CC BY
65
1ЧИЙ в 1ЫМИ и
грспек-
24-6,
evisiae
ie levyre irs de la Connais
itraips of / / Ind.
[elerione
lei della I- 1982.
кей рода ения / /
|ве вине-I- 4. —
marking
)rids be-and the trm. and
ation of 3. -
ation by Vitis. —
’operties - 1993.
rain and of some -4. —
tasa es >-138.
'10Л0ГИЯ.
678.027.3(045)
. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЭКСТРУЗИИ ПРИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В ОДНОШНЕКОВЫХ ЭКСТРУДЕРАХ
А.Н. ОСТРИКОВ, О.В. АБРАМОВ
Воронежская государственная технологическая академия
Течение пищевых смесей в одношнековых экструдерах определяется развитием пластической деформации, которая связана с необратимым перемещением молекул и их групп ла расстояние, превышающее размеры самой молекулы. При этом отмечается [1—3], что скорость развития пластической деформаций зависит от температуры.
На рис. 1 показана развертка винтового канала шнека экструдера: 1 — виток шнека; 2 — канал; 3 — корпус шнека; 5, Я — соответственно ширина и высота канала, м; <р '■— угол подъема винтового канала шнека, град; Ж/, №х, Шу, №г — соответственно полная и составляющие по осям скорости движения корпуса шнека, м/с. Корпус шнека будем считать подвижным, вращающимся. Таким образом, процесс движения и тепломассопереноса в винтовом канале экструдера представляется моделью тепломассопереноса движущейся среды в длинном прямоугольном канале, верхняя стенка которого движется с постоянной скоростью, равной окружной скорости шнека, под углом нарезки <р винтовой линии к оси канала.
Рис. 1
Связь между компонентами тензора напряжений т;/. и тензора скоростей деформаций ег. определяется выражением [2]
ти = i, / = X, у, Z.
(1)
Реологические свойства пищевой среды учитываются уравнением-[2]
V ~ ?70е~^(г~г°) (0,5- 12УТ^, (2)
где г\0, т, Т0 —константы материала;
/? — температурный коэффициент вязкости;
/2 — квадратичный инвариант тензора '1 ■■ скоростей деформаций.
Математическая модель включает в себя уравнение движения вязкой жидкости, уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности), уравнение теплового баланса и уравнение, учитывающее связь между величиной тензора напряжений гц и тензора скоростей деформации ег/ (1) с учетом реологических свойств (2).
Модель должна учитывать следующие особенности процесса: существование аномалии вязкости; взаимное влияние циркуляционного и поступательного течений; влияние тепла, выделяющегося в результате вязкого трения; влияние теплообмена с окружающей средой на температуру и эффективную вязкость пищевой среды. Движение ее принимается установившимся и при этом не учитываются массовые силы и силы инерции.
В качестве вязкой среды использовали смесь хлебной крошки из черствого и деформированного хлеба с добавкой свекольно-паточного порошка.
Для решения задачи были приняты упрощающие ее допущения. Так как длина канала значительно больше высоты и ширины (Ь>>5Н) и геометрия его по длине постоянна, то градиентами составляющих скоростей вх, ву, вг в направлении оси г можно пренебречь. Для этого канал вдоль оси г разобьем на участки, достаточно малые, что позволяет аппроксимировать компоненты скорости кусочно-постоянной функцией [3]. Тогда в пределах одного участка вх, ву, в, компоненты скорости можно считать постоянными, а их градиентами можно пренебречь.
В этом случае исходная система уравнений с учетом сделанных допущений примет вид
,4 дв дв
' ^ 7 + -~ = 0, , (3)
й <!Х ду ;
дв.
+ 2 — дх
+ 2
Рт
д_
ду
' двх
х дх
дх
х дх дв\
ду)
+
+ 0,
У ду д_ дУ дв
ду
+
д
дх
дб^ ду
ю,
ду
дР
+
дх дв.\\
дх
дР
----4
дУ
дв,
+
дх
(4)
(5)
Постановка задачи: выбор системы дифференциальных уравнений, в т. ч. граничных и начальных условий
__________________У________:__________
Формулировка математической модели с учетом принятых допущений
_Ж_
Преобразование системы дифференциальных уравнений и граничных условий с использованием переменных функций тока у и вихря со
___________ V_____________________
Преобразование полученной системы дифференциальных уравнений к безразмерному ВИДУ'
Составление системы дифференциальных уравнений и граничных условий в безразмерно-критериальном виде с использованием гоитеоиев Яе, Ей, Ес, Ре
_______________________¥___________________
Получение для численного решения конечноразностных уравнений для функции тока, вихря, скорости и энергии
ж
Разработка программы на алгоритмическом ^1 языке ТигЬо Разса17,0 для решения системы уравнений
Система: уравнения движения вязкой жидкости, неразрывности, сохранения энергии и реологическое уравнение
Допущения: I» 5Я; р = соп&\ Ь9х{дг = §,д9у /& = 0,б«9г/& = 0;
- $г (*> у)> т <0, ёТ/йу * 0, (ПЧёг Ф 0; г е {гк , гк+1}
Уравнения включают пять неизвестных: Р, Т, 9Х, ду, после преобразования - четыре уравнения для неизвестных у, со, Т, Э2
Х = х/Н,Ч = у/Н,2 = г/Н,
9,=а,/у.,'$=у/у.н,
Ке = К„ЯЛ</>?..
Еи = -АР1(рХ), Ес = УЦ{Т.с,), Ре^р.с.У.Н/Л.
Численные схемы: для уравнений функции тока, вихря и скорости - метод переменных направлений, энергии - явная конечноразностная схема
Решение выполнялось на сетке размерностью 13x17
V Обработка результатов моделирования Построение эпюр распределения полей скоростей и температур вдоль канала экструдера
И31
где
щи
где
и н тур рав
цес
(
Упр
СМ0
пер
кот
сте]
Ш Е
для
пар;
НЫ0
р
ПОЛ1
дХ
Рис. 2
( двг двг
Рп дх +ву ду
+ ±{г,д-Ц +
дх [ дх ду
дР
дг
+
( д$ П
\
Р с
Г т гг,
ду)'
л
віії + 9.іі + 9.іі
дх у ду ~ дг
= А.
^ д2 Т ~'2 т'''
+
3е т
Г]Ф,
(6)
(7)
дх“ ду
где Ф —диссипативная функция, определя-
ющая потери энергии на трение. Система этих уравнений решалась при следующих граничных условиях первого рода:
в I = в I = в I =0; (8)
* I у = 0 ■ У | у = 0 7 I = п > "-V
у = О
= = Г,, 0 < г/ < Я; (9)
ИГ 0 < х < 5, (10)
т = т,
І X = О I * = 5
в I = №, в I
* I у = Я *’ г I у = Н
где Т2 — температура шнека и стенки корпуса,
и начальном условии на входе, а именно: температура жидкости на вхо^е в канал распределена равномерно и равна температуре Т
Т I = Т, Р I , - Р.,. (11)
| г = 0 о |г = 0 о ' '
Алгоритм решения математической модели процесса экструзии представлен на рис. 2.
Система уравнений (3)—(7) после проведенного упрощения включает пять неизвестных: давление Р, температуру Т, компоненты скорости движения смеси вх, в , вг. Выразим эту систему уравнений в переменных функции тока гр и вихря со [3, 4], для которых уравнения связи с составляющими скоростей вх, ву имеют вид
СО =
дви дх. дір ду’
ду'
в = & « дх
(12)
(13)
Таким образом, после введения функций Ц> и со имеем систему дифференциальных уравнений для переменных гр, со, Т, вг (Р — известный параметр на рассматриваемом участке) и граничные условия
дгр | _
ду
дх І^-0
= 0;
= Т • 1 2’
(14)
(15)
(16) (17)
Г = Т ■ Р \ = Р .
\ г = 0 о’ | г = 0 о
Решая (3)-(7) согласно алгоритму на рис. 2, получим систему уравнений в следующем виде:
дір да> _ д^_ Эй________1_
дХ дУ дУ дХ ї?е д2тї д2ір дХ2 дУ2
А(усо) + 4
д2гр д2гр дХдУ дХдУ
-2
д“ц д2ір-1 дУ2 ДА®] ’ Д (хр) = со,
(18)
(19)
= Ей +
дтр двг дір дВг дХІУ~1ІУІІХ *
д ( дв\ д
1?е
дХ ^ дХІ + дУ
V
дОг
~дУ
(20)
дТ
дг
1 .ж
_ ДГ + ^ф, (21) Ре Ие
1 уравнениях (18)—(21) Яе = УаНрт/пп — нольдса; Ей = -(НдР/д£)У {рУ1) =
число
д^_дТ_ _ дтр_дТ_ дХдУ дУдХ + '
В;
Рейнольдса;
- ДР/(рУ) — число Эйлера; АР — перепад давления; Ес = V20 /(7'0ст) — число Эккерта; Ре = Рпс,пУ0Н/кт — число Пекле; — функция диссипации, являющаяся внутренним источником тепла.
Решение уравнений (18)—(21) может быть получено только численными методами [3, 4]. С этой целью применяли метод переменных направлений
— для уравнений функций тока, вихря и скорости и явную конечно-разностную схему — для уравнения энергии.
Для решения задачи процесса экструзии многокомпонентных пищевых смесей была составлена программа на алгоритмическом,языке ТигЬо Разса1 7,0. Анализ решения выполнялся на сетке размерностью 13х 17. Исходные данные для расчета следующие: •:::
Шаг
Глубина винтового канала { Диаметр шнека
Зазор между корпусом и шнеком Частота вращения шнека Удельная теплоемкость продукта Плотность расплава продукта Коэффициент теплопроводности Вязкость
Избыточное давление Начальная температура продукта
V 0,0160 м 0,0015 м 0,0200 м 0,0005 м 1,0000 1/с 1600,0000 Дж/(кг-К)
1290.0000 кг/м3 0,2200 Вт/(м-К)
2000.0000 Па-с .
5000000.0000 Па 150,0000 град
Температура стенки винтового канала 160,0000 град
Внутренний диаметр корпуса 0,0210 м
Угол подъема винтового канала 0,2379 рад
Угловая скорость (К0) 0,0660 м/с
Скорость цо оси 1 (№г) 0,0641 м/с-"
Скорость по оси X (ЧРх) 0,0155 м/с
Число Рейнольдса 6.38Е-0005
Число Эйлера 8,90Е+0005
Число Эккерта 1.81Е-0008
Число Пекле 9,90Е+0003
Результаты расчета получаются в виде таблиц. По этим результатам на рис. 3, 4 представлены эпюры распределения полей скоростей и температур вдоль канала экструдера.
Их анализ показал, что форма профиля поля температур (рис. 3) существенно зависит от направления теплового потока. С учетом принятых допущений — температура подвижной стенки канала неизменна, теплообмен между расплавом и стенкой отсутствует и стенки канала играют роль абсолютного теплоизолятора — тепловой поток направлен от расплава к стенке. Поэтому разогрев расплава продукта только за счет диссипации механической энергии приводит к возникновению максимума температуры у поверхности шнека. Температура расплава у подвижной стенки может быть ниже, чем у шнека, на 20-40 К. Температура
Рис. 3
среды в пристенной зоне (у боковых стенок канала) увеличивается, что обусловлено перестройкой температурного поля и эффектом ее охлаждения в центральной части канала, являющегося следствием адиабатического расширения.
Поле скоростей вг получено для экструдера, работающего в режиме закрытого выхода, т.е. при наличии противотока [2]. Из рис. 4 видно, что все скорости вг по сечению канала практически неиз-
менны и лишь у самых боковых стенок происходит их уменьшение до нуля. Таким образом, боковые стенки оказывают некоторое влияние на профиль скоростей вг. У поверхности шнека (у = 0) скорости 0г равны нулю, а при у = Н наблюдаются их максимальные значения, равные скорости верхней подвижной стенки. Небольшие значения скорости вг у поверхности шнека объясняются наличием градиента давлений и, соответственно, противотока; чем больше будет перепад давлений ДР>>0, тем сильнее будут стремиться скорости вг к отрицательным значениям (режим полностью закрытого выхода [2]). Сопоставление расчетных по модели (3)-(7) данных с известными моделями [2, 3] показало, что полученная модель более точно описывает поля температур и скоростей в одношнековых экструдерах.
ВЫВОДЫ
1. Разработана математическая модель процесса экструзии вязкой среды, представляющей собой смесь хлебной крошки из черствого и деформированного хлеба с добавкой свекольно-паточного порошка. Она учитывает изменение температуры и скорости в винтовом канале экструдера.
2. Анализ результатов машинных экспериментов позволил сделать вывод о совпадении результатов численного решения и экспериментальных данных и, следовательно, о возможности использования полученной модели при обработке других пищевых комбинированных смесей, а также разработке и проектировании одношнековых экструдеров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тадмор 3., Гогос К. Теоретические основы переработки полимеров / Пер. с англ.; Под ред. Р.В. Торнера. — М.: Химия, 1984. — 632 с.
2. Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров (Механика процессов). — М.: Химия, 1977. — 464 с.
3. Янков В.И., Первадчук В.П., Боярченко В.И. Процессы переработки волокнообразующих полимеров (Методы расчета). — М.: Химия, 1989. — 320 с.
4. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2 т. / Пер. с англ.; Под ред. Г.Л. Подвидза. — М.: Мир, 1990.
Кафедра машин и аппаратов пищевых производств
Поступила 19.01.99
664.8.022.1.001.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЛОДООВОЩНОГО СЫРЬЯ
В ПРОТИРОЧНОЙ МАШИНЕ
Н.В. ГУРТОВОЙ
Одесская государственная академия пищевых технологий
Протирание плодоовощного сырья является одним из основных технологических процессов консервного производства, который определяет количественный выход и качество конечного продукта [1]. Для инженерных расчетов протирочных машин необходимо разработать модель разделения плодоовощного сырья на перфорированной поверхности.
Рассмотрим подготовленное к протиранию плодоовощное сырье как суспензию, содержащую
жидкую фазу, частицы запасающих и балластных тканей — семена, кожицу, семенные коробки и т.п. Модель разделения такой суспензии на перфорированной поверхности включает блоки, которые описывают явление истечения дисперсионной среды и закупорки отверстий, очистку отверстий и расчет среднего расхода обработанного полуфабриката на выходе из отверстия.
Истечение обработанного полуфабриката сопровождается закупоркой отверстия перфорации [2]. Пренебрежем очищающим воздействием бичей протирочной машины и предположим, что гидродинамическая обстановка в окрестности отверстия
