CC BY
13
УДК 625.072
ВЕНИК ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ, аспирант, stroylab_70@mail.ru
НЕДАВНИЙ ОЛЕГ ИВАНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, kirpiсh@mail. tomsknet. ru
ОСИПОВ СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ, канд. техн. наук, osip1809@rambler. ru
ЯДРЕНКИН ИЛЬЯ ГЕННАДЬЕВИЧ, ассистент, mail1043@mail. ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЩЕБНЯ ДЛЯ АСФАЛЬТОБЕТОНА
Предложено в качестве модели геометрических параметров зерна кубовидного щебня рассматривать прямоугольный параллелепипед, размеры которого являются случайными величинами. Введены коэффициенты для оценки вклада лещадных зёрен в общее количество зёрен, в смещение оценок средних значений объёма и площади боковой поверхности единичного зерна щебня. Исходная математическая модель дополнена включением добавочного звена в схему производства кубовидного щебня, позволяющего уменьшить долю лещадных зёрен.
Ключевые слова: кубовидный щебень; лещадное зерно; математическая модель; случайная величина.
VENIK, VLADIMIR NIKOLAYEVICH, P. G., troylab_70@mail. ru
NEDAVNIY, OLEG IVANOVICH, Prof Dr. Tech. Sc., kirpiсh@mail. tomsknet. ru OSIPOV, SERGEY PAVLOVICH, Ph. D., osip1809@rambler. ru
YADRENKIN, ILIYA GENNADJEVCH, assistant, mail1043@mail. ru
Tomsk State University of Architecture and Building,
2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia
MATHEMATICAL MODEL OF CUBE-CHAPED CRUSHED STONE TAKING INTO ACCOUNT THE FLAKINESS OF GRAINS
The rectangular parallelepiped is offered to consider as a model of single cube-shaped grains gravel, the sizes of which are random. For a contribution estimation of flaky grains in the total number of grains, offset estimations of the average volume and the lateral surface area of a single grain of gravel are introduced. The original mathematical model is expended by the inclusion of an additional link in the production of cube-shaped crushed stone, allowing to reduce the share of the flakiness of grains.
© В.Н. Веник, О.И. Недавний, С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, 2013
Key words: cube-shaped crushed stone; grain flakiness; the mathematical model;
the random variable.
Кубовидный щебень получил широкое распространение в дорожном строительстве [1-2]. Для расчёта рационального количества битумоминеральной смеси необходимо иметь информацию о величине боковой поверхности и массе единичного зерна [3]. Для оценки этих параметров применяют различные расчётные и экспериментальные методы, основанные на измерении проницаемости массива щебёночного материала для газа и влаги [3]. Точность и расчётных, и экспериментальных методов оценки параметров кубовидного щебня зависит от модели единичного зерна. В настоящее время используются либо детерминированные [3], либо вероятностные модели единичного зерна кубовидного щебня [4-5]. В упомянутых моделях принимается, что единичное зерно имеет форму куба. В детерминированной модели зерно имеет длину ребра, равную среднему значению меньшего и большего размеров сит [3]. В вероятностных моделях размер кубовидного зерна является случайной величиной, которая распределена на интервале от размера меньшего сита до размера большего сита [4-5]. В кубовидном щебне имеется некоторая доля лещадных зёрен. Наличие лещадных зёрен существенно понижает потребительские свойства щебня. Указанные выше математические модели единичного зерна кубовидного щебня не учитывают в полном объёме наличие лещадных частиц. В работе [6] на примере галечных зёрен показано, что необходимо учитывать вероятностный характер распределения зерновых частиц по всем трем характерным размерам (максимальный, средний и минимальный). Будем считать, что зерно кубовидного щебня имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Характерные размеры кубовидного зерна (длина, ширина, толщина) являются случайными величинами, с некоторыми, характерными для конкретного дробимого материала, типа дробилки и условий дробления, плотностями распределения. Покажем, что такая математическая модель единичного зерна щебня позволяет учесть лещадные зёрна.
Остановимся более подробно на предлагаемой модели единичного зерна кубовидного щебня.
Математическая модель. Будем рассматривать фракцию кубовидного щебня, полученную в результате просеивания продукта дробления горных пород через два сита. Допустим, что оба сита имеют отверстия квадратной формы. Одно из сит имеет отверстия с размером D и предназначено для отделения зёрен с размером, большим D, а второе имеет отверстия с размером d и предназначено для отделения зёрен с размером, меньшим d . Получаемая фракция будет иметь максимальные размеры зёрен х, удовлетворяющие условию d < х < D .
В России и за рубежом исторически сложился конечный набор фракций щебня, т. е. конечный набор пар (d., Д.) .
В рассматриваемой модели единичное зерно щебня имеет форму прямоугольного параллелепипеда, характерные размеры которого - длина l, ширина a, толщина h являются случайными величинами и связаны друг с другом следующими соотношениями:
/ > а > h, — < п . (1)
h
На практике в ограничении (1) принимают п = 3 [1] или п = 2 [7]. Ле-щадным зерном называют такое зерно, в котором отношение максимального размера зерна к минимальному размеру больше или равно п .
Замечание 1. Мы преднамеренно вводим в математическую модель единичного зерна кубовидного щебня дополнительный параметр п, т. к. остается до конца не выясненным вопрос, как он влияет на качество конечных продуктов - асфальтобетона и бетона.
Замечание 2. В кубовидном щебне присутствует значительная доля ле-
щадных зёрен, особенно в тех фракциях, для которых значение отношения —
d
велико. Мы будем рассматривать фракции с отношением — < 3.
d
Основными параметрами единичного зерна, в рассматриваемом случае прямоугольного параллелепипеда, являются площадь боковой поверхности ^(/, а, Ъ) и объём V (/, а, Ъ) , которые определяются его размерами /, а, Ъ .
Случайные величины /, а, Ъ не в полной мере являются независимыми. Пусть р 1 ^) - плотность распределения случайной величины /, принимающей значения в интервале от d до —; р 2(/, /) - плотность распределения случайной величины а, принимающей значения от d до /, при условии, что длина зерна щебня равна /; р 3(/, а, /) - плотность распределения случайной величины Ъ, принимающей значения от 0 до а , при условии, что длина зерна равна /, а ширина зерна равна а .
Замечание 3. Нами выбран нулевой нижний предел изменения случайной величины Ъ, потому что целью предлагаемой работы является учет ле-щадных зёрен в математической модели единичного зерна кубовидного щебня. Во многих работах, например [1, 7], отмечается, что в продуктах дробления каменных материалов присутствуют и игольчатые (игловатые) зёрна, для которых выполняются следующие условия:
/ /
— > п, — > п. (1)
а Ъ
Нами рассматриваются фракции кубовидного щебня с отношением
— < 3, поэтому можно считать долю игольчатых зёрен в общем массиве ку-
d
бовидного щебня пренебрежимо малой.
Среднее значение объёма кубовидного зерна для указанной выше модели формы единичного зерна находится по формуле
— / а
V = |/р 1(/)|ар2(/, а)|Ър3(/, а, Ъ)йЪйай/. (2)
й й 0
Среднее значение площади боковой поверхности зерна оценивается из выражения
D I а
S = 2jр 1(/)|р2(/,а)|р3(/, а, к)(ак + /а + /к)dhdbda . (3)
й й 0
Выражения (2) - (3) позволяют оценить средние значения основных параметров единичного зерна кубовидного щебня с учётом лещадных частиц.
Идеальным кубовидным щебнем считается щебень, размеры зёрен которого удовлетворяют условиям (1). Наличие лещадных зёрен приводит к смещению оценок параметров кубовидного щебня.
Доля лещадных частиц в общем количестве зёрен щебня kN для предлагаемой модели может быть оценена следующим образом:
I
в / П
^ =| р1(/ )| р 2(/, а)| р 3(/, а, к) йкйай/. (4)
й й 0
Относительный вклад лещадных частиц в общий объём щебня ^ находится по формуле
/
в / П
| /р 1 (/ )| ар 2 (/, а) | кр 3 (/, а, к) йк йа й/
к=в—й---------------------------------о-. (5)
| /р 1 (/ )| ар 2 (/, а) | кр 3 (/, а, к) йк йа й/
й й 0
Относительный вклад лещадных частиц в общую площадь боковой поверхности kS вычисляется с помощью выражения
/
в / П
| р1(/)| р 2(/, а)| р 3(/, а, к) (ак + /а + /к ) йкйЬйа
К = в-----о-------0---------------------------. (6)
| р1(/)| р 2(/, а)| р 3(/, а, к) (ак + /а + /к ) йкйЬйа
й й 0
Математическая модель зерна щебня, основанная на выражениях (1) - (6), позволяет не только вычислить средние значения параметров единичного зерна щебня, но и оценить долю лещадных зёрен и их вклад в смещение средних значений параметров единичного зерна.
Для предлагаемой математической модели кубовидного щебня варьируемыми параметрами являются: параметр п из ограничения (1); размеры сит й и В; виды плотностей распределения р1 (/), р2 (/, а), р3 (/, а, к) .
В работе [4] для фракции 15-30 мм кубовидного щебня экспериментально подтверждена гипотеза академика А.Н. Колмогорова1 о логнормальном распределении зёрен щебня по некоторым усредненным размерам при дроблении каменного материала.
Для проверки статистической гипотезы о том, что все три случайные величины /, а, к распределены по усечённому логнормальному закону с одинаковыми параметрами, была проведена серия из 5 экспериментов. В экспериментах измерялись указанные размеры для единичных зёрен щебня, иссле-
1 Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : Наука, 1986. 535 с.
довалась фракция 10-20 мм. Линейные размеры оценивались электронным штангенциркулем «Ермак» ЩЦ-100-0,01. В процедуру обработки в каждой серии экспериментов вовлекали не менее 200 зёрен щебня. С доверительной вероятностью 95 % доказано, что случайные величины /, а, к распределены по усечённому логнормальному закону с параметрами ц = 1,97, а = 0,25 .
Для усечённого логнормального распределения с полученными параметрами была сделана оценка средних значений площади боковой поверхности S и объёма V единичного зерна щебня анализируемой фракции. Так как указанные оценки были получены с использованием экспериментальной информации по распределению случайных величин /, а, к , то целесообразно назвать такой метод оценки экспериментально-аналитическим. Полученные значения сравнивались с экспериментальными оценками параметров (площади боковой поверхности и объёма единичного зерна). Расхождение экспериментально-аналитической S и экспериментальной S эксп оценок площади боковой поверхности зерна не превысило 3 %, а расхождение V и Vэксп - не более 3,5 %. Это свидетельствует об адекватности предлагаемой
математической модели и о применимости её для оценки параметров кубовидного щебня.
Коэффициенты kN , ^ , kS были оценены экспериментальным и экспериментально-аналитическим способами. Расхождение для коэффициента kN не превзошло 4 %, коэффициента кг - 4,7 % и коэффициента kS - 5,1 %.
Степень согласия оценок параметров кубовидного щебня с лещадными зёрнами, полученных экспериментальными и экспериментально-аналитическими методами, можно считать удовлетворительной.
В работе [5] приведён расчётно-экспериментальный метод оценки площади боковой поверхности единичного зерна кубовидного щебня, исходя из выборки масс единичных зёрен. Этот метод базируется на связи массы единичного зерна кубовидного щебня с площадью его боковой поверхности.
Разумно предположить, что наличие лещадных частиц приводит к смещению оценки площади боковой поверхности. Для проверки этой гипотезы серия экспериментальных работ, описанная выше, была дополнена измерением массы единичных зёрен кубовидного щебня. В результате обработки полученной статистической информации была оценена связь двух случайных величин т и S. Оказалось, что зависимость S(т) может быть описана уравнением линейной регрессии
S (т) = Ат + В, (7)
где А и В - коэффициенты линейной регрессии. Для рассматриваемой фракции кубовидного щебня получили значение коэффициента В = 500 мм2,
2
а значение коэффициента А = 359 ----. На рисунке приведены результаты со-
г
поставления итогов экспериментов с аппроксимацией (7). Из анализа данных, представленных на рисунке, можно сделать вывод о том, что по распределе-
нию единичных зёрен по массе может быть получено распределение единичных зёрен щебня по площади боковой поверхности. Кроме этого, отличие от нуля параметра В свидетельствует о неадекватности традиционных моделей [3-5] формы единичного зерна кубовидного щебня (идеальный куб).
т, г
Зависимость площади боковой поверхности зерна от массы:
■ - эксперимент; — - линейная регрессия
Расширение математической модели. Задача повышения кубовидно-сти щебня является одной из наиболее важных проблем, стоящих перед производителями щебёночного материала с улучшенными потребительскими свойствами. Под повышением кубовидности щебня понимается уменьшение доли лещадных и игольчатых зёрен в общем объёме щебня. В работах [8-9] рассмотрены некоторые способы повышения кубовидности щебня.
Получение кубовидного щебня с улучшенными потребительскими характеристиками достигается включением в технологическую схему получения кубовидного щебня дополнительного сортировочного оборудования (сепаратора), поэтому изложенная выше математическую модель должна быть дополнена блоком, учитывающим вероятность прохождения зерна с размерами I,а, h через сепаратор.
Допустим, что мы тем или иным образом отсортировали лещадные зёрна, т. е. добились полного или частичного выполнения ограничений (1).
Выше было указано, что процесс дополнительной сортировки зёрен щебня носит вероятностный характер. Это означает, что не все лещадные и игольчатые зёрна отсортировываются в процессе дополнительной доработки щебёночного материала. Кроме этого, возможна потеря части кубовидных зёрен. Обозначим через р(1, а,к) вероятность прохождения зерна щебня с размерами I, а, к через дополнительное сортировочное устройство.
В этом случае среднее значение объёма единичного зерна находится по формуле
11р 1 (і)І ар 2 (і, а)| hp з (і, а, И) р(1, а, h)dh da dl
і і
п п
к ~ ъ і а
| Р і(і)| Р 2 (і , а)| р з (і, а, ^ dh da dl
Кк =-----------------------1-------^--------------------------------------------------------------, (8)
2з і і п
а среднее значение площади боковой поверхности оценивается с помощью выражения
і а
і Рі(і)| Р 2 (і, а)| р з(і, а, h) р(і, а, h) (аh + іа + Ш ) dhdbda
І
______п_______________________________
Ъ і а
і Рі(і)| Р 2 (і, а)| р з(і, а, h)dhdadl
$к =-------------------------------------------------------------------------------------------------а-. (9)
/'з'
і і пп
Степень повышения кубовидности щебня (эффективности применения дополнительного метода сортировки) определяется параметрами ^н , цг, .
Величина параметра ^к равна отношению доли кубовидных зёрен в исходном щебне к доле кубовидных зёрен в отсортированном щебне. Величина параметра цг равна отношению средних значений объёмов кубовидных зёрен щебня до и после дополнительной сортировки. Величина параметра равна отношению средних значений площадей боковой поверхности зёрен кубовидного щебня до и после дополнительной сортировки. Выражения для вычисления вышеуказанных параметров эффективности имеют вид:
і
| Р і(і) | Р 2 (і , а)| Р 3 (і, а, И) р(і, а, h)dh da dl
й_________0____________0__________________________________
~ Ъ і а
І Р 1(і) | Р 2 (і, а)| Р 3 (і, а, h)dh йа йі
-К3'
й і_ і
п
і
| ір 1 (і )| аР 2 (і, а)| hp 3 (і, а, И) р(і, а, h) dh йа йі
Лк = ^-------------------------------; (П)
| ір 1 (і )| ар 2 (і, а)| hp 3 (і, а, h) dh йа йі
з
й і і
п
і а
| Р і(і)| Р 2 (і , а)| р з (і, а, ^р(і, а, + іа + lh)dh йЬ йа
0_____________0____________________________________________________
Ъ і а
| Р і(і)| Р 2 (і , а)| р з (і, а, + іа + lh)dh йЬ йа
Лs = ^--------------------------------------------. (12)
2з і і
п
Значения параметров ^находятся с помощью выражений (10) - (12) и характеризуют влияние пропуска лещадных зёрен и браковки кубовидных зёрен в процессе дополнительной сортировки. Степень браковки
п
кубовидных зёрен проверяется на массиве щебня, не имеющего лещадных зёрен. В этом случае для идеального сепарирования ожидаемые значения параметров ^н , цг, равны единице.
Следует отметить, что целью включения в систему сортировки кубовидного щебня дополнительного звена является отбраковка зёрен щебня, минимальный размер которых к меньше —. Идеальной системе сортировки соп
ответствует вероятность отбраковки лещадных зёрен р(1, а,к), которая строится на основе следующей ступенчатой функции:
I (—, а, к) =
1, к > -,
п (13)
0, к <
п
Преобразование функции (13) в функцию р(1, а,к) является эквивалентным стандартной нормировке [10]:
7 ч I (—, а, к)
р(1, а, к) = 7------------. (14)
ШI (—, а, h)dldadк
Для способа отделения лещадных зёрен [8], основанного на просеивании всего объёма кубовидного щебня через сито со щелевыми отверстиями,
размер которых —, вероятность р(1, а,к) определяется функцией, близкой п
к выражению (13). Ступенчатую функцию (13) можно аппроксимировать непрерывной функцией, зависящей от некоторого параметра Р, аналогичной функции, приведённой в [10]:
ГГ —
агС^ Р| к -
I 1 п
I(I, а, к, Р) = 0,5 +-^^ . (15)
%
Вероятности, соответствующие функциям (15), вычисляются по формулам, аналогичным (14).
При стремлении значения параметра Р к бесконечности соответствующая последовательность функций I (I, а, к, Р) сходится к функции, описываемой выражением (13). Для характеристики процесса сортировки кубовидного щебня будем использовать функцию I(I, а, к, Р) с некоторым конкретным значением параметра Р . Значение параметра Р определяется рядом факторов: качеством изготовления щелевого сита; скоростью перемещения частиц щебня по поверхности сита; способностью к побуждению единичных зёрен щебня к изменению пространственного положения относительно щелей сита. Экспериментальная оценка Р не представляет сложности.
Математические модели, описываемые выражениями (1) - (15), могут быть использованы для построения имитационных моделей при проведении вычислительных экспериментов с целью совершенствования процессов производства кубовидного щебня.
Заключение
В работе построена математическая модель кубовидного щебня, основанная на представлении единичного зерна в виде прямоугольного параллелепипеда, которая учитывает вероятностный характер распределения зерновых частиц по длине, ширине и высоте. Усовершенствование разработанной математической модели основано на включении в неё дополнительного звена. Включение дополнительного звена обусловлено введением в систему производства кубовидного щебня сепаратора, предназначенного для уменьшения доли лещадных зёрен.
Авторы будут признательны коллегам за внимательное прочтение предлагаемой работы, за советы и пожелания, которые приведут к совершенствованию моделей кубовидного щебня, необходимых для оценки параметров единичного зерна кубовидного щебня, что позволит оптимизировать расход битумоминеральной смеси, проектировать и изготавливать асфальтобетоны с улучшенными потребительскими свойствами.
Библиографический список
1. Кушка, В.Н. Кубовидный щебень. Девять лет спустя / В.Н. Кушка // Строительные материалы. - 2010. - № 6. - С. 20-21.
2. Проблемы развития автодорожного комплекса // Инновации. Технологии. Решения. -2007. - № 6. - С. 26-28.
3. Королев, И.В. Пути экономии битума в строительстве / И.В. Королев. - М. : Транспорт, 1988. - 149 с.
4. Веник, В.Н. Совершенствование расчётного метода оценки удельной поверхности кубовидного щебня / В.Н. Веник, О.И. Недавний, С.П. Осипов, А.А. Ковалев // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2011. - № 7. - С. 46-53.
5. Веник, В.Н. Экспериментально-расчётный метод оценки площади боковой поверхности кубовидного щебня / В.Н. Веник, О.И. Недавний, С.П. Осипов, А.А. Ковалев // Вестник ТГАСУ. - 2011. - № 4. - С. 166-172.
6. Кириллов, Ф.Ф. Статистический подход к оценке параметров крупнозернистой составляющей глинистой галечно-гравийной среды / Ф.Ф. Кириллов, С.П. Осипов // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2007. - № 3. - С. 102-107.
7. Кукин, А.В. О производстве щебня из вскрышных пород / А.В. Кукин // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2007. - № 7. - С. 263-267.
8. Тарасов, Ю.Д. Повышение качества щебня исправлением лещадных зёрен / Ю.Д. Тарасов, А.Ф. Прялухин, Ю.М. Энкин, В.Г. Бальков // Строительные материалы. - 1999. - № 1. -С. 12-13.
9. Прялухин, А.Ф. Выделение лещадных зёрен из изверженных пород / А.Ф. Прялухин, Ю.Д. Тарасов // Строительные материалы. - 2000. - № 12. - С. 36-37.
10. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1974. - 832 с.
References
1. Kushka V.N. Kubovidnyj shheben'. Devjat' let spustja [Cube-shaped crushed stone. Nine years later] // Stroitel'nye materialy [Building materials]. - 2010. - No. 6. - P. 20-21.
2. Problemy razvitija avtodorozhnogo kompleksa [Complex problems of development of road] // In-novacii. Tehnologii. Reshenija [Innovation. Technology. Decision]. - 2007. - No. 6. - P. 26-28.
3. Korolev I.V. Puti jekonomii bituma v stroitel'stve [Ways to save bitumen in construction]. -Moscow : Transport, 1988. - 149 p.
4. Venik V.N., Nedavnij O.I., Osipov S.P., Kovalev A.A. Sovershenstvovanie raschjotnogo metoda ocenki udel'noj poverhnosti kubovidnogo shhebnja [Improving the calculation method of specific surface evaluation of the cube-shaped crushed stone] // Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Stroitel'stvo [News of Higher Education Institutions. Construction]. - 2011. -No. 7. - P. 46-53.
5. Venik V.N., Nedavnij O.I., Osipov S.P., Kovalev A.A. Jeksperimental'no-raschjotnyj metod ocenki ploshhadi bokovoj poverhnosti kubovidnogo shhebnja [Experimental-computational method for estimating the lateral surface of cube-shaped crushed stone] // Vestnik TGASU [Proceedings of Tomsk State University of Architecture and Building]. - 2011. - No. 4. -P. 166-172.
6. Kirillov F.F., Osipov S.P. Statisticheskij podhod k ocenke parametrov krupnozernistoj sostavljajushhej glinistoj galechno-gravijnoj sredy [Statistical approach to the estimation of parameters of coarse-grained component of clay pebbles and gravel environment] // Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Stroitel'stvo [News of Higher Education Institutions. Construction]. - 2007. - No. 3. - P. 102-107.
7. Kukin A. V. O proizvodstve shhebnja iz vskryshnyh porod [On the production of gravel overburden] // Gornyj informacionno-analiticheskij bjulleten' [Mining informational and analytical bulletin]. - 2007. - No. 7. - P. 263-267.
8. Tarasov Ju.D., Prjaluhin A.F., Jenkin Ju.M. Povyshenie kachestva shhebnja ispravleniem leshhadnyh zjoren [Improving the quality of crushed stone by correcting the flaky grains] // Stroitel'nye materialy [Building materials]. - 1999. - No. 1. - P. 12-13.
9. Prjaluhin, A.F., Tarasov Ju.D. Vydelenie leshhadnyh zjoren iz izverzhennyh porod [Isolation of flaky grains from volcanic rocks] // Stroitel'nye materialy [Building materials]. - 2000. -No. 12. - P. 36-37.
10. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov [Mathematical Handbook for Scientists and Engineers]. - Moscow : Nauka, 1974. - 832 p.
