Математическая модель расчета потерь мощности в изолированных проводах с учетом температуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК М» 3 (83) 2009

УДК 621.316.3 с. С. ГИРШИН

Л. Л. БУБЕНЧИКОВ Е. В. ПЕТРОВА В. Н. ГОРЮНОВ

Омский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ В ИЗОЛИРОВАННЫХ ПРОВОДАХ С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ_________________________

В статье получены выражения для расчета температуры внешней поверхности изоляции провода, которые в зависимости от конкретных принятых допущений могут использоваться для определения температуры провода и потерь мощности на единицу длины. Предложены способы определения коэффициента теплоотдачи излучением. Рассмотрены варианты нахождения коэффициента теплоотдачи конвекцией по данным допустимого теплового режима и непосредственно по числовым критериям теории подобия. Ключевые слова: изолированный провод, модель, потери мощности, конвекция, излучение, температура.

Авторами работы на основе теории поля проведен анализ распределения температуры по сечению самонесущих изолированных проводов. Полученные формулы определяют возможность проведения дальнейших исследований в направлении повышения точности (совершенствование) расчета потерь электрической энергии с учетом воздейс твия на эксплуатируемые линии электропередач величины протекающего тока, температуры окружающей среды, солнечной радиации, скорости ветра и других факторов.

В основу указанных исследований целесообразно положить уравнение теплового равновесия, при котором количество тепла, подводимого к проводу, равно количеству тепла, отдаваемого в окружающую среду. Тепловой поток с поверхности токопроводящей жилы единичной длинны (потери активной мощности) радиусом г{ через объёмную плотность источников тепла с/, определяется выражением:

&р = щ-дг,

(1)

которое1 с учетом температурной зависимос ти активного сопротивления также будет зависеть от температуры

/Ч =/Ч (и сЮ,„) = мД| + о©,*),

(2)

равной температуре в центре провода 0

центр'

уравнения теплопроводности можно определить из соотношения

0 _0 (3)

пр тчш ~

2лА,,, г,

где Яи1 —коэффициент теплопроводности изоляции; г2 — радиус внешней изоляции провода

Подставим (2) в (3), перенеся величину 0лр в правую часть и изменив знаки, получим:

Ар0 (1 +а&П1,) г.

2я-Л,3

= ~ллЛ„ + ©„,,0 - аЛйД„),

(4)

с 1 1 Г2

где Зи9 =-----1п —тепловое сопротивление изоля-

2 пк„ г,

ции (1 ].

Из (4) получаем следующее выражение для температуры провода:

_ ©«««и + 4аА I -аДлА,

=

(5)

где / — величина тока в проводнике; — активное сопротивление провода при темпера туре 0 “С; Я,, — активное сопротивление провода при 0 'С; а —температурный коэффициентактивного сопротивления алюминиевых проводов; Др()— потери активной мощности, рассчитанные по сопротивлению, приведенному к температуре 0 ’С.

Проведенные расчеты показали, что температуру но сечению жилы провода Опр допустимо принять

Чтобы учесть фактические условия охлаждения, запишем уравнение теплового баланса провода в стационарном режиме:

Ьр = (<хк +«„К<«Л0я„еш,

(6)

а раз-

ностьтемпературы провода и температуры на внешней поверхности изоляции б на основе решения

где а, — коэффициент теплоотдачи конвекцией; аи — коэффициент теплоотдачи излучением; Р(Ш(1 — площадь поверхности провода; 6жпкш =6„,1гш-0мф— превышение температуры внешней поверхности изоляции над температурой окружающей среды б .

При естественной конвекции, когда скорость ветра равна нулю, коэффицие! гг теплоотдачи зависит от температуры внешней поверхности изоляции [2]. Однако на практике скорость ветра чаще всего отлична от нуля. В этом случае наблюдается вынужденная конвекция, при которой коэффициент теплоотдачи оттемпературы не зависит.

Коэффициент теплоотдачи излучением всегда зависит от температуры внешней поверхности изоляции. Эта зависимостьприближешю можетбыть представлена линейной функцией, зависящей от А0„,„,,„ (1 ].

а.. = а' + а’ле

(7)

где а' и от’ — коэффициенты, определяемые абсолютной температурой среды, степенью черноты поверхности изоляции и постоянной абсолютно черного тела.

При вынужденной конвекции с учетом (2) и (7) уравнение теплового баланса (6) можно записать в виде:

ДРоО + а®„п)= + а'„ + • (8)

Подставив (5) в (8) и умножив правую и левую части на 1 - аАр0Би1, получим:

ЛроО + ав,кр + аД01Яги)=

= О - аАр0Б,п \ак + а'„ + а"„Д0„ияи )Д©Я,„,„. (9)

Последнее уравнение преобразуем к виду

(1 - <*4Р<А,) +

+ д0«.„ш [(«, + 0 - аАРо$„,) “ аАра ] -

- Др0(1 + а© )=0.

(10)

которое можно записать более компактно

лд0;„™ + ЙА0™с-ш -ла.(| + «©„„,,)=о, (и)

где /1=а;/г„,„(1-«ЛА)5„1)

и В = (ак + а'и - аЛ#Д„) - осАр0 — коэффици-

енты полученного квадратного уравнения.

Решая (11) относительно Ояш.ш, получим формулу для температуры внешней поверхности изоляции провода:

В + у[вТ74АЛр0^аО^) 2 А

■ (12)

)=

Это уравнение может быть решено методом последовательных приближений на основе формулы

©1*1 =© +

впеш окр

________________АРо(1+«0,^,) (14,

(1 - аАрпБи1 )[<*, (©!,*;!,!)+(©Ь,!)] - «Да, '

где к — номер приближения.

Наконец, возможно рассчитать вариант эксплуатации провода при допущении, когда ах и аи не зависят от температуры. Погрешность и возможность такого допущения, естественно, необходимо проанализировать и обосновать. В этом простейшем случае формула (14) превращается в формулу прямого рас-

ла>(| + а©„ч>)

0»«р + 0 _ аАро$^ ^ + от. ) - аАр0

■ (15)

Полученные выражения (13), (14) и (15) для определения в зависимости от конкретных принятых допущений могуг использоваться для расчета температур провода и потерь мощности на единицу длины согласно уравнениям (5) и (2).

Тем не менее практическая реализация приложенного подхода осложняется трудностью нахождения выражений для вычисления коэффициентов а, и а„.

Расчет коэффициентов теплоотдачи излучением и конвекцией

Согласно [1], коэффициент теплоотдачи излучением можно определить по приближенной формуле

/■

а,

= £пС0Токр

(16)

Второй корень квадратного уравнения (11) не используется. В противном случае температуры внешней поверхности изоляции всегда будет меньше температуры окружающей среды, что лишено физического смысла.

При произвольном изменении условий эксплуа тации изолированных проводов можно предположить сложную нелинейную зависимость коэффициентов теплового излучения и конвекции от температуры, т.е. сх„(Йп||,.ш) и а„(в,„„.ш). В этом случае соотношение (8) преобразуется к виду в виде:

где еп — коэффициент черноты поверхности провода, лдя пластмассовой изоляции приблизительно равный 0,8; С0 = 5,7-10" Вт/(м2 К') — постоянная излучения абсолютно черного тела; Т — абсолютная температура окружающей среды, К.

Для линейной зависимости аи, определяемой уравнением (7), формула (16) позволяет найти:

< = ^пС0Т,1р = ГД, • 1,824 КГ7 Вт/(м2-°С), (17)

«Г = бв.С07*Д , = Т;ч, • 2,736 ■ 1(Г7 Вт/(м*-*С1). (18)

Более высокая точность определения «|( может быть реализована по зако1гу Стефа11а-Больцмана, согласно которому интенсивность теплоо тдачи излучением пропорциональна разности четвертых степеней абсолютных температур излучающего тела и окружающей поверхности. Площадь окружающей поверхности значительно больше площади излучающего тела (провода), а температуру окружающей поверхности можно приближенно принять равной температуре окружающей среды (воздуха). При этих допущениях коэффициент теплопередачи излучением зависит оттемпературы поверхности изоляции нелинейно и рассчитывается следующим образом 111:

'рЛ _____*^4

впеш окр

А0________

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК М* 3 (83) 2009

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N*3 (83) 2009

Тл

= 4,56 10 8 """"

-Т*

^2., Вт/(м2-“С), (19)

А©.,

где Тюкт — абсолютная температура поверхности изоляции, К.

Коэффициент теплоотдачи конвекцией можно определить двумя способами:

1) поданнымдонустимого теплового режима (режима, соответствующего протеканию допустимого тока при нормированных условиях охлаждения);

2) непосредственно по числовым критериям теории подобия для конвективного теплообмена.

Рассмотрим первый способ. Допустимый тепловой режим характеризуется следующими параметрами: допустимым током / , допустимой температурой провода ©„„„, нормированной температурой окружающей среды 6 |ИИ. Потери активной мощности на единицу длины в этом режиме

ЛРл» = ЛД, (1 + ) = Ч. М| + авЛт),

(20)

Преобразовав (4), получим следующее выражение для превышения температуры внешней поверхности изоляции над температурой окружающей среды в допустимом режиме:

А©«неш,<)|Ш ©<)</« АРАШ^М* © ОКр.ННН .

(21)

Уравнение теплового баланса для рассматриваемого режима можно записать в виде

^Р<кт ~~ I К + СХг1 + ССи )^^внгш,доп . (22)

О тсюда получаем расчетное выражение для коэффициента теплоотдачи

а. =■

■ - а' - а"Д©„

(23)

нов пнеш ./кін

Ыи = с(Ог- Рг)".

(25)

От = ^-А®виеше/^/у2 ■ Рг = /7 • ср/Хикр,

с;) — удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении.

Кинематическая и динамическая вязкости связаны соотношением [4]

у = г)!р,

(28)

где р — плотность воздуха.

Динамическая вязкость пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры [3]:

273,15

(29)

где г]а — динамическая вязкость при 0 °С (273,15 К), равная для воздуха 1,72-10’5 Н-сек/м2 14]. С учетом этого для воздуха

/7 = 1,04 10"

1Тикр . н-сек/м2.

(30)

Рассмотрим второй способ — вычисление коэффициента теплоотдачи почисловым критериям подобия. В этом случае общая расчетная формула имеет вид [3]

а =Ми^, (24)

с1

гдеЛ(Иф — коэффициент теплопроводности окружающей среды (воздуха); с! — определяющий размер тела, в данном случае внешний диаметр изоляции провода; N4 — критерий Нуссельта.

В случае естественной конвекции в поле силы тяжести критерий Нуссельта рассчитывается по выражению 111

где Сг — критерий Грасгофа; Рг — критерий Прандт-ля;с, л — коэффициенты, зависящие от произведения вг-Рг.

Критерии Грасгофа и Прандтля рассчитываются по следующим формулам [1], [2]:

(26)

(27)

Зависимость динамической вязкости от температуры обусловлена тем, что вязкость пропорциональна средней скорости теплового движения молекул. Этой же величине пропорционален также коэффициент теплопроводности газа |4]. Поэтому отношение г}/можно считать не зависящим от температуры.

Удельная мольная теплоемкость воздуха зависит от температуры следующим образом (2): рср = = 28,09 + 0,002412©,,^, Дж/(моль-”С). Видно, что эта зависимость выражена достаточно слабо, и ею можно пренебречь. Тогда критерий Прандтля будет постоянной величиной. Коэффициенгтеплопроводности воздуха при О 'С и теплоемкость при постоянном давлении = 0,0244 Вт/(м-К), с()= 1005Дж/(кгК) 11]. Следовательно, критерий Прандтля для воздуха равен

Рг = г) ■ ср/Локр = 1.72 ■ 10'5 • 1005/0,0244 = 0,708.

Преобразуем формулу для расчета критерия Грасгофа. Коэффициент расширения воздуха представляет собой величину, обратную абсолютной температуре [3]:

Т

акр

(31)

Кинематическая вязкость воздуха с учетом (30) равна

у = \,0Л-]0*^/р.

(32)

В выражение (32) входит плотность воздуха. Она может быть рассчитана по уравнению состояния [5]:

Р =

(33)

где Р — атмосферное давление, Па; Я, — удельная газовая постоянная сухого воздуха, К, = 287,05 Дж/ (к.-К) [5].

Плотность влажного воздуха отличается от плотности сухого воздуха незначительно |5|.

С учетом (50) — (52) формула для критерия Грасгофа примет вид

0Т — АОяж.ш^/ 8Р~ | 012 _

ГДр-1,042

где/? — коэффициент расширения воздуха; д — ускорение свободного падения; V — кинематическая вязкость воздуха; г/ — динамическая вязкость воздуха;

А©днсш</3 ~ 9,80665 • Рг Т*. 1,042-287,05-

ю'- =

= 1,1-10

А

(34)

Произведение критериев Грасгофа и Прандтля

вг- Рг = 1,1 • 10

&®ткш“Р

с

•0,708 =

= 7,79 10

7 А©,теш</3 Р~

(35)

Вычислим это произведение для рассматриваемого провода (с* = 0,024 м) при условиях Р— 100000 Па,

Т,щ,= 293К,Д0_,=7О”С:

Сг.Рг = 7,79.107 70 0,0243 •10000°2=.02282.

293

(36)

Согласно [3], при СгРг = 5-102 + 2-10' значения коэффициентов в формуле (25) с = 0,54, л = 0,25. Видно, что если превышение температуры поверхности провода над температурой окружающей среды существенно, то произведение СгРгдля проводов в реальных ситуациях всегда попаде т в этот диапазон. Тогда формула (25) запишется в виде

1Ми = 0,54 7,79-107 Р

Л/-Ч0.25 |0.

т

. окр

(37)

Подставив (37) в (24), получим следующую формулу для расчета коэффициента теплоотдачи:

«,=50.73Л„

£г_ Ж т„ V СІ

(38)

При использовании этой формулы необходимо учитыва ть, что теплопроводность воздуха зависит от температуры. Теплопроводность газа, как и динамическая вязкость, пропорциональна средней скорости движения молекул [ 1). Поэтому коэффициент теплопроводности также можно приблизительно считать пропорциональным корню из абсолютной температуры:

^інср

акр

273,75 '

(39)

1. Получены выражения для расчета температуры внешней поверхности изоляции провода, которые в зависимости от конкретных принятых допущений могут использоваться для определения температуры провода и потерь мощности на единицу длины.

2. Предложены способы определения коэффициента теплоотдачи излучением различной степени точности, основанные на использовании закона Стефана-Больцмана.

3. Рассмотрены варианты нахождения коэффициента теплоотдачи конвекцией

а) по данным допустимого теплового режима и уравнению теплового баланса с использованием коэффициента теплоотдачи излучением

б) непосредственно по числовым критериям теории подобия с учетом кри териев Нуссельта, Грасгофа и Прандтля

4. Получено аналитическое соотношение связывающее коэффициент теплоотдачи конвекцией с величиной а тмосферного давления и температурой окружающей среды.

5. Проведенные исследования создают теоретическую основу для повышения точности расчета потерь электрической энергии с учетом воздействия на эксплуатируемые линии электропередач температуры окружающей среды и других факторов.

Библиографический список

1. Основы кабельной техники / под ред. И.Б, Пешкова. — М.: Издательский центр «Академия», 2006. — 432 с.

2. Болгарский А.В. и др. Термодинамика и теплопередача. — М.: Высш. школа, 1975. — 495 с.

3. Яворский Б.М., Детлаф А.А Справочник по физике. — М.: Изд-во «Наука», 1977. — 944 с.

4. Интернет-ресурс ru.wikipedia.org.

5. Хромов С.П. Метеорология и климатология. — М. : Изд-во Моск. ун-та: Наука, 2006. — 582 с.

где Лмр0 — 0,0244 Вт/(мК) — коэффициенттеплопро-водности воздуха при 0 °С [ 1).

С учетом этого окончательная формула для коэффициента теплоотдачи примет вид

ГИРШИН Станислав Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение п ромышле! ш ы х п редпр ияти й ».

БУБЕНЧИКОВ Антон Анатольевич, инженер кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

ПЕТРОВА Елена Владимировна, инженер кафедры «Электроснабжение промышленных предприя тий». ГОРЮНОВ Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электроснабжение промышленных предприятий», директор энергетического института.

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

а, = 0,0749 I— • 4ІЛ0""™'

(40) Статья поступила в редакцию 23.07.2009 г.

© С. С. Гиршин, А. А. Бубенчиков, Е. В. Петрова, В. Н. Горюнов

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК М» 3 (83) 2009