Математическая модель работы грузоподъёмных кранов и оптимизация их обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.237

И. М. Якимов, А. П. Кирпичников, А. С. Сытник

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОТЫ ГРУЗОПОДЪЁМНЫХ

КРАНОВ И ОПТИМИЗАЦИЯ ИХ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Ключевые слова: грузоподъёмный кран, регистратор параметров ОНК-140, математическая модель, регрессионный анализ,

оптимизация, Statistica 8.0, Excel 2010.

Предлагается технология построения математических моделей исследования отказов грузоподъёмных кранов и оптимизации их обслуживания на примере башенных кранов с регистраторами состояния крана ОНК-140. Исследование проведено с помощью пакетов прикладных программ: Statistica 8.0 и Excel 2010.

Keywords: Crane, ONK-140 parameters recorder, mathematical simulation, regression analysis, optimization, Statistica 8.0, Excel

2010.

We present mathematical models building technology for researching cranes' failures and their service optimization, for example tower crane with ONK-140 parameters recorder. Research was provided by application suites: Statistica 8.0 and Excel 2010.

Для проведения статистических исследований работы кранов [1], построения математической модели и оптимизации предлагается технология, состоящая из следующих восьми этапов [2-3].

1. Выбор результативного показателя эффективности работы кранов и совокупности влияющих на него производственно-технических факторов и сбор исходных статистических данных (ИСД) по ним.

2. Математическая постановка задач.

3. Вычисление основных статистических характеристик ИСД и оценка их пригодности для исследования.

4. Проверка ИСД на "нормальность".

5. Корреляционный анализ.

6. Построение регрессионной модели работы сломавшихся кранов.

7. Оценка степени влияния факторов на время поломки крана.

8. Определение оптимальных сроков проведения профилактических

работ для работоспособных кранов по их показателям работы.

Далее последовательно рассмотрим все выделенные этапы на примере исследования башенных кранов с регистратором параметров в составе прибора безопасности ОНК-140. Основная задача регистратора - сохранять информацию с целью обеспечения анализа причины, приведшей к поломке или аварии крана. Также важной задачей является анализ истории работы крана, необходимый для определения остаточного ресурса при проведении экспертизы.

1. Для статистических исследований по информации, хранящейся в регистраторе параметров работы башенного крана, в качестве результативного показателя эффективности работы крана (отклика) был выбран счетчик моточасов крана - у. Счетчик моточасов крана регистрирует время эксплуатации крана. В качестве влияющих на него факторов выбраны показатели датчиков крана - х, ,

1= 1, т. Этот отклик и факторы представляют со-

бой совокупность переменных - V, j = 1, т + 1, перечень которых приведён в таблице 1.

Таблица 1

Код Наименование

х1 Перемещение по путям (м.)

х2 Высота подъема крюка крана (м.)

хз Усилие крана (кгс/см.)

х4 Азимут крана (град.)

хз Вылет стрелы крана (м.)

хб Масса груза крана (т.)

х7 Загрузка крана (%)

у Счетчик моточасов крана

По отобранным переменным были собраны ИСД. Фрагмент собранных ИСД для 3-х кранов на время их выхода из работоспособного состояния приведён в таблице 2. Всего были собраны ИСД по 90-та грузоподъёмным кранам, вышедшим из работоспособного состояния. Статистические данные для 16-ти работоспособных кранов, собранные на время оценки их состояния, представляются таблицей, аналогичной таблице 2.

Таблица 2

№ х1 х2 хз х4 хз хб х7 у

1 12,84 547,77 81,9 1,7 6,55 3,13 67 178,55

2 10,4 701,4 69,5 2,6 8,13 3,74 35 674,76

3 21,23 604,36 50,6 7,9 17,33 4,35 81 777,18

2. Требуется построить математическую модель процесса работы кранов в виде уравнения регрессии

У =

f Xg f .ЭС^ f gj J3C ^ ■

(i)

По математической модели (1) производится постановка оптимизационной задачи, с максимизацией прибыли от работы крана за счёт выбора оптимального срока проведения профилактических

работ - Iпроф для заданных конкретных значений факторов состояния крана

У1=/^проф) ^шах; х=свт1; / = 1,7. (2)

3. Основные статистические характеристики распределений ИСД сломавшихся кранов приведены в таблице 3

Таблица 3

Код Сре днее ¡на- че- ние Медиа диана Стан дарт ное от-клоне-ние Стан дарт ная оши бка сред него Аси ммет рия Эксцесс Отношение стати-стич. ошиб. к сред. значению

X] 15,6 35 14,9 85 6,674 0,70 35 0,27 0978 -0,656 19 0,045

Х2 49 0,6 94 531, 500 174, 225 18,3 650 -0,3 79581 -0,822 61 0,037

Хз 12 5,5 99 118, 890 58,7 96 6,19 76 1,6029 12 3,542 54 0,049

Х4 4,7 62 4,65 0 2,81 9 0,29 71 1,40 1126 4,107 29 0,062

Х5 9,9 56 8,46 5 5,16 8 0,54 48 0,33 1130 -1,159 81 0,055

Хб 3,9 78 3,48 5 2,38 8 0,25 18 0,94 4576 0,122 15 0,063

Х7 75, 95 6 72,0 00 36,2 79 3,53 73 1,61 6827 4,583 92 0,047

у 23 31, 78 5 1616 ,465 1945 ,276 205, 0501 1,47 9796 2,2910 7 0,088

По таблице 3 отметим, что в 4-х случаях из 8-ми, отношение стандартной ошибки к среднему значению не превышает 0,05 и в 4 случаях это отношение лежит в пределах от 0,05 до 0,09 и по этому показателю ИСД вполне пригодны для статистических исследований.

Выбранный основной метод исследования -регрессионный анализ - не накладывает каких-либо ограничений на распределения ИСД, они могут быть произвольными. Вместе с тем использование корреляционного и дисперсионного анализов, введённых в информационную технологию исследования и «усиливающих» степень достоверности её результатов, требует, чтобы распределения ИСД, используемые в исследовании, подчинялись нормальному закону.

Для оценки нормальности распределения сравнивают значения асимметрии, эксцесса и разницы медианы и среднего с удвоенными значениями соответствующих стандартных ошибок. Найдено, что две стандартных ошибки асимметрии равны 0,508064, эксцесса - 1,005872. Результаты вычислений показателей распределений ИСД приведены в таблице 4.

Таблица 4

Код Раз- Две Нор Асим- Нор Экс- Нор

ница стан маль метрия маль цесс маль

ме- дарт ност ност ност

диа- ные ь по ь по ь по

ны- оши ме- асим экс-

сред бки диа- мет- цес-

него сред него не рии су

X] -0,65 1,40 70 + 0,2709 78 + -0,6 5619 +

Х2 40,8 06 36,7 30 - -0,379 581 + -0,8 2261 +

Хз -6,1 09 12,3 96 + 1,6029 12 - 3,54 254 -

Х4 -0,1 12 0,59 42 + 1,4011 26 - 4,10 729 -

Х5 -1,4 91 1,08 96 - 0,3311 30 + -1,1 5981 -

Xб -0,4 93 0,50 36 + 0,9445 76 + 0,12 215 +

X7 -3,9 56 7,07 46 + 1,6168 27 - 4,58 392 -

у -71 410, 1,4797 2,29

5,32 15 96 107

По таблице 4 находим, что разница между медианой и средним значением в 5-ти случаях из 8-ми, не превышает две стандартные ошибки. Асимметрия в 4-х случаях из 8-ми не превышает две стандартные ошибки асимметрии. Эксцесс в 3-х случаях из 8-ми не превышает две стандартные ошибки эксцесса. Наихудшие результаты получены для факторов Х3, Х4, и Х7.

Дополнительно проведём оценку нормальности ИСД по критерию согласия (КС) Колмогорова - Смирнова [4]. Если коэффициент доверия Рк предположению о нормальности эмпирического распределения, который можно найти по статистическим таблицам [4], не меньше 0,20, то предположение о нормальности не отвергается. Если Рк < 0,20, то предположение о нормальности рекомендуется отвергнуть.

Соответствие эмпирического и гипотетического распределений можно визуально проследить по графикам. Такие графики строятся и выдаются в специализированных программных процедурах 81аЙ8Йса 8.0 [5], на которые производится ориентация вычислений по излагаемому математическому аппарату. Для примера, на рис.1 представлен график оценки нормальности фактора х1 .

В 6-ти случаях из 8-ми распределение ИСД соответствуют нормальному закону по КС Колмогорова-Смирнова, что составляет 75%. Можно надеяться, что с увеличением количества анализируемых кранов результаты по оценке нормальности распределений их ИСД улучшатся.

5. Тесноту связи между переменными принято характеризовать парными коэффициентами линейной корреляции [4].

Рис. 1 - Эмпирическая и гипотетическая функции распределения фактора х1

Критическое значение коэффициента линейной корреляции вычисляется по формуле [6]:

'крит~

Г

2

крит

1крит + п 2

= +

1,9873

2

1,98732 + 90 - 2

= +0,207,

(3)

где 1крит =1,9873 - критическое значение критерия

Стьюдента для рекомендуемого уровня значимости а = 0,05 , определяемого по статистическим таблицам при п - 2 =90 - 2 = 88-ми степенях свободы [7]; п = 90 - количество кранов.

Вычисленные значения коэффициентов линейной корреляции между результативным показателем и влияющими на него факторами приведены в таблице 5, в которой существенные значения коэффициентов линейной корреляции, значение которых по абсолютной величине не меньше гкрит > 0,2 выделены заштрихованными клетками.

Таблица 5

Код х} х2 х3 х4 х5 хб х7

у 0,36 -0, 20 -0, 15 0,01 -0, 09 -0, 08 -0, 12

Для наглядности результаты таблицы 5 на рис.2 представлены в виде диаграммы.

'1, х12,...х1т))

Ш1П,

(4)

По рис.2 отметим, что чем больше хг перемещение по путям, тем больше у - наработка на отказ. Фактор ' х4 - имеет очень слабую связь с наработкой на отказ. Все остальные факторы оказывают отрицательное влияние на наработку на отказ, т.е. чем они больше, тем наработка на отказ меньше, что не противоречит здравому смыслу.

6. Нелинейный регрессионный анализ

Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии будем использовать метод наименьших квадратов (МНК), который требует, чтобы: п

X(У'- / ( '=1

где У' - экспериментальное значение результативного показателя для '-го башенного крана; / (х11 , X'2 ,... Х'т ) - значение результативного показателя для '-го крана, вычисленное по аппроксимирующей зависимости; п - количество кранов; т-количество факторов.

Наряду с требованием (4) при получении уравнений регрессии требуется, чтобы отношение стандартной ошибки результативного показателя к его среднему значению не превышало 0,1. Уровни значимости коэффициента множественной детерминации и критерия Фишера уравнения регрессии и коэффициентов в уравнении регрессии по критерию Стьюдента не превышали 0,05 [7].

Приведём уравнение регрессии, полученное с помощью стандартной процедуры 111111 81а1к-йса 8.0 [5]:

у = -2821,96 + 340 • х1 - 9,41-х2 -- 20,82 • х3 - 498,43 • х4 + 337,82 • х5 + + 472,58 • х6 +14,89 • х7 - 5,97 • х? + + 0,01 • х| + 0,05 • хз + 27,44 • х| - (5) -13,84 • х2 - 21,42 • х6 - 0,03 • х|

7. Оценка степени влияния факторов на наработку на отказ производится по их удельным весам и коэффициентам эластичности, вычисленным по (5). Результаты оценки приведены в таблице 6 и на рис.3.

Таблица 6

Код Удельный вес Коэффициент эластичности

х1 0,097021 0,240411

х2 0,040614 -0,257399

хз 0,130564 -0,361245

х4 0,026845 0,067718

хз 0,364603 -0,614846

хб 0,264603 -0,514338

х7 0,068801 -0,203384

Рис. 2 - Влияние производственно-технических факторов на наработку крана на отказ

х3 х4

Рис. 3 - Диаграмма влияния факторов на у по коэффициентам эластичности

Характер диаграммы, приведенной на рис.3 в качественном плане аналогичен рис.2, имеются некоторые различия в количественных значениях, что можно объяснить тем, что в отличие от коэффициентов линейной регрессии коэффициенты уравнений регрессии учитывают и взаимное влияния факторов на результативный показатель.

7. Для выбора эффективных управленческих решений подставив в уравнение регрессии (5) известные значения факторов для работоспособных башенных кранов можно вычислить для каждого из них среднее время поломки, например, для первого крана.

Уотк1 = -2821,96 + 340 • 17,67 - 9,41- 529,74 -- 20,82 • 78,96 - 498,43 • 2,4 + 337,82 • 7,02 + + 472,58 • 3,86 + +14,89 • 72 - 5,97 • 312,229 +

+ 0,01 • 280624,5 + +0,05 • 6234,682 + + 27,44 • 5,76 -13,84 • 49,28 - 21,42 • 14,8996 -

(6)

- 0,03 • 5184 = 3548,287.

Отметим, что вычисленное значение по (5) представляет собой время, в течении которого вероятность поломки крана равна 0,5.

Будем считать, что время регистрации состояния для первого работающего башенного крана *

Ур1 отстоит от среднего значения наработки на отказ Уш 1 на 30~1 (используем правило 3 а для нормального закона [5]), и вычислим стандартное отклонение времени наработки на отказ:

* _ Уотк1 - Ур1 _ 3548,287 - 315,07

О =

3

3

= 1077,739.

(7)

Для первого работающего башенного крана вычислим три первых из девяти временных интервалов в диапазоне от -3 а 1 до +3а1:

¿11 = Уотк\ -3сч = 3548,287 -3 • 1077,739 = 315,07.

(8)

¿12 = Уотк1 - 2 о"! = 3548,287 -- 2 '1077,739 = 1392,809.

По стандартизированной нормальной функции

фД*) = фД- 0 -У°тк').

О

7 = 1, г,

1 = 1, т;

где т - количество работоспособных кранов; г - количество учитываемых временных интервалов.

Далее находим вероятности отказа крана

для трёх первых из девяти временных значениях:

рп = фг1*(Уотк - 3о* - Уотк ) = фг1*(-3) = 0,0014.

„ л, * / уотк1 2о1 уотк1\

Рг2 = фг2 (-*-) =

= ф12 (-2) = 0,0228.

(10)

Р3 = фг3*(У°тк 1°* У°тк ) = фг3*е1) = 0,1587.

о

Результаты вычислений по (9) и (10) для первого крана по девяти учитываемым интервалам приведены в таблице 7.

Таблица 7

Ин №

вре- 1 2 3 4 5 6 7 8 9

мен.

ин-

тер-

вала 1

Вре

мя -3ст] -2о1 -1о1 -0,5о 0о1 +0,5о +1о1 +2 о +3о

нара

ра-

бот.

на

от-

каз

Веро 0,0 0,0 0,1 0,30 0,5 0,69 0,8 0,9 0,9

роят 01 22 58 85 00 15 41 77 98

ят- 4 8 7 0 3 2 6

ност

ь

по-

лом-

ки

Рп

Вре

мя 31 13 24 300 35 408 46 57 67

от- 5,0 92, 70, 9,4 48, 7,2 26, 03, 81,

сче- 7 8 5 3 0 8 5

та ¿ц

Время проведения профилактических работ назначим по результатам оптимизации, сводящейся к максимизации прибыли от работающего крана, до проведения профилактики:

¿13 = Уотк1 -о* = 3548,287-1077,739 = 2470,548.

У1 = У2 -У3 -У4 = (1 -Рслом) • • 0г -1нач1) • (С полезн Спроф) - Рслом *Срем ^ таХ.

0,6

0,4

0,2

0

х1

х5

х6

х7

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

Фактически прибыль (11) можно разложить на три составляющие.

Доход от работы крана:

у2 = О Рслом ) • (// гначг ) • Сполезн •

Затраты на профилактику:

у3 = (1 - Рслом ) • Спроф. Затраты на ремонт:

у4 = Рслом •Срем.

(12)

(13)

(14)

В математических выражениях (12) - (14) используются следующие стоимостные показатели:

Сполезн=700 руб. - доход от одного часа работы крана;

Спроф =24000 руб. - затраты на одну профилактику крана;

Срем=500000 руб. - средние затраты на ремонт одного крана.

В качестве примера в таблице 8 и на рис.4 представлены результаты оптимизации для первого работающего крана. При проведении оптимизации использовалась процедура метода касательных ППП Excel 2010.

Таблица 8

№ Время Веро- Доход Затра- Затра- Прибыль

ятность от ты на ты на

поломки работы крана ремонт про-филак-тику

1 315, 220240, 195573,

07 0,0014 231 700 23966,4 831

2 1392, 952737, 917884,

809 0,0228 068 11400 23452,8 268

3 2470, 1454930, 1355389,

548 0,1587 423 79350 20191,2 22

4 300 9,41 0,3085 145670 154250 1285862,

8 8,783 16596 78

5 3548 0,5000 124190 250000 979900,4

,287 0,450 12000 50

6 408 7,15 0,6915 88262 345750 529467,5

7 1,554 7404 54

7 462 6,02 0,8413 51390 420650 89446,42

6 5,228 3809 8

8 570 3,76 0,9772 9103 488600 -398115,

5 2,089 547 111

9 678 1,50 0,9986 6645,8 499300 -492687,

4 74 34 726

Рис. 4 - График дохода башенного крана (работающего) с учетом профилактических и ремонтных работ

По таблице 8 и рис.4 можно определить наилучший вариант по прибыли, равной 1355389,22 рубля, которая может быть получена при проведении профилактике после его наработки 2470,548 моточасов. Для более точного назначения времени проведения профилактических работ построим нелинейное уравнение регрессии:

У1 = Ь0 + Ь • г + Ьп.Г. =

= -152386 +1176,611 • г - 0,229225 • г2 (15) По уравнению регрессии (15) вычислим первую производную (16) и определим оптимальный срок проведения профилактических работ (17):

dy1

—— = b1-2b11tonm dt

b

1148,518

2b11 2 • 0,223752

0.

2566,51.

(16)

(17)

Подставив вычисленное по (17) значение tonm=2566,51 моточасов в формулу (15) найдём:

у1опт = -152386 +1176,611 • 2566,51

-2 • 0,223752 • 2566,512 = = 1357499,646рублей.

(18)

Аналогично описанной выше процедуре вычисления оптимального времени проведения профилактических работ, продемонстрированной на первом кране, вычислены оптимальные сроки проведения профилактики ещё для 15-ти работоспособных кранов. Полученные результаты приведены в таблице 9.

t

опт

Таблица 9

№ ^опт У опт № ^опт У опт

1 2566 1357499,646 9 1381 714193,437

2 1650 872688,552 10 2076 1123068,939

3 1545 810476,099 11 1399 724356,257

4 2738 1513076,353 12 2132 1156278,163

5 2620 1443690,388 13 1356 699523,1

6 2328 1271759,88 14 1627 879332,467

7 2031 1096678,704 15 2333 1274935,283

8 1911 1026454,131 16 2685 1481924,192

Проведенный расчет показал, что оптимальное время выполнения профилактических работ для 16-ти работоспособных кранов меняется от 1356-ти до 2685-ти моточасов и доход от работы крана меняется от 699523-х до 1481924-х руб.

Вопросам построения эффективного бизнес-процесса ремонта и профилактики кранов, а также производственных процессов изготовления и монтажа вентиляционного и сантехнического оборудования посвящены работы [8, 9], вопросы прикладной теории массового обслуживания освещены в работах [10, 11].

В заключение отметим, что ценность предложенной методики статистического исследования обеспечивается соблюдением следующих основополагающих принципов.

1. В качестве показателей состояния башенных кранов используются исходные статистические данные, фиксируемые стандартным регистратором 0НК-140. Предлагаемая технология позволяет сравнительно несложно вводить и другие показатели, например, в случае применения других регистраторов.

2. Математическая модель работы кранов, построенная на основе регрессионного анализа, позволяет оценить степень влияния производственно-технических факторов кранов на их наработку на отказ и оптимизировать процесс выбора времени проведения профилактических работ.

3. Методика, предложенная для построения модели и оптимизации, включает в себя апробированные процедуры обработки статистических дан-

ных, обеспечивающие получение корректных результатов.

4. Применение методики опробовано на реальных данных предприятия по ремонту и профилактике кранов ООО ПИУЦ ЛУН.

Выявленные на рассмотренном примере некоторые нежелательные эффекты, в частности, не все производственно-технические показатели удовлетворяют принципу «нормальности», не все коэффициенты линейной корреляции результативного показателя с факторами преодолевают уровень существенности, не все показатели качества полученного уравнения регрессии, укладываются в регламентируемые значения. Наличие указанных недостатков можно объяснить сравнительно небольшим объёмом имеющихся ИСД и при его увеличении эти недостатки будут устранены.

Литература

1. М.П. Александров, Подъёмно-транспортные машины. М., Высшая школа, 1985. 520 с.

2. В.В. Мокшин, И.М. Якимов, Информационные технологии, 5, С. 46-51 ( 2011).

3. В.В. Мокшин, И.М. Якимов, Р.М. Юльметьев, А.В. Мокшин, Нелинейный мир, 7, 1, С. 66-76 (2009).

4. Е.С. Вентцель, Теория вероятностей. М., Высшая школа, 1998. 576 с.

5. В.П. Боровиков, И.П. Боровиков, STATISTICA - Статистический анализ и обработка данных в среде WINDOWS. М., Информационно-издательский дом «Филин», 1997. 608 с.

6. И.М. Якимов. Компьютерное моделирование. Казань, Изд-во Казан. гос. технич. ун-та, 2008. 220с.

7. И.Н. Елисеева, М.М. Юзбашев, Общая теория статистики. М., Финансы и статистика, 1995. 368с.

8. М.А. Степанова, С.А. Сытник, А.П. Кирпичников, В.В. Мокшин, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 20, С. 309314 (2013).

9. И.М. Якимов, А.П. Кирпичников, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 20, С. 295-302 (2013).

10. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. ун-та, 2008. 112 с.

11. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

© И. М. Якимов - канд. техн. наук, проф. каф. автоматизированных систем и обработки информации и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; А. С. Сытник - канд. техн. наук, директор ООО ПИУЦ ЛУН, [email protected].