CC BY
13
2003
Доклады БГУИР
апрель-июнь
Том 1, № 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ МНОГОКООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ НА БАЗЕ ЛШД
Ю.С. МЕЖИНСКИЙ, В В. ЖАРСКИЙ, И В. ДАЙНЯК
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 20 апреля 2003
Рассмотрены и проанализированы общие системы дифференциальных уравнений, описывающих движение многокоординатных систем на основе ЛШД. Построены системы дифференциальных уравнений движения, допускающие движение координатной системы по заданной траектории.
Ключевые слова: математическая модель, многокоординатные системы, программные движения.
Введение
Основной проблемой математического моделирования многокоординатных систем является проблема построения требуемых программных движений путем определения управляющих воздействий.
В настоящей работе рассматриваются задачи построения программного движения. Эти задачи [1, 2] в математической постановке сводятся к выбору параметров, содержащихся в дифференциальных уравнениях движения материальной системы многокоординатного устройства, или к определению неизвестной части дифференциальных уравнений из условия существования заданных частных решений [3].
Математические модели многокоординатных ЛШД
В общем случае система уравнений как разомкнутого, так и замкнутого однокоорди-натного шагового привода, содержащего га-фазную обмотку возбуждения, записывается в виде
[4]
02х о0х
02+^ = ^ (1)
'Л +—7Т =
м
где к = 1,2,...т — номера электрических контуров, образованных фазами обмоток возбуждения ЛШД; 1к , у/к, ик — мгновенные значения тока, потокосцепления и напряжения к-го электрического контура; гк — электрическое сопротивление к-го контура; т — суммарная масса подвижных частей системы; х — текущее смещение индуктора по отношению к статору; Ес — суммарная сила сопротивления нагрузки и потерь холостого хода; — электромагнитная сила, развиваемая электроприводом, определяемая типом и конструкцией ЛШД.
Система (1) позволяет исследовать поведение однокоординатного ЛТТТД без каких-либо упрощающих допущений. На ее основе формулируется основное управляющее движение электромеханической системы.
В фазных координатах система (1) получит вид
т—Т + в— + ^ =—УУ/х— Л Лг т 7=17=1 dx
1 =' 7 = 1,2,...,т, (2)
-А г Л/, 2п Лх^. ЛЬ7 ТТ
г1/1 + У Ь1к+--У /к —= ип
11 Ы Лг тг Лг^к Лх 1 т Л/
^т к -
Ь к- — электродвижущая сила самоиндукции и взаимной индукции, действующая в
к=1 Лг
7 -м контуре; Ь , — коэффициенты собственной и взаимной индуктивности фаз; тг — период
зубцовой структуры ЛТТТД
Аналогичные по структуре системы уравнений могут быть записаны для любого много -координатного привода на основе ЛШД. Уравнения (1) и другие [15], отображающие физические процессы, происходящие в соответствующем координатном шаговом электроприводе, представляют собой полную математическую модель рассматриваемого устройства. В зависимости от вида и характера математического исследования используется та или другая форма представления этой модели. В случае исследования динамики движения координатной системы и решения задач построения программных движений представляется удобным приводить полную математическую модель к следующему виду [1, 4]:
X = /(г,Х1,...,хп;Х1,...,Хп), г = 1,...,п , (3)
где х = (х1}...,хп) — вектор обобщенных координат системы; X = (Х1,...,Хп) — вектор обобщенных скоростей системы.
Построение уравнений движения многокоординатных систем
Полученные в работе [3] равенства а>м • = Ям(ю,х,Х,г*)-рм , ( = 1,...,т), где
( л Л С
р =1 §гаасд • х 1+--, служат уравнениями для определения правых частей в искомых
^ х ) дг
уравнениях (3); со — неголономная программа движения.
В том случае, когда т = п , непосредственным решением уравнений находим искомые уравнения:
Х.=У {у}*,-р ), (4)
/ =1
где Л =
дс
Ф 0 ; ЛУ — алгебраическое дополнение /, V -го элемента определителя Л.
дх
Если т < п, то во многих отношениях удобнее искать вектор-функцию X правых частей уравнений в виде суммы:
X = Ху + Xт, где вектор X" ортогонален многообразию £2± {с(х,Х,
г= 0} и определяется с точностью до
множителей Лагранжа:
т
X ёГа^ < , (5)
г=1 х
а вектор Xт является составляющим вектор-функции вдоль многообразия £2± и определяется условием
§гаё< Х^ = 0 (р = 1,...,т). (6)
Подставив вектор-функцию Х в виде суммы в условия осуществимости движения, получим
Вгаё© • Ху>| = (7)
и с учетом значения XТ получим
4=(ГеГ(-ъ), (=
1=1
где Г =
Ф 0 ; Г — алгебраическое дополнение ', ] -го элемента определи-
теля Г .
Таким образом, имеем, что
Х^(кГЁ Г ( -Ъ ^
г,] х
Составляющие вектор-функции ХТ определяются решением неопределенной системы линейных уравнений (6) и могут быть представлены в виде
<.
ХТ = -£(г = 1,...,га),
" Г / ,
в=га+1
в -м столбцом матрицы
; Qs = Qs (х,Х ^) — произвольные функции.
где ХТ = DQs (в = т + 1,...п) ; ОГ — определитель, полученный заменой его '-го столбца
да дх
Итак, искомая система уравнений (3) может быть представлена в следующем виде:
Мга^и \д<а
хг = ' "
У Г х
г,] ил-г в=га+1 (8)
(ТКГ(-Ъ))- ЕО'П(г = 1.....ш),
г,] г в=га+1
(Г)Г] (]-Ъ)) + ( = га + 1,...,п).
дхв
Как видим, решение общей задачи построения уравнений движения содержит не определяемые в рамках рассматриваемой задачи функции Я}-(а,х,х/) (при с] = 0) и Qs(х,х/) (при т < п). Эти функции, естественно, должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись условия существования и единственности решения системы уравнений (8) в области
Построенная система уравнений движения (8), допускающая движение с заданными свойствами, может быть представлена в виде векторного уравнения
х = (ГЕГ(( -Ъ)ёгаё< + Хт, (9)
г,] х
га
га
где вектор Xт определяется условиями (6).
Заключение
На основании необходимых и достаточных условий движения многокоординатных систем на базе ЛШД по заданной неголономной программе разработаны базовые дифференциальные уравнения динамики.
Полученное решение как по широте постановки задачи, так и универсальности примененного метода может быть использовано при построении уравнений движения во многих обратных задачах динамики.
MATHEMATICAL MODEL OF PROGRAMMED MOTION OF MULTICOORDINATE SYSTEMS ON THE BASE OF LINEAR STEPPING MOTORS
YU.S. MEZHINSKY, V.V. ZHARSKY, IV. DAINYAK Abstract
The common differential equation systems which described the movements of multicoordinate systems on the base of LSM are presented and analysed. The motion differential equation systems are developed to allow the movement of coordinate system by the predetermined trajectory.
Литература
1. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М., 1980
2. Галиулин А.С. Аналитическая динамика. М., 1989.
3. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн., 1979.
4. Карпович С.Е., Русецкий А.М., Ляшук Ю.Ф. Теория построения прецизионных механизмов оборудования производства электронной техники. Мн., 1999.
