Математическая модель распространения электромагнитных волн в ограниченных гиротропныхобластяхприпродольномнамагничивании Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537.876.4

© Г. Б. Итигилов, Д. Ш. Ширапов, С. И. Олзоева

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОГРАНИЧЕННЫХ ГИРОТРОПНЫХ ОБЛАСТЯХ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ НАМАГНИЧИВАНИИ

Разработана математическая модель, позволяющая моделировать общие закономерности распространения электромагнитных волн в ограниченных продольно-намагниченных гиротропных областях с разными ортогональными формами поперечного сечения.

Ключевые слова: электромагнитная волна, ограниченная область, уравнения Максвелла, уравнения Гельмгольца, продольное намагничивание.

© G. B. Itigilov, D. Sh. Shirapov, S. I. Olzoeva

MATHEMATICAL MODEL OF PROPAGATION OF ELECTROMAGNETIC WAVES IN LIMITED GYROTROPIC AREAS AT LONGITUDINAL MAGNETIZATION

A mathematical model allowing model the general regularities of propagation of electromagnetic waves in the limited longitudinally magnetized gyro-tropic areas with different orthogonal forms of a transverse section is developed.

Keywords: electromagnetic wave, limited area, Maxwell's equations, Helmholtz's equations, longitudinal magnetization.

Введение

Распространение электромагнитных волн (ЭМВ) как в ограниченной, так и в неограниченной продольно-намагниченной гиротропных областях приводит к эффекту Фарадея. Это свойство широко используется в практических приложениях [1,2].

В настоящее время распространение ЭМВ в продольно-намагниченных ограниченных прямоугольных и круглых областях достаточно хорошо изучены [1-3]. Но распространение ЭМВ в гиротропных эллиптических областях мало исследованы и носят фрагментарный характер [см. например, 4].

Целью настоящей работы является разработка обобщенной математической модели ЭМВ в ограниченных гиротропных областях с ортогональной формой поперечного сечения, на базе которой возможен переход к частным случаям: прямоугольным, круглым, эллиптическим.

Модель включает в себя поперечные компоненты, уравнения Гельм-гольца и граничные условия.

Поперечные компоненты

Уравнения Максвелла для гармонических процессов без наведенных токов и зарядов имеют вид [1]:

\rotH = ; то1.Е = -; \divE = 0; сИ\Е = 0,

где Е, Н - соответственно напряженности электрического и магнитного полей; г - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, гЕ = О -электрическая индукция, В - магнитная индукции, ] - мнимая единица, w - циклическая частота.

При распространении волны в магнитогиротропной среде магнитная индукция В в системе (1) примет следующий вид:

B = У H .

(2)

При продольном намагничивании, когда направление внешнего намагничивающего постоянного магнитного поля совпадает с направлением распространения ЭМВ (волна распространяется вдоль координаты 2), тензор магнитной проницаемости феррита, как следует из [1], имеет вид:

(3)

и jx 0

у" = - JK И 0

0 0

где М = Мо

0 2 2 w - w

к = ^

ww.

0 2 2 w - w

w

M

Kn

= ц0 YM0, Y = 1.76 *1011— -

кг

гиромагнитное отношение для спина электрона, w0 = ¡и0УН0 - частота ферромагнитного резонанса, /и0 - магнитная постоянная, М0 - намагниченность феррита, Н0 - намагничивающее внешнее магнитное поле.

Знаки перед недиагональными компонентами в (3) могут быть проти-

воположными, если взять к = -ц0

ww

M

В системе (1), разложив rot H и rot E по поперечным осям, после подстановок и преобразований в [5] были получены поперечные компоненты электромагнитного поля при продольном намагничивании:

w0 WM

2

w0 w

£,=-J^^ + ^% V2H - ^

g +2 g 2 I X а2 а2

E 2 =-

—2Ez -^^y,Hz + g+2 g- I X а2

а

H, = ^j^V2Ez -V,Hz

g +2 g - I X

jw 2ek

we

V2Ez -^-V,Hz we

V, Ez + -i—V 2 Hz we

V, Ez +V 2 Hz

H 2 =-jgr j^V, Ez +v 2 Hz -

g2 g - I X а2

— V2Ez -V,Hz

(4)

где

2 2 22 2 2 2,2; 2

а = м це -у = м це - у , g += м ец± м ек - у ,

2 2 м2 - к2 2 „ 1 ^ ^ 1 а

с = м е1--у , VI =--, У2 =--,

ц 5м1 ^2 сы2

м - циклическая частота, / - постоянная распространения, Н1, Н2 - коэффициенты Ламэ, ы1, ы2 - поперечные координаты.

Уравнения Гельмгольца

Подставив выражение для поперечных компонент ЭМВ (4) в проекции rotH , rotE на продольную ось и используя divB = 0, с учетом тензора магнитной проницаемости феррита (3) получим уравнения Гельмгольца гибридных НЕ и ЕН волн соответственно [6]:

I 2 Mw 2 I k

A,Hz +^22Hz +1 w ад--^X \Hz + jywe Ez = 0,

И

И

4,Ez +^22Ez +(w -Y2 )Ez - j'Tkw — Hz = 0,

№

(5)

где

4, = *

du,

Г2 - Г,

1 2, 1 ,2

= 4^ ^22 =Т2 К

\С>и 2

-Г1 - Г2

1 ,2 1 2,

= Л

22

ц2 -k2 И

Г,2, Г2, - символы Кристоффеля, =

Граничные условия

Краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнений Гельмгольца (5) имеют вид:

2

а

\е2 е С2 (О )п С (дО);

[Е2 = 0 на границе ограниченной области дО

и

Н2 е С2 (О )п С1 (дО);

= 0 на границе ограниченной области дО,

дН2 п __________________..... ^ (7)

дп

где О - ограниченная область, дО - граница ограниченной области, С (О) - непрерывные на О функции, с1 (О) - непрерывно

дифференцируемые на О функции, С2 (О) - дважды непрерывно дифференцируемые на О функции, п - нормаль к границе ограниченной области дО .

Заключение

Разработанная математическая модель ЭМВ позволяет на единой методологической базе исследовать электромагнитные процессы в ограниченных гиротропных областях с разными ортогональными формами поперечного сечения. Модель позволяет получить дисперсионные уравнения, описывающие процесс распространения ЭМВ в таких областях.

Литература

1. Микаэлян А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. - Л.:Госэнергоиздат, 1963. - 664 с.

2. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. - М.: Физматлит, 1994. - 464 с.

3. Лаке Б., Баттон К. Сверхвысокочастотные ферриты и ферримагнети-ки: пер. с англ. - М.: Мир, 1965. - 676 с.

4. Гончаров А. М., Карпенко В. А. Основы теории оптических волноводов. - 2-е изд., испр. - М.:Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.

5. Итигилов Г. Б., Ширапов Д. Ш. Метод инвариантных преобразований для определения поперечных компонент электромагнитного поля в гиротропных ограниченных областях // Вестник Бурятского государственного университета. - 2012. - Вып. 9. - С.162-166.

6. Итигилов Г. Б., Ширапов Д. Ш. Волновые уравнения электромагнитных волн в ограниченных областях с ферритовым заполнением с ортогональной формой поперечного сечения при продольном намагничивании // Вестник Восточно-Сибирского государственного университета технол-гий и управления. - 2012. - № 3(38). - С. 5-10.

Итигилов Гарма Борисович, старший преподаватель кафедры «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: gablz@mail.ru, тел. 8(3012)215-314.

Ширапов Дашадондок Шагдарович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: shir@esstu.ru, тел. 8(3012)215-314.

Олзоева Сэсэг Ивановна, доктор технических наук, профессор кафедры «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: sseseg@yandex.ru, тел. 8(3012)215-314.

Itigilov Oarma Borisovich, Senior Lecturer, department of electronic computing systems, East Siberian State University of Technologies and Management.

Shirapov Dashadondok Shagdarovich, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the department of electronic computing systems, East Siberian State University of Technologies and Management.

Olzoeva Seseg Ivanovna, Doctor of Technical Sciences, Professor of the department of electronic computing systems, East Siberian State University of Technologies and Management.