CC BY
31
о.і
о.
Аі ♦ ♦♦
8
List of literature
1. Теория автоматического управления. Книга 1 / [под ред. 2. Коляда А. Ф. Формирование случайных процессов в Me-
B. В. Солодовникова]. - М. : Машиностроение, 1967. - ханических системах : монография / Коляда А. Ф.,
C. 455-537. Шевченко В. Г. - М. : Просвещение, 2008. - С. 14-21.
Одержано 05.07.2011
Коляда О.Ф., Сокол Т.О., Прокопенко Д.С., Ішкова Є.О., Бєженова B.C. Зменшення коливань у машинах безперервної ударної дії введенням нелінійних пружних елементів
У статті розглядається вшив пружних нелінійних характеристик на коливальні процеси в приводах машин, що працюють в ударному режимі, зметою підвищення надійності і довговічності. Показані умови зменшення коливань у приводі.
Ключові слова: привод машини, нелінійні коливання, термін життя.
Коляда А.Ф., Сокол Т.А., Прокопенко Д.С., Пшкова Е.А., Беженова B.C. Уменьшение колебаний в машинах непрерывного ударного действия введением нелинейных упругих элементов
В статье рассматривается влияние нелинейностей упругих характеристик на колебательные процессы в приводах машин, работающих в ударном режиме, с целью повышения его надежности и долговечности. Показаны условия уменьшения колебаний в приводе.
Ключевые слова: привод машин, нелинейные колебания, срок службы.
УДК 631.316.022
Канд. техн. наук 3. М. Шанина, канд. техн. наук Л. В. Гальченко,
канд. техн. наук Л. М. Мартовицкий
Национальный технический университет, г. Запорожье
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ ЗУБЧАТОГО РАБОЧЕГО ОРГАНА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ПОЧВЫ
Предложена математическая модель, которая при определенных условиях позволит разработать зубчатый орган с такой формой рабочей поверхности, который будет удовлетворять агротехническим, технологическим и экономическим показателям при обработке почвы. Получены уравнения, которые описывают поверхность рабочего органа на участках впадин и выступов.
Ключевые слова: зубчатый рабочий орган, почва, выступы и впадины зубьев, логарифмическая спираль, парабола четвертого порядка, математическая модель, матрично-векторное решение.
Плодородие черноземных почв как основного эко- качества обработки почвы является ее крошение. Уро-
номическош ресурса Украины зависит от качества их вень крошения почвы зависит от геометрии рабочею
обработки. Известно, что определяющим критерием органа и от кинематики его движения в процессе ра-
© 3. М. Шанина, Л. В. Гальченко, Л. М. Мартовицкий, 2012
1607-6885 Нові матеріали і технології е металургії та машинобудуванні №1, 2012 1 39
Fig. 4. Relation of amplitude vibrations to polynomial degree
боты. Исследования показали, что геометрия рабочего органа определяет энергоемкость обработки почвы, а также напряженно-дсформированное состояние инструмента во время его работы. С целью удовлетворения вышеизложенным требованиям к обработке почвы был разработан и предложен почвообрабатывающий рабочий орган.
Рабочий орган выполнен в виде блока зубьев (рис. 1), представляющих собой в горизонтальной плоскости впадины, выполненные по логарифмической спирали и выступов, спрофилированных по параболе четвертой степени.
(ШИШ
■и
ISill
Рис. 1. Общий вид зубчатого рабочего органа для обработки почвы
В шризонтально-проецирующих плоскостях сечение зуба представляет собой семейство логарифмических спиралей
-
О)
ще ^ - текущий радиус-вектор; г0 - начальный радиус-вектор;
- коэффициент внутреннего трения;
Н7 _ текущий угол радиуса-вектора спирали. Рабочую поверхность будем задавать кинематически, как траектории движения точек производящей ло-
гарифмической спирали (рис. 2), расположенной в плоскости ОХ2Х3 и совершающей вращательное и поступательное движения.
Геометрию поверхности зубчатого рабочего органа для обработки почвы в общем виде можно представить с помощью матрицы
Ач =
ГДЄ
ап а\2 ап а14А
а2\ а22 а23 а24
а31 аЪ2 а33 а34
0 0 0 1 J
(2)
ап а\2 а13
а21 а22 а23
1^31 а32 а33 J
матрица третьего порядка,
описывающая вращение в трехмерном пространстве; т
(а14,^24,Й34) -составляющие поступательного перемещения.
Вращение точек М{ спирали вокруг оси ОХ3 на
угол а = 90 - у (где у - угол раствора лапы рабочего органа), описывается матрицей вращения
^cosa -sina 0 СЛ sin a cos a 0 0
1 0
0 1
(3)
Координаты текущих точек производящей ло-
гарифмической спирали, определяемые по уравнению
(1), при ф= 45° и \|/ = -45°...50° будут иметь следующие значения (рис. 3)
хр = 0, х^ = Гу sin \\fj ; х% = Гу cos ^.
Координаты текущих точек Мі производящей спирали в декартовых координатах в зависимости от Ч; запишутся в следующем виде
Л =0-
Ч
=ОР~П
У &т\\)і\
с?' = ОР - г„
Гц>1 СОЭ^. (4)
Поступательное перемещение точек на участке впадины или выступа, описывается матрицей пере-
мещения
Ау, —
Д7. \
1 0 0 Дх1 1
О 1 0 Ах^1
О 0 1 ООО
Ах
N.
(5)
где Ах^‘, Ах2‘ , Ах^ - составляющие вектора.
Таким образом, общее перемещение точек производящей логарифмической спирали определится путем скалярного перемножения матриц
А = Ап'Авр =
сова - віпа 0 Дх1
віпа сова 0 Ах;
0 0 1 Ах;
0 0 0 1
NlЛ
1
2
3
)
(6)
Тогда уравнение поверхности зубчатою рабочею органа может быть представлено в виде
Г;=А-Х;
(?)
где XI - координаты текущей точки М, на производящей спирали, определяемые уравнениями (4);
- координаты точек поверхности зубчатого рабочего органа, зависящие от параметра \|/, -производящей логарифмической спирали и величины вектора ОА^ , определяемые положением текущей точки Лг, на впадине или выступе кромки режущего лезвия.
Для участка впадины координаты текущей точки вектора перемещения по логарифмической спирали (рис. 4) определяются по уравнениям
1 +ге1е
IV =/0 ЄЄі,/^Р8ІП0
СОвО;
Ні Л
х3 1 = О,
(8)
где ді =180° - исходные углы;
9,- = 20° + 9,- - координаты точки До);
-’г ^
£ - шаг расстановки зубьев.
1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2012
141
В связи с удлинением логарифмической спирали профиля впадины по оси ОЛ\ вводится коэффициент
1
к =
сова
а преобразование удлинения запишется матрицей
Ау =
епад
(к о о сЛ 0 10 0 0 0 10 у0 0 0 1у
(9)
С учетом уравнения (9) координаты точек вектора поступательного перемещения можно определить
Ах1=Аепад-Х1’
л Д ^
Д х1 1 = кх1 1;
л Д Д
Д х2 = х2 ;
Дх^1 =0.
(10)
Для участка выступа координаты текущей точки (рис. 5) вектора поступательного перемещения по параболе х2 = XI определяются как произведение следующих преобразований:
а) сжатия вдоль оси ОХ2 с коэффициентом Ц , описываемого матрицей
Ас
(\ о о 0Л 0 ц о о 0 0 10 ч0 0 0 1у
б) удлинения вдоль оси ОХ1 с коэффициентом к, описываемого матрицей (9);
в) поступательного перемещения вдоль вектора СО, описываемого матрицей (5).
Тогда общее преобразование параболы опишется матрицей
А * - А ■ А ■ А
^ООЩ п ^у ^СЖ 5
А.
общ.
!'к 0 0 Дх^° ' 0 ц 0 Ах2в
0 0 1 0 0 0
(12)
Координаты текущей точки на параболе будут иметь следующий вид в матричной форме
Ах1=АобщшХ1,
(13)
где X; - координаты точек исходной параболы 4.
х2 = х1 ,
Д X; - координаты точек преобразованной параболы, которые определяются в следующем виде:
Д х1 = кх1 + Д X! = цх2 +1 Д х3 = 0
со
С1 Г)
Ах2 = \хх2 + Ах2
(14)
$й§ймит тРйЬм К» х%{
.сжатт Вт....0Х%_
тт фтш
::1,-!%
/
Рис. 5. Координаты текущих точек N. параболы на участке выступов
Уравнение поверхности зубчатого рабочего органа (7) в матричной форме может быть представлено как
л (
cos а - sin а 0
Уі
sin а cos а 0
У 2 -
Уз 0 0 1
1 J v 0 0 0
1 Ахз 1
N А ( м< Л
х1 '
Ні Мі
2 Х2 1
N м.
х3
J { 1 J
, (15)
ще х^1 ,х^1 ,х^1 - координаты точек производящей спирали;
ч N , ЛГ- л Ы-
А х^ 1, А х2 1, А хъ 1 - координаты точек режущего лезвия.
Данное уравнение описывает поверхность зуба на участках впадин и выступов.
В конечном виде координаты точек поверхности зуба можно записать для участка впадины
ч)+к\
/2 + % cos<
Уі = sin а\ОР - Гу sin \|/
У2 = cos <x(gP - sin )+ re sin 0j;
Уз = ор~ rxVi cosy,-, и для участка выступа
Уі = sin a(oP - Гу sin ці, )+ kxj + A ;
y2 = cos a(oF - sin 14/, )+ |ax2 + Д xP^
(16)
y3 = GP-f4>i C°s \|/;-
(17)
Вывод
Полученная математическая модель (16), (17) для описания поверхности зубчатою рабочею органа позволяет для различных условий с учетом глубины обработки, агротехнических требований к качеству крошения почвы, физико-механических свойств почвы, геометрии режущей кромки и числа зубьев получить семейство зубчатых почвообрабатывающих органов, которые будут работоспособными в конкретных условиях. Формы поверхностей рабочих органов зависят от значений функциональных параметров к, ц, 0, \|/.
Одержано 14.12.2011
Шаніна З.М., Гальченко Л.В.,Мартовицький ЛМ. Математична модель поверхні зубчастого робочого органу для обробки грунту
Запропоновано математичну модель, яка за певних умов дозволить розробити зубчастий орган з такою формою робочої поверхні, який буде задовольняти агротехнічним, технологічним та економічним показникам при обробці грунту. Отримано рівняння що описують поверхню робочого органу на ділянках западин і виступів.
Ключові слова: зубчастий робочий орган, почва, виступи і западини зубців, логарифмічна спіраль, парабола четвертого порядку, математична модель, матрично-векторний рішення
Shanina Z., Galchenko L., Martovitski L. A mathematical model of toothed labor body for soil treatment
A mathematical model that under certain conditions gives possibility to develop toothed body with such form of working surface, which will meet the agro-technical, technological and economic indices in soil was proposed. The equations that describe working body surface in the areas of depressions and protrusions was received.
Key words: toothed working body, treated soil, protrusions and depressions of the teeth, logarithmic spiral, parabola of the fourth-order mathematical model, matrix-vector solution.
ISSN 1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2012
143
