Математическая модель регистрации рассеянного движущимся объектом излучения пространственно распределенной структурой с сохранением фазовых характеристик Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическая модель регистрации рассеянного движущимся объектом излучения пространственно распределенной структурой с сохранением фазовых характеристик

о ы

а

а

«

а б

Чулюков Владимир Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информатики и методики преподавания математики, ФГБОУ ВО «Воронежский государственный педагогический университет», chul_130451@mail.ru

Сидорова Оксана Анатольевна

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и методики преподавания математики, ФГБОУ ВО «Воронежский государственный педагогический университет», sidorova_oa@mail.ru

Дубов Владислав Михайлович

кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и методики преподавания математики, ФГБОУ ВО «Воронежский государственный педагогический университет», urubo@mail.ru

Одним из методов выделения информации о доплеровском смещении частоты зондирующего излучения является метод фотосмешения. Выходной ток фотоприемника, являющегося квадратичным детектором, содержит переменную составляющую с частотой, равной разности частот опорной и сигнальной волн. Оценивается влияние структуры волнового поля излучения, рассеянного движущимся объектом со статистически неровной поверхностью, на характеристики сигнала квадратичного приемника, производящего усреднение регистрируемой интерференционной диаграммы по спектру пространственных частот. Оценка производится с использованием разработанной математической модели на основании решения задачи дифракции электромагнитного излучения на движущемся объекте со статистически неровной поверхностью, полученного методом Кирхгофа. Рассматриваются приближения Фраунгофера (дальняя волновая зона) и приближение Френеля (ближняя волновая зона). Теоретически обосновываются ограничения, накладываемые на применение классических доплеровских методов измерения радиальной скорости реальных объектов при регистрации рассеянного излучения пространственно распределенной структурой. Показано, что для достижения необходимого (при заданной точности измерения скорости) отношения полезного сигнала к шуму необходимо предельное уменьшение размеров входных апертур регистрирующих устройств. Последнее обстоятельство приводит к ухудшению энергетических характеристик доплеровских измерителей радиальной скорости.

Ключевые слова: модель, математическое моделирование, интерферометрия, анемометрия

Информацию о доплеровском смещении частоты излучения получают методом фотосмешения опорной и сигнальной волн. На процесс фотосмешения существенное влияние оказывает пространственное распределение амплитуды и фазы смешиваемых волн. Для характеристики эффективности фотосмешения вводится коэффициент преобразования фотосмесителя [1]. В [1-3] получены выражения для коэффициента преобразования в случае рассогласования по амплитуде или фазе двух волн (сферических или плоских), интерферирующих на входной апертуре фотоприемника. Часто для оценки точности измерения параметров сигнальной волны пользуются величиной отношения сигнала к шуму при фотосмешении. Мощность сигнала определяется квадратом амплитуды осциллирующей составляющей фототока. На практике часто реализуется случай, когда мощность шумов определяется лишь средним квадратом флуктуаций тока, обусловленного дробовым эффектом [3]:

(4) = 2еШ, О)

где е - заряд электрона, / - среднее значение тока, ДР - ширина полосы измерительной аппаратуры.

Для определенности рассмотрим задачу измерения скорости объекта со статистически неровной поверхностью, движущегося вдоль оси г0 прямоугольной системы координат х0у0г0, плоскость х0у0 которой связана со средней плоскостью рассеивающей поверхности ((х0,Уо) (рис. 1).

Рис. 1. К изучению воздействия шероховатой поверхности объекта, рассеивающего излучение, на свойства сигнала квадратичного приемника

Входное окно фотоприемника расположено в плоскости ху декартовой системы координат хуг, оси которой параллельны осям системы координат х0у0г0, на расстоянии г0 от средней плоскости рассеивающей поверхности. Свойства поля в плоскости входной апертуры определяются свойствами поля, освещающего исследуемую поверхность, и характеристиками этой поверхности.

Основной вклад в формирование характеристик рассеянного поля вносят крупномасштабные неоднородности поверхности [4, 5]. Поэтому воспользуемся результатами метода Кирхгофа приближенного расчета рассеянного поля [6, 7]. Остановимся подробнее на двух случаях: 1) регистратор излучения, отраженного объектом со статистически неровной поверхностью, расположен в зоне Фраунгофера, то есть на удалении, большем размеров облучаемого участка поверхности; 2) величина участка шероховатого объекта, рассеивающего зондирующее излучение, достаточно велики, то есть рассматривается задача о дифракции в зоне Френеля.

Суммарное распределение комплексных амплитуд поля на поверхности входной апертуры создается за счет объединенного действия отраженного перемещающимся объектом поля и поля опорной волны, которую будем считать плоской, монохроматической и распространяющейся по оси г :

й = В ехр ) (2)

где к - волновой вектор. Здесь и в дальнейшем не будем учитывать амплитудный коэффициент зондирующей волны и зависящий от времени множитель ехр), где ш - круговая

частота этой волны.

В обоих случаях ограничимся скалярным приближением и примем во внимание, что выходной сигнал квадратичного приемника пропорционален интегральной интенсивности распределения поля по поверхности входной апертуры:

2

(3)

где

Ро п

г() = 'п\ (р,Ф, 1) рдрЛф,

о -п где ^=сопэ1.

Приближение Фраунгофера. Воспользуемся формулой для интенсивности поля в точке й(р,ф) плоскости приемной апертуры, полученной в [8] с учетом (2):

2 к V 2 (4)

(Р,д>,1 ) = -—¡-2 | Цк2(Уо )оФо

кУ\В\

Лвтк2(хо,уо )оф^ I + |В| н--Л|к( + 2(хо,уо )))кофо

2 (хо, уо) =—— хоът6с°$,ф- уоът6ътф- 2д(хо, уо)

Здесь применяются следующие обозначения (в соответствие с рис. 1): V - коэффициент отражения (фактически для всех реальных случаев можно считать константой [2, 9]); В - комплексная амплитуда когерентной опорной волны с плоским фазовым фронтом; V - скорость движения объекта по прямой с постоянной скоростью; в - угол между направлением распространения волны и осью г; ((х0,у0) - уравнение статистически неровной поверхности (статистически стационарная, дифференцируемая требуемое число раз функция).

Выражение получено с учетом следующих ограничений:

- считается, что волновой вектор падающей волны лежит в плоскости х0г0 и направлен по нормали к плоскости х0у0 (угол у=п/2), а Б0 -площадь участка средней плоскости шероховатой поверхности, по которому ведется интегрирование;

- г0 и р0 - радиусы зоны облучения поверхности объекта и входной апертуры фотоприемника соответственно;

- используется квазистационарным приближением для расчета рассеянного поля [10] с учетом того, что скорость V движения изучаемого объекта много меньше скорости света;

- учитывается, что исследуется радиальное движение объекта, а перемещение объекта за период измерения много меньше расстояния от объекта до фотоприемника, что позволяет пренебречь изменением угловых размеров освещенного участка за время измерения.

Используя (2), (3) и (4), определим сначала постоянную составляющую сигнала на выходе приемника:

г = ц

к V2 Ро п

л _2 2

4п 2о о

И

(

Л с°в к2 (хо, Уо ) йхойуо

2

( \2 Л 8Ш к2 (хо, Уо )хойуо

2

рдрд^ + щЩ п—о (5)

Применив к (5) тригонометрические тождества, усредним получившееся по совокупности поверхностей (ограничимся случаями, когда плотность распределения вероятностей величины ( симметрична) и произведя интегрирование, получим:

0 55 I» £

55 т П

71

о X

ы

а

(г) с =Плр1

4V2f2 (2k)So2 J (krosinO)

Я 7 2 Я Zo

k 2r 2 sin2 O

\B\2

(6)

где ^2к) - значение характеристической функции случайной величины (, взятое для аргумента 2к, - функция Бесселя первого рода первого порядка, А - длина волны используемого излучения.

При малых размерах облучаемой области, а также считая, что 4у2у2 (2к) = V¡2 - эффективный

коэффициент отражения шероховатой поверхности, окончательно получим:

«, =

( k 2VJ2 S02 4nz0

I • |2

B

Л

(7)

Вернемся к соотношению (4) и определим вклад в выходной сигнал переменной во времени составляющей. Исходное выражение может быть записано следующим образом:

, , kVB р .

д(()=^T^J JJJpsm

kl v(ч---rsinOcosa—)

2z0

d^odyodpda

o —

Интегрирование по dp, усреднение полученного по множеству реализаций Z, и окончательное интегрирование результата усреднения по площади S0 дает следующий результат:

{гд (())с = 8BV,f (2k)So sin P J ( S"'Ois,n (kv( + kp2

4zo

kro sin O

4 Zo

(8)

Таким образом, выходной сигнал доплеров-ского квадратичного приемника является суммой постоянного сигнала и доплеровской составляющей. Используя (1), для отношения сигнала к шуму на выходе приемника можно записать следующее выражение:

S 2 k Po2

-= Ksinc2 ——

N 4 Zo

(

\

^ Po

V Zo J

(9)

где K =

2So f 2 (2k )V ^

eAF

s

«

a б

На рис.2 сплошной линией представлен график зависимости нормированного на константу отношения сигнал/шум от радиуса входной апертуры для участка поверхности, рассеивающего излучение, размером 1 мм и расстояния от объекта до фотоприемника 15м. Видно, что отношение сигнала к шуму имеет ярко выраженный максимум при определенном значении радиуса входной апертуры. При увеличении размеров входной апертуры данное отношение уменьшается и мало отличается от нулевого значения, то есть выделение информации о до-плеровском смещении частоты становится затруднительным.

S/N

0,7 0,6 о,ъ О,Л 0,3 0,2 0,1 О

-Зона Фраунгоферз

- — - i :n Френеля

ро(мм)

Рис. 2. Зависимость отношения сигнала к шуму от размеров входной апертуры регистрирующего устройства

Приближение Френеля.

В рамках приближения касательной плоскости рассмотрим случай, когда удаление исследуемого объекта от фотоприемника невелико, а величина облучаемого участка достаточно велика или даже бесконечна, то есть используем френелевское приближение задачи о дифракции.

Результатом совместного воздействия рассеянного поля и опорного сигнала (2) будет следующее распределение интенсивности на плоскости входной апертуры [9]:

|s D) =

+ jkV¿

k2V2

JJ expjkZ (o,yo )d*o4>o JJ exp— jkZ (o,yo )dxodyo

2-nzo

jkV\B\

2-nzo

JJ exp \jk

v( + + z (wo)

2z,

JJ exp j—jk

v(+:p- + Z (o,yo)

где

Z (xo. Jo ) =

2zo

xo + Jo

dyo —

dyo + B'

(10)

+ 2C(b Jo )•

Учитывая (3), усредним выражение для выходного сигнала квадратичного приемника по множеству реализаций поверхности х0,у0),

предполагая симметричность функции плотности распределения вероятностей величины

(г ( )),=*Р°Л

V 2 f2 (2k) +, B 2

B 1 + 2nVBvf (2k)

i kv( J

psin

dp —

i 1 kp° , —coskv( I pcos-dp

J 2zo

(11)

Интегрируя последнее по dp, окончательно получим:

(г (()), =

V У2 (2k) + , B 2

|B|2 — V|i¿| f (2k)sinc^4pLC0Sl kv(

4zo

4zo

o

o

2

Таким образом, и в этом случае выходной сигнал доплеровского квадратичного приемника состоит из постоянной составляющей и переменного флуктуирующего сигнала:

(* (*))г {'V (0^ (13)

Последний содержит информацию о скорости движения исследуемого объекта в виде доплеровского смещения частоты. Опять, используя (1), для отношения сигнала к шуму на выходе приемника можно записать следующее выражение:

S_

N

sin

= кг

где

K =-

2 "Яр 2Az0

лрр

В2 V V 2 (2k )%2 z02

(14)

' V2 f2 (2k ) + ^ 2

k 2eAF

У

На рис.2 пунктиром представлен график зависимости нормированного на константу К отношения сигнал/шум от радиуса входной апертуры фотоприемного устройства для расстояния между объектом и фотоприемником 1 м.

В обоих случаях увеличение размеров участка поверхности объекта, рассеивающего излучение, равно как и уменьшение расстояния между объектом и фотоприемником при неизменном размере облучаемого участка приводит к необходимости уменьшения размеров входной апертуры фотоприемника для достижения приемлемой величины отношения сигнал/шум. При увеличении размеров облучаемой области поверхности объекта увеличивается число регистрируемых элементарных плоских волн, имеющих различные пространственные частоты и случайную временную фазу. Эти обстоятельства усложняют структуру интерференционной картины, расширяют её спектр пространственных частот. Поэтому для достижения постоянства эффективности усреднения регистрируемой интерференционной диаграммы по спектру пространственных частот необходимо уменьшать размер входной апертуры фотоприемного устройства.

Поэтому для достижения постоянства эффективности усреднения регистрируемой интерференционной диаграммы по спектру пространственных частот необходимо уменьшать размер входной апертуры фотоприемного устройства. Последнее обстоятельство приводит к ухудшению энергетических и других характеристик доплеров-ских измерителей радиальной скорости.

Литература

1. Якушенков Ю. Г. Теория и расчет оптико-электронных приборов. М.: Логос, 2011. 568 с.

2. Оптические методы исследования потоков / Ю. Н. Дубнищев, В. А. Арбузов, П. П. Белоусов, П. Я. Белоусов. Новосибирск : Сибирское университетское изд-во, 2003. 426 с.

3. Островская Г.В. Голографическая интерферометрия физических процессов // Журнал технической физики. 2016. Т. 86, №. 6. С. 1-16.

4. Лазерные измерительные системы / А. С. Батраков, М. М. Бутусов, А. П. Гречка и др.; под ред. Д. П. Лукьянова. М. : Радио и связь, 1981. 456 с.

5. Лазерные интерферометрические и дифракционные системы / В. П. Коронкевич, А. Г. Полещук, А. Г. Седухин, Г. А. Ленкова // Компьютерная оптика. 2010. Т. 34. № 1. С. 4-23.

6. Bass F. G., Fuks I. M. Wave Scattering from Statistically Rough Surfaces: International Series in Natural Philosophy. Elsevier. 2013. 540 p.

7. Ахияров В. В. Рассеяние на статистически неровной поверхности с произвольными корреляционными свойствами // Журнал радиоэлектроники . №2. 2012. 0421200114\0020.

8. Чулюков В. А. Математическая модель регистрации рассеянного движущимся объектом излучения пространственно-распределенной структурой с сохранением фазовых характеристик // Фундаментальные исследования. 2017. № 9. Ч. 2. С. 379-385.

9. Ахманов С. А. , Дьяков Ю. Е. , Чиркин А. С. Статистическая радиофизика и оптика. Случайные колебания и волны в линейных системах. М. : Физматлит, 2010. 424 с.

10. Cooper J. Scattering by moving bodies: the quasi stationary approximation // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1980. V. 2. P. 131-148.

A mathematical model of the registraton of the radiation scattered by moving object the spatially distributed structure, preserving the phase characteristics Chulyukov V.A., Sidorova O.A., Dubov V.M.

Voronezh State Pedagogical University

One of the methods for extracting information about the Doppler shift of the frequency of the probing radiation is the method of photo mixing. The output current of the photodetector, which is a quadratic detector, contains an alternating component with a frequency equal to the difference between the frequencies of the reference and signal waves. The influence of the structure of the wave field of the radiation scattered by the moving object on the characteristics of the signal of the quadratic receiver, which averages over the spectrum of the spatial frequencies of the recorded interference diagram, is estimated. The evaluation is performed using the developed mathematical model based on the solution of the problem of diffraction of electromagnetic radiation by a moving object with a statistically rough surface obtained by the Kirchhoff method. The Fraunhofer and Fresnel approximations are considered. Theoretically, the limitations imposed on the application of classical Doppler methods for measuring the radial velocity of real objects when recording scattered radiation by a spatially distributed structure are justified. It is shown that in order to achieve the necessary (for a given accuracy of the velocity measurement) ratio of the useful signal to noise, a limiting reduction in the sizes of the input apertures of the recording devices is necessary. The

О R U

£

R

n

H

latter circumstance leads to a deterioration in the energy characteristics of Doppler radial velocity meters. Keywords: Model, mathematical modeling, interferometry,

anemometry References

1. YAkushenkov YU. G. Teoriya i raschet optiko-ehlektronnyh

priborov. M.: Logos, 2011. 568 s.

2. Opticheskie metody issledovaniya potokov / YU. N. Dub-

nishchev, V. A. Arbuzov, P. P. Belousov, P. YA. Belousov. Novosibirsk : Sibirskoe universitetskoe izd-vo, 2003. 426 s.

3. Ostrovskaya G.V. Golograficheskaya interferometriya

fizicheskih processov // ZHurnal tekhnicheskoj fiziki. 2016. T. 86, №. 6. S. 1-16.

4. Lazernye izmeritel'nye sistemy / A. S. Batrakov, M. M. Butu-

sov, A. P. Grechka i dr.; pod red. D. P. Luk'yanova. M. : Radio i svyaz', 1981. 456 s.

5. Lazernye interferometricheskie i difrakcionnye sistemy / V. P.

Koronkevich, A. G. Poleshchuk, A. G. Seduhin, G. A. Lenk-ova // Komp'yuternaya optika. 2010. T. 34. № 1. S. 4-23.

6. Bass F. G., Fuks I. M. Wave Scattering from Statistically

Rough Surfaces: International Series in Natural Philosophy. Elsevier. 2013. 540 p.

7. Ahiyarov V. V. Rasseyanie na statisticheski nerovnoj poverh-

nosti s proizvol'nymi korrelyacionnymi svojstvami // ZHurnal radioehlektroniki . №2. 2012. 0421200114\0020.

8. CHulyukov V. A. Matematicheskaya model' registracii rassey-

annogo dvizhushchimsya ob"ektom izlucheniya pros-transtvenno-raspredelennoj strukturoj s sohraneniem fa-zovyh harakteristik // Fundamental'nye issledovaniya. 2017. № 9. CH. 2. S. 379-385.

9. Ahmanov S. A. , D'yakov YU. E. , CHirkin A. S. Statis-

ticheskaya radiofizika i optika. Sluchajnye kolebaniya i volny v linejnyh sistemah. M. : Fizmatlit, 2010. 424 s.

10. Cooper J. Scattering by moving bodies: the quasi stationary approximation // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1980. V. 2. P. 131-148.