Математическая модель процесса истечения сыпучего материала из бункеров Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Агроэкология. Почвоведение

Вестник ОрелГАУ 2-3'06

УДК 51-74

Математическая модель процесса истечения сыпучего материала из бункеров

Е.В. Зернов, д.т.н. (ОрелГТУ)

A.M. Моисеенко, д.т.н. (ОрелГАУ)

Рассматривается процесс истечения из конического бункера сыпучего материала. Для аналитических расчетов составляется баланс мощности сил, действующих на слой сыпучего материала, а затем баланс мощностей сил, действующих в объеме всей воронки. Записанные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка решаются аналитическим методом.

При истечении различных материалов (песка, зерна, картофеля и т.д.) из бункеров, а также в зависимости от условий истечения, связанных с конструкцией бункера, материал может двигаться подобно жидкости (гидравлическое истечение) или образуя воронку (канальное истечение).

При сообщении бункеру вибрации часто удается улучшить истечение некоторых плохо сыпучих материалов, причем, если без применения вибрации форма разгрузки была канальной или материал образовал свод, то после ее применения имеет место гидравлическое истечение.

Целью настоящей работы является определение расхода материала из конического круглого бункера из расчета баланса мощностей движущихся сил и сил сопротивления истечению. Учет влияния вибрации можно производить так же как это делается в работе [1].

Рассмотрим бункер с материалом (рис.1).

Принимая гипотезу о гидравлическом истечении материала из воронки, полагаем, что материал движется параллельными слоями без образования пустот между ними с постоянным расходом в каждом сечении.

Рассмотрим слой сыпучего материала в конусной воронке шириной ах (рис.1).

ТХ2'У7~77777/

2F-I

нии слоя он сжимается, следовательно, частицы слоя вдавливаются стенками внутрь слоя.

Примем допущение, что сила сопротивления этому горизонтальному сдавливанию пропорциональна скорости горизонтальной деформации слоя Уа. [м / сек].

Пусть сила горизонтального сдавливания в единичном объеме равна к Уа., где к - коэффициент пропорциональности. Если рассматриваемый элемент имеет объем ёУ, тогда мощность этих сил ёР1, в этом объеме равна

ар1=куй2ау, (1)

где йУ= пЯ ¿х, Я = г + xtga, = X tga,

г- радиус воронки, [м], Я, х - радиус и высота рассматриваемого слоя, [м] .

Объемный расход О сыпучего материала принимается постоянным в каждом горизонтальном

2 О ■ tga сечении О = пЯ X, откуда, =-— .

п Я 2

Подставляя последнее выражение в (1), получим ^ = * ^ О ^ ^ ¿Х 2 , откуда р =- Г ^ О ^ ^ Н

п г ■ (г + X ■ tga)2 ' П г ■ (г + Н ■ tga)

Вычислим мощность силы тяжести ёР2: ¿Р2 = р g ■ X■ ¿V, Р2 =р g ■ О ■ Н (2) Мощность сил вертикального давления вышележащих слоев, действующих на входное сечение ворон ки

Рз = О ■оь, (3)

где: о"ь - давление вышележащего над водой ворон-,2

Рисунок 1

Составим баланс мощностей сил, действующих на выделенный слой, а затем баланс мощностей сил, действующих в объеме всей воронки. При опуска-

кой материала, \кг / м J.

Мощность сил трения слоя на наклонной стенке воронки

dP4 = т- dS ■ x ■ cosa (4) где: т - касательное напряжение на поверхности контакта сыпучего материала с наклонной стенкой,

[кг / м2 ], dS - боковая поверхность элемента dx, [м2 ].

Так как материал находится в предельном напряженном состоянии, то

т = fi ■а, (5) где: f - коэффициент трения материала о стенку с учетом вибрации, а - нормальное давление на стенку, вычисляемое по формуле Р. Л. Зенкова [2]:

Вестник ОрелГАУ 2-3'06

Моделирование технологических процессов

дх

2Q-tga

а = kd ■ р ■ g [e(h - ко)- (sin2 a+ n ■ cosa) + ho ■ sin2 a], где: kd - коэффициент динамичности, e - коэффици- дх n(r + x- tga)

I« n-h-f,

ент зависания, e = — (1--),x =- > rr гид-

X

0X

равлический радиус входного сечения воронки, [м]. Для нашего случая г = г + Н ■tga,

Н =— + Н - х, Но = 0. Р

С учетом последних формул, а также в предположении Н - Но " Н имеем:

а = kg р- g

r + H tga

n ■ fi

(1 - e

n- h ■ fi r+H tga

где

2/2 2 ■(sin a + n cos a) + h0sin aj, (6)

1

n = -

1 + 2 / 2 + >/ 1 + /2 (/ + эффициент внутреннего трения материала, Но - максимальная высота засыпки без стенки [м2 ].

Подставляя (5) и (6) в (4) и интегрируя по всем слоям, имеем

Л ■ п' Н

P = ai Q

a2 + a3 ■ ln r + H ■ tga

tga

-a2 J

H r+Htga

0 r + Htga

-dx

где: ai = fi ■kg р g , a =

(r + Htga)(sin2 a+n cos2 a)

fi

a3 = h0 ■ sin2 a, h = — + H - x.

Рисунок 2

Отсюда R2 - R =—Q tga^dX , n(r+x ■tga)3

, f - ко- dP5 =

2p ■Q^^ga dx

г+х ■tga

Р> = 26 ■f■tgcí(-о +Р■ g Н + ГР)■ 1пг + Н■ 1а-рн\

I tga г )

Уравнение баланса мощностей имеет вид: Р + РА + Р5 = Р2 + Рз

Подставляя в последнее уравнение выражения для мощностей и разрешая его относительно Q, имеем

6 = А (7>

где:

А=— +Pg■ H-2f ■ tgP!(qо +pg■H+Гpg)■1nГ±Htga-pg■ Н

В концепции с общепринятыми гипотезами в механике сыпучих тел мы должны также принять, что при сжатии каждого элементарного слоя по мере его опускания на него действуют силы Кулонова трения. Подсчитаем мощность этих сил для элемента dx .

Разобьем элемент на сектора. Равнодействующая сил Кулонова трения dFтр, действующая в каждом секторе (рис.2), равна dFтр = Р ■ f ^Б,

где: Р - вертикальное давление на высоте X, Р = —о + Pg (Н - х), dБ - площадь сектора.

Мощность этой силы в объеме элементарного слоя равна dP5 = Р^Б ■ f (% - А),

где: Б=Пг+xtgp), 1\ = х1^а,

дХ

И2 = (Х + dХ)tga= Хtga+tga---dx,

дх

+a

frnh

a+a r+H tga f He r-H tga

3 ■ ln

tga

-aJ r¡

r+xtga

dx; B=-

ktgaH nr ■ (r+H tgaa

Полученные по формуле (7) результаты, например, для песка или мелкого картофеля, хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными в натурных условиях.

Литература

1. Зенков Р. Л. механизмы несыпучих грузов.-М.: Госттехиздат, 1983.

2. Зенков Р.Л., Гриневич Г.П., Исаев В.С. Бункерные устройства. - М.: Машиностроение, 1997

)

r

r

r