Математическая модель протаивания мерзлых горных пород вокруг одиночной добывающей скважины Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

Рассмотренный нами подход по нашему мнению позволит на 2 порядка повысить быстродействие искусственного нейрона по сравнению с существующими.

Список литературы:

1.Романов С.П. Модель нейрона // Некоторые проблемы биологической кибернетики. - Л.:Наука, 1972. - с.276-282.

2.Романов С.П., Нейросистемы и современные вычислительные среды.// Нейрокомпьютеры: разработка, применение. №6, 2007 г.

3.И. В. Заенцев "Нейронные сети: основные модели ." Воронеж 1999 г.

4. «Аналитические технологии для прогнозирования и анализа данных» Copyright © 2005 НейроПроект

5. Алексей Стариков "Нейронные сети - математический аппарат"

http://www.basegroup.ru

6.Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника. Теория и практика. 1992 г

7.Исмаилов Ш-М. А., Артамонов Е. И., Кокаев О. Г., Хачумов В. М. Специализированные алгоритмы и устройства обработки массивов данных. Махачкала, Дагестанское книжное издательство, 1993.- 304с.

8.Исмаилов Ш.-М.А. Вопросы организации вычислительных процессов в ЭВМ, функционирующих в комплексе систем счисления. МОНИТОРИНГ. Наука и технологии. №2, 2010 г. с. 49-56.

9.Исмаилов Ш.-М.А. Алгоритмы и устройства разрядно-параллельной обработки потоков числовых данных в недвоичных системах счисления. МОНИТОРИНГ. Наука и технологии. №3, 2010 г.с.59-66

Ш.Виноградов Н.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОТАИВАНИЯ МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОД ВОКРУГ ОДИНОЧНОЙ ДОБЫВАЮЩЕЙ СКВАЖИНЫ АбасовГ.М., к.ф.-м.н., проф.

Институт (филиал) ФГБОУВПО «МГОУимениВ.С. Черномырдина» Аннотация: Представлено точное решение задачи протаивания мерзлой породы вокруг одиночной скважины при фиксированном потоке тепла для бесконечного по протяженности горного массива без учета влияния дневной поверхности. Автомодельность решения позволяет выписать замкнутые формулы для температур через интегро - экспоненциальную функцию, а нахождение фронта протаивания сводится к отысканию корня трансцендентного алгебраического уравнения , решение которого табулировано.

Ключевые слова: модель, горные породы, скважины.

MATHEMATICAL MODEL THAW FROZEN ROCKS AROUND A SINGLE

PRODUCTION WELLS Abstract: The exact solution of problem of thawing frozen rock around a single well at a fixed flow of heat for an infinite length of the rock mass, excluding the effect of the surface. Self-similar solutions allows us to write the closed formulas for temperature through the integral - exponential function, and finding the front of thawing is reduced to finding the

root of the transcendental algebraic equation whose solution is tabulated.

Keywords: model, rocks, well.

Представлено точное решение задачи протаивания мерзлой породы вокруг одиночной скважины при фиксированном потоке тепла для бесконечного по протяженности горного массива без учета влияния дневной поверхности. Автомодельность решения позволяет выписать замкнутые формулы для температур через интегро - экспоненциальную функцию, а нахождение фронта протаивания сводится к отысканию корня трансцендентного алгебраического уравнения , решение которого табулировано.

Осваивание и обустройство нефтяных, газовых и геотермальных месторождений, расположенных в зонах многолетней мерзлоты, требует учета температурной ситуации как в непосредственной близости от скважины, так и в значительной толще горных пород.

При длительной (30 - 50 лет) эксплуатации скважин, по которым добывается термальная вода, нефть или газ с температурой до 2000С, протаиванию подвергается массив вокруг скважины радиусом до 200 метров. Решение температурной задачи с учетом изменения агрегатного состояния порового льда позволяет предсказать оптимально безопасные расстояния для дорожно - строительных опор, прогнозировать снижение прочностных характеристик мерзлых пород во времени, рассчитать приемлемые расстояния между скважинами эксплутационного ряда в зависимости от избранной конструкции колонны.

Таблица 1.

Теплофизические свойства талых и мерзлых грунтов

Наименование Pü Cü р*с* трл& К К* aü a» 2 / 2 aQ / a»

песок 1,58 1,81 37,5 1,40 1,15 27,9 20,2 1,38

супесь 1,84 2,35 80,5 1,40 0,93 24,0 12,5 1,92

суглинок 2,00 2,71 113,5 1,28 0.81 20,2 9,4 2,14

глина 2,35 3,45 176,0 1,28 0,81 17,2 7,4 2,33

В таблице 1 приведены теплофизические характеристики мерзлого и талого грунтов, сложенных различными породами: объемная теплоемкость р0с0, р„с„,МДж/ м3/ К; скрытая теплота плавления шрл3,МДж/ м3; коэффициенты теплопроводности мерзлого и талого грунтов Л0 ,Л, Вт / м / К; температуропроводности а 1, аI, м2/ год; отношения температуропроводностей аа* [1]. Для сравнения - для горных пород Ямбургского месторождения эти характеристики составляют: Л0 =2,3 - 3,6; Л*=1,39 - 2,90; р0 с0 =2,2 - 3,2; р*с* =2,8 -3,7; шрл$=1,40 - 1,80; (данные оценочные)

Таяние льда в мерзлых породах происходит при фиксированной температуре 00С, что соответствует задаче Стефана. Однако, задача о перемещении кругового фронта протаивания при постоянной температуре стенки скважины не имеет точного решения. Автомодельное решение задачи о промерзании грунта было указано Н.Н.Веригиным [2].

Ниже рассматривается аналогичная математическая модель для оттаивания однородного и бесконечного по протяженности мерзлого горного массива вокруг оси, выделяющей одинаковый в каждой своей точке и постоянный во времени поток тепла.

Постановка задачи: Математическая постановка задачи описывается уравнениями

dT(r,t) ,1 d , dT(r,t\ ,, Росо —г,1 = (r —(г-2), r > r*(t) (1)

dt r dr dr

dT(r,t) ,1 d , дТ(r,t), Л

Р*.с*.—-—- = Л*--(r —-—-), 0 < r < r*(t)

dt r dr dr

Начальные условия:

T(r,0) = То, r*(0) = 0 (2)

Граничные условия:

- Пш^гЛ. Щ^) = q > 0, T(œ, t) = T0 (3)

r->0 dr

На фронте фазового перехода при r = г (t) ставятся условия равенства температур по обе стороны от фронта и теплового баланса с учетом удельной теплоты плавления межпорового льда:

T (г* - 0, t) = T (r* + 0, t) = 0, (4)

. dT (r* - 0, t ) „ dT (r* + 0, t ) dr,

- Л* —--- + Л0 —--- = mpnS—

dr dr dt

В этих и далее формулах индекс нуль обозначает мерзлую породу, звездочка -талую; q -поток тепла на единицу толщины слоя; m -обледеневшая пористость, то есть объем льда в единице объема мерзлой породы; S - удельная теплота плавления льда. Решение задачи ищем в виде

T = (q /(2Л ))g(£) при £ < £*, T = TJ(£) при £ > £*, £ = r /(4a\ta2 = Л0 /(Р0 C0), £* = n(t)/(4alt f2

Фронт фазового перехода соответствует неизменному значению автомодельной переменной £ =£* ■ Начальному условию при t=0 и граничному условию для r = œ соответствует значение £ = œ .

Подставив (5) в уравнение (1), получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для каждой из введенных функций:

£g" + (1 + 2a2£2/aï)g = 0, £f" + (1 + 2£2)f = 0 с краевыми условиями

g(£*) = 0, Lim£g(£) = -1 f(£*) = 0, f(œ) = 1

£->0

Функции g(£) и f(£) находятся квадратурами и выражаются через интегро -экспоненциальную функцию [3]. Обозначим g' (£) = z(£) ■ Тогда имеем

z(£) = С, exp(-J(£- + 2(aï£/aï))d£) = Cl exp(-al£2 /aï)/£ Постоянное интегрирования C1 определяем из краевого условия::

Lim£g(£) = Lim£z(£) = LimC^-aU2 / aï) = -ь Отсюда Ci= -1.

£->0 £->0 £->0

Следовательно имеем

g(%) = х-1 ехр(-а1 х2 /

Из краевого условия g(% ) = 0 имеем, что х = , то есть

%

g(%) = х-1 ехр(-а2х2 /а»2)оХ

Производя замену переменной а1 х 2 / а2 = ^, получим

g(%) = 0,5(Е (а2%2 /а*2) - ^2%,? /а*2))

Аналогичные выкладки относительно функции у (%) дает

/ (%) = 1 - Ех{%2)/Е,(%2)

Искомое решение можно записать в виде

Т = (д/(АжЛ*))(Е1(а1%2 /а*2) -Е1(а^%*2 /а*2)), % < %*, Т = То(1 -Ех(%2)/Е1(%*2)), %>%* (6)

ад

П. ^) = 2% (а 2^)1/2, Е:(х) = | и -1 ехр(-и)^и

х

Неизвестный параметр % определяется из условия баланса тепла (4) на фронте фазового перехода как корень трансцендентного уравнения

0,25 л"1 ехр(-л3%*2 ) + л ехр(-%*2) / Е1 (%*2 ) = л2%*2 (7)

Здесь ^ , л , ^ - безразмерные критерии задачи

Л = ЛТ /д < 0, Л = шрл$а2 /д, лъ= аI /а»2 (8)

Интервалы изменения критериев л, л2, л3 для практически реализуемых условий геотермальных месторождений составляет: - 0,5 < пх < 0; 0 < жг < 1,5; 1,2 < л < 2,4. Расчеты показали, что зависимость % от параметров л2 и л3 является более слабой, чем от •

В таблице 2 приведены значения % для случая л3 = 1,38 . Вычисление корней

уравнения (7) производилось с использованием аппроксимаций интегро -экспоненциальной функции [3].

Таблица 2.

Значения параметра % для л3 = 1,38

-Л1 Л2

0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

0,02 0,765 0,697 0,647 0,608 0,576 0,472 0,370 0,315 0,279 0,254

0,06 0,535 0,508 0,485 0,465 0,448 0,385 0,315 0,274 0,246 0,226

0,10 0,401 0,387 0,375 0,364 0,354 0,315 0,267 0,237 0,215 0,199

0,14 0,307 0,300 0,293 0,287 0,281 0,257 0,224 0,203 0,187 0,174

0,18 0,238 0,234 0,230 0,227 0,223 0,208 0,187 0,172 0,160 0,151

0,22 0,185 0,183 0,181 0,179 0,177 0,168 0,154 0,144 0,136 0,129

0,25 0,145 0,143 0,142 0,141 0,140 0,135 0,125 0,119 0,114 0,109

0,30 0,113 0,112 0,111 0,111 0,110 0,107 0,102 0,098 0,094 0,091

0,40 0,060 0,060 0,060 0,060 0,060 0,059 0,058 0,057 0,056 0,055

0,50 0,032 0,032 0,032 0,032 0,032 0,032 0,032 0,032 0,031 0,031

Приведем пример расчета. Для случая протаивания мерзлого песчаника вокруг

газодобывающей скважины ориентировочно принимаем: q=60 Вт/м; To = -60С; 2 = 1,4

'0

Вт/м/К; 2= 1,16 Вт/м/К; р0е0 = 1,58МДж/м3 /К; р,е = 1,81МДж/м3 /К; шрл3 = 37,5МДж/м3. Для безразмерных комплексов получаем: ж=—0,14;

Ж = 0,55; жъ = 1,38 . По таблице 2 интерполяцией находим £ = 0,21. Фронт таяния движется согласно закону r = 2,2t1/2 (расстояние в метрах, время в годах). Через 25 лет растает зона радиусом 11 м, через 50 лет - зона радиусом около 16 м. Если увеличить поток тепла в горную породу в 2 раза, сохранив при этом значения остальных параметров, то как следует из формулы (8), абсолютные значения первых двух критериев ж и ж2 уменьшаются в 2 раза: ж = —0,07; ж2 = 0,28. По таблице 2 можно прогнозировать оценку £ = 0,35. Фронт таяния движется согласно закону Г = 3,7t1/2. Через 25 лет растает зона радиусом около 18,5 м, а через 50 лет - 26 м.

Проведенные численные расчеты показали, что для одиночных геотермальных скважин зону возможного таяния можно оценить по автомодельному решению, если известен примерно из каких то соображений средний поток в горную породу через колонну скважины, например по замерам температуры добываемого флюида на забое и устье.

Формулы (6) позволяют оценить время, начиная с которого автомодельное решение непригодно. За таковое может быть принято время прихода температурных возмущений к границе мерзлого массива. Поскольку для больших значений аргумента x E (х) - exp (—х) / х, то можно считать T(r, t) « T0 при £2 > 4 + £2. Для практически важных случаев параметр £ мал, E (£2 ) ~ 1 и можно полагать, что возмущения отсутствуют, если £2 > 4. Положив r = гк, получаем для времени прихода температурного возмущения t = r2 /(16а^) . Если принять для мерзлых горных пород а2 = 25 м2/год, то будем иметь оценку времени, в течении которого автомодельное решение пригодно: 100 лет при радиусе контура r = 200 м и лишь один год для мерзлого массива радиусом 20 м. При небольших расстояниях между скважинами автомодельное решение неприемлемо. В этом случае задачу протаивания необходимо решать численными методами с учетом ограниченности мерзлого массива и изменяемости потока тепла из скважины в пласт.

Список литературы:

1. Мерзлотные исследования. М.: МГУ, 1969. Вып. 9. С.19-90.

2. Веригин Н.Н. О термодинамическом расчете замораживания грунтов // Докл. АН СССР, 1951. Т.81, N 5. С.803-806.

3. Справочник по специальным функциям с формулами, грфиками и математическими таблицами / Под ред. М.Абрамовица и Н.Стигана. М.: Наука, 1979, 832 с.

УДК 681.34

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ «ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ»