CC BY
15
УДК 655.3.022.51
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА КРАСКОВОСПРИЯТИЯ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ПЕЧАТИ
© 2013 г. Л.Г. Варепо, А.С. Борисова, О.А. Колозова
Варепо Лариса Григорьевна - кандидат технических наук, доцент, докторант, кафедра технологии печатных и послепечатных процессов, Московский государственный университет печати, ул. Прянишникова, 2а, г. Москва, 127550; Омский государственный технический университет, пр. Мира, 11, г. Омск, 644050, e-mail: larisavarepo@yandex. ru.
Varepo Larisa Grigorievna - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Doctoral Student, Department of Technology Printing and Finishing Processes, Moscow State University of Printing, Pryanishnikov St., 2a, Moscow, 127550; Omsk State Technical University, Mir Ave, 11, Omsk, 644050, e-mail: larisavarepo@yan-dex.ru.
Борисова Алина Сергеевна - старший преподаватель, кафедра дизайна и технологии медиаиндустрии, Омский государственный технический университет, пр. Мира, 11, г. Омск, 644050, e-mail: lianilla@mail.ru.
Колозова Ольга Алексеевна - старший преподаватель, кафедра высшей математики, Омский государственный технический университет, пр. Мира, 11, г. Омск, 644050.
Borisova Alina Sergeevna - Senior Lecturer, Department of Design and Technology Media Industry, Omsk State Technical University, Mir Ave, 11, Omsk, 644050, e-mail: lianilla@mail. ru.
Kolozova Olga Alekseevna - Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, Omsk State Technical University, Mir Ave, 11, Omsk, 644050.
Разработаны математические модели, позволяющие аналитически оценить красковосприятие запечатываемого материала различной природы. Они основаны на аналитическом представлении профиля поверхности запечатываемого материала в виде многочлена Фурье с учетом особенностей процесса закрепления печатной краски на оттиске. Рассматриваются вопросы теоретического подхода к моделированию оценки красковосприятия впитывающих и невпитывающих материалов для печати. Проведена оценка адекватности разработанных моделей. Для расчета красковосприятия на основе полученных моделей разработан программный продукт.
Ключевые слова: красковосприятие, модель, поверхность, оценка.
The mathematical models are designed, which allows to value analytically the ink receptivity of print material of different nature. The mathematical models based on an analytic representation of the surface of the printed material in the form of a polynomial Fourier allowing for the consolidation process of the ink on the image. The article deals with a theoretical approach to modeling and estimation ink receptivity absorbent and non-absorbent materials for printing. The models conformity are regarded. For the calculation of ink receptivity on the basis of the models, developed a software product.
Keywords: ink receptivity, model, surface, estimation.
Постановка задачи
Под красковосприятием понимается свойство материала воспринимать определенное количество краски во время печати при заданных условиях контакта и разрыва красочного слоя. Количественной характеристикой красковосприятия служит критическая толщина слоя краски на форме, соответствующая оптимальному значению величины оптической плотности оттиска. Красковосприятие материалов в производственных условиях часто определяют субъективно, что приводит к увеличению времени, необходимого для выхода на тираж, и процента брака.
Цель работы - разработка математической модели для расчета красковосприятия различных запечатываемых материалов на основе аналитического представления профиля поверхности.
Методы решения
Разработка модели оценки красковосприятия основывается на применении элементов механики (для подсчета массы тела), гармонического анализа (для
получения аналитического представления профиля поверхности), математического анализа (для аппроксимации поверхностей малых цилиндрических тел, на которые разбивается красочный слой, а также для подсчета объемов как малых красочных слоев, так и всего объема запечатанного образца).
Исследования красковосприятия материалов для печати проведены в соответствии со стандартной методикой, описанной в [1].
Обсуждение результатов
В процессе печати в зависимости от способа нанесения печатной краски на запечатываемый материал последняя закрепляется на его поверхности различными способами. При печати на бумаге (картоне) офсетным способом - за счет избирательного впитывания связующего или окислительной полимеризации алкидной смолы и высыхающего растительного масла, при печати на комбинированных материалах флексографским способом - за счет испарения связующего печатной краски, что требу-
ет реализации различных подходов к оценке крас-ковосприятия.
Практическое использование представления функции профиля в виде ряда Фурье состоит в том, что конечная сумма, получающаяся при обрывании ряда на n-м члене (многочлен Фурье n-й степени), является приближенным выражением разлагаемой функции с некоторой степенью точности, и это приближенное выражение можно довести до какой угодно степени точности путем выбора достаточно
большого значения п: Sn(х) = ¿bk sin^кХ. Коэффи-
нение
где
максимальная высота кра-
l
циент _ 2 1
Jk
bk
вычисляется
по
bk - 2 í f (x)sin ^dx l 0 l
формуле где f(x) - функция профиля;
l - длина образца.
При разработке модели красковосприятия невпи-тывающих материалов использован двойной интеграл, позволяющий вычислять объем цилиндрического тела, а также прием математического анализа, заключающийся в разбиении образца запечатанного комбинированного материала (далее образец) на m частей и аппроксимации объема каждой из них объемом цилиндрического тела.
Принято, что масса красочного слоя М = рУ, где р - плотность печатной краски; V - объем красочного слоя, который в первом приближении рассматривается как прямоугольный параллелепипед, верхняя грань которого представляет собой некоторую поверхность, не являющуюся плоскостью. Вводится система координат, как показано на рис. 1.
Образец разбивается плоскостями у = у/, / = 1, 2,..., m-1, параллельными координатной плоскости Х07 с шагом h. Тогда красочный слой разбивается на m частей, причем объем всего красочного слоя V равен
т
сумме объемов малых красочных слоев У = X У ■
7=1
В сечении у = у, / = 1, 2 ,..., m-1, уравнение профиля комбинированного материала можно задать, согласно [2], в виде многочлена Фурье. Красочный слой рассматривается как тело, ограниченное вертикальными плоскостями х = 0, х = а, у = у/.1, у = у/, сверху - частью плоскости, имеющей урав-
сочного слоя, найденная для всего образца, снизу -цилиндрической поверхностью с направляющей
лкх 2 2Г . лкх 7
sin-dx и образую-
z -Z bkrsin—, ь
-- 2í -
к=1 a a o a
щей, параллельной оси ОУ. Объем этого тела, занимающего пространственную область, элементарную в направлении оси OZ и проецирующуюся в прямоугольник Di: 0 < х < а, yi-1 < у < yi, находится с помощью двойного интеграла.
Тогда оценку полного объема красочного слоя можно найти по формуле
-ÍA/ sin —\xdy =
i=1 dí V к=1 a J
m yi a í n Tlkx
= Z í dy\\ zmax -Zbki sin-
yi-1 o V к=1 a
m
V *Z íí
i-1
dx -
-Z í \az„
yi-1
У i r
i-i
1X + a ZZbkL (cos nk - l)ldy -
л k-i k )
,x + aZ^ ((-l)k -l)]dy -
л k-i k 4 )
-Zí
i-1 yi-1
az„
-Z
i-1
az
„,x + a t\((- 1)k - 1))(Л У, )-
л k-1 k 4 )
-Z
i-1
a.z _ -
-Z a
i-1
z___ -
2a_ 2b2 j+1,i л j-o 2j + 1
_22 b2 j +1,i '
л j-o 2j + 1)
А У, -
А У, .
Полагая шаг h = Ау/ разбиения на части образца со сторонами а = 0,5 мм, Ь = 0,5 мм равным 3 мкм, получаем итоговую формулу для вычисления оценки массы краски на образце
M
0,0015pZ
i-1
2 ^ b2 j+1,i л j-0 2 j +1
2 a
Коэффициенты b2j+1i - -—íz
sin-
л
(2j + 1)x
dx
a 0
Рис. 1. Схематическое представление одной из m цилиндрических поверхностей
рассчитываются методом средних прямоугольников. Если толщина красочного слоя больше гтах, то масса краски на образце увеличивается на величину М\=аЫ, где / - толщина дополнительного слоя.
Построим доверительный интервал для оценки истинного значения красковосприятия, которое можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи доверительных интервалов.
Для каждого вида образцов комбинированных материалов по разработанной модели находим массу краски на образце и сравниваем теоретические значения массы со значением, полученным опытным путем (таблица). Адекватность разработанной модели оценивали по критерию Фишера с доверительной вероятностью 0,95.
k-1
V
m
m
z
a
Сравнение теоретических и экспериментальных значений красковосприятия
Номер образца Экспериментальное значение m Доверительный интервал Расчетное значение mpam Отклонение А, %
1 0,0380 0,0294 <m1 <0,0466 0,0402 5,47
2 0,0310 0,0286 <m2 <0,0334 0,0322 3,73
3 0,0425 0,0345 <m3 <0,0505 0,0402 5,72
4 0,0356 0,0325 <m4 <0,0387 0,0338 5,33
При разработке модели оценки красковосприятия пористых материалов, на которых закрепление красочного слоя происходит за счет впитывания связующего, использовали один из приемов математического анализа, суть которого заключается в разбиении образца на m частей и аппроксимации поверхности каждой из них цилиндрической поверхностью, заданной уравнением ^,(x,z)=0, /=1,2,...m [2].
Будем рассматривать запечатываемый образец бумаги в первом приближении как прямоугольный параллелепипед. Как верхняя, так и нижняя грани красочного слоя представляют собой некоторые поверхности, не являющиеся плоскостями. Аппликата z каждой точки этих поверхностей является случайной величиной. Введем систему координат, как показано на рис. 2.
красочного слоя V = Z V .
В сечении у
i=1 у i, i=
1,2,...,m, уравнения верхнего
бум\
(2 = 2,) и нижнего (2 = ум) профилей красочного слоя можно задать, согласно [3], в виде многочленов Фурье с одинаковым числом слагаемых с заданной
точностью на основе результатов измерении высоты z обоих профилеИ при 0 < х < а.
Малый красочныИ слоИ рассматривается как тело, ограниченное вертикальными плоскостями х = 0, х = а, у = уi_], у = уi , причем его верхняя и нижняя поверхности аппроксимируются цилиндрическими поверхностями с направляющими z = z+ и z = zfyM и образующими, параллельными оси ОУ. Это тело занимает пространственную область, элементарную в направлении оси OZ, т.е. ограниченную сверху ци-
+ " . лкх линдрическои поверхностью z+ = 2 bki sin-, где
Рис. 2. Один из малых красочных слоев запечатанного образца бумаги
Будем считать, что величина массы краски на образце состоит из двух слагаемых, первое из которых (М{) равно массе красочного слоя, лежащего выше деформированной поверхности бумаги, а второе (М2) - массе краски, попавшей в поры бумаги на среднюю глубину q затекания краски: М = М\ + М2.
Для оценки М\ разобьем образец бумаги плоскостями у = у, /=1,2,...,т, параллельными координатной плоскости XOZ c шагом к. Тогда красочный слой, лежащий выше деформированной поверхности бумаги, также разобьется на т частей, причем объем всего
2
. Tikx
bk¡ =— J z + sin-dx, снизу - цилиндрической по-
a о
верхностью zбум = Z ск, sinи прямоугольником S¡:
k=1 a
2 '
. T&x
0 < х < а, уи <у < уi , сй = -Jzf sin-dx .
a о
V = Z Vi = Z JJJV « Z JJ (z+ - zr )dxdy =
i=1 i=1 Vi i=1 Si
m yi a n лкг
= Z J dyJZ ((bki- Cki )sin — )dx =
о k=1
m yi n c,. - b.
LI ,__. ,__.
= - Z J Z
Л i=1 ,
k
-((-1) k -1) dy =
= 2a ^ 2jg"b2j+u — c2J+1 = П i=1 J=Ü 2 J +1 ' 2nh m 2J+1<n Ъ ,. м , - c, , ,, ,
=—i i 2j+'•'. 2j+'•', m =pv.
n i=i j=o 2 J + 1
Масса краски, заполняющей поры образца бумаги, М2 = npabnqd2/4, где d - средний диаметр поры; q -средняя глубина затекания краски в поры; n - количество пор на 1 см2; a и b - размеры прямоугольного образца бумаги. Суммарный объем пор на 1 см2 не превосходит объема пустот, соответствующих этой площади.
Таким образом, окончательно получаем аналитическую оценку красковосприятия образца пористого запечатываемого материала следующего вида:
2ah m 2J+1<и ^ . — Сп .
М = Р — : I 2J 2j+'-' +npabnqd /4. n i=1 j=o 2 J + 1
Для расчета красковосприятия на основе полученных моделей разработана Программа для оценки красковосприятия запечатываемого материала в программной среде - Microsoft Visual Studio 2010 с использованием языка программирования Visual C# [4].
k=1
a
m
Проверено, что модели являются адекватными по критерию Фишера с доверительной вероятностью 0,95.
В таблице приведены относительные отклонения расчетных значений красковосприятия от средних экспериментальных значений для каждого образца. Среднее относительное отклонение для пористых материалов составляет 5,72 и 5,33 %, для невпитываю-щих - 5,47 и 3,73 %.
Таким образом, разработана математическая модель, позволяющая провести предварительный анализ красковосприятия запечатываемого материала и определить его пригодность к использованию для конкретного типа печатных работ, что отражает научную новизну и значимость результатов работы.
Поступила в редакцию
Литература
1. ГОСТ Р 52145-2003. Материалы, комбинированные на основе алюминиевой фольги. Технические условия. М., 2004. 16 с.
2. Варепо Л.Г., Борисова А.С., Колозова О.А. Аналитическое представление оценки профиля поверхности материалов для печати // Изв. вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2010. № 5. С. 16 - 23.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 2009. Т. 2. 544 с.
4. Программа для оценки красковосприятия запечатываемого материала / Л.Г. Варепо, А.С. Борисова, О.А. Колозова, Е.В. Трапезников : свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2011618158 от 18.10.2011 г. М., 2011.
19 сентября 2012 г.
