Математическая модель процесса закисления океанических вод Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.25702/KSC.2307-5228-2018-10-1-15-22 УДК 551.464

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЗАКИСЛЕНИЯ ОКЕАНИЧЕСКИХ ВОД Х. Г Асадов, С. А. Аскерова

Национальное аэрокосмическое агентство, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация

Предлагается новая математическая модель закисления океанических вод. Отмечается, что существующие методы математического моделирования процессов закисления не обладают компактностью и не позволяют получить практические выражения, пригодные для синтезирования соответствующих экологических моделей. Проанализированы основные факторы, влияющие на процесс закисления океанических вод, способствующие росту концентрации СО2. Предложен способ построения математической модели процесса закисления океанических вод с использованием элементов теории автоматического управления и регулирования. На основе предложенной математической модели получено дифференциальное уравнение процесса закисления океанических вод и дано его решение. Проведен качественный анализ полученного решения. Ключевые слова:

океанические воды, закисление, математическая модель, дифференциальное уравнение, загрязнение вод, экосистема.

MATHEMATICAL MODEL OF ACIDIFICATION OF OCEAN WATER

Hikmet H. Asadov, Sima A. Askerova

National Aerospace Agency, Baku, Azerbaijan Republic

Abstract

The new mathematical model of acidification of ocean water has been suggested. It is noted that the existing methods of mathematical modeling of acidification processes are not featured by compactness and don't allow to obtain the practical formulas useful for synthesis of relevant ecological models. The major factors effecting on process of acidification of ocean water and promoting increase of concentration of CO2 have been analyzed. The technique for development of mathematical model of process of acidification of ocean water using the elements of automatic control theory was suggested. On the basis of suggested mathematical model the differential equation of the process of acidification of ocean water is derived and solution of this equation is given. The qualitative analysis of the obtained solution is given.

Keywords:

ocean water, acidification, mathematical model, differential equation, water pollution, ecosystem.

Как сообщается в работе [1], количество СО 2 в атмосфере в течение года увеличивается со скоростью 1 % в год до четырехкратной величины доиндустриального уровня 280 ppm, затем с той же скоростью уменьшается почти до прежнего уровня. Вместе с тем объективно существует тренд увеличения концентрации углекислого газа в атмосфере, достигшей к настоящему времени 400 ppm. При этом изменения в поверхностных океанических водах по времени совпадают с этими изменениями, хотя в глубинных водах процесс идет с задержкой из-за проникновения избыточного количества СО2 в глубинные слои. Вопросы моделирования процесса закисления океанических вод рассмотрены в некоторых работах (см., например, [1-5]). Во многих моделях, которые используются в океанографии и встраиваются в более общие экологические модели, в основном учитываются описание водяных течений и физико-химические свойства воды [2, 3]. В некоторых других моделях рассмотрены гидродинамические процессы физико-химических свойств и особенностей, используемых для построения биологической эволюционной модели [4-6], при этом в качестве основных рассматриваются такие показатели, как температура и

соленость воды. В исследовании [7] предлагается математическая модель процессов закисления океанических вод с использованием метода решетчатой схемы Больцмана. В этой работе используются две независимые показатели: температура и соленость воды. Указывается, разработанная одномерная модель позволит создание в будущем более развитой модели для предсказания дальнейшей эволюции таких физико-химических показателей как рН, общее количество углерода, общее количество щелочи и т. д.

Согласно работе [8], закисление океанических вод потенциально приведет к изменениям в композиции экосистемы, в экологической структуре и потоке энергии и ресурсов.

При построении математических моделей процессов закисления океанических вод должны быть решены следующие задачи [8]:

1) предсказание развития шельфовой зоны, где развита биологическая активность;

2) включение экологических и биохимических процессов в модели, учет обратных связей и процессов ассимиляции и адаптации в системе.

Целью настоящей статьи — разработка математической модели закисления океанических вод, учитывающей как различные физико-химические процессы, приводящие к закислению, так и взаимодействие указанных процессов.

В разрабатываемой модели учитываются следующие процессы и взаимодействия:

1) влияние загрязнения и эвтрофикации на процесс закисления океанических береговых вод;

2) влияние закисления океанических вод и уменьшения рН на степень загрязненности океанических вод ионами тяжелых металлов;

3) влияние изменения общего содержания стратосферного озона на процессы закисления океанических вод;

4) влияние климатических изменений (7°) на процессы закисления океанических вод;

5) влияние процессов подъема глубинных вод на процессы закисления океанических вод.

Для рассмотрения взаимовлияния всех вышеуказанных процессов, влияющих на степень

подкисления океанических вод, решено использовать элементы теории автоматического регулирования и представить все вышеуказанные процессы в виде замкнутой цепи.

Несколько подробно рассмотрим вышеуказанные процессы, влияющие на степень подкисления океанических вод. Как показано в работе [9], закисление океанических вод и их загрязнение являются взаимно связанными процессами, они оказывают совместное воздействие на функции морской экосистемы, при этом первый процесс может повысить биотоксичность тяжелых металлов путем изменения их биодоступности. Морские загрязнители, такие как тяжелые металлы и масла, могут снизить скорость фотосинтеза и повысить скорость респирации морских организмов из-за биотоксичности и эвтрофикации, что, в свою очередь, ускоряет процессы закисления океанических вод (рис. 1).

Согласно работе [10], выбросы в береговые воды различных питательных веществ, содержащих Р и К, из-за антропогенной деятельности приводят к избыточному росту различных водорослей, т. е. к процессу эвтрофикации. Потребление этой органической массы различными микробами приводит к уменьшению уровня кислорода в воде, т. е. к гипоксии. В процессе респирации микробов вырабатывается двуокись углерода, что также ведет к увеличению степени закисления вод. При этом, согласно исследованию [10], с насыщением океанических вод СО2 уменьшается их способность к ассимиляции тех факторов, которые вызывают уменьшение рН. Следовательно, эвтрофикация повышает подверженность береговых вод к закислению. Фактор загрязнения вод имеет особое значение для зон морской нефтедобычи.

Как отмечено в работе [11], контроль загрязнения моря нефтепродуктами требует полномасштабного их мониторинга с применением как наземных, так и аэрокосмических средств наблюдения. Здесь полезно отметить, что карта распределения пленок нефти и нефтепродуктов на поверхности Каспийского моря на базе данных аэрокосмических и контактных наблюдений была разработана специалистами Института экологии Национального аэрокосмического агентства Азербайджана за первую половину мая 2004 г.

Рис. 1. Графическое отображение изменения во времени рН океанических вод и доля свободных ионов тяжелых металлов среди истинно растворенных форм металлов в океанических водах

Fig. 1. Graphic presentation of ocean water pH change in time and share of free ions of heavy metals among truly

dissolved forms of metals in ocean water

Согласно статье [12], существует определенная положительная корреляция между уменьшением озона в стратосфере и увеличением объема парниковых газов. При этом уменьшение общего количества озона совместно с парниковыми газами приводит к усилению ветров, которые, в свою очередь, приводят к подъему глубинных вод насыщенных углеродом. Все это в итоге уменьшает рН и увеличивает степень закисления океанических вод.

Как указывается в работе [13], повышение температуры поверхностных вод из-за глобального потепления практически не приводит к увеличению степени закисления океанических вод, так как эффект уменьшения рН из-за глобального потепления компенсируется увеличением рН из-за уменьшения концентрации растворенного углерода благодаря уменьшению растворимости СО2 при потеплении вод.

Как было отмечено выше, одним из факторов, воздействующих на степень закисления вод, является подъем глубинных вод, или апвеллинг (upwelling), который, согласно работе [14], приводит к ослаблению степени закисления океанических вод. При этом, как указывается в работе [15], в то время как апвелинг приводит к уменьшению степени закисления, событие даунвеллинг (downwelling) — уход поверхностных вод в глубинный слой приводит к усилению закисления вод. В качестве примера приведены графики изменения парциального давления СО2 в зависимости от температуры в течение летнего сезона апвеллинга (а) и в зимнем сезоне даунвеллинга (б) (рис. 2).

а

2000

1500

1000

Май - Октябрь

О

Ноябрь - Апрель

О

ч

500

\

10

15 5

Температура (°С)

10

15

20

Рис. 2. Зависимость парциального давления рСО2 от температуры в верхнем водном слое воды толщиной 50 м в течение летнего сезона — апвеллинга (а) и зимнего сезона — даунвеллинга (б) [15]

Fig. 2. Dependence of partial pressure рСО2 on temperature of the upper water layer with the thickness of 50 m during the summer period — upwelling (a) and winter period — downwelling (б) [15]

Таким образом, относительно большое количество воздействующих факторов применительно к процессу закисления океанических вод диктует необходимость подбора такого математического аппарата, который, будучи компактным в отношении получаемых математических выкладок, позволил бы учесть все взаимосвязи, существующие в комплексном процессе закисления океанических вод. В результате анализа возможных математических методов моделирования и существующих математических моделей было решено отдать предпочтение принципу моделирования, используемому в теории автоматического управления и регулирования, путем представления всех вышерассмотренных факторов и процессов в качестве элементов сложной замкнутой эквивалентной системы контроля процесса закисления океанических вод. Структурная схема предлагаемой эквивалентной системы контроля показана на рис. 3.

Следует отметить, что предлагаемая эквивалентная система является системой с положительной обратной связью, отображающей генерацию приращения ДСО2. Процессами, частично воспрепятствующими генерации ДСО2, являются ассимиляция загрязнений и апвеллинг.

Хорошо известно, что передаточная функция систем с положительной обратной связью определяется как:

Ж ( Р \

W (Р)п.с =■

(1)

1 _ ж (Р)4 • Ж (Р) • Ж (Р)з • Ж (Р)5 -Ж (Р)6

Передаточные функции ЩР,) узлов г = 1-6 эквивалентной системы определяются следующим образом:

X (дсо2)

w (P X =■

(2)

X ( Рс)

где Х(ДСО2) — выходной показатель первого звена; Х(Рс) — входной показатель первого звена; р — оператор преобразования.

фоновое загрязнение

ДДСО)

3

/ Г + ЛХ(РЪ) 5 +

I — —

Х(рН)

ассимиляция загрязнения

Х(Ра)

'ДА)

апвеллинг

X(CO2)

I

X(CO2)c

Х(рН)

рН

2

Рис. 3. Структурная схема предлагаемой эквивалентной системы математической модели процесса закисления океанических вод. Цифрами обозначены: 1 — узел, моделирующий процесс появления приращения ДСО2 из-за суммарного

загрязнения океанических вод; 2 — узел суммирования нарастающей во времени атмосферной составляющей СО2(/) и приращения ДСО2, вызываемого различными воздействующими факторами, приводящими к суммарному загрязнению вод; 3 — интегрирующий узел, моделирующий процесс интегрирования загрязнения в океанических водах; 4 — узел, моделирующий прямое преобразование суммарного количества СО2 на выходе узла 2 в показатель рН; 5 — узел, моделирующий суммирование фонового загрязнения с дополнительным загрязнением, возникающим из-за уменьшения рН, моделируемым узлом 6, на выходе которого возникает дополнительное загрязнение

Fig. 3. Structural scheme of the proposed equivalent system of the mathematical model of the ocean water acidification

process. The numbers are:

1 — node which models the process of appearance of ДСО2 augmentation due to ocean water total pollution; 2 — node which sums atmospheric component СО2(0 increasing in time and increment of ДСО2 caused by various affecting

factors which lead to total water pollution; 3 — intergrated node which models the ocean water pollution integration process; 4 — node which models direct conversion of СО2 total amount at the output of the node 2 into the indicator pH; 5 — node which models the summing of background pollution and additional pollution caused by pH decreasing and modelled by the node 6 at which output the additional pollution occurs

w(P\ =--, (3)

2 X (A CO2) + X (CO2)

где Х(СО2)с — суммарная концентрация СО2 в системе; Х(ДСО2) — дополнительная концентрация СО2, возникающая из-за процессов загрязнения.

W(P)3 является передаточной функцией интегрирующего звена, характеризуемого дифференциальным уравнением

dXP = k[ X (P3)], (4)

а/

где Х(Р3) — суммарное загрязнение на выходе звена 5.

При этом передаточная функция третьего звена имеет вид:

W (Р)з = J, (5)

где k — постоянная интегрирующего звена;

W(P)-xHl (6)

где Х(рН) — результирующий показатель кислотности океанических вод; X(pH) = A0 - pH; A0 = const.

W (P )5 =-X(P3)-, (7)

( )5 [X(Ф) + X(З)-Х(А)-Х(РА)] (7)

где Х(З) — загрязнение вод, соответствующее конкретной величине рН на выходе эквивалентной системы; Х(Ф) — фоновое загрязнение; Х(А) — загрязнение, уменьшаемое за счет апвеллинга; Х(РА) — показатель ассимиляции загрязнения.

W(Р\= X(З) , (8)

( )6 X(рН)' (8)

с учетом выражений (1)-(7) получаем:

_^ (pH)__XX _ А

W (Р)п,=-

X (CO2)c X(pH) .

X(pH) X(ACO2) к X(P3)

' X(pH) 1 - Щ / Р' (9)

X(CO2)c X(Pc) P [X(Ф) + X(3)-X(A)-X(PA)]_

где b= X(PH) ; (io)

X (С02)с

в =_X (рН) • (ДС02) • к • X (Р3) • X (З)__(11)

2 Х(СО2)с • Х(Р) • [X(Ф) + X(З) _ Х(А) _ Х(РА)] • Х(рН) . Осуществим переход от передаточной функции (9) к дифференциальному уравнению:

у (Р) в • р

—= ^-. (12)

X (Р) Р _ В2 ()

Для дифференциального уравнения, соответствующего функции (12), примем следующие нулевые начальные условия:

У(1)(0) = °; У(0) = 0 у(0) — 0; *(,) = 1(,); (13)

X( Р) = ЦЩ )]=-!. (14)

С учетом (12) и (14) получим:

Т)

У ( Р) =-1--(15)

( ) (Р _ В2) . ( )

Уравнение (15) соответствует дифференциальному уравнению:

^ _ УВ2= ву (16)

ш

Уравнение (16) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с нулевой правой стороной. Для решения уравнения (16) запишем:

шУ _ УВ2 = 0. (17)

Из (17) получим:

^ = В2 -d/. (18)

У

Из (18) находим:

У = с , (19)

где С — const.

В принципе, общее решение уравнения (16) повторяет по форме решение (19) и здесь не приводится. Как видно из выражений (11) и (19), при

X(A) + X(P) > X(Ф) + X(З) (20)

получим:

У < с, (21)

а при X(A) + X(PA) < X(Ф) + X(З) (22)

имеем:

У > С . (23)

Следовательно, при условии (20) с учетом Х(рН) = А0 - рН приходим к заключению о том, что с ростом В2 степень кислотности будет расти, а при уменьшении В2 и далее при переходе В2 на отрицательные значения при выполнении условия (22) степень кислотности будет уменьшаться.

Выводы

Подводя итог проведенному исследованию математического моделирования процесса закисления океанических вод, сформулируем следующие выводы:

1. Существующие методы математического моделирования процессов закисления не обладают компактностью и позволяют получить практические выражения, пригодные для синтезирования соответствующих экологических моделей.

2. Проанализированы основные факторы, влияющие на процесс закисления океанических вод, содействующие росту концентрации СО2.

3. Предложен способ построения математической модели процесса закисления океанических вод с использованием элементов теории автоматического управления и регулирования.

4. На основе предложенной математической модели получено дифференциальное уравнение процесса закисления океанических вод и дано его решение. Проведен качественный анализ полученного решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cao L.Response of ocean acidification to a gradual increase and decrease of atmospheric CO2 // Environ. Res. Lett. 2014. 9. 024012. 2. Gaspar P. Modeling the seasonal cycle of the upper ocean. 1988. No. 18. P. 161-180.

3. Gaspar Y. G. P., Lefevre J.-M. A simple eddy kinetic energy model for simulation of the oceanic vertical mixing: test at station Papa and Long — term apper ocean study site // J. Geophys. Res. 1990. Vol. 95, No. 16. P. 179-193.

4. Antonie D., Morel A. Modelling the seasonal course of upper ocean pCO2 (i) // Development of a one — dimensional model. 1995. 47 b. P. 103-121. 5. Antonie D., Morel A. Modelling the seasonal course of upper ocean pCO2 (II) // Validation of the model and sensitivity studies. 1995. 47B. P. 122-144. 6. Blum C. R. Mathematical modelling of the lingurian sea ecosystem using models if different complexities application of a kalman filter to improve models reliability: Ph.D. thesis, Universe de Lienge. 2006. 7. 1D Lattice Boltzmann model for ocean acidification / P. Geri [et al.] // Procedia Computer Sci.: Intern. Conf. on Computational Sci. 2013. 18. P. 2444-2453. 8. Blackford J. C.Predicting the impacts of ocean acidification: Challenges from an ecosystem perspective // J. Marine Systems. 2010. 81. P. 12-18. 9. Zeng X., Chen X., Zhuang J. The positive relationship between ocean acidification and pollution // Marine Pollution Bull. 2015. 91. P. 14-21. 10. Acidification of subsurface coastal waters enhanced by eutrophication / W. J. Cai[et al.] // Nature Geoscience. 2011. Vol. 4, November. 11. Оценка загрязнения Каспийского моря нефтепродуктами по данным ИСЗ / Т. М. Татараев [и др.] // Известия Бакинского ун-та. 2010. № 3. С. 167-171. (Естественные науки). 12. Stratispheric ozone depletion reduces ocean uptake and enhances ocean acidificatio / A. Lenton [et al.] // Geophys. Res. Letters. 2009. Vol. 36, L122606.

13. Mcneil B. I., Matear R. J. Climate change feedbacks on future oceanic acidification // Tellus. 2007. 59B. P. 191-198.

14. Lachkar Z. Effects of upwelling increase on ocean acidification in the California and Canary Current Systems //

Geophys. Res. Letters. 2014. Vol. 4. P. 90-95. 15. Interpretation and design of ocean acidification experiments in upwelling systems in the context of carbonate chemistry co-variation with temperature and oxygen / J. Reum [et al.]// ICES J. Marine Sci. 2016. 73(3). P. 582-595. Сведения об авторах

Асадов Хикмет Гамидович — доктор технических наук, профессор Национального аэрокосмического агентства, Баку, Азербайджанская Республика E-mail: asadzade@rambler.ru

Аскерова Сима Аждаргызы — диссертант Национального аэрокосмического агентства, Баку, Азербайджанская Республика E-mail: abiyeva_s@mail.ru

Author Affiliation

Hikmet G. Asadov — Doctor of Sciences (Engineering), Professor at National Aerospace Agency, Baku,

Azerbaijan Republic

E-mail: asadzade@rambler.ru

Sima A. Askerova — Dissertator of National Aerospace Agency, Baku, Azerbaijan Republic E-mail: abiyeva_s@mail.ru

Библиографическое описание статьи

Асадов, Х. Г. Разработка Математической модели процесса подкисления океанических вод / Х. Г. Асадов, С. А. Аскерова // Вестник Кольского научного центра РАН. — 2018. — № 1 (10). — С. 16-22.

Reference

Asadov Hikmet H., Askerova Sima A. Mathematical Model of Acidification of Ocean Water. Herald of the Kola Science Centre of the RAS, 2018, vol. 1 (10), pp. 16-22 (In Russ.).