CC BY
114
УДК 51 - 74:621
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
С СУХИМ ТРЕНИЕМ
© 2011 г. Фан Ван Туан
Байкальский государственный университет Baikal State University
экономики и права, г. Иркутск Economics and Law, Irkutsk
Предложен метод гармонического баланса во временной области (ГБВО) для анализа колебаний систем пружинного маятника с сухим трением. Исследована модель со многими гармониками, выполнены расчет и сравнение с методом прямого численного интегрирования.
Ключевые слова: математическая модель; трение; колебание; метод гармонического баланса; метод Ньютона; системы пружинного маятника.
Construction of harmonic balance method in the time domain for analysis of vibration of the spring pendulum systems with dry friction. Research for multi harmonic. Execution of calculation and compare with the direct numerical integration method.
Keywords: mathematical model; friction; vibration; harmonic balance method; Newton's method; spring pendulum systems.
Известно, что механические системы с силой сухого трения играют важную роль в технике. Силы трения иногда эффективно использовались как демпфирование для уменьшения колебания механических систем. Поэтому исследование динамических характеристик систем с сухим трением всегда является важной, интересной задачей. Рассмотрим системы, в которых главную роль играет сила сухого трения. Типичный пример - пружинный маятник, груз которого скользит по шероховатой горизонтальной поверхности (рис. 1) [1].
Динамическое уравнение системы имеет вид:
M.x + C.x + K.x + f (x, x) = p(t) = = Q Г PC cos(qrat) + Pf sin(qrai)], (1)
q=0 Г J
где M - масса маятника; С - коэффициент вязкого трения; K - жесткость пружины; x - перемещение маятника; p(t) - внешная сила. Предполагаем, что
p(t) = Q Г PC cos(qrot) + PqS sin(qrot) ] ; x, x) - дей-
q=o
ствующая сила от демпфера, Qh - количество гармоник внешней силы, или
fтр(t) = K Д z(t) =
= К
x(t) -Xmax + Zд при 0 < rot < а;
-Z*
при а < rot < л;
(2)
x(t) + Xmax - Zд при л < rot <л + а;
Z
при л + а < rot < 2л,
где Кд - жесткость фрикционного демпфера (ФД); Fд - максимальная сила трения от ФД, Fд = N.ц;
ц - коэффициент трения; г - перемещение фрикционного демпфера. Рис. 2 отражает соотношение параметров г, х, го/ для одного периода [1, 2].
K
КД ^ И/WV-
С
N
С
■3}
M
P(t) —>
F
тт
7 7 7 7 77
/ / / / / /
/-VVWV
К /7
P(t) —>
7777
б
Рис. 1. Система пружинного маятника (а) и схема расчета (б)
а
Z
x
- X
D
ем:
Из выражения (5), использовав принцип ГБ, име-
- для cos(nюt) при 1< п
-МХсп (пго)2 + сх5ппю + кхсп + = РС ;
- для sin(nюt) при 1< п <Мк:
-M.Xsn (nro)2 -CXcnm, + KXsn + FnS = PS
▼rot
Рис. 2. Соотношение z, x, rot для одного периода rote [0,2л]
Для решения уравнения (1) можно применить метод прямого численного интегрирования (ПЧИ) (Ньюмарка, Вилсона, Рунге - Кутта и.д.) [3]. Однако эти методы требуют больших затрат компьютертного времени. Для отдельных случаев метод гармонического баланса (ГБ) использовался как эффективный метод для уменьшения затрат времени расчёта [4, 5]. Но для этой модели мы не можем использовать данный метод явно, потому что функции силы трения не видно. В этой работе мы создадим метод гармонического баланса во временной области (ГБВО). Суть математической модели состоит в использовании метода ГБ в сочетании с анализом по временной координате.
В соответствии с методом ГБ мы предлагаем значения смещения маятника и силы трения в виде:
X Nh Г Т
x = —° + ¿[XC cos(nrot) + XS sin(nrot)J , (3)
2 n=1
X F c и K-0- + = PC 2 2 0
где PC = 0, PS = 0 при n > Qh.
Можно записать:
K 0
0 [П]2 0 ...
[П]
Nh +1
X
X1c
X1S
X
Nh
X
Nh
F
Fc
FiS
F
Nh
F
Nh
2PC
P
Nh
P
Nh
где [n]n+i =
K -M(nro)2 Cnro -Cnro K -M(nro)2
\ n=1N
В сокращенном виде имеем
[П]{X} + F Ж .
(6)
F Г "I
f^ = FnC cos(nrot) + fS sin(nrot)J , (4) Система уравнений (6) имеет (2Nh +1) уравнений
где N - количество гармоник смещения маятника (всегда N > Qh).
Подставляем (3) и (4) в уравнение (1), получим:
с 2.(2Nh +1) неизвестными значениями: Xo, Xn , Xn, Fo,
í Nh
-M|¿ X<c (nro) cos(nrot) + Xsn (nro) sin(nrot) +C| £[^-Х^юsin(nrot) + XSnrocos(nrot)]
¥п , ¥п с п=1^Ы1г. Необходимо дополнить её (2Л^ +1)
соотношений.
В соответствии с принципом разложения функций в ряд Фурье имеем
2л
+KI X° + £ [xC cos(nrot) + Xsn sin(nrot)]
+ | — + E [FC cos(nrot) + FS sin(nrot)]
2 n=1
= E [PC cos(qrot) + PS sin(qrot)]. (5)
q=0
- 2Л
Fo =- J /Тр(6)^0;
FC = - J /тр (0) cos(n0)d0; (7)
Л 0
- 2л
F/ — J /Tp(0)sin(n0)d0,
где 0 = rot. Подставив (2) в уравнения (7), получим:
C
0
S
+
+
+
Fo - Fo (Xo >X1C >X1 '...'XNh >XNh );
T7C — T7C ( V VC VN VC VN V Fn - Fn (Xo >X 1 > X1 '...' XNh > XNh );
Z7S — T7S(V VC VN VC VN \ Fn - Fn (Xo > X1 > X1 '...' XNh > XNh ).
В результате имеем (2Nh+\) дополнительных соотношений. Систему 2(2^+1) данных уравнений можно решить методом Ньютона. Для решения уравнения (6) методом Ньютона обозначим
{F(X)}-[п]{X} + {Fp }~{p} .
(8)
Согласно методу Ньютона, итерационная последовательность строится с помощью рекуррентного соотношения [3]
{X L+i-{X L-[ ^ ]- {F ({X }g }) =
где [J]g - матрица Якоби g-го шага [3],
(9)
[, L
а{ X }
iXЬ
5F1 5F1 dF1
SX1 ах 2 aX 2 Nh +1
5F2 5F2 dF2
SX1 ах 2 aX 2 Nh +1
9F2 Nh +i aF2 Nh +1 aF2 Nh +1
dX1 ах 2 aX 2 Nh +1
(10)
На рис. 3 приведена блок-схема алгоритма решения системы уравнений (8) методом ГБВО.
Как известно, важной проблемой метода Ньютона является выбор значения исходных данных {Х}0. Требование для значений исходных данных{Х}0 в том, чтобы они были достаточно близки корню системы уравнения. Построим процедуру выбора значения исходных данных {Х}0 по алгоритму работы [3].
Рис. 3. Блок - схема алгоритма решения системы уравнения (8) методом ГБВО ( {е(0)} - значения погрешности;
g - вычисленный шаг; п - гармоники)
Если использовать только одну гармонику, то можно записать:
х = Acos(fflt);
Ff cos(a>t)+ FjS sin(^t);
p(t) = Pocos(rat - ф),
(11) (12) (13)
= K
F
х(9С) - А +
Кл
Л
(
= K
F
А cos(ec) - А +
Л
Использовав (2), (7), получим:
Ff = A |eC +sin(2-9f)
1 C 2
FS = 4F«
^Д Л
А
V А*Д
-1
(16)
(17)
где ф - сдвиг фазового угла.
Подставив (11) - (13) в уравнение (1) и используя принцип гармонического баланса, имеем
[(К -М.ю2).А + КД^С]2 + (КД.^5 -А.С.ю)2 = Р2 . (14)
В точке С на рис. 2 происходит переход от зали-пания к скольжению ФД, получаем
/тр (6С) = Кд .г(6С) \ (режим залипания) =
Подставив (15) - (17) в уравнение (14), получаем нелинейное уравнение с неизвестным параметром А. Это уравнение можно решить процедурой Ньютона. Когда решаем уравнение (14) с неизвестным параметром А, помним, что значение А должно удовлетворить следующему условию: от выражения (15),
-1 < 1 --
А.К
< 1 ö-2 <--
2F
Fn
-^< 0 » A
"д у V лД у
= -^Д \ (режим скольжения) ^
^ cos(eC) = 1 -
2F
Д
Аkт,
и значения исходных данных{Х}0 определены в виде X! = 0,х2 = А,х3 = 0, ...,Х2Л%+1= 0 или {Х}0 = [0 А 0 ... 0]г Для иллюстрирования метода выполним расчет одной системы (рис. 4). Параметры системы: М = = 950 (кг); К = 2,4е7 (Н/м); С = 7700 (Нс/м); КД = где 6с = а. (15) = 2,4е7 (Н/м); = 20 (Я); Р0 = 100 (Я); {е(0)} = 10-2.
x 10 АМПЛИТУДА X (м) 1 -1-Г
СИЛЫ ТРЕНИЯ Е тр (Н)
0.5
-0.5
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
.10 СКОРОСТЬ V (м/с е к)
СООТНОШЕНИЕ Ед-Х
0.5
-0.5
30 20 10 0 -10 -20 -30
-1 -0.5 0 0.5
x 10
Рис. 4. Результаты расчета с 20-ю гармониками
0
0
8
Вывод
Система пружинного маятника с силой сухого трения является одним из типичных примеров при исследовании динамических характеристик механических систем с сухим трением. Хотя это самая простая система, но математическая модель и метод исследования являются обобщенными и их можно использовать для исследования всех механических систем с силой сухого трения.
Сравнение результатов (рис. 5) показало, что использование высших гармоник приводит к лучшему приближению реальных значений.
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
Амплитуда х10
■S
\
f
/
V \
-1 Гармоник -----20 Гармоник
\\ \
4 л //
30 20 10 0
Сила трения, Н
6 7
Рис. 5. Сравнение результатов при разных количествах гармоник: а - амплитуда; б - скорость; в - силы трения
Для этой модели анализ показал, что при количестве гармоник, равном 10, решение было достаточно точным.
Использование метода ГБВО и стандартных элементов фрикционных демпферов (ФДЭ) [5] является эффективным для проектирования фрикционых демпферов механических систем.
Скорость х10 , м/с
4 2 0 -2 --4 --6 --8 -
3 4
б
Литература
1. Nayfeh A.H., MookD.T. Nonlinear Oscillations. Wiley, 1995. 720 p.
2. Chatelet E., Michon G. Stick/Slip Phenomena in Dinamics: Choice of Contact Model // Numerical Prediction & Experiments. 12th IFToMM Word Congress, Besancon (France), June 18 - 21, 2007.
3. ЛапчикМ.П. Численные методы. М., 2005. 383 с.
4. Репецкий О.В. Компьютерный анализ динамики и проч-
ности турбомашин. Иркутск, 1999. 301 с.
5. Мехатроника: компоненты, методы, примеры / О.В. Репецкий [и др.]. Новосибирск, 2010. 602 с.
6
м
в
а
6
Поступила в редакцию 22 марта 2011 г.
Фан Ван Туан - аспирант, Байкальский государственный университет экономики и права (Иркутск). Тел. 8-924-603-89-66. E-mail: yeubeconlam@yahoo.com
Phan Van Tuan - post-graduate student, Baikal State University Economics and Law, Irkutsk. Ph. 89246038966. E-mail: yeubeconlam@yahoo.com_
