Математическая модель процесса смешивания в смесителе интенсивного действия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 666.76 : 66-965.81

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА СМЕШИВАНИЯ В СМЕСИТЕЛЕ ИНТЕНСИВНОГО ДЕЙСТВИЯ

К.В. Звягин

Рассмотрена математическая модель процесса смешивания в смесителе интенсивного действия,позволяющая прогнозировать значения показателей качества процесса смешивания в зависимости от времени, т.е. судить о готовности смешиваемой массы.

Ключевые слова: смеситель интенсивного действия, математическая модель, процесс смешивания, смесь.

Технологический процесс производства огнеупорных изделий методом литья в формы с последующим виброформованием подразумевает предварительное получение замеса огнеупорной смеси, обладающего максимальной текучестью. Подобную смесь можно получать на смесителях механического действии с максимальной интенсификацией процесса смешивания, т.е. с большой частотой вращения рабочего органа и особенностью конструкции исполнительных механизмов [5, 6].

Накопленные данные отечественных и зарубежных исследователей на основе эмпирических расчётов смесителей недостаточны для определения их режимов работы. Появление новых типов смесей, обладающих специфическими свойствами, предопределяет необходимость установления особенностей и определения закономерностей изменения показателей качества процессов получения тиксотропных смесей. Целесообразно построить математическую модель с целью выявления взаимосвязи параметров смесителя в данном процессе.

Модель схематически представляет реальный смеситель, как некоторое число одинаковых, последовательно соединенных ячеек идеального смешивания (рис. 1). Суммарный объем всех ячеек равен объему реального смесителя V, следовательно, объем каждой ячейки равен У/2. Количество ячеек 2является параметром, характеризующим ячеечную модель реального смесителя. Если 2 = 1, то ячеечная модель переходит в модель идеального смешивания, а в случае 2 = да - в модель идеального вытеснения.

Для примера используем следующие параметры: заменяем весь объем смесителя соответствующим количеством ячеек идеального смешивания. Количество ячеек определяется исходным соотношением компонентов а, Ь, с, ^ е (вариант пяти компонентов наиболее приближен к реальным условиям), которое составляет 10:15:10:12:3.

Для моделирования процесса смешивания в смесителе количество ячеек 2 принимается равным пятидесяти (2= 50).

На рис. 1 показана схема ячеечной модели процесса смешивания в

108

смесителе интенсивного действия.

а б

Рис. 1. Схема ячеечной модели процесса смешивания в смесителе интенсивного действия: а - конечное состояние каждой ячейки; б - начальное состояние

При составлении ячеечной модели используются следующие допущения:

- смешивание между ячейками отсутствует;

- в каждой ячейке поток имеет структуру идеального смешивания, и концентрация всех компонентов не изменяется в пределах соответствующей ячейки;

- объёмная скорость Ж не изменяется;

- объёмы каждой ячейки одинаковы и равны V;

- сумма объёмов всех ячеек равна общему объёму, для которого справедливо V = 2 ■ У^;

- среднее время пребывания частиц в каждой ячейке г = V /Ж.

Рассматриваемые процессы смешивания компонентов в смесителе интенсивного действия имеют сильно выраженную циркуляцию материала по внутреннему контуру. Смеситель, а конкретно ёмкость смешивания с рабочим органом, может быть представлена как одна зона, в которой внутренний поток материала представляет собой последовательную замкнутую

цепочку.

Для описания процесса движения компонентов в смесителе по ячейкам используется математический аппарат цепей Маркова [1,2,3]. В этой теории изучается эволюция вероятностей состояния в дискретном пространстве состояний. В смесителе происходит эволюция содержания компонентов в рабочем объеме смесителя, то есть матрица переходных вероятностей является как бы математическим образом смесителя.

Все ячейки имеют одинаковый объем ^,и через них проходят компоненты смеси с объемной скоростью Ж. Тогда можно записать

Ж1,2 = Ж2,3 = Ж3,4 = ... = Ж49,50, где 2,^2 з,...,^49 50 - объемная скорость перехода компонентов соот-

ветственно из первой ячейки во вторую, из второй в третью и т.д.

В основном технологические карты на смешиваемые смеси состоят из пяти компонентов, поэтому для приближения модели к реальным условиям производства будем использовать пятикомпонентную систему. Считаем, что в начальный момент времени (г= 0) компонент a находится в первых десяти ячейках (2а = 10), компонент Ь- в следующих пятнадцати (2Ь = 15), компонент с- в последующих десяти (2с = 10), компонент d- в

следующих двенадцати ^ = 12) и компонент e- в остальных трех (2е = 3). Исходное соотношение компонентов 10:15:10:12:3. Тогда справедливы равенства

2 V 2и V, 2 V 2 7 V1 2 V

_а = _а. • _Ь = _Ь- _£ = • _е = (1)

50 V ’ 50 V ’ 50 V ’ 50 V ’ 50 V ’

где Va, Vь, Vc, Vd, Ve - суммарный объём ячеек, занятых компонентом a, Ь, с, d, e; V - общий объем смеси в смесителе.

Объём каждой ячейки определяется как

V

V1 = V2 = ... = У50 = —.

12 50 50

Определим состояние ячеечной системы в любой момент времени вектором Ya(k) (где k = 0, 1, 2, 3 ...) с координатами 8ш(к), выражающими вероятность нахождения компонента а в ^ ой ячейке через k элементарных переходов компонентов из ячейки в ячейку. Число переходов k является функцией времени. Суммарное значение этих вероятностей

50

Е gai (Ь) =1 i = 1 i

При этом должно соблюдаться условие

0 < 8а. (к) £ 1.

иг

Векторы вероятностей начального состояния для компонентов с учетом соотношений (1)

(2)

где

8а1(0) = £а2(°) = ". = 8а10(°) =1/10; 8Ь\ 1 (0) = «*12(0) = ... = «*25(0) = 1/15; 8с26(0) = 8с27(0) =... = «с35(°) =1/10; gd36(0)=gd37(°)=...=в^/0)=1/12; 8е48(0) = ве49 (0) = гe5°(°) =1/3.

Вероятность нахождения компонентов в начальный момент времени в одной из ячеек определяется как

где VI - объём компонента в i -й ячейке.

За малый промежуток времени М, в дальнейшем называемый временем перехода, находившиеся в i -й ячейке частицы компонентов а, Ь, с, d и е либо останутся в ней, либо перейдут в следующую ячейку (¿+1). Величина Д^должна быть такой, чтобы частицы могли перейти в соседнюю ячейку, но не перескочить через неё в следующую. Для такой системы её состояние в любой момент времени определяется только через последнее известное состояние. Т.е. вероятность нахождения частиц в (¿+1)-й ячейке, если в предыдущий момент они находились в ячейке i -й, является функцией состояния только в (¿+1)-й и ¿-й ячейках и не зависит от поведения частиц в предыдущих ячейках. Это получается из основного свойства марковских цепей, для которых вероятность перехода системы в какое-либо состояние хгв момент времени ? (¿г^^^) зависит только от того, в каком состоянии система находилась в момент ? (¿ч«*), и она не изменяется от того, что становится известно её состояния в более ранние моменты времени.

Для марковских цепей совместное распределение вероятностей в моменты ¿¡(¿1 <2 <Ц <...<„) определяется равенством

(3)

Xо Хо Хо Хо п X,•

РЦ^;...^) = Р(х1• Р(-^)• Р(-^,Х2) = р-2)• Р(-3) = Щ) П Р(—'-) (4)

Х^ Х^ Х^ Х2 I = 2 XI 1

X;

где Х; - любое возможное значение случайной величины х; Р(—-—) - ус-

Х1 _ 1

ловные вероятности перехода, т. е. вероятность того, что случайная величина от значения х|-1 перейдет к значению х.

Таким образом, марковская последовательность определяется условным распределением вероятностей для любого состояния системы I (где I = 1, 2, 3...) и начальным распределением Р (х1). Из равенства (4) может быть установлено соотношение, называемое уравнением Колмогорова

- Чемпена:

р(— ) _ I Р(Х, = I р(——) • Р(-^4 (5)

Х1 _ 1 X , ' Х1 _ 2 X , Х1 _ 1 Х1 _ 2 (5)

I _ 1 I _ 1

Применяя формулу (5) последовательно, можно определить услов-

X;

ное распределение вероятностей в любой момент времени ti, т. е. Р(—).

Х1

Начальное распределение

Х;

Р(XI) = I Р() • Р(Х1).

Х

Х1 I

Решение уравнений (5) возможно в матрично-векторной форме. Применительно к данному случаю обозначим условную вероятность того, что частица материала, находящаяся в данный момент времени в 1-й ячейке, после очередного перехода окажется в ячейке 1+1 через Р&. Индекс I при Р обозначает ячейку, в которой находилась частица, а индекс 1+1 - ячейку, в которую переходит частица после очередного перехода.

Так как частица после перехода должна обязательно попасть в какую-нибудь ячейку, то

50

Е Рк =!;

I = 1

0 £ Рк £ 1.

Полная вероятностная картина возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного состояния системы к непосредственно следующему, задаётся матрицей перехода.

С учётом соотношения (2) матрица перехода размерностью 50*50 имеет вид

Р

Рц (а + 0 0 0 0 0 0

0 Рц Р/ (/+1) 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Рц Р(/+1)

+ 0? 0 0 0 0 0 0 Р/

(6)

Подобная запись показывает матрицу для компонентов а, Ь, с, d, е. В этой матрице величины Рис двумя одинаковыми индексами обозначают вероятности того, что после очередного перехода частица останется в той же ячейке, а величины с разными индексами - вероятности того, что после этого очередного перехода частица перейдет в следующую по ходу материала ячейку. Так как ранее величину времени перехода выбрали такой, чтобы частица практически не могла перескочить при переходе через очередную ячейку, то все другие вероятности в матрице (6) равны нулю (этим она и отличается от предыдущей матрицы перехода). Каждая ячейка принятой модели процессов смешивания в смесителе является ячейкой идеального смешивания, для которого может быть принят следующий закон распределения вероятностей перехода:

(7)

Вероятность того, что после очередного перехода частица окажется в ячейке ('+1) в предположении, что Д^достаточно мала, чтобы за это время частица не могла перейти из ячейки /в ячейку ('+2):

Р1 (/ +1) =1 - Ри . (8)

Преобразуя выражение для (6), получим

п • 7 • АЛ

Ри

ехр

60

(9)

где п - частота вращения рабочего органа, об/мин; г - количество ячеек в модели.

Матрица переходов (6) и вектор вероятностей начального распределения (2) полностью определяют состояние системы через любые п переходов, т. е. к моменту времени ? = Аt • п. Зная вектор вероятностей для компонента в п-й момент времени У(п), можно найти7(п+1), выполнив действие над матрицами

Y(n +1) = Y (n) • P = Y(0) • Pn.

Из общего уравнения вероятностей (7) для i-й ячейки можно записать

Pii( Dt ) + Pi(i +1)( Dt ) =1 где Pu (Dt ) - вероятность того, что частица остаётся в i-й ячейке за время At; Pi(i +1)(Dt) - вероятность того, что частица перейдет в (i+1) - ую ячейку за время At.

Интегральная функция времени пребывания частиц в ячеечной модели за один их оборот (от первой ячейки до последней)

n

F(t) = gj + 1(n) = I gj(n)Dt.

i = 1

Если считать каждую ячейку пробой и учитывать соотношения (2) и (7), то распределение компонентов смеси в смесителе в любой момент времени tn может быть оценено с помощью коэффициента неоднородности (в процентах)

Vc = 100 z ^

1 50 2

— Е (п) -1/--))2, (10)

2 -1 / = 1

где g/(n) - вероятность нахождения компонента в /-й ячейке в текущий (через п оборотов) момент времени; г- количество ячеек.

В работе Надежина Е. С. даны рекомендации по частоте вращения рабочего органа смесителя, основанные на экспериментальном анализе [7]. После программирования в среде Бе1рЫ можно попробовать различные данные частоты вращения и провести прогнозирование показателей качества. Далее были просчитаны различные вариации исходных данных с целью получения оптимальных значений коэффициентов неоднородности как можно раньше после начала процесса смешивания.

На рис. 2 представлены зависимости коэффициентов неоднородности (10) для компонентов смеси от времени.

Из полученных зависимостей видно, что наименьшее время смешивания зафиксировано при частоте вращения ворошителя 800 об/мин. Однако если детально рассмотреть результаты, можно заметить, что по достижении частоты вращения 500 об/мин дальнейшее её увеличение не значительно влияет на поведение графиков и уменьшение времени смешивания снижается в геометрической прогрессии. К этому можно добавить, что при большой частоте вращения ворошителя увеличивается и износ исполнительных деталей смесителя. Также большее число оборотов увеличивает энергопотребление всего процесса. Таким образом, при смешивании пятикомпонентной массы целесообразно использовать частоту вращения ворошителя 450... 550 об./мин и 120 с работы смесителя.

а

б

Рис. 2. Зависимость коэффициентов неоднородности от времени смешивания (цифрами обозначены компоненты смеси): а - при частоте вращения ворошителя 200 об/мин, б - при частоте вращения ворошителя 800 об/мин

В приведенной модели оценивая коэффициенты неоднородности для компонентов смеси по ячейкам в произвольные моменты времени можно получить зависимости Vc = f (t), характеризующую изменение коэффициентов неоднородности в модели во времени. В принятой модели смесителя не был учтен процесс сегрегации, поэтому в отличие от реальных смесителей в ней величины Vc стремятся к 0.

Разработанная математическая модель смешивания позволяет прогнозировать значения показателей качества процесса смешивания в зависимости от времени, т.е. судить о готовности смешиваемой массы.

При построении математической модели ставилась задача прогнозировать значения показателей качества процесса смешивания в зависимости от времени. Выявленная зависимость коэффициентов неоднородности смеси от времени смешивания позволяет прогнозировать значения показа-

телей качества, однако процесс сегрегации не был учтен. Это означает, что построенная модель описывает идеальное смешивание, где коэффициенты неоднородности стремятся к нулю. Фактически удалосьопределить лишь минимальное время смешивания тиксотропной массы и дать рекомендации по частоте вращения рабочего органа смесителя 450...550 об/мин. Для подтверждения результатов следует провести дополнительные экспериментальные исследования.

Список литературы

1. Макаров Ю.И. Аппараты для смешения сыпучих материалов. М.: Машиностроение, 1973. 215 с.

2. Селиванов Ю.Т. Моделирование процесса смешивания дисперсных материалов, отличающихся размерами частиц // Теор. основы хим. технологии. 2001. Т. 35. № 1. С. 90-93.

3. Стренк Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками/ пер. с пол.;под ред. И.А. ЩуплякаЛ.: Химия, 1975. 384 с.

4. Лисовенко А.Т. Технологическое оборудование хлебозаводов и пути его совершенствования. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1982. 208 с.

5. Патент РФ 123686 на полезную модель. МПК B01 F9/08. Смеситель/ В.И. Золотухин, Г.М. Варьяш, Е.И. Гордеев, К.В. Звягин, Р.Б. Медведев. Опубл. 10.01.13 г.

6. Патент РФ 137212 на полезную модель. МПК B01 F9/08. Смеситель/ В.И. Золотухин, Г.М. Варьяш, Е.И. Гордеев, К.В. Звягин, Р.Б. Медведев. Опубл. 10.02.14 г.

7. Надёжин Е.С. Смеситель для получения качественных смесей // Лучшие научные работы студентов и аспирантов технологического факультета: сб. ст. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. С. 107-111.

Звягин Кирилл Викторович, асп., kirill-zv88@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MATHEMATICAL MODEL OF MIXING IN INTENSIVE MIXERS

K. V. Zvyagin

The mathematical model of the mixing process in the intensive mixers, allowing to predict the values of quality indicators of the mixing process, depending on the time, ie to judge the readiness of the masses to be mixed.

Key words: Intensive mixer, a mathematical model of the process of blending the

mixture.

Zvyagin Kirill Viktorovich, postgraduate, info@vulkantm. com, Russia, Tula, Tula State University