Математическая модель расчета процесса нестационарного прогрева стенок теплообменного аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.245

DOI: 10.18698/0236-3941-2018-5-4-14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОГРЕВА СТЕНОК ТЕПЛООБМЕННОГО АППАРАТА

В.Ю. Александров1 aleksandrov@rtc.ciam.ru

А.П. Королёва1' 2 akoroleva@ciam.ru

Н.В. Кукшинов1' 2 kukshinov@ciam.ru

Д.Б. Сафонова1 safonova@ciam.ru

М.С. Французов1' 2 mfrancuzov@yandex.ru

1 Центральный институт авиационного моторостроения имени П.И. Баранова, Москва, Российская Федерация

2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация Ключевые слова

Предложена математическая модель нестационарного Нестационарный теплообмен, теплообмена в проточном тракте теплообменного теплообменный аппарат, аппарата, предназначенного для снижения температу- математическая модель ры выхлопных газов экспериментального стенда для огневых испытаний авиационных двигателей. Найдено аналитическое решение в квадратурах системы уравнений в частных производных, отражающих модель сопряженной нестационарной задачи нагрева элементов стендового теплообменного аппарата и охлаждения Поступила в редакцию 29.03.2017 выхлопных газов © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Введение. При огневых испытаниях реактивных двигателей на экспериментальных стендах необходимо существенно снижать температуру выхлопных газов, особенно при использовании эксгаустерных агрегатов для создания высотных условий. Для охлаждения выхлопных газов применяют теплообменные аппараты (ТА) — холодильники (рис. 1). Этап исследовательских испытаний при разработке перспективных двигателей содержит большой объем кратковременных (3...10 с) запусков. В этом случае ТА работает исключительно на нестационарном тепловом режиме. Кроме того, нестационарный режим работы ТА позволяет существенно форсировать режимы работы стенда при кратковременных испытаниях за счет использования аккумулятивного хладоресурса. Это приводит к необходимости разработки математической модели нестационарного режима работы ТА в условиях сопряженного теплообмена в целях оценки характерных значений и распределения температур элементов ТА и газового потока в зависимости от времени.

Учитывая сложность и большое перекрытие площади проходного сечения проточного тракта ТА охлаждающими элементами, построение расчетной сетки и применение численного моделирования с использованием математических моделей высокого уровня требуют больших затрат времени и вычислительных

Рис. 1. Теплообменный аппарат высотного гиперзвукового стенда ЦИАМ

ресурсов. Поэтому актуально создание упрощенных математических моделей, позволяющих решать задачи сопряженного нестационарного теплообмена в элементах ТА. Такие упрощенные математические модели могут применяться и при разработке ТА для экспресс-анализа эффективности тех или иных конструктивно-технических решений.

В [1] указано, что термин «сопряженные» для задач теплообмена впервые введен А.В. Лыковым [2] при исследовании взаимодействия инертного газового потока с инертным твердым телом. До него проблема тепло- и массообмена тела с потоком газа изучалась в так называемой раздельной постановке, в рамках которой отдельно исследовались процессы переноса в твердом теле [3, 4] и потоке газа [5, 6]. При постановке сопряженной задачи учитывается взаимное тепловое влияние твердого тела и жидкости (газа), которое при прежней постановке не учитывалось, что противоречит физическому смыслу задач [2]. Важно рассматривать задачи теплообмена как сопряженные в случае нестационарных явлений.

Решение сопряженных задач теплообмена связано с серьезными математическими трудностями [2]. Поэтому наиболее рациональным подходом к решению сопряженных задач является создание математических моделей с использованием линеаризации и постоянства ряда параметров [7]. В [8] в аналитической форме получено приближенное решение задачи в нелинейной постановке, когда теплофизические свойства материалов тепловыделяющего элемента зависят от температуры. Однако даже для простейших геометрических форм тела приходится использовать ряды по бесконечным системам функций.

В настоящей работе задача нестационарного сопряженного теплообмена решена в упрощенной постановке в виде конечных интегралов.

Постановка задачи. Рассмотрим нестационарный процесс теплообмена между элементами ТА (стенками проточного тракта и поперечно расположенными трубками) и горячими газообразными продуктами сгорания, протекающими по проточному тракту ТА. Расчетная схема ТА приведена на рис. 2.

Ты

Рис. 2. Расчетная схема ТА

В проточный тракт ТА, элементы конструкции которого в некоторый начальный момент времени имеют температуру Tw = Тс (т. е. температура стенок ТА в начальный момент времени равна температуре охладителя), начинает поступать горячий газ с массовым расходом G и температурой То. Газ, проходя между элементами ТА, омывает их и отдает часть своей теплоты элементам, которые нагреваются. При этом газ, соответственно, охлаждается. Течение газа дозвуковое.

Рассмотрим приближение тонкой стенки, т. е. градиента температуры поперек стенок нет, при этом тепловым потоком в продольном направлении стенок пренебрегаем. Аналогичный подход, хотя явно и не оговаривается, но используется в [7].

Математическая модель процесса. Обозначим температуру газа в сечении ж в момент времени t через Т(х, t), температуру стенок внутренних трубок ТА как Twi(x, t), температуру внутренней стенки проточного тракта ТА — Twi(x, t). Толщину стенок внутренних трубок ТА обозначим 8i, а толщину внутренней стенки проточного тракта ТА — 52. Температуру хладагента (воды) будем считать постоянной Тс = const. Внешние стенки ТА принимаются теплоизолированными.

Граничное условие для температуры газа и начальное условие для температур стенок ТА запишем так:

Нестационарный процесс распределения температуры газа в проточном тракте ТА описывается следующим уравнением [7]:

T(0, t) = To;

(1)

TW2 (x, 0) = Tc.

(дТ дТ Л

Сер I &I = -а! Ях (Т -Т№1 )йх -а2 (Т -Т№2 )йх, (2)

где С — массовый расход газа; Ср — изобарная теплоемкость газа; а1 —коэффициент теплоотдачи от газа к внутренним трубкам ТА; а2 — коэффициент теплоотдачи от газа к внутренней стенке проточного тракта ТА; = Ьср п В1 — омываемая поверхность внутренних трубок ТА на единицу длины проточного тракта; Ьср — средняя длина внутренних трубок ТА; — внешний диаметр внутренних трубок ТА; Я2 = %В2 — омываемая поверхность стенки проточного тракта ТА на единицу длины; В2 — диаметр омываемой газом стенки ТА.

Разделив (2) на & и выполнив незначительные преобразования, получим

дТ дТ а1 ^ и, . «2 ^ и, ,

+ и &(Т"^ )""ССГ(Т -Т-2(3)

Уравнения для температуры элементов конструкции ТА следующие:

дТ 1

Р1С1 —— = «1(Т - Т„1 )-аС1 Яс1 (Т№1 - Тс);

дт\ (4)

р2 С2 =а2 Я2 (Т"2}"ас2 Яс2 {Т*2"Тс},

где Яс1 « — омываемая хладагентом (водой) внутренняя поверхность внутренних трубок ТА на единицу длины проточного тракта (здесь введено предположение о малости толщины стенки трубок по сравнению с диаметром); Яс2 « Я2 — омываемая хладагентом (водой) поверхность стенки ТА на единицу длины проточного тракта; « лЛ151 — площадь поперечного сечения стенки внутренней трубки ТА; « %В252 — площадь поперечного сечения внутренней стенки проточного тракта ТА; р1 и р2 — плотности материалов внутренних трубок и стенки ТА; С1 и С2 — теплоемкости материалов внутренних трубок и стенки ТА; ас1 и ас2 — коэффициенты теплоотдачи от внутренних трубок и стенки ТА к хладагенту (воде).

В безразмерном виде уравнения (3) и (4) примут следующий вид:

1 дТ дТ — \ — \

а Т А1(Т - а2 (Т - Т"2

г)Т — — —

Т = В1 (Т - Т„1)- Б2ТК1; (5)

Ё t

dTw2

дТ

= Di (T - Tw2)-D2Tw2,

где 8Ь = — число Струхаля, и коэффициенты в уравнениях

а1 Ь а2 Я2 Ь

А1 = ^-; А2 = —-; (6)

ССр ССр

а1т ас1 5с1 т

&1 —-; В2 —-;

Р1С1^р Р1С15в1^ср (6)

^ 51 х ас2 5с2 х п —-; и2 —-.

Р2 С2 2 Р2 С2 2

Граничное и начальное (краевые) условия запишем так:

Т (0, Т) = 1;

Т„1 (х, 0) = 0; (7)

Т,2 (х, о ) = о.

Для оценки членов системы уравнений (5) необходимы некоторые пояснения. Прогрев элементов ТА исчисляется секундами или десятками секунд. Скорости движения газа в проточном тракте ТА составляют порядка 100 м/с (и ~ 100 м/с). Длина ТА может составлять от нескольких до двадцати метров. В этом случае число Струхаля будет иметь порядок 8Ь = 102-103. В этих условиях членом с частной производной по времени в (5) можно пренебречь. Тогда система (5) примет окончательный вид:

дТ — — — —

— = -А1 (Т-Т„Л-Л2 (Т-ТК2);

ох

г)Т — — —

= В1 (Т - Т„1)- Е2ТК1; (8)

дг v '

^ = Д (Т-Тк2 )-02ТК2 дг v '

с краевыми условиями (7).

Система уравнений (8) может быть решена методом интегральных преобразований Лапласа. Функции Т (х,Т), Тк1 (х,Т) и Тц,2 (х, г ) являются обычными гладкими ограниченными интегрируемыми функциями и полностью удовлетворяют условиям применения интегрального преобразования Лапласа [9].

Применим интегральное преобразование Лапласа по переменной Т к системе (8). Учитывая граничные условия (7), получаем функции для решения исходной системы:

Л1В1Ж Л2П\х р ^р, х) = -1е-(Л1 + Лг)хер+ В1+В2 ер+П2;

' Р '

1 В Л\В\х Л2Д1х

(р, х) =--1-е4Л1+Л2)хеР+В1+В2 еР+п; (9)

рр + В1 + В2

1 п ЛВх Л2Пгх

]¥2 ( р х ) = 1 п е-(Л\+Л2)хер+В1+В2 ер+п+02

' рр+п + 02 '

Решение (9) удовлетворяет условиям существования оригинала для изображения [9].

Используя правила нахождения оригиналов [9] и таблицы из [10], получаем окончательное решение

T (x, t ) = eAl+A2)x

А}e-(^i-B2)(F-r)jo (2VÄ1ß1XVf^i)e-(°i+D*I0 x

бt o

t _

(2ylÄ2D,xVx jdi + (Bi + B2 + Di + D2) J e^1+B2Xtx

o

x Io (2y¡ÄiBiXJT^T)e"(Dl+D2)tIo (WÄ2AxVx)dx +

+ (Bi + B2 )(Di + D2 )}J e -(Bl+B2 ^х 0 0

(10)

X Io (b¡AiBixVx^Í)e-(Cl+D2)sIO A2D,X>/9)d9dT

— для безразмерной температуры газа;

Twi (х, t) = Bie-(Ai+A2)x X

je-(Bi+B2)(F-T)IO (iJXBXJT^)e-<Di+D2IO (2VA¡D1XVÍ)dx +

_0

-(Di + D2 )JJe-<Bi+B2X^ (2VABXV^9)e-(Di+D2)»Io (г^А^Х^УМт

00

(ii)

Tw2 (X,F) = Die-(Ai+A2)X x

je-(Bi+B2 XF-r)io ^JaBXJT^)e-(Di+D2Io (2VA2DxVÍ)dx +

0

+ (Bi + B2)}}e-(Bi+B2X^ (2VA^VÍ^9)e-(Di+D2Io (2^/ADх^/з)dЗdx

00

(i2)

— для безразмерной температуры внутренней стенки проточного тракта ТА, где 10(х) — модифицированная функция Бесселя первого рода.

Несмотря на громоздкость формул, они дают решение в виде конечных интегралов от известных функций. Использование математических редакторов, например MathCAD, сводит к минимуму затраты времени на расчет нестационарного сопряженного теплообмена в ТА с использованием этих формул.

Сравнение результатов расчетов по зависимости (ii) с точным решением уравнения, описывающим распределение безразмерной температуры в стенке с бесконечной теплопроводностью для характерных режимов работы ТА, показало их полное совпадение (рис. 3).

Для проведения поверочных расчетов ТА высокоэнтальпийного гиперзвукового стенда ЦИАМ на стационарных режимах работы была разработана специальная программа, учитывающая реальные свойства газообразных продуктов сгорания. Данная программа валидирована большим объемом экспериментальных данных и прошла государственную регистрацию. Сравнение результатов расчета температуры газа, полученных по формуле (11), с результатами расчета по этой программе приведено на рис. 4. Графические зависимости показывают хорошее качественное и количественное совпадение.

— 1

-—2

0,4 0,6

0,8

Рис. 3. Сравнение результатов расчета по (11), (12) (1) и точного аналитического решения (2) для безразмерной температуры стенки внутренней трубки

0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 4. Распределение температуры

газа вдоль ТА: 1 — по формуле (10); 2 — по программе и с учетом реальных свойств газообразных продуктов сгорания

Пример расчета по приведенной зависимости. На основе полученных зависимостей (10)—(12) проведены расчеты распределения температуры газа и стенок в ТА при параметрически задаваемых значениях координаты и времени. Расчеты выполнены при следующих параметрах: О = 23,6 кг • с1, Т0 = 1600 К, Ср = 1260 Дж • кг-1 • К-1, а! = 91 Вт • м-2 • К-1, а2 = 60 Вт • м-2 • К-1, 1ср = 3 м, Д = = 35 мм, 02 = 3500 мм, р1 = р2 = 7900 кг • м-3, С1 = С2 = 460 Дж • кг-1 • К-1, ас1 = = 8000 Вт • м-2 • К-1, ас2 = 6000 Вт • м-2 • К-1, Тс = 290 К, т = 20 с.

На рис. 5 и 6 приведено распределение температуры газа и стенок элементов ТА при параметрически задаваемом значении времени и координаты.

Полученные в результате решения зависимости (10)-(12) позволяют определить время выхода (~ 5 с) ТА на стационарный режим при указанных параметрах газа, а также температуру газа на выходе ТА, которая должна удовлетворять техническим требованиям на трубопровод отвода газов от ТА в систему эксгаустерного отсоса (< 620 К).

Выводы. Найдено решение (10)-(12) в квадратурах для системы уравнений в частных производных (9), отражающее математическую модель сопряженной задачи нестационарного теплообмена в тракте ТА. Математическая модель верифицирована по аналитическому решению нестационарной задачи прогрева стенки и по зарегистрированной программе расчета стационарного теплового состояния трубчатого теплообменника.

T(x,t)

0,2 0,4 0,6 0,8 5с 0 0,2 0,4 0,6 0,8 г

а б

Рис. 5. Графические зависимости температуры газа от координаты (а) и времени (б): а — Т = 0,2 (1); 0,5 (2); 0,8 (3); 1 (4); б — х = 0,2(1); 0,5 (2); 0,8 (3); 1 (4)

TW 10,0

Tw 1 t)

а б

Рис. 6. Графические зависимости температуры стенок от координаты (а) и времени (б): а — 7 = 0,2 (1); 0,5 (2); 0,8 (3); 1 (4); б — х = 0,2(1); 0,5 (2); 0,8 (3); 1 (4)

Предложенные зависимости используются для экспресс-расчета параметров газа и теплового состояния ТА высотного стенда ЦИАМ. Эти зависимости также могут быть использованы при разработке и проектировании ТА для экспресс-оценок количественного значения температуры стенок и газа в ТА в любой момент времени, а также для оценки времени выхода ТА на стационарный режим.

Методический подход к построению математической модели можно использовать для расчета ТА различных конструкций, в частности для кауперных подогревателей высокоэнтальпийных стендов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гришин А.М., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред. Новосибирск: Наука, 1984. 320 с.

2. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.

3. Гришин А.М. Математическое моделирование сопряженных задач механики реагирующих сред / Численные методы задач переноса (материалы международной школы-семинара). Ч. 2. Минск: Изд-во ИТМО АН БССР, 1979. С. 65-85.

4. Зинченко В.И., Пырх С.И. Неравновесный вязкий ударный слой в окрестности критической точки с учетом сопряженного теплообмена // ПМТФ. 1979. № 3. С. 108-114.

5. Полежаев Ю.В., Юревич Б.Ф. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392 с.

6. Гришин А.М., Гофман А.Г., Зинченко В.И., Пырх С.И. Решение некоторых сопряженных задач тепломассообмена ТОД с гиперзвуковыми потоками // Численные методы механики сплошных сред. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. 1982. № 2.

7. Прохоренков А.М. Моделирование процессов теплообмена, протекающих в пластинчатых теплообменных аппаратах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2014. № 1. С. 92-101.

8. Малов Ю.И., Нужненко Т.А. Математическое моделирование процесса нестационарной теплопроводности в цилиндрическом тепловыделяющем элементе // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2003. № 2. С. 20-27.

9. Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. Минск: Вышейшая школа, 1976. 255 с.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М.: Наука, 1969. 343 с.

Александров Вадим Юрьевич — канд. техн. наук, заместитель начальника отдела «Аэрокосмические двигатели» по научному направлению Центрального института авиационного моторостроения имени П.И. Баранова (Российская Федерация, 111116, Москва, ул. Авиамоторная, д. 2).

Королёва Анастасия Павловна — инженер отдела «Аэрокосмические двигатели» Центрального института авиационного моторостроения имени П.И. Баранова (Российская Федерация, 111116, Москва, ул. Авиамоторная, д. 2).

Кукшинов Николай Владимирович — канд. техн. наук, младший научный сотрудник отдела «Аэрокосмические двигатели» Центрального института авиационного моторостроения имени П.И. Баранова (Российская Федерация, 111116, Москва, ул. Авиамоторная, д. 2); ассистент кафедры «Теплофизика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Сафонова Дарья Борисовна — инженер-конструктор 2-й категории отдела «Аэрокосмические двигатели» Центрального института авиационного моторостроения имени П.И. Баранова (Российская Федерация, 111116, Москва, ул. Авиамоторная, д. 2).

Французов Максим Сергеевич — младший научный сотрудник отдела «Аэрокосмические двигатели» Центрального института авиационного моторостроения имени П.И. Баранова (Российская Федерация, 111116, Москва, ул. Авиамоторная, д. 2); ассистент кафедры «Теплофизика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Александров В.Ю., Королёва А.П., Кукшинов Н.В., Сафонова Д.Б., Французов М.С. Математическая модель расчета процесса нестационарного прогрева стенок теплообмен-ного аппарата // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2018. № 5. С. 4-14. DOI: 10.18698/0236-3941-2018-5-4-14

MATHEMATICAL SIMULATION FOR COMPUTING PROCESS PARAMETERS DURING NON-STEADY-STATE HEATING OF HEAT EXCHANGER WALLS

V.Yu. Aleksandrov1 aleksandrov@rtc.ciam.ru

A.P. Koroleva1' 2 akoroleva@ciam.ru

N.V. Kukshinov1' 2 kukshinov@ciam.ru

D.B. Safonova1 safonova@ciam.ru

M.S. Frantsuzov1' 2 mfrancuzov@yandex.ru

1 P.I. Baranov Central Institute of Aviation Motor Development, Moscow, Russian Federation

2 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation Abstract Keywords

The paper presents a mathematical simulation of non- Non-steady-state heat transfer, heat

steady-state heat transfer in the flow duct of a heat exchanger exchanger, mathematical simulation

designed for decreasing exhaust gas temperature of an

aircraft engine test firing facility. We obtained an analytical

solution by quadrature for a system of partial differential

equations that describe a model of a combined non-steady-

state problem of heating the heat exchanger components Received 29.03.2017 and cooling the exhaust gases © BMSTU, 2018

REFERENCES

[1] Grishin A.M., Fomin V.M. Sopryazhennye i nestatsionarnye zadachi mekhaniki reagi-ruyushchikh sred [Adjoint and non-stationary problems of reactive mediums mechanics]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1984. 320 p.

[2] Lykov A.V. Teplomassoobmen [Heat and mass exchange]. Moscow, Energiya Publ., 1978. 480 p.

[3] Grishin A.M. Mathematical modeling of adjoint problems of reactive mediums mechanics. Chislennye metody zadach perenosa (materialy mezhdunarodnoy shkoly-seminara). Ch. 2. [Numerical methods of transfer problem (Proc. Int. School-Workshop). P. 2]. Minsk, Izd-vo ITMO AN BSSR Publ., 1979, pp. 65-85.

[4] Zinchenko V.I., Pyrkh S.I. A nonequilibrium viscous shock-wave layer in the vicinity of the critical point with the associated heat exchange taken into account. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics (PMTF), 1979, vol. 20, no. 3, pp. 344-349. DOI: 10.1007/BF00911692 Available at: https://link.springer.com/article/10.1007/BF00911692

[5] Polezhaev Yu.V., Yurevich B.F. Teplovaya zashchita [Thermal protection]. Moscow, Energiya Publ., 1976. 392 p.

[6] Grishin A.M., Gofman A.G., Zinchenko V.I., Pyrkh S.I. Solving some adjoint problems of heat and mass exchange of TOD with hypersonic flows. Chislennye metody mekhaniki sploshnykh sred, 1982, no. 2 (in Russ.).

[7] Prokhorenkov A.M. Modeling of heat exchange processes in lamellar heat exchange devices. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Mashinostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Mech. Eng.], 2014, no. 1, pp. 92-101 (in Russ.).

[8] Malov Yu.I., Nuzhnenko T.A. Mathematical modeling of non-stationary heat conduction in cylindrical heat-releasing element. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2003, no. 2, pp. 20-27 (in Russ.).

[9] Ershova V.V. Impul'snye funktsii. Funktsii kompleksnoy peremennoy. Operatsionnoe ischislenie [Pulse functions. Functions of complex variable. Operational calculus]. Minsk, Vysheyshaya shkola Publ., 1976. 255 p. (in Russ.).

[10] Bateman H., Erdelyi A. Tablitsy integral'nykh preobrazovaniy. T. 1. Moscow, Nauka Publ., 1969. 343 p.

Aleksandrov V.Yu. — Cand. Sc. (Eng.), Deputy Head of Department of Aerospace Engines in charge of scientific work, P.I. Baranov Central Institute of Aviation Motor Development (Aviamotornaya ul. 2, Moscow, 111116 Russian Federation).

Koroleva A.P. — Engineer, Department of Aerospace Engines, P.I. Baranov Central Institute of Aviation Motor Development (Aviamotornaya ul. 2, Moscow, 111116 Russian Federation).

Kukshinov N.V. — Cand. Sc. (Eng.), Junior Research Fellow, Department of Aerospace Engines, P.I. Baranov Central Institute of Aviation Motor Development (Aviamotornaya ul. 2, Moscow, 111116 Russian Federation); Assistant Lecturer, Department of Thermal Physics, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Safonova D.B. — Designer Engineer of the 2nd rank, Department of Aerospace Engines, P.I. Baranov Central Institute of Aviation Motor Development (Aviamotornaya ul. 2, Moscow, 111116 Russian Federation).

Frantsuzov M.S. — Junior Research Fellow, Department of Aerospace Engines, P.I. Baranov Central Institute of Aviation Motor Development (Aviamotornaya ul. 2, Moscow, 111116 Russian Federation); Assistant Lecturer, Department of Thermal Physics, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Aleksandrov V.Yu., Koroleva A.P., Kukshinov N.V., Safonova D.B., Frantsuzov M.S. Mathematical Simulation for Computing Process Parameters During Non-Steady-State Heating of Heat Exchanger Walls. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Mashinostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Mech. Eng.], 2018, no. 5, pp. 4-14 (in Russ.). DOI: 10.18698/0236-3941-2018-5-4-14