CC BY
65
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVI 1985 М2
УДК 533.6.07 : 62—52
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В КОМПРЕССОРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ТРУБАХ
В. А. Лебсак, О. В. Лыжин
Приведена обобщенная математическая модель, описывающая переходные процессы в до- и сверхзвуковых компрессорных аэродинамических трубах, вызванные изменением режима работы трубы. Показано, что результаты расчетов по предлагаемой модели хорошо согласуются с экспериментальными данными.
При создании автоматических систем современных аэродинамических труб, надежно и стабильно управляющих всем циклом работы, используются методы математического моделирования и расчета систем на вычислительных машинах. Математическая модель должна с необходимой точностью отражать все основные динамические явления, имеющие место в процессе управления аэродинамической трубой. Показатели точности моделирования должны быть обязательно увязаны с частотным диапазоном происходящих в трубе процессов. В компрессорных аэродинамических трубах частоты от 0 до 20 Гц характеризуют степень динамичности подавляющего большинства нестационарных явлений, вызванных функционированием систем автоматического управления. Поэтому в настоящей работе не ставится задача моделирования очень быстрых и очень медленных процессов, таких, например, как акустические и упругие колебания элементов или изменение параметров по мере выработки ресурса.
При математическом моделировании переходных процессов в газодинамическом тракте экспериментальных установок используются различные методы решения уравнений, описывающих течение газа. Так, например, в [1—4] для анализа устойчивости систем, содержащих компрессор, использовалась теория малых возмущений. В этих работах элементы системы заменялись эквивалентной схемой с сосредоточенными параметрами, осредненными по объему выбранных элементов. Динамические свойства такой системы в силу предположения о малости отклонения параметров от их стационарных значений описывались линейными уравнениями.
В работе [5] в соответствии с основными идеями метода конечных элементов построение математической модели сводится к дискретизации области интегрирования на конечные элементы по пространствен-
ной координате, выбору локальных функций, аппроксимирующих решение на конечных элементах, и нахождению коэффициентов этих функций. Такой метод позволил свести систему уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Наиболее полная модель течения газа получается при использовании уравнений в частных производных. Для расчета одномерных нестационарных вязких течений идеального газа с постоянной удельной теплоемкостью применяется метод характеристик [6—8], преимущество
Рис. 1
которого над другими методами состоит в относительной простоте постановки граничных условий. Если имеет место взаимодействие скачков уплотнения, усложняющее расчетную схему метода характеристик, то применяют другие конечноразностные методы, например, метод сквозного счета [9, 10]. Однако из-за ограниченности вычислительных ресурсов ЭВМ едва ли можно создать практически полезную математическую модель автоматической системы управления аэродинамической трубы, имеющую в своем составе модель объекта управления в виде системы уравнений в частных производных. Так, например, расчет только одного варианта нестационарного процесса в трубопроводе двигателя внутреннего сгорания занимал 45 минут на машине М-222 [8]. Поэтому уравнения в частных производных используются в основном для качественных исследований переходных процессов и для оценки точности более простых моделей.
При исследовании динамики работы газотурбинных двигателей было показано [И, 12], что хорошие результаты получаются, когда газовый тракт двигателя заменяется дискретной моделью, состоящей из активных дисков и объемов с сосредоточенными параметрами, что эквивалентно замене действительного распределения параметров потока вдоль газового тракта кусочно-постоянной аппроксимацией с введением сильных разрывов на границах моделируемых участков. Аналогичный подход используется и при составлении математической модели компрессорной аэродинамической трубы.
Аэродинамическая труба (рис. 1) представляет собой замкнутый трубопровод, заполненный газом, движущимся под действием перепада
давлений, создаваемого с помощью компрессора. При поддержании стационарного течения в поток необходимо вкладывать энергию, пропорциональную расходу газа и потребной степени сжатия трубы е=
— \/п\и где Л>г= (Ровых/Ро вх)г — КОЭффИЦИвНТ ВОССТаНОВЛвИИЯ ПОЛНОГО
давления, характеризующий потери давления в г-м элементе и равный отношению полного давления на выходе из рассматриваемого элемента к давлению на входе. Расчет коэффициентов восстановления производится методами стационарной аэродинамики [13] или с помощью аналитических зависимостей, аппроксимирующих экспериментальные данные.
Основные уравнения динамики получаются в предположении, что параметры газа в отдельных элементах трубы переменны по времени, но одинаковы во всех точках рассматриваемого элемента. Так как время изменения параметров газа в отдельных элементах (например, в форкамере или в камере давления) примерно на два порядка больше времени распространения возмущений давления, то такое предположение может быть принято.
Поэтому законы сохранения массы и энергии, записанные в интегральной форме [14] для идеального газа, подчиняющегося уравнению Клапейрона, при отсутствии внутри выделенного элемента источников массы и энергии, могут быть преобразованы к виду [15]
(1р ЯТ /Л /> Ч | Р &Т 1^/? ГГI \
^ -' у~ (.^вх '-'вых/ “I р ^ =5= у~ 1^вх * вх '“*ВЫХ * ВЫХ/1
йТ __ъЯТ гр _р т \ К?2 (П __П \_
(11 - рУ Ч^ВХ * вх ^вых * ВЫХ/ р у 1^вх ^вых/
= х) овых Т + Овх (хГвх - Т)].
Здесь £ —время, V — объем элемента, б — массовый расход газа, р — давление, Т — температура, I? — газовая постоянная, х — показатель адиабаты, «вх» и «вых» — индексы, соответствующие входному и выходному сечениям.
Источники массы и энергии могут быть помещены в сечение разрыва, через которые происходит перетекание массы С и энергии 6Г от элемента к элементу.
В общем случае изменение режима течения в трубе может происходить из-за изменения углов установки направляющих аппаратов компрессора, частоты вращения ротора компрессора, сопротивления модели (например, угла атаки), площади критического сечения сопла, угла установки перфорированных панелей рабочей части, а также проходных сечений дросселей, установленных в трубопроводах, соединяющих контур трубы с емкостями с повышенным (пониженным) давлением и с компрессором принудительного отсоса газа из рабочей части.
При написании математической модели трубы были использованы следующие допущения:
— объемы рабочей части, холодильника и компрессора пренебрежимо малы по сравнению с другими объемами трубы;
— разница между статическими параметрами и параметрами торможения воздуха в форкамере, в прямом и обратном каналах и в камере давления пренебрежимо мала;
— температура воздуха на выходе из холодильника постоянна;
— все параметры участка от компрессора до сопла по потоку сосредоточены на выходе из компрессора, а все параметры участка от компрессора до сопла против потока — в рабочей части; возмущения
давления из одного сечения в другое распространяются со скоростью, равной алгебраической сумме скорости звука и скорости потока, что приводит к появлению транспортных запаздываний в передаче возмущений параметров между выделенными участками;
— компрессор отсоса регулируется таким образом, что обеспечивает постоянную степень сжатия;
— при работе с автоотсосом имеет место запирание течения в горле диффузора, что позволяет для расчета автоотсоса использовать видоизменение модели предельных режимов Г. И. Таганова [16];
— в трубопроводах установлены дроссели с кольцевой щелью [17].
В приведенных ниже уравнениях и на рис. 1 приняты следующие
обозначения:
VI, тр. т, V2 — коэффициенты восстановления давления, соответственно, от компрессора до критического сечения сопла, от критического сечения сопла до выхода из диффузора (рабочего тракта) и от критического сечения сопла до входа в компрессор;
'Уд 1, \Д2, "Удо — коэффициенты восстановления давления, соответственно, в дросселе наполнения, в дросселе сброса и в дросселе отсоса;
0Д1, бд2, бдо, бщ, б*, бх — массовые расходы воздуха, соответственно, через дроссель наполнения, дроссель сброса, дроссель отсоса, щель между панелями рабочей части и диффузора, критическое сечение сопла и холодильник;
бк, бк. р, бп. к — массовые расходы воздуха на выходе из компрессора, в рабочей части и через компрессор, приведенный к нормальным (атмосферным) условиям;
М, Я — число Маха и приведенная скорость течения в рабочей части;
р — статическое давление в рабочей части;
РФ. п — давление в форкамере, приведенное к выходу из компрессора;
Рф — давление в форкамере;
Рс — давление сброса, рс = Ратм ИЛИ Рс = Рв. е!
Ратм —атмосферное давление;
Рв. е — давление в вакуумной емкости;
рг — давление в газгольдерах наполнения;
р3 — полное давление на входе в компрессор;
^ДЬ ^Д2, ^Д. О) ^ тр 1> Р тр 2, ^тр. о, ^р. ч, -Р* , -Рд, — площади про-
ходных сечений, соответственно, дросселя наполнения, дросселя сброса, дросселя отсоса, трубопровода наполнения, трубопровода сброса, трубопровода отсоса, рабочей части, критического сечения сопла, щели между панелями рабочей части и диффузором, диффузора и площадь регулируемой панели рабочей части;
Ащ 1, А,щ2, Ащ. о, Ль 1/2 ь — приведенные скорости в щели дросселя наполнения, дросселя сброса, дросселя отсоса, в щели между панелями рабочей части и диффузором, в трубопроводах за дросселями и в сечении запирания диффузора;
Уг, Ув. е, Vь V2, Уф, Ук. д — объемы, соответственно, газгольдеров наполнения, вакуумной емкости, участка между компрессором и холодильником, прямого канала, форкамеры и камеры давления;
Гг, Ти Тх, Тф, Та, Тк — температура воздуха, соответственно, в газгольдерах наполнения, на участке между компрессором и холодильником, на выходе из холодильника, в форкамере, на входе и на выходе из компрессора;
як, як. о — степень сжатия основного компрессора и компрессора отсоса;
п — частота вращения основного компрессора; фн. а — угол установки направляющих аппаратов компрессора; и, г=1,...,6 — функциональные зависимости, аппроксимирующие соответствующие стационарные характеристики для компрессора и трубы;
Ть т2, Тз — время транспортного запаздывания на участках, соответственно, от выхода из компрессора до рабочей части по потоку, от входа в компрессор до рабочей части против потока и от рабочей части до входа в компрессор по потоку; а — угол атаки модели;
ап— угол установки регулируемых панелей рабочей части; к0 — коэффициент отсоса газа из камеры давления;
<?(Я), р(Я), Т(Я), Z(Я) —стандартные газодинамические функции
114].
Полная математическая модель до- и сверхзвуковой компрессорной трубы имеет вид:
тр1> ^щг == ^дг/^трг. ^"щ. о = ^"д. о/Гтр. о!
*д. 1 — Рф- п!(Рг ^1)» V, 2 = Рс/Рф. п > V о = Рф ^р. т/(Ртек. о).
2(х2г)+ [г (к
[го*) Iя-
2х
1
■ь
2х
1 X ------------ 1
1/
я (*. |)=Дц 14 (К,) *дг, г (Г2г) = Л- (Л- + Л,
*+ 1V/щ ( /
если уд/</7щ</^(Х2/), то г == <7(Хщг)= 1, г = 1, 2, 0;
Л 0,0402рг в _п ч ^ 0,0402рф п и ^ ч
^Д1 1/~Т~ < 1?( иц)> Од2 - д 2 Я ( Щ 2))
У Гг 45 у 7\
п 0,0402р с- \ 0,0402р ,, ч
0~09 щ"7р1) ’?М;
а
0,0402 рф •
р. ч •
р. т
Ор. Ч =
УТф 0,0402рф т
У% '
/у ч Я 00 — ПРИ автоотсосе,
/V ч <7(1Д)(1 — А0), 60 = Од. о/б*
при
принудительном отсосе;
0,0402рф
о.м------—=
УТф
мах, < Рр. ч и Х^ = 1 — на сверхзвуковых режимах;
Ч М />„.
Р*Я(Ю> ^* = ^р.ч и X* = >• - на дозвуковых режи-
звуковых р
-^(^ = 0,
Гд — /"щ Я (^1)
г(X)_г(Ь) + Р*!Р^~чоу{,) М-2]=о, = ч + 2 (ГР. ч — Гп) tg ап;
^ = Рф. п/(у1 М Оп.« = /іК. «1/288/Гз, <рн>а),
7'й=/2(^п. к, я 1/288/Гд, <р„ а);
уі=/з(м). '^ = Л(М, ^р.т). V т==/б(^с'щ> а> М) — при автоотсосе, ур.т=/6(А0, а, М) —при принудительном отсосе;
„ „ р, і /"Ш
бк = б,,, к ІЩІ00 р "т^-- на дозвуковых режимах, бк = [бп. к/би. к(£— -с3)] [бр, ч + Т (X) б0] — на сверхзвуковых режимах;
бк. р — Gn. к (t — т2) J0330Q |/"
288
Гз
% = - бл t ягг/ Vr, = од 2 x/?rt/KB
<*РФ. п xR (Gll V Tt + GkJ^-Tk- Ga2Tk-G* Тф dt Уф — ІЛ [7х(^і 't)l
Gas^r + GK Гк-бдз?! ^Рф.п І/,
Tj •л/?7'і vj ’
dT1 _ Тх _ JL) + [Ок (TK-TJ + G^jTr-TMRTru
М dt Рф. п \ * / У\Рф. п ’
Т - |(0-Т*- 0- 7•>‘ +(0--°*>Т*1;
^ф._ ^п.____________(П _п . «А> .
Л а Рф.п ^ и*'рф.пУф'
dp (С* Гф — Ок. р Г3)
^ = _Т^ЖГ_на дозвуковых режимах,
~£г== и~~~ [^* ~ ^р- ч — Т (Х)00] — на сверхзвуковых режимах;
*К. Д
00 —Од. о —при автоотсосе, 00 = бщ — при принудительном отсосе Рг=Рф.а(*-Ъ — ^зК(^-^з), />ф~/>ф.П(*“
М
1-х
(Р/Рф) х ■
Все размерные величины и коэффициенты в уравнениях приведены в системе СИ.
Фигурными скобками обозначены системы уравнений для нахождения приведенной скорости В щели дросселя Ящг и в щели между панелями рабочей части и диффузором Ki. Для их решения составляются отдельные подпрограммы. Отдельные подпрограммы составляются также для расчета функций fi + fe- Расчет функций fi-r-fi можно производить либо по методике [13], либо с помощью аналитических зависимостей, аппроксимирующих экспериментальные данные. Для нахождения значений коэффициентов сопротивления рабочего тракта (зависимости /5 и fe) можно использовать экспериментальные данные из работ [18, 19].
Значения функций запаздывающего аргумента Gn,K(t—т2),
p{t—Тз), va(^—Тз), Рф. п(/—ti) в процессе расчета запоминаются в специальных буферных массивах.
Оценка достоверности математической модели проводилась путем сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными. На рис. 2 приведен пример переходного процесса, вызванного изменением угла установки направляющих аппаратов компрессора фн. а-Сплошными кривыми показаны результаты эксперимента, кружочками — результаты расчетагПодобный же вид имеют кривые переходных процессов, вызванные изменением угла атаки модели а и режима отсоса газа из рабочей части Гд. о. Предлагаемая математическая модель описывает экспериментальные данные с максимальной ошибкой, не превышающей 1,5%.
рф10~f Па
IW
108
м
-
~ 3
0,75 - г
1
- о-
0,70 L
L -Л
I
5
Рис. 2
10
t,c
Проведены расчеты переходных процессов, вызванных ступенчатым изменением различных управляющих параметров (фн. а, п, а, ь ^д2, FK. о, -F*, ап). Анализ результатов расчетов показал, что качественное поведение кривых полностью соответствует физическим закономерностям переходных процессов. Из расчетов также следует, что температура газа в элементах тракта трубы во время переходных процессов меняется мало. Поэтому во многих случаях математическая модель может быть упрощена за счет введения следующих допущений: T^ = TVr 7'з = 7'х=7’ф = const. Получаемая при этом ошибка не превосходит 1%. Переходные процессы, рассчитанные по упрощенной модели, могут быть аппроксимированы апериодическими звеньями I порядка.
Предлагаемая математическая модель может быть использована при расчетах систем автоматического управления аэродинамических труб и при планировании экспериментов в трубах. Рассчитанные с помощью данной модели регуляторы скорости газа в дозвуковой трубе и числа М в трансзвуковой трубе обеспечивают заданную точность регулирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Локштанов Е. А. Сосредоточенные параметры, характеризующие динамические свойства элементов систем с движущейся сжимаемой средой. — В сб. Лопаточные машины и струйные аппараты.—М.: Машиностроение, 1966.
2. Локштанов Е. А., Ольштейн Л. Е. Применение энергетического метода для анализа устойчивости газовых систем с компрессорами.— В сб. Лопаточные машины и струйные аппараты.—М.: Машиностроение, 1966.
3. С т е п а н о в И. Р., Чудинов В. И. Некоторые задачи движения газа и жидкости в каналах и трубопроводах энергоустановок. — Л.: Наука, 1977.
4. Ш е в я к о в А. А., К а л н и н В. М., Науменкова Н. В., Дятлов В. Г. Теория автоматического управления ракетными двигателями. — М.: Машиностроение, 1978.
5. Скворцов Ю. А. Конечно-элементная математическая модель газотурбинного двигателя в нестационарном потоке. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 1.
6. Carr ii ere P. The injector driven tunnel.—AGARD R—600, 1972.
7. F r 6 n e r M. Characteristikenverfahren zur numerischen Losung einer Aufgabe der instationaren Gasdynamik.—Wissenschaftliche Zeitschrift der technischen Hochschule Karl—Marx—Stadt. 1978, Jahrgang XX, H, 6.
8. Рындин В. В. Математическое моделирование нестационарного потока во впускном трубопроводе ДВС. — В сб. Математическое моделирование нестационарных процессов. Алма-Ата, КазГУ, 1982.
9. Г р и н ь В. Т., Иванов М. Я., К р ай к о А. Н. Исследование динамики течения торможения идеального газа с замыкающим скачком уплотнения. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 4.
10. Г р и н ь В. Т. К построению математической модели силовой установки ВРД для исследования нестационарных режимов. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VII, № 6.
11. Jansen W., S warden М. С., Carlson A. W. Compressor sensitivity to transient and distorted transient flows.—AIAA Paper, N 670, 1971.
12. S u g і у a m a G., H a m e d A., T a b a k о f f W. A study on the mechanism of compressor surge due to inlet pressure disturbances. — AIAA Paper, N 246, 1978.
13. Лебсак В. А., Лыжин О. В., Лунев А. А., Пасова 3. Г., С е н и н В. Г., Тихонов Ю. В., Т о л м а ч е в А. Н. Автоматизированный расчет стационарных характеристик трансзвуковых компрессорных труб. — В сб. III Всесоюзная школа по методам аэрофизических исследований, т. 2. — Новосибирск, ИТПМ, 1982.
14. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.— М., Наука, 1965.
15. Лебсак В. А., Лыжин О. В., Новиков С. М., С а я п и-н а С. И. Математическое моделирование переходных процессов в аэродинамических трубах. — В сб. III Всесоюзная школа по методам аэрофизических исследований. — Новосибирск, т. 2, ИТПМ, 1982.
16. Гродзовский Г. Л., Никольский А. А., Свищев Г. П., Таганов Г. И. Сверхзвуковые течения газа в перфорированных границах.— М.: Машиностроение, 1967.
17. Лыжин О. В. Дроссельные устройства аэродинамических труб периодического действия. — Труды ЦАГИ, 1957, вып. 699.
18. Лыжин О. В., Пасова 3. Г. Экспериментальное исследование расходного диффузора трансзвуковой аэродинамической трубы. — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 4.
19. Борисов С. Ю., Искра А. Л., Лыжин О. В., Пасова 3. Г. Экспериментальное исследование трансзвуковой аэродинамической трубы с отсосом при различных углах установки перфорированных панелей рабочей части. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 4.
Рукопись поступила 11IX 1983
