CC BY
69
^ ПРОБЛЕМАТИКА ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ
УДК 625.141.1
A. Ф. Колос, И. В. Колос, А. А. Конон
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ БАЛЛАСТНОГО СЛОЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ
Дата поступления: 10.04.2017 Решение о публикации: 24.04.2017
Аннотация
Цель: Прогнозирование несущей способности балластного слоя железнодорожного пути, воспринимающего вибродинамическую нагрузку. Методы: Анализ существующих методик определения прочности балластного слоя. Результаты: Было установлено, что большинство методик имеют ряд недостатков, которые приводят к существенным погрешностям результатов расчета. При разработке математической модели, описывающей предельное напряженное состояние балластного слоя железнодорожного пути, авторы основывались на теории предельного равновесия, разработанную
B. В. Соколовским. При построении математической модели учтено действие инерционных сил, возникающих в балласте и земляном полотне при движении подвижного состава. Практическая значимость: Результаты расчета несущей способности балластного слоя при различных условиях его работы позволяют разработать требования к конструкции балластного слоя и к балластному материалу.
Ключевые слова: Несущая способность балластного слоя, предельное напряженное состояние, удельное сцепление и угол внутреннего трения щебня, виброускорения в балластном слое.
Aleksey F. Kolos, Cand. Sci. Eng., associate professor, head of chair, [email protected]; Irina V. Kolos, Cand. Sci. Eng., associate professor, [email protected]; *Anastasiya A. Konon, Cand. Sci. Eng., associate professor, [email protected] (Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University) MATHEMATICAL MODEL OF PREDICTING RAILWAY BALLAST BEARYING CAPACITY
Summary
Objective: To predict carrying capacity of railway ballast, sustaining vibrodynamic load. Methods: The analysis of the current methods for determining bearing capacity of the ballast bed. Results: It was established that, generally, methods of determining bearing capacity of the ballast have a number of drawbacks, which lead to significant errors in calculation data. In the process of mathematical model elaboration, which describes limit stressed state of the railway ballast, the authors relied on the limit equilibrium theory which was developed by V. V. Sokolovskiy. Inertial effect, which occurs in ballast and roadbed during the motion of a rolling stock, was taken into account when building the mathematical model. Practical importance: Calculation data of ballast carrying capacity under different conditions of ballast operation make it possible to elaborate the requirements for ballast construction and ballast material.
Keywords: Ballast bearing capacity, limit stressed state, specific cohesion and angle of internal friction of crushed ballast, vibration accelerations in ballast.
Введение
Стабильность рельсовой колеи за весь срок службы конструкции верхнего строения пути определяется не только надежностью шпал, скреплений, рельсов, но и качеством всех элементов подшпального основания, в том числе щебеночного балласта. Несмотря на то, что исследовательские работы по повышению срока службы балласта в разных странах в различных условиях эксплуатации ведутся с 1960-х годов, именно балластный слой до настоящего времени остается проблемным элементом верхнего строения пути.
Основные характеристики, определяющие возможность применения щебня в конструкции верхнего строения пути в соответствии с действующими национальными стандартами России и зарубежных стран [1-6] не определяют такой важнейший количественный параметр как несущая способность балластной призмы, оценка которой остается до сих пор нерешенной проблемой.
Математическая модель предельного напряженного состояния балластного слоя железнодорожного пути
Состояние железнодорожного подшпаль-ного основания в условиях движения поездов зависит от множества внешних и внутренних факторов. В частности, прочностные свойства балластного слоя и земляного полотна обусловливают сопротивление конструкции разрушению под действием внешних сил.
Предельное напряженное состояние балластного слоя - такое состояние, при котором минимальное приращение статической или динамической нагрузки приводит к появлению в балласте и земляном полотне сплошных поверхностей скольжения, на которых сдвигающие силы превышают удерживающие. Поверхности скольжения представляют собой совокупность отдельных площадок, возни-
кающих при превышении удерживающих сил сдвигающими. Отдельные площадки скольжения могут образовываться в грунтовой среде и при нагрузках не более предельных, но они не вызывают деформаций массива. Лишь при нагрузках не ниже предельных формируются группы площадок - целые поверхности, по которым происходит сдвиговая деформация грунтового массива.
Следовательно, при предельном напряженном состоянии действующие нагрузки (с учетом собственного веса грунта) и предельные нагрузки, определяемые прочностными характеристиками грунтовой среды, равны и находятся в состоянии предельного равновесия. Такое состояние конструкции описывается соотношениями между компонентами тензора напряжений и прочностными характеристиками грунта.
Таким образом, несущая способность балластного слоя железнодорожного пути определяется предельным напряженным состоянием грунтов балластного слоя и земляного полотна, характеризуемым предельным давлением шпалы на балласт.
Уравнение движения элемента грунтовой массы, как известно, описывается следующим соотношением [7], записанным для элементарного объема грунтовой массы:
ЙХ; dt
(1)
дъц
В (1) -JL
ОХ:
компоненты тензора напряже-
ний; X - компоненты массовых сил; vi -компоненты вектора скорости; р - плотность
d V,-
грунтовой среды; р-
ционных сил;
dv. dt
dt
компоненты инер-
ускорение частиц грун-
тов балластного слоя и земляного полотна.
В развернутой форме для динамических процессов в двумерной системе координат выражение (1) принимает вид
ду ду
дТ = Y + p dVy
дz да
dt ' dv„
= Z + , дz dt
В исследованиях [9-12 и др.], проводимых с помощью приборов трехосного нагружения, установлена нелинейная зависимость между (2) предельными касательными и нормальными напряжениями, имеющая вид степенной функции
где У и X - компоненты массовых сил в элементарном объеме, действующие в направлении горизонтальной оси у и вертикальной оси г.
Система уравнений (2) содержит два равенства с тремя неизвестными: а , т = т , а7 и
1 у уг ту7
является статически неопределимой. Для ее решения требуется ввести третье уравнение. Так как в статье исследуется несущая способность балластного слоя, в качестве третьего уравнения следует использовать условие предельного равновесия грунтового массива. В этом случае решение системы из трех дифференциальных уравнений позволит определить предельное напряженное состояние среды и вычислить предельные напряжения в балластном слое под подошвой шпалы.
Условие предельного равновесия в общем виде описывается условием Мора
Ы=/(а),
в котором тп - касательные, ап - нормальные напряжения на произвольной площадке грунтовой среды с нормалью п.
Применительно к щебеночному балласту разными учеными предлагаются различные частные случаи условия Мора. В работе [8] используется линейная зависимость между предельными касательными и нормальными напряжениями по площадке скольжения, описываемая известным условием предельного равновесия Кулона
Тп = A • (ап )
(4)
kl = ап • tgф+С,
(3)
где С - удельное сцепление (зацепление) щебеночного балласта; ф - угол его внутреннего трения.
здесь А и В - сдвиговые параметры (параметры упрочнения) щебеночного балласта.
Выражение (4) было получено при боковых давлениях, составляющих до 400 кПа. Такие значительные величины боковых напряжений в конструкции балластной призмы под действием динамической нагрузки от подвижного состава практически никогда не реализуются. В исследованиях, проведенных нами также при помощи стабилометров, было установлено, что при боковых давлениях от 20 до 100 кПа, которые наиболее объективно характеризуют напряженное состояние балластного слоя, предельное напряженное состояние с достаточной для инженерных расчетов точностью определяется линейной зависимостью предельного равновесия Кулона (3).
Учитывая это обстоятельство, опираясь на рекомендации В. В. Соколовского [7], можно доказать, что в условиях предельного напряженного состояния компоненты тензора напряжений в выражении (2) будут описываться следующими соотношениями:
oz = a-(1 - sin ф-cos25) - C ■ ctg9, ay = a-(1 + sin ф-cos25) - C ■ (5) Tzy = a- sin ф- sin25,
где а = ^"(а! + а2) + С -^ф; ах, а2 - соответственно максимальное и минимальное главные напряжения; 8 - угол наклона первого главного напряжения а! к оси у.
Подставив (5) в систему уравнений (2) и принимая во внимание, что массовые силы У = 0 и Z = р , получим
(6)
—(1 - sin ф • cos 25) + — sin ф • sin 25 + dz dy
+2—g • sin ф • sin 25 +
dz
о d5 . 05 dvz
+ 2—g • sin ф•cos25 = p + p—-, dy dt
ög . ÖG/1 .
—sin ф^ cos 25 + — (1 + sin ф- sin 25) +
dz dy
-> d5 . . _ +2—g • sin ф • sin 25 -
dz
55 dvy
-2—g^ sin ф^ cos 25 = p—-. dy dt
Система дифференциальных уравнений (6) относится к гиперболическому типу и описывает предельное напряженное состояние грунтового массива. Для ее решения необходимо задать граничные условия и найти в правой части уравнений составляющие инерцион-
dv7 dv^
ных сил р—- и р—-. При этом й7 =
dt
dt
dt
и
dv„
a = —- есть не что иное как величина уско-у с^
рений частиц балласта, распространяющихся соответственно в вертикальной и горизонтальной плоскости. Для их определения были проведены полевые исследования, целью которых являлось установление зависимостей, описывающих распределение амплитуд виброускорений в балластном слое как по его глубине, так и в поперечном оси пути направлении, т. е.
аг = / (У, z) и ау = / (у, z),
где у и г - координаты точки, в которой необходимо вычислить амплитуду виброускорения.
С результатами проведенных испытаний можно ознакомиться, например, в работе [13]. В конечном итоге по ним были получены функциональные зависимости, которые были подставлены в систему дифференциальных уравнений (6) для последующего ее решения.
Для исключения громоздкости последующих преобразований в системе уравнений (6) ве-dvz ^у
личины —- и —- заменены соответствую-dt dt
щими функциональными зависимостями вида аг (у, г) и ау (у, г) (в м/с 2).
Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих предельное напряженное состояние балластного слоя железнодорожного пути
Как указывалось выше, система уравнений (6) - это система дифференциальных уравнений первого порядка гиперболического типа, потому ее решение возможно методом характеристик. Следуя соображениям В. В. Соколовского [7], можно доказать, что характеристические линии и линии скольжения, по которым происходит разрушение балластного слоя, совпадают. Таким образом, уравнения линий скольжения и уравнения характеристик также идентичны, что позволяет, решая систему уравнений (6), установить форму линий скольжения. Предлагаемый подход при оценке несущей способности балластного слоя исключает необоснованность в выборе формы кривой обрушения, что свойственно многим методам расчета устойчивости откосов земляных сооружений. В данном случае форма кривых скольжения находится при непосредственном численном решении системы дифференциальных уравнений (6), что, несомненно, является преимуществом.
Опуская трудоемкие математические преобразования и опираясь на исследования В. В. Соколовского [7], И. В. Прокудина [14], А. К. Черникова [15], можно показать, что уравнения характеристик и значения функций о и 5 вдоль них описываются следующими соотношениями:
dz = dy • tg
f5 Т П±ф l 4 2
(7)
/
d а + 2 • tg9- d S = (р + B ) х х (dz + dy ■ tgç) + £ • (dy ± dz • tgp),
(8)
Я = р- а (у, г), В = р-(у, г), (9)
где ^ - ускорение свободного падения, равное 9,81 м/с2.
Анализ зависимости (7) показывает, что имеются два семейства характеристик, наклоненных к оси г под углами 8 + в (рис. 1).
Рис. 1. Взаиморасположение главных площадок, линий скольжения и компонентов напряжения
Через каждую точку рассматриваемой области гу проходят две характеристики, пере-
секающиеся под углом 2в = п/ 2 - ф, и вся область покрыта сеткой характеристик.
Таким образом, задача определения несущей способности балластного слоя железнодорожного пути заключается в построении сетки линий скольжения (характеристик) и вычислении значений напряжений а и угла 8 в узлах строящейся сетки.
При превышении предельной нагрузки на балласт возможны следующие случаи потери прочности балластным слоем: потеря прочности в поперечном оси пути направлении, при котором происходит потеря устойчивости откоса балластной призмы; выдавливание балласта в междушпальное пространство. Выполненные в ходе данной работы расчеты по разработанным методикам и алгоритмам показали, что несущая способность балластного слоя при использовании схемы разрушения с выдавливанием щебня в шпальный ящик оказалась в 1,5-2 раза выше, чем по первой схеме.
В связи с этим определим граничные условия только для схемы потери несущей способности балластной призмы, характеризуемой потерей устойчивости откосных частей в поперечном оси пути направлении. Как следует из рис. 2, решение задачи о несущей способности балластного слоя сводится к по-
Рис. 2. Граничные условия и области предельного напряженного состояния
(объяснение в тексте)
строению сетки линий скольжения в области АБСБИОО, т. е. к определению координат узлов (у, г) и вычислению в этих узлах значений о и 5, применяя соотношения (7)-(9). В данной области выделяются несколько характерных зон предельного напряженного состояния, в каждой из которых для решения системы дифференциальных уравнений могут быть использованы различные частные случаи задачи Коши.
Рассмотрим область I. В ней фактический откос с углом заложения Р2 заменен на условный откос с углом заложения а2. Тогда на поверхности условного откоса АО будет действовать пригрузка интенсивностью 23, величина которой может быть определена следующим образом:
0 при у > Ь,
рн -(у - Ь - Ь2 )(а2 - № ) + 23 = +рн • а •
при а + Ь + Ь2 < у < Ь,
рн -(у - Ь - Ь2 )• tgа2 при Ь + Ь2 < у < Ь + Ь2 + а,
Ь = Ь + Ь2 + а + Ь3, Ь = е + Н3 • , ¿2 = Лб • ^р l, Ь3 = Лнас •
S 1 • ö = a2 + —arcsinx 2 2
q3 • sin a2:
x ig, • cos a2 • tg9зп + Сзп - sin ф )
^3 • ^фзп • COsa2 + Cзп)
+ (q, • sin a2 • tgф3п)2
• cos фз
(10)
0 = (СзП + 2з •cosa2 • ^Фзп)2 -(#3 •sina2>2,
здесь фзп и Сзп - соответственно угол внутреннего трения (град.) и удельное сцепление грунтов земляного полотна (т/м 2),
a =
q3 • cosa2 + Cзп • cosфзп • cos(2(8-a2))
1 - sin фзп • cos(2(8-a2))
. (11)
Определив граничные условия на поверхности условного откоса АО, можно решить уравнения (7), (8) во всей области I (АБО). Для этого последовательно вычисляются координаты узлов пересекающихся линий
скольжения и значения функций о и 5 в этих узлах, определяющих предельное напряженное состояние. Двигаясь вдоль каждого семейства линий скольжения, в выражениях (7) и (8) дифференциалы заменяются разностями (рис. 2, справа):
ß1 = arctg
' i Л V mi J
ß2 = arctg
V m2 J
где рн - плотность грунта земляного полотна (т/м 3); а - ширина обочины земляного полотна (м); е - ширина плеча балластной призмы (м); Лз - высота засыпки шпалы щебнем (м); кнасс - высота насыпи (м); Лб - толщина щебеночного балласта под подошвой шпалы (м); т1 и т2 - крутизна заложения откоса балластной призмы и насыпи соответственно.
Зная величину пригрузки q3, можно показать [14], что угол наклона первого главного напряжения 5 к оси У и величина напряжений о в точках, лежащих на поверхности условного откоса, составят
Zi-1,j Zi,j
í
=(yt-1, ¡ - yt, ¡) • tg Si-1, j -- +
П , фз
V j 4 2 J
Zi,j -1 zi,j = (y,j-1 - y,j) • tg (s,j,1 + П-ф^
J
(12)
(13)
Решая совместно линейные уравнения (12) и (13), легко определяются координаты узла (уг у, г1 у). Аналогичным образом в каждом узле можно рассчитать и значения функций оi и 5г- ^, заменяя в уравнениях (8) полные дифференциалы их конечными разностями:
x
(а-1, j -а-, j) -
- 2 -ai-1, j • ^Фзп • (Si-1,j "5iV ) =
= РзП + Рп • «z (У, Z) |х (14)
\ g J
x((Zi-1,j - z-,j) - (y-i,j - yf,j) • ) +
+ . «y (y, z) • ((y-1,j - y,j )+ g
+( zi-1, j- zi, j) • ШпХ
(ai,j -1 -ai,j)+2 -aij-1x x ^Фзп • (Si,j-1 -Si,j ) =
f Р ^ = Рзп + ~ • «z (y, z) x
l g J (15)
x ((Z, j -1- zi, j) +( yf, j -1- yf, j) • tg9 зп) +
+ . «y (y, z) • ((y,j-1 - y,j ) -g
- ( Z,/-1 - zi,..) • tg93n).
В области II предельного напряженного состояния фактический откос балластной призмы с углом заложения Р1 заменен на условный откос с углом заложения а1. Тогда на поверхности условного откоса ОС будет действовать пригрузка интенсивностью д2:
0 при y > L + L2,
Рщ • y • (a1 - tgß1 ) + рщ •L • tgß1
при L < y < L + l2,
Рщ • y • tga2 + 01 при y < L 91 = К •Р щ ,
02 =
где рщ - плотность сложения щебеночного балласта (т/м 3).
Угол наклона первого главного напряжения 8 к оси У и величина напряжений а в точках, лежащих на поверхности условного откоса ОС, определяются аналогично по фор-
мулам (10), (11), заменяя q3 на д2, а2 на а1,
Фзп на Фщ и Сзп на Сщ (здесь Фщ и Сщ - соответственно угол внутреннего трения и
удельное сцепление (зацепление) щебня).
Дифференциальные уравнения (7), (8) в области II (СОЕ) решаются также методом конечных разностей с использованием формул (12)-(15) при условии, что узлы сетки линий скольжения располагаются на глубине, не превышающей толщину балласта под подошвой шпалы. В противном случае при переходе через границу раздела щебеночный балласт - грунт земляного полотна происходит скачкообразное изменение прочностных характеристик грунта, а функции а и 8 претерпевают конечные скачки и их производные по координатам у и г обращаются в бесконечность. Следуя рекомендациям В. В. Соколовского [7], в данном случае образуются линии разрыва, вследствие чего исходные уравнения могут описать предельное равновесие только до этих линий. Таким образом, требуется установить дифференциальные уравнения линий разрыва, вычислить вдоль них значения функций а и 8 и далее обычным порядком завершить решение дифференциальных уравнений в области предельного напряженного состояния СОЕ. Методика построения разрывных решений изложена в ряде источников, например в [7].
В области предельного напряженного состояния III (СБСЕ) вдоль границ СВ и СЕ известны как координаты узлов линий скольжения, так и значения функций а и 8 в них. Это позволяет, используя уравнения (12)-(15), определить предельное напряженное состояние в области III.
В области IV (ОЕСБ) расчет начинается с вычисления функций а и 8 в особой точке О, где угол 8 скачкообразно изменяется от а1 до п /2. Для устранения скачкообразности равномерно распределим изменение угла а1 по характеристикам первого семейства по формуле
„ п-2-а, .
8,о =—;-11 + а1,
2 - п
где г и п - соответственно порядковый номер и количество характеристик первого семейства, исходящих из точки О.
Можно доказать [7, 14], что напряжения в этих точках определяются следующим образом:
_ Сщ • С°в фщ е2(5,.0 -а1 )фщ
1 - вШ фщ
Дальнейшие расчеты в области IV ведутся аналогично.
В области предельного равновесия V (ОБИ) расчет начинают с точек, лежащих на линии ОИ, на которой г( у _ 0, а 5_п/2. С учетом данного обстоятельства, пользуясь формулами (12)-(15), удается построить решение в области V, определив тем самым величины напряжений о под подошвой шпалы. Тогда предельные напряжения в вертикальной [оz ] и горизонтальной [оу ] плоскостях (несущая способность балластного слоя) можно найти по первым двум формулам системы (5), подставив в них полученное значение предельного давления о, вычисленного вдоль линии ОИ:
z ] _ ои]-ОН •(1 + ^п фщ ) - Сщ • С^фщ, (17)
[оу ] _ о,. у- ОН •(1 - ^П Фщ) - Сщ • с^ф щ- (18)
Найденные по выражениям (17), (18) предельные напряжения позволяют сопоставить их с фактически действующими, возникающими в балластном слое железнодорожного пути, оценив тем самым резерв или дефицит несущей способности.
Заключение
Существенным преимуществом рассмотренного подхода, несмотря на его математическую сложность, является установление формы поверхностей скольжения, базируясь на решении дифференциальных уравнений предельного напряженного состояния, исклю-
чая произвольный выбор кривой обрушения, как это принято в большинстве методов расчета устойчивости откосов (например, в методе круглоцилиндрических поверхностей скольжения). Второе преимущество состоит в возможности непосредственного вычисления несущей способности балластного слоя как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскости, определяемой величиной предельных давлений. В частности, несущая способность в вертикальной плоскости характеризует возможность потери устойчивости откосов, а в горизонтальной - обеспечение устойчивости рельсошпальной решетки против сдвига или выброса пути. Несомненно, что данные результаты обусловливают возможность формулирования как требований к материалу щебеночного балласта, в том числе очищенного машинами глубокой очистки, так и к конструкции балластного слоя на участках с разными условиями эксплуатации.
Библиографический список
1. DIN EN 13450-2013. Aggregates for railway ballast; German version EN 13450:2013. - Berlin; DBAG, 2013. - 34 р.
2. DBS 918061. Technische Lieferbedingungen Gleisschotter. - Berlin: DBAG, 2003. - 31 p.
3. NF EN 13450-2003. Aggregates for railway ballast. - London: BSI, 2003. - 40 p.
4. UIC V19R. Ouvrages en terre et couches d'assise ferroviaires. Paris: Union Internationale des Chemins de fer (UIC), 2008. - 101 p.
5. Ril 820.2010 Grundlagen des Oberbaues Ausrüstungsstandard Schotteroberbau für Gleise und Weichen. - Berlin: DBAG, 1995. - 50 p.
6. ГОСТ V392-2014. Щебень из плотных горных пород для балластного слоя железнодорожного пути. Технические условия. - М. : Стандартинформ, 2015. - 32 с.
V. Соколовский В. В. Статика сыпучей среды / В. В. Соколовский. - М. : Гос. изд-во физ.-матем. лит., 1960. - 241 с.
8. Araya A. A. Investigation of the resilient behavior of granular base / A. A. Araya, M. Huurman,
A.A. A. Molenaar, L. J. M. Houb // Materials and Structures. - 2012. - N 45. - P. 695-705.
9. Indraratna В. Implications of ballast breakage on ballasted railway track based on numerical modelling / В. Indraratna, S. Nimbalkar // 13th Intern. Conference of the Intern. Association for Computer Methods and Advances in Geomechanics. - Sydney, Australia, 2011. - P. 1085-1092.
10. Indraratna В. State-of-the-art design aspects of ballasted rail tracks incorporating particle breakage, role of confining pressure and geosynthetic reinforcement / В. Indraratna, S. Nimbalkar, C. Rujikiatka-mjorn, D. Christie // 9th World Congress Railway Reseach. - 2011. - P. 1-13.
11. Ionescu D. Evaluation of the engineering behaviour of railway ballast: A thesis submitted in fulfilment of the requirements for the award of the degree Doctor of Philosophy / D. Ionescu. - Wollongong, Australia: University of Wollongong, 2004. - 440 p.
12. Kaya M. A study on the stress-strain behavior of railroad ballast materials by use of parallel gradation technique : A thesis submitted to the graduate school of natural and applied sciences of the Middle East Technical University / M. Kaya. - Ankara, Turkey: Middle East Technical University, 2004. - 328 p.
13. Колос А. Ф. Исследование распространения виброускорений частиц балластного слоя в условиях движения поездов с повышенными осевыми нагрузками / А. Ф. Колос, А. А. Морозова // Изв. Пе-терб. гос. ун-та путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2014. - Вып. 2 (39). - С. 29-35.
14. Прокудин И. В. Прочность и деформатив-ность железнодорожного земляного полотна из глинистых грунтов, воспринимающих вибродинамическую нагрузку : дис. ... докт. техн. наук : 05.22.06 / И. В. Прокудин. - Л. : ЛИИЖТ, 1982. - 455 с.
15. Черников А. К. Решение жесткопластиче-ских задач геомеханики методом характеристик : учеб. пособие / А. К. Черников. - СПб. : ПГУПС, 1997. - 191 с.
References
1. DIN EN 13450-2013. Aggregates for railway ballast; German version EN 13450:2013. Berlin, DBAG Publ., 2013, 34 p.
2. DBS 918061. Technische Lieferbedingungen Gleisschotter. Berlin, DBAG Publ., 2003, 31 p.
3. NF EN 13450-2003. Aggregates for railway ballast. London, BSI Publ., 2003, 40 p.
4. UIC 719R. Ouvrages en terre et couches d'assise ferroviaires. Paris, Union Internationale des Chemins de fer (UIC), 2008, 101 p.
5. Ril 820.2010. Grundlagen des Oberbaues Ausrüstungsstandard Schotteroberbau für Gleise und Weichen. Berlin, DBAG Publ., 1995, 50 p.
6. GOST 7392-2014. Sheben iz plotnykh gornykh porod dlya ballastnogo sloya zheleznodorozhnogo puty. Terkhnicheskiye usloviya [State Standard 73922014. Consolidated crushed rock for railway ballast. Specifications]. Moscow, Standartinform Publ., 2015, 32 p. (In Russian)
7. Sokolovskiy V. V. Statyka sypuchey sredy [Loose medium statics]. Moscow, Physmatlit Publ., 1960, 241 p. (In Russian)
8. Araya A. A., Huurman M., Molenaar A. A. A. & Houb L. J. M. Investigation of the resilient behavior of granular base. Materials and Structures, 2012, no. 45, pp. 695-705.
9. Indraratna B. & Nimbalkar S. Implications of ballast breakage on ballasted railway track based on numerical modelling. 13th International Conference of the International Association for Computer Methods and Advances in Geomechanics. Sydney, Australia, 2011, pp. 1085-1092.
10. Indraratna B., Nimbalkar S., Rujikiatkamjorn C. & Christie D. State-of-the-art design aspects of ballasted rail tracks incorporating particle breakage, role of confining pressure and geosynthetic reinforcement. 9th World Congress Railway Reseach, 2011, pp. 1-13.
11. Ionescu D. Evaluation of the engineering behaviour of railway ballast: A thesis submitted in fulfilment of the requirements for the award of the degree Doctor of Philosophy. Wollongong, Australia, University of Wollongong Publ., 2004, 440 p.
12. Kaya M. A study on the stress-strain behavior of railroad ballast materials by use of parallel gradation technique: A thesis submitted to the graduate school of natural and applied sciences of the Middle East Technical University. Ankara, Turkey, Middle East Technical University Publ., 2004, 328 p.
13. Kolos A. F. & Morozova A. A. Issledovaniye rasprostraneniya vybrouskoreniy chastyts ballastnogo
sloya v usloviyakh dvyzheniya poyezdov s povyshen-nymy osevymy nagruzok [The study of propagation of vibration accelarations of ballast granules in conditions of railway operation with high axle loading].
Proceedings of Petersburg State Transport University, 2014, issue 2 (39), pp. 29-35. (In Russian)
14. Prokudyn I. V. Prochnost i deformatyvnost zheleznodorozhnogo zemlyanogopolotna iz glynystykh gruntov, vosprynymayushykh vybrodynamycheskuyu
nagruzku [Lasting and stress-strain properties of clay-pan soil railway roadbed, sustaining vybrodynamic load]: Diss... D. Sci. Eng.: 05.22.06. Leningrad, LII-ZhT Publ., 1982, 455 p. (In Russian)
15. Chernikov A. K. Resheniye zhestkoplasty-cheskykh zadach geomekhanyky metodom kharakteris-tik [The method of characteristics in geomechanics for the solution of plastic-rigid tasks]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 1997, 191 p. (In Russian)
КОЛОС Алексей Федорович - канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой, ко1о$2004@тЬох. га; КОЛОС Ирина Владимировна - канд. техн. наук, доцент, [email protected]; *КОНОН Анастасия Андреевна - канд. техн. наук, доцент, а. [email protected] (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).
