Математическая модель процесса смешения гранулированных материалов (модель гибели) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.001.001.57;621.926 Э. Н. Островская

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА СМЕШЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ

(МОДЕЛЬ ГИБЕЛИ)

Ключевые слова: смешение, случайная величина, марковский процесс.

Рассмотрен процесс смешения гранулированных материалов как марковский случайный процесс гибели популяции с интенсивностью /их = /и(х — xk )2 . Из соотношения вероятностей, записанных для этого

процесса, получена система дифференциально-разностных уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка, которая в результате ряда преобразований представлена в виде уравнений, описывающих процесс перераспределения концентраций совокупностей материала в общем смешиваемом объеме. Так как в промышленной практике оценка состояния смеси проводится с помощью выборочных статистик, осуществлен переход от концентраций к выборочным дисперсиям. В итоге получена математическая модель кинетики процесса смешения гранулированного материала, которая характеризует изменение во времени значений выборочных среднеквадратических отклонений концентраций совокупностей материала в общем объеме смеси.

Keywords: mixing, random variable, markov process.

The article observes granulated material mixing process as a Markov random process of substance ending with the rate of /Ux = /u(x — Xk ^ . By the probability relation written for this process, the system of Kolmogorov-Fokker-

Planck differencial-different equations was obtained. As a result of a number of transformations this system was equated outlining the process of material ensemble concentration disproportionate in the total intermixable volume. By virtue of the fact that in the manufacturing practice the mixture condition evaluation is digested with the help of sample statistics, a transfer from concentrations to sampling variances was made. As a result, a symbolic model of granulated material mixing process kinetics was deduced. It labels the variation in time of sample standard deviation magnitudes of material ensemble concentration in the total mixture volume.

Во многих производствах, связанных с изготовлением и переработкой больших объемов различных сыпучих материалов, имеющих единую исходную природу, вынуждены использовать конечную технологическую операцию -накопление, смешение и формирование определенных партий материала с требуемыми потребительскими свойствами. Необходимость проведения таких операций продиктована вероятностным проявлением и непредсказуемой изменчивостью свойств материала одной исходной природы в процессе его изготовления.

Хотя такие процессы широко применяются и в отечественной, и в зарубежной практике в самых разных производствах, их исследование и описание закономерностей процесса с учетом его случайного характера отсутствуют и у нас и за рубежом. В работе [1] получена математическая модель кинетики процесса смешения, но для материалов различной природы.

Целью настоящей работы является математическое моделирование процесса смесеобразования одноприродного

гранулированного материала, которое позволило бы описать кинетику процесса и на основании этого рассчитывать смесительную аппаратуру.

Полагаем, что процесс смешения гранулированных материалов сопровождается «гибелью» локальных объединений частиц материалов совокупностей типа А или В и образованием соответствующих ассоциатов смеси гранулированных материалов при наличии в общей смешиваемой массе совокупности С - готовой смеси (под «гибелью» здесь подразумевается равномерное перераспределение локальных скоплений частиц

материала совокупностей типа А и В по всему смешиваемому объему).

Обозначим через Х1(/) случайную величину, характеризующую количество объединений дискретных элементов совокупности А в момент времени t, а через Х2(/) - случайную величину, характеризующую количество объединений дискретных элементов совокупности В в момент времени t в смешиваемом объеме материала.

Обозначим через х1 и х2 те целочисленные значения, которые могут принимать случайные величины Х1(/) и Х2(/) в соответствующие моменты времени. При этом через Х10 и х20 обозначим количества элементов совокупностей А и В в начальный момент времени /=/0=0. Возможные значения Х1(/) и Х2(/) соответственно:

Х10, Х10 _ 1, Х10 _ 2, Х10 _ 3,...Х1к и

Х20 , Х20 _ 1 Х20 _ 2, Х20 _ 3,...Х2к .

Примем, что в начальный момент времени Х1(/=0) = х10 и Х2(/=0) = х20. Рассмотрим далее характер изменения случайных величин Х1 (/) и Х2(/) во времени /. Для этого введем вероятности Р (/) и

РХг (/), где Рх1 (/) есть вероятность того, что

случайная величина Х1(/), характеризующая количество объединений элементов совокупности А, примет в момент времени / значение х1, т.е. РХ1 (/) = Р[Х 1 (/) = х^ , РХ2 (/) есть вероятность того,

случайная величина Х2(/), характеризующая количество объединений элементов совокупности В, примет в момент времени / значение х2, т.е.

Рх2(/) = Р{Х2(/)= Хг) .

Полагаем далее, что процесс смешения материала сопровождается «гибелью» локальных объединений элементов совокупностей типа А и В и соответствует разрывному марковскому процессу гибели популяции [2]. Принимаем далее, что вероятность перехода системы из состояния х1 в состояние Х}-1 (например по совокупности А) за время + А*) пропорциональна квадрату разности между текущим и конечным значением случайной величины Х1, т.е. hХl = (х1 - х1к )2, в данный момент

времени и некоторому коэффициенту интенсивности процесса цА, который характеризуется конкретными условиями проведения данного процесса и соотношением совокупности А и общей массы гранулированного материала. Запишем соотношение вероятностей [2,3]:

РХ1 (/ + А )=(1 - hXi ма А ^ (/) +

^ +1^АРх1 +1)а + 0(а).

При А^ ^ 0 из (1) следует система дифференциально-разностных уравнений:

^Т = +Р +1(0 - 0)] (2)

(1)

где

х1

может

принимать

значения:

, х10 1, х10 2, х10 3,...х1к .

Уравнения (2) описывают вероятностную картину «гибели» локальных объединений частиц материала совокупности А во времени.

При оценке работы смесительной аппаратуры наибольший интерес представляет изменение моментов распределения соответствующей случайной величины, в частности, математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения концентрации слоев материала, через которые оценивается качество смеси [4,5].

Поэтому представляется целесообразным перейти от вероятностей к этим характеристикам, для чего обе части уравнения (2) умножим на х1 в соответствующем состоянии, а затем левые и правые части просуммируем по

1к

,х1к +1, х1к + 2, х1к + 3,...х10, тогда получим

10

<IХ1РХ1 (/)

х1к

<а

10

■ = -МА I hxl ).

(3)

х1к

Подставляя в соотношение (3) значение

hx1 = (х -х1к)2, получим

х10

< I х^ (*)

х1к

" = -МА I рх1 )(х1 -х1к ) =

х1к

10 2 -40

-МА 1Рх1 (* )х12 + 2МА 1Рх1 (* х1к х1к х10 2 Ма I Рх1 (* К*.

1г\к

(4)

х1к

В соотношении (4) числитель левой части представляет собой математическое ожидание т(х(/)) числа частиц материала совокупности А в

хю 2

момент времени /, а выражение I Рх1 (/ )х1

х1к

является вторым начальным моментом случайной величины Хь который может быть представлен в виде:

М 2н = т 2 (Х (/))+Я(Х (/)), где ^(Х1 )) - дисперсия марковского процесса, указывающая рассеяние случайной величины Х1 во времени. Она равна [2].

Я(Х 1 (/ )) = т(Х 1 (/ )).(1-е- м).

Подставляя М 2н и ^(Х1 )) в соотношение (4) и учитывая, что

х10 х10 I Р ( ) = 1 и I р (/ )х = т(х(/)),

х1к

получим

х1к

= -МАт2(X1 (,)) - МАт(Х1 (;))( - )+

(5)

+ 2МАт(х 1 ())х 1к мАх1к ■

В уравнении (5) к соответствующим членам прибавим и вычтем из них величину х10. Получим

<[(т(х 1 )) + х10)-х1°] = -ма ц^ (,)) + хю - хю ]2

Л

(6)

Ма [т(х 1 (г)) + хю -х^ ](1-е м) +

+ 2Ма[т(х1 (^)) + х10 -х10]х1к -Ма(х1к + х10 -х10)2 Далее переходим к концентрациям, для чего члены соотношения (6) умножим на выражение

,где а = ауАУА; уА и КА соответственно

N

удельный вес и объем частицы материала совокупности А; N - общий вес частиц материала; а - число частиц материала совокупности А в эквивалентном объединении. Тогда

а < [(ат(Х1 (/))+ а х10)-а х10 ] =

N <

N

-Ма

-Ма

[(т(Х 1())+ х10)- х10]2 а2

N2

[(Х1 (/ )-

а7 (1- е-Ма*)

+ хю - хю т а (1 - е

(7)

N

N

+ 2м

[(т(Х 1 ())+ х10 -х10)]а'2х

1к

-Ма

N2

+ хю х1^ а

N 2

В уравнении (7) выражение

'(Х1 (/ )) + <

N

соответствует текущей весовой концентрации СА

частиц материала совокупности А , а

N

х

2

2

2

математическому

ожиданию

т.

весовой

концентрации частиц гранулированного материала данной совокупности во всей смеси. Обозначим

через КА соотношение

МаМ

тогда из (7) получим:

ё (Са - тА )

= -КА (СА - тА )2 -

- Ка (СА - тА )(1 - е )N +

+ 2КА (СА - тА ХСАк - тА )--КА (САк - тА )2

(8)

где

САк - конечная равновесная концентрация

совокупности А. Уравнение (8) характеризует изменение во времени концентрации объединений частиц материала сорта А в общем смешиваемом объеме т.е. кинетику процесса смешения

гранулированного материала, где коэффициент КА является константой скорости процесса.. Аналогичное уравнение можно вывести для материала сорта В.

В промышленной практике оценка состояния смеси производится с помощью выборочных статистик, рассчитанных исходя из определенного числа проб, отобранных из общей смеси, а смесь используется потребителем в виде отдельных порций.

Поэтому уравнение (8) запишем для одной из совокупностей материала по п выборкам и / параллельным испытаниям, проведенным в произвольно выбранных точках общего смешиваемого объема и получим:

^^тА = -К(су - т)2 - К(су - т)1 - /- +

ё/ \ и ' у Л ) К

N (9)

+ 2К(Су - т \Сук - т ) + К(с^ - т)

где I = 1,2,3,...п; у = 1,2,3,

Для обеспечения удобства состояния смеси выполним переход от весовых концентраций к их выборочным дисперсиям, для чего просуммируем уравнение (9) по п и / параллельным испытаниям и полученное уравнение разделим на п/. Тогда получим:

Величина -1 XX (Сук - т) является конечной

¿=1 у=1

дисперсией —к смеси.

Преобразуем в левой части уравнения величину

X X (Су - т)2, возведя ее в квадрат. При этом

¿=1 и=1

вследствие независимости наблюдаемых отклонений (Су - т) в п точках при /

параллельных испытаниях, двойные суммы парных произведений центрированных случайных величин, являющиеся корреляционными моментами, будут равны нулю. Тогда

XX(Су -т) =Ц(Су -т)2 = п/—

п /

¿=1 у=1

¿=0 у=0

где Б2 - неосредненная выборочная дисперсия концентрации смеси. Третий член в правой части уравнения (10) представляет собой корреляционный момент независимых величин, который также равен нулю. Тогда уравнение (10) после соответствующих преобразований примет вид:

= -КБ2 - КБ2 -^К^ 1 . (11)

к п! л/ V ~ 4 '

4п/ СлБ2

~Л/ сг~

Последний член правой части уравнения (11) в

силу а << N пренебрежимо мал и им можно пренебречь.

Тогда уравнение (11) примет вид:

сБ

= -Кл1п/№2 + Б2'

С ' у 2

После разделения переменных имеем

С^Б2

S2 + Б,

= -К Пси.

(12)

(13)

Проинтегрируем уравнение (13), тогда

1 Б -агИд-= -К-Л И + С.

Б.

Бк

Зададим начальные условия: при / = 0 Б2 = —02, где —0 - начальная дисперсия смеси. Отсюда

С = -1

-14 И(Су - т) = - ШС - т) -

К,

п/ ё/ ¿= у

п/У=1 у

Ка

т/

X X (Су - «4 - е ^ )+

(10)

у=1 и=1 2К п 1

^ГXX(су -т)(Сук -т)-XX(суk -т)

п /

п/ ¿=1 у=1

п/ ¿=1 у=1

Выражение--XX(C¿j ~т) в правой части

п/ ё/ ¿=1 у=1

уравнения (10) представляет собой осредненную по п пробам и / испытаниям текущую дисперсию —2 концентрации рассматриваемой совокупности материала в общей смеси.

Тогда

или

1 — „ П 1 — 0 — аг^— = -Кып/ • / +--аг^^-

—

—

—к

аг = - Кл[п / • —к / + аг ^—.

—к

Окончательно имеем

—к

— = —к • /

Г — \

аг ^ —0 - К^п! • —к /

—к

(14)

V —к /

Уравнение (14) является математической моделью кинетики процесса смешения гранулированного материала. Оно характеризует перераспределение в общем смешиваемом объеме (в смесителе) локальных объединений частиц

а

2

2

к

2

к

/

к

2

+

материала совокупностей типа А и В и

изменение во времени значений SA

концентраций указанных совокупностей в общем объеме смеси материала. Оно удовлетворяет следующим условиям при * =0 £ = £0 = £тах , где

Sm

начальное максимальное значение

выборочного среднеквадратического отклонения концентрации рассматриваемой совокупности материала, рассчитываемое по формуле

£0 = £тах = "\/£ггих = VСН (1 - СН )Л

где СН - исходная концентрация рассматриваемой совокупности в несмешанном объеме материала, рассчитанная из количественных соотношений данной совокупности и общей массы материала.

При агс/д — - Кд/й/ • = —, и зная, что

4

—

— = 1, следует £ = .

Тогда время завершения процесса смешения материала при известных значениях К, й, / и , т.е. время достижения конечного значения среднеквадратического отклонения концентрации рассматриваемой совокупности материала определится из выражения

t =

So ^

arctg —---

Sk 4

K ^л/Й7 • Sk

(15)

Определение константы скорости смешения проводится по уравнению

So S

arctg - arctg -

K = -

Sk

Sk

sk -Vn7 • t

(16)

полученному после преобразования уравнения (14).

В работе получена математическая модель (уравнение 14), описывающая кинетику процесса смешения гранулированного материала. Это уравнение позволяет проводить оптимизацию процесса, в частности, определять время проведения процесса для получения заданного качества продукта. Также уравнение может быть использовано при проектировании и расчете смесительной аппаратуры.

Литература

1. Е. А. Баранцева, Математическая модель кинетики лопастного перемешивания сыпучих материалов, Строит. материалы. 2, 12 - 13. (2008)

2. А.Т. Баруча-Рид, Элементы теории Марковских процессов и их приложения, Наука, Москва, 1969. 368с.

3. А.Н. Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей. монография. ОНТИ, Москва, 1936. 350 с.

4. В.А. Лашков, С.Г. Кондрашева Вестн. Казан. технол. ун-та, 16, 210-215. (2011)

5. А.И Заико, Определение характеристик эргодических случайных процессов, Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль, 2, 78-81. (2012)

© Э. Н. Островская - к.т.н., доцент кафедры машиноведения КНИТУ, alla_011@mail.ru.

© E. N. Ostrovskaya - c.t.s., associate professor of the department of mechanical engineering of KNRTU, alla_011@mail.ru.

и