Математическая модель оценки рисков в процессе межфирменного взаимодействия предприятий машиностроительного комплекса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКОНОМИКА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОМ

ПРОИЗВОДСТВЕ

658.5

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ РИСКОВ В ПРОЦЕССЕ МЕЖФИРМЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОГО КОМПЛЕКСА

осп. E.H. ГОРЛАЧЕВА

Рассмотрены риски, возникающие при выполнении высокотехнологичного проекта. Показано, что межфирменное взаимодействие предприятий машиностроительного комплекса позволяет снизить риски. Предложена математическая модем, оценки рисков высокотехнологичного проекта при его выполнении группой предприятий машиностроительного комплекса.

Практика показывает, что неопределенность и риск при производстве нового изделия очень высоки. Около 90% технологических разработок, основанных на результатах ПИОКР различных предприятий, никогда не становятся коммерческим проектом. Риск, связанный с НИОКР, может быть в высокой степени распределен. Непонимание этого фактора и обусловливает существующее предубеждение против проектов ПИОКР. Менеджеры также могуч воздействовать на уровень риска, влияя на распределение денежных поступлений от проекта. К сожалению, многие проекты рассматриваются только с позиции наиболее вероятных оценок денежных потоков, когда игнорируется асимметрия или перекос окупаемости. Такая практика занижает оценку истинной стоимости проекта на тех стадиях, когда будущие действия руководства могли бы увеличить прибыли или снизить возможные потери. Таким образом, оценка риска -это точечная или интервальная оценка вероятности, по статистическим данным или экспертным способом. В таком, случае для управления риском задают ограничения на вероятность нежелательных событий.

Методы оценки риска основываются на методах математического моделирования. Широко применяются два вида методов - статистические, полученные путем использования эмпирических данных, и экспертные, опирающиеся на мнения и интуицию специалистов.

Проблема управления рисками существует во всех секторах экономики, однако наибольшую актуальность данная проблема имеет в машиностроительной отрасли, так как высоки риски инвестирования в промышленное производство. Несмотря на большое количество работ "освященных проблемам рисков 11-4]. в них в должной мере не рассмотрены конкретные методы комплексной оценки рисков на этапах проектирования новых изделий. В настоящей работе

предложена методика оценки риеков проекта, основанной на теории вероятностей и теории графов.

Рассмотрим момент, когда в процессе технологических инноваций следует принимать решение, исходы которого 0/ принадлежат множеству Q, т. е. 0( е Q. Например, выбор технологии из двух или более возможных. Доходы и издержки могут быть описаны лишь вероятностно [51. 11усть Р - данное вероятностное распределение параметра © . I !ри всяком решении del) средний ущерб p(P,d) называемый риском (d - отдельное решение, d е D ), определяется следующим образом:

p(P,d) = ¡L(®.d)dP(Q). (2.33)

о

Известно, что для всякого распределения Р параметра С-) байесовский риск р (Р) определяется как точная нижняя грань риска p(P.d^ по всем решениям d е D

р (P) = Mp{P,d). (2.34)

Соответственно каждое решение с/ , риск которого равен байесовскому риску, называется байесовским решением, причем всякое байесовское решение будет оптимальным для лица принимающего решение, поскольку при этом риск минимален [5]. В принципе, возможно, что пи одно из решений из множества D не будет байесовским, т.е когда нижняя грань в (2.34) не достигается ни при каком решении с! е I). В этом случае следует выбирать решение d е D. для которого риск р[Рл!) мало отличается от байесовского, т.е предполагается, что для всех

рассматриваемых Р байесовский риск р (Pj достигается для некоторого решения d е D .

Учитывая, что принятие решений проводится на основе компьютерного эксперимента, такое допущение справедливо. В самом деле, если известны вероятности

.....до °|1ЫТа (априорно) и требуется определить апостериорные вероят-

{

ности. представляющие собой условные вероятности Р у^ LP уд l,...,/5 у , причем

VI р(ВгЛ »|Ч

v

событие А появляется совместно с каким либо из полной группы несовместных событий, используют формулу Байеса:

Р

(в,Л. "{В']ГА

\

^ —А , , v .л <235>

1ЖИ

Однако, для того что бы оценить риск на каждом из этапов, необходимо провести квалификацию рисков, оценку каждого из них, определить взаимосвязь, а затем оценить суммар-

ный риск, для этого можно использовать методик}' приближенного определения условной вероятности коррелированных случайных величин, приведенную ниже.

Проанализируем процесс разработки и производства некоторого высокотехнологичного наукоёмкого изделия. Для реализации тгого проекта, реализуемого в рамках созданного стратегического альянса нескольких предприятий, потребуется использование т предприятий, обладающих п технологиями, реализуя отдельную часть проекта, а сам проект характеризуется п рисками, которые представляют собой множество случайных величин, в общем случае коррелированных между собой. С учетом высокой рискованности реализации наукоёмких проектов проблема определения его риска очень актуальна. Однако па пути ее решения возникает ряд существенных затруднений: основное — это отсутствие математических моделей для рисков конкретных проектов. Для того, чтобы управля ть рисками, надо знать цель управления и имел» возможность влиять на те характеристики риска, которые определяют степень достижения необычно можно выделить множество допустимых управляющих воздействий, описываемое с помощью соответствующего множества параметров управления. Тогда возможность влия ть на те характеристике риска, которые определяют степень достижения цели, формализуется как выбор значения управляющего параметра. Основная проблема - корректная формулировка цели управления рисками. Поскольку существует целый спектр различных характеристик риска (например, если потери от риска моделируются случайной величиной), то оптимизация управления риском сводится к решению задачи многокритериальной оптимизации. На практике ведется, как правило, оценка отдельных рисков и затем делаются выводы, которые имеют весьма субъективный характер.

Рассмотрим способы оценки и снижения рисков высокотехнологичных проектов в предположении, что для каждого из рисков могут быть найдены функции распределения плотности вероятности его параметров и из условий возможности выполнения проекта определены области допустимых значений, в которых должны находиться параметры этих рисков. Для этого необходимо провести: 1) оценку вероятности общего риска наукоёмкого высокотехнологичного проекта, учитывающая, что проект — единая система с взаимно влияющими параметрами технологических процессов для т предприятий, необходимых для реализации проекта в целом; 2) поиск такого сочетания входящих технологий, чтобы риск реализации проекта был минимален, а прибыль от него максимальна.

Для решения второй задачи можно использовать стандартные методы, а решение первой задачи рассмотрим подробнее.

Представим проект как некоторое множество технологий стратегического альянса предприятий, характеризующихся рисками. Системой подмножеств 0 множества <Л будем считать подмножества, образованные случайными рисками для одного предприятия. Относительно структуры этой системы сделаем следующие предположения:

№ 8

2008

1) если А\, Аг — произвольная счетная последовательность множества из 9. то их сумма

/ 'Г.

У А, и пересечение Р)Л, также принадлежат 0: 2) наряду с каждым множеством А система О ы <1

содержит и его дополнение А.

Любой высокотехнологичный наукоёмкий проект характеризуется набором некоторых базовых технологий для реализующих его предприятий, значения рисков реализации, которых задаются совокупностью составляющих рисков для отдельных частей, которые реализуются выбранными предприятиями, т. е. совокупностью подмножеств А,...А, множества П. Так как отдельный риск у, определяется отношением в новом множестве О,, состоящем из подмножеств А,...А,, представим его в виде вершины этого множества (на рис. 1. а вершины обозначены кружками). |6]

Количество множеств Д зависит от количества рисков проекта. Они могут пересекаться и объединяться. Для проекта, выполненного на одном предприятии, все множества Д будут пересекаться. по крайней мере, но двум подмножествам: оборудованию и персоналу, т. е. все множества Д толерантны.

Введем определение: объединением множеств Д будет являться множество П. Данное определение следует из того, что проект не имеет рисков, не влияющих на его экономические и технологические характеристики.

Условия выполнения высокотехнологичного проекта накладывают на его риски v¡ ряд ограничений: риск должен находиться в некотором интервале значений, т. е. соответствовать полю допустимых значений; несколько рисков должны соответствовать друг другу при заданных ограничениях на границы соответствия.

У?

Рис. I. Формализованное представление объекта

№ 8 200Н

Так как £2 является объединением А„ образованным случайными входящими рисками, риск, определенный элементами множества £2,. также является случайной величиной. Поэтому мерой соответствия условиям выполнения проекта явится вероятность их выполнения в вершине множества £2„ которая будет зависеть от элементов множес тва £2, и наложенных ограничений.

Первое условие функционирования (рис. 1. б) представим вершиной /ъ. второе — как совпадение Л/, />.; вершин множеств. Если множество £2, имеет несколько п вершин, то его можно рассматривать как п полностью совпадающих множест в, на вершины которых наложены соответствующие ограничения.

Соответствие вершин множеств удобно записать в виде матрицы. Для этого вершины множеств О,- запишем в строках и столбцах так. чтобы в каждом классе соответствия принадлежащие ему вершины стояли рядом. Тогда единичные элементы матрицы образуют непересекающиеся квадраты, диагонали которых расположены по главной диагонали матрицы.

Так, для случая соответствия, показанного на рис. I б, матрица соответствия имеет вид:

V,

'I

У\

X. У* Лг, г? У*

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

У 2 1 1 1 V, 1 1 1

уА О О О

у$ 0 0 0 0 1 111

у() 0 0 0 0 1111

уп 0 0 0 0 1111

Vjj 0 0 0 0 1111

Целесообразно отметить, что получено дискретное пространство событий, характеризующее условие выполнения высокотехнологичного проекта. События, образующие дискретное пространство, характеризуются условиями соответствия рисков проекта: событие h, — риск у, находится в некотором заданном интервале значений (соответствует допустимому значению); событие bj параметры у,.....ук соответствуют друг другу, т. е. имеют вероятностную меру.

Граф этой матрицы, т. е. граф соответствия, представлен па рис. 1, а.

В дальнейшем изложении объединения вершин h,. b2l... h, будем называть узлами. При определении вероятностной меры выполнения событий h, и h, для каждого узла необходимо учитывать. что риски, объединяемые в узлах, в общем случае связаны через подмножества базовых технологий, т.е. вероятность выполнения условий функционирования в узле при количестве объединяемых вершин, большем или равном двум, будет условной вероят ностью:

r(bh)=P(y,)PMPhJyi)ruil,AyA

Поскольку предполагается, что безусловные функции распределения рисков известны (например. статистически измерены), для определения условной вероятност и работоспособности в

№ 8

2 ООН

узле необходимо найти связь между условной и безусловной вероятностью выполнения условий работоспособности для каждой вершины, входящей в узел.

Рассмотрим решение этой задачи. Из совокупности рисков, характеризующих высокотехнологичный наукоёмкий проект, реализуемый при межфирменном взаимодействии предприятий, выделим риск у/, па который задан допуск ±Д.)•=/) (например, риск выхода за поле допуска основного параметра изделия), а множество вершин графа соответствия преобразуем в упорядоченное. При этом не существенно, в каком порядке они будут пронумерованы, важно, чтобы нумерация сохранилась неизменной на протяжении всего рассмотрения. Считая известными безусловные функции распределения рисков в вершинах графа соответствия, найдем на их основе условные функции распределения. Пусть заданы безусловные функции распределения IV(у О и IV(у±) в первой и второй вершинах и известна область допустимых значений .у', в которой удовлетворяются условия выполнения высокотехнологичного наукоёмкого проекта. Границы области (рис. 2) записываем как функцию Дили 1)/(у?).

Рис.2. Законы распределения и область выполнения для двух базовых технологий высокотехнологичного проекта 11етрудно показать, что

¡Р(У,)<*У

(2)

откуда

Ц>\уг1ух)=Кг{у2-О^У(у2)-

Щу, /у2) = А-:(.у,;О2)^00-

№ 8

2008

Нахождение функций распределения условных вероятностей для всех вершин относительно исходной №(у21у\): \¥(уу1у,)... >'„ / V,) посредством Кг_. К^. ... Л*,,, удобно представить в виде связанного подграфа рис. .3.

Вершинам сопоставим безусловные функции распределения плотности вероятности по соответствующему электрическому параметру у,, а ребрам придадим вес функции связи К,. Так-как этот подграф содержит все вершины, но не содержит контуров, он является деревом с корнем у г, а дерево содержит все вершины графа, поэтому оно является покрывающим деревом или остовом. Нетрудно заметить, что покрывающее дерево образуют только ребра, исходящие

из у/ вместе с инцидентными им вершинами. Для других вершин Ло.....у„) аналогичные деревья.

образованные исходящими ребрами, не будут покрывающими, что следует из понятия условной вероятности.

Из свойства (2) функции связи видно, что ребра подграфа ориентированы, их началом является исходная вершина, а направление определяется индексами вершин - Кп. Кц.....К/„. Данное дерево является подграфом полного графа, характеризующего выполнение высокотехнологичного наукоёмкого проекта, количество вершин п которого соответствует числу рисков, а число ребер равно I/2п(п - 1). В качестве примера для наглядности ограничимся пятью вершинами (рис.4).

Рис.3 Связанный подграф у па

Рис. 4. Граф выполнения ПЫСОКОТСХНОЛО! ичнош м рое юн

Граф характеризует определенные функции распределения плотности условной вероятности выполнения проекта по рискам. Для определения направлений ребер графа воспользуемся понятием направленного контура, под которым будем понимать контур с вершинами, помеченными индексами, которые соответствуют направлению и порядку обхода. Для каждой вершины ребра ориентированны гак, что имеют начато во всех ранее пройденных, а конец - в рассматриваемой вершине. Это условие определено понятием условной вероятности.

Для исходной вершины у\ вероятность выполнения проекта (безусловная) определяют из функции распределения плотности вероятности у| и условий выполнения проекта. Для других вершин функция распределения плотности условной вероятности — это произведение функции распределения безусловной вероятности в вершине на функции связи, соответствующие ребрам, концы которых совпадают с вершиной, имеющим направление к вершине, т. е. инцидентным ей,

вершины

/-> ту о

//-> Щуг)К12

111 -» ту1)К,зКи (4)

IV-у ту,)КыК2Ж.и У^ 1У(У5)К,5К25К35К45 11-1

/7-я -> Кпш, если /<"оо=1 ■

«1=1

Данным методом могут быть найдены функции условного распределения во всех вершинах графа соответствий. На их основе определим условные вероятности выполнения проекта.

Пусть эти условия определяют область существования рисков Л"'^, где эти условия выполняются. Условную вероятность в узле можно определить так: Ру = ¡^(У^У \]У(у2)Кп(1у2... \1У(у>)К]5К25КхК45с1у„. (5)

/;, л,. »V

Условие выполнения проекта группой предприятий в целом представляет совокупность этих узлов. Такое представление удобно для выявления наиболее критичных рисков, и позволяет определить путь оптимизации проекта в целом. На рис. 1, б вероятность выполнения условий выполнения проекта в узлах отображается отрезками прямых линий, один конец которых совпадает с соответствующим узлом, а длина отражает вероятность, ее величина откладывается в произвольном, но общем для отрезков масштабе.

Если узлы не связаны через подмножества рисков, характеризующих базовые технологии, вероятность выполнения проекта находится как произведение вероятностей в узлах. При наличии такой связи эта вероятность должна находиться как условная. В этом случае высокотехно-

логичный наукоёмкий проект представляется как совокупность проектов, выполняемых предприятиями, входящих в альянс.

Аналогично рассмотренной методике находят функцию связи и определяют условную вероятность выполнения проекта. Расчет выполняют следующим образом: I) определяют количество "анализируемых частей проекта, их зависимости от рисков, взаимные связи через подмножества и условия соответствия; 2) находят функции распределения плотности вероятности для вершин; 3) строят граф соответствия и находят функции связи; 4) определяют условную вероятность выполнения проекта. Для расчета условной вероятности выполнения проекта используют ЭВМ.

На рис. 5 представлен граф-схема алгоритма расчета вероятности выполнения высокотехнологичного наукоёмкого проекта, алгоритм предложен в работе [7].

Основой алгоритма расчета условной вероятности рисков является последовательное определение рисков при случайных значениях параметров базовых технологий. Возможность расчета условной вероятности рисков позволяет свети многокритериальную задачу к однокритери-альной. Массив значений параметров базовых технологий формируется с использованием датчика случайных чисел. Для каждой реализации массива значений параметров базовых технологий рассчитывают значение риска и сравнивает с допустимым значением. Расчет ведется численным методом с применением ЭВМ по алгоритму, приведенном на рис.5. На рис.5 обозначены следующие узлы: 0-значение количества циклов; 1 - формирование массива независимых базовых технологий (датчик случайных чисел); 2 - формирование полного массива параметров базовых технологий с учетом корреляции с учетом корреляции; 3, 5 - расчет параметров 1-й, /-й базовой технологии; 4, 6 - принятие решения о продолжении или прекращении расчетов; 7 -

№ 8 2 ООН

накопление результатов: 8 - вывод на печать. Указаны ветви: А, В - команда на прекращение расчетов и формирование нового массива при несоответствии риска допустимому значению: С - команда па формирование следующего массива; О - команда на начало и прекращение расчетов в цикле. Контуры /. / соответствуют сравнению значений риска с допустимыми ограничениями.

Па входе алгоритма формируется неполный массив случайных параметров базовых чех-пологий. с учетом коэффициентов корреляции получается полный массив значений, характеризующий данный высокотехнологичный проект, выполненный при межфирменном взаимодействии.

1:.сли при выполнении проекта допустимо изменение базовых технологий проекта, приведенная методика позволяет определить максимальную вероятность реализации проекта для каждой из исследуемых технологий и для отдельного предприятия-участника при ограничениях на финансирование.

Таким образом, в работе предложена математическая модель, определения рисков выполнения высокотехнологичного проекта группой предприятий машиностроительного комплекса. входящих в стратегический альянс.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рогов М.А. Риск-менеджмент. - М.: Финансы и статистика, 2001, 120 с.

2. Первозванский А. А., Первозванская А.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: ИНФРА-М, 1994.- 192 с.

3. Бернстайн П. Против богов: Укрощение риска / Пер. с англ. - М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2000. - 400 с.

4. Чернов В.А. Анализ коммерческого риска. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 128 с.

5. М.Де Гроот. Оптимальные статистические решения. - М.: Мир, 1974. - 491 с.

6. Гудков А.Г. Оценка рисков при реализации высокотехнологичного наукоемкого проекта. // Машиностроитель, №5, 2002, с.45-49.

7. Бушминский И.П. Технологическая оптимизация элементов и узлов приборов. // Наука производству, №6, 1998, с. 2-9.