ¿t Pb (P(z))L(P(z))U z
(9)
При 2 = Ьк получаем размер пузырька на выходе из канала.
Перейдем к безразмерной форме записи, для чего следующим образом введем безразмерные параметры, функции и координаты
, 2 ^ 2Я, , 2 2 = — ; Б = —- ; 2 =-£Ш :
Ь,
Lk
Rb _-
R
ь .
U
U um' L
Lk
L
; p _ —; p b _ P m p b
pb
p _
p - p
L .
Po - Pl
T - T
T' _ ent,0
T - T
1 w 1 ent ,0
; T'S(P' (z'))_
Ts (P (z ))-T
T - T
1 w 1 ent,00
ent ,0
T' (z ,)_ T„(z )- Tent,0 . Re _ 2Rk pU m .
(10)
Pr _
T - T
1 w 1 ent,0
MmCv . J _ Cvp m (Tw Tent,0 )
Соотношение (7) исследовалось Лабунцовым [5] для 2 = const, как частный случай уравнения, полученного Скрайвеном [2].
Необходимо заметить, что в рассматриваемой задаче пузырек движется вдоль оси канала вместе с рабочей средой и координата его центра представляет собой заданную функцию 2 = 2(t). Дополнительно принимаем допущение, что всплытие пузырьков к поверхности отсутствует. В отличие от [2] в уравнении (7) удельная теплота парообразования и плотность пара не являются постоянными. Это приводит к дополнительному усложнению (7), поскольку основные характеристики процесса зависят либо непосредственно от координаты, либо от давления среды, которое в свою очередь опять же зависит от продольной координаты 2 .
Поскольку скорость рабочей среды принимается равной скорости перемещения пузырька вдоль оси формующего канала U = d2 / dt, приходим к уравнению, где положение пузырька в канале задается координатой 2
^ Р ЬтЬ„.
где и т, Ьт, р Ьт, ц т, р т - некоторые характерные, принимаемые в качестве масштаба значения скорости движения рабочей среды, коэффициента удельного парообразования, плотности пара, а также вязкости и плотности рабочей среды в канале, соответственно; Р' - безразмерное давление среды в канале; Теп( 0 -
температура рабочей среды на входе в матрицу; ТК -температура на стенке канала; Яе,Рг, За - критерии Рейнольдса, Прандтля и Якоба, соответственно; Б -безразмерный геометрический параметр, характеризующий отношение диаметра канала к его длине; Су -
удельная теплоемкость рабочей среды. Здесь и далее верхним штрихом отмечены безразмерные величины. Тогда с учетом (10) решение (9) принимает вид
RВ z')_ж()
Zr ( (z ')-TS(P (z '))) '
¿t pb (P'(z'))L'(P'(z■)) '
где v
8 • Ja
D • Re- Pr- U
' ()
В ходе построения модели предполагали, что суммарный объем всех образовавшихся пузырей значительно меньше общего объема канала. Поэтому возмущениями, накладываемыми на характер течения вследствие появления двухфазной среды можно пренебречь.
Анализируя (11), можно видеть, что оно не применимо в окрестности стенки канала, поскольку в
этом случае имеет место условие lim U' (rk ) = 0 .
гк
L
m
m
Последнее замечание указывает на возможность использования этого соотношения в оценочных расчетах лишь применительно к центральной части канала.
Для проведения расчета динамики роста паровых полостей по формуле (11) необходимо знать вид зависимостей для температур Г^^) и закона распределения давления P^) в канале. Для этого можно воспользоваться, например, результатами работы [11], где рассмотрен подход по приближенному определению этих зависимостей. Определение зависимостей рь (Р'^')), L'(Р'^')) и ^(Р^')) проводили методами аппроксимации на основе известных эмпирических данных [12].
Нахождение продольной координаты z сш при фиксированном значении радиальной координаты ^ проводили численными методами из решения следующего уравнения
Г- ) = )), (12)
с учетом результатов работы [11].
С применением ПЭВМ проведен анализ влияния основных параметров системы на динамику парообразования перерабатываемого материала.
На рис. 2 представлено распределение продольной координаты начала парообразования z сш в зависимости от поперечной координаты канала г1( для некоторых характерных значений параметра Д при следующих значениях основных критериев подобия Яе = 1,94-10-6; Рг = 6,09-107; За = 0,45. Из представленных зависимостей следует, что с уменьшением длины канала, координаты начала парообразования смещаются к его выходу.
3 2 1
z сгй
Рис. 2. Зависимость распределения координат начала парообразования для 0=0,4 (1); 0,5 (2); 0,6 (3); Яе = 1,94 -10
-6 .
Рг = 6,09 -10'; За = 0,45
На рис. 3 представлено, рассчитанное с учетом (11), распределение безразмерных радиусов пузырьков в выходном сечении канала в зависимости от их положения вдоль радиуса канала для тех же значений основных критериев подобия.
R'b 0,08 0,06 0,04 0,02
0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005
Рис. 3. Распределение безразмерных радиусов пузырьков в выходном сечении канала для £>=0,4 (1); 0,5 (2); 0,6 (3);
Re = 1,94-10-6 ; Pr = 6,09-107; Ja = 0,45
Предложенная математическая модель позволяет прогнозировать динамику формирования пористой структуры, возникающей за счет механизма парообразования при реализации процессов экструзии через цилиндрические каналы.
Литература
1. Термопластическая экструзия: научные основы, технология, оборудование / Под. ред. А.Н. Богатырева, В.П. Юрьева. М., 1994.
2. Scriven L.E. // Chem. Eng. Sci. Genie chimigell. 1959. Vol.10, № 1/2. P. 1-13.
3. Борнхорста В.Д., Хэтсопулоса Д.Н. // Прикл. мех. 1967. № 4. С. 117-125.
4. Борнхорста В.Д., Хэтсопулоса Д.Н. // Прикл. мех. 1967. № 4. С. 125-132.
5. Лабунцов Д.А. // Теплообмен и физическая газодинамика. М.: Наука, 1974. C. 98-115.
6. Несис Е.И. Кипение жидкости. М., 1973.
7. Присняков В.Ф. Кипение. Киев, 1988.
8. Павлов П.А. Динамика вскипания сильно перегретых жидкостей. Свердловск, 1988.
9. Колодежнов В.Н., Брехов А.Ф., Магомедов Г.О. // Изв. вузов. Пищевая технология. 2003. № 2-3. С. 69-70.
10. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: Пер. со 2-го англ. изд. / Под ред. проф. А.А. Померанцева. М., 1964.
11. Колодежнов В.Н., Сидоренко А.С. // Вестн. ВГТА. 2003. № 8. C. 75-77.
12. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник / Е.В. Аметисов, В.А. Григорьев, Б.Т. Емцев и др.; Под общ. ред. В.А. Григорьева и В.М. Зорина. М., 1982.
Воронежская государственная технологическая академия
25 ноября 2004 г.
