CC BY
51
Труды Карельского научного центра РАН №8. 2016. С. 55-61 DOI: 10.17076/mat350
УДК 51-76
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА БИООЧИСТКИ СТОЧНЫХ ВОД
А. Н. Кириллов1, Н. В. Смирнов2
1 Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН
2 Петрозаводский государственный университет
Предложено дальнейшее развитие математической модели управления процессом биологической очистки сточных вод в аэротенке-смесителе. Найдено инвариантное множество системы дифференциальных уравнений, представляющей модель. Разработан алгоритм нахождения оптимального управления процессом биоочистки в задаче минимизации расхода кислорода. Приведены результаты апробации разработанного алгоритма.
Ключевые слова: аэротенк; биоочистка; окисление; оптимальное управление.
A. N. Kirillov, N. V. Smirnov. MATHEMATICAL MODEL OF WASTEWATER TREATMENT PROCESS OPTIMIZATION
Further development of the mathematical model for controlling wastewater biological treatment process in a mixing aeration tank is proposed. The invariant set of the system of differential equations representing the model was found. The algorithm of finding optimal process control in the problem of minimizing oxygen consumption was developed. The results of testing the developed algorithm are reported.
Keywords: aeration tank; bioremediation; oxidation; optimal control.
Введение
Процесс биоочистки в аэротенке — биохимический процесс для очистки бытовых и промышленных сточных вод, в котором используются воздух (или кислород) и микроорганизмы активного ила для окисления содержащегося в сточной воде субстрата.
Ограниченность запасов питьевой воды и увеличение требований к качеству очищения сточных вод обусловливают необходимость исследований в области математического моделирования процесса биологической очистки сточных вод. Этому направлению посвящено достаточно большое количество публикаций (например, [1-6]).
В статье продолжено исследование в области математического моделирования процесса биоочистки воды в аэротенке-смесителе, представленное в работах [7, 8], в частности, найдено инвариантное множество разработанной математической модели процесса биоочистки, обоснован результат об однократности переключения оптимального управления при минимизации расхода кислорода, разработан и апробирован алгоритм нахождения оптимального управления процессом биоочистки. Также в статье представлены формулы для получения начальных значений модельных концентраций, которые необходимы для практического использования предложенной модели.
®
Инвариантное множество математической модели процесса Биоочистки
Рассмотрим процесс биологической очистки сточных вод от субстрата одного типа в аэротенке-смесителе объемом V. Введем обозначения: X и Я - концентрации активного ила и субстрата в аэротенке, и концен-
трации субстрата в сточной воде и в иловой смеси, Хц — концентрация активного ила во входящей иловой смеси, Vц и Vcv — расходы иловой смеси и сточных вод, Vц и Vcv — объемы иловой смеси и сточных вод, входящих в аэротенк за единицу времени (количественно равны Vа и Vcv соответственно), 7 — удельная максимальная скорость роста микроорганизмов в расчете на единицу массы кислорода и на единицу массы субстрата, У € (0,1) — коэффициент перехода массы субстрата в биомассу микроорганизмов, и = и(£) — удельная скорость подачи кислорода в аэротенк.
В аэротенке-смесителе происходит мгновенное перемешивание, поэтому начальные значения концентраций субстрата и активного ила находятся по формулам (1) и (2) соответственно:
gtra _
Xm _
SCV V cv + SV
Vü + V cv + v' xü Vü + XV
(1)
(2)
аэротенке:
S _ Q(Sin - 1S) - YsuX' X _ Q(Xm - IX) + YSuX,
(3)
(4)
где константа Q _ 1/T, T — время биоочистки.
Sin _ ScvVcv
Xin _
l _ 1 -
Va + V cv + V XilVi1 V и +Vcv +v' V
Vü + V cv + v'
принадлежит открытому треугольнику OAH (рис. 1).
Рис. 1. Фазовый портрет системы (3), (4), где I — положение равновесия, о — точка переключения управления, 1\ = {(Я, X) : УБ + X = (У8т + Х4"})Д 1Х = {(X, 8):Х = Б}, X* = +
Х4")Д У* = +Xi"/У )/1
V Ц + Vcv + V Среднее время пребывания иловой смеси в
V
T _
Теорема 1. Открытый треугольник ОАН является инвариантным множеством системы (3), (4) при У и ^ 0.
Доказательство. Если предположить, что фазовая траектория системы (3), (4) пересекает прямую 1\ = {(X, Б) : X = Б} в точке Е, то тангенс угла наклона вектора скорости фазовой траектории в точке Е меньше тангенса угла наклона прямой ¿1, тогда
Vil + Vcv
Преобразовав математическую модель процесса биоочистки, предложенную в работе [7], получим систему:
X
1.
S
(5)
При проведении процесса биоочистки необходимо поддержание Xm > Б, в результате X = д^™ - ¿Б) + 7иЯ2 > 0 в точке Е. Заметим, что, исходя из специфики процесса биоочистки, неравенство (5) может быть верно в двух случаях: либо X > 0, Б < 0 (тогда фазовая траектория не покидает треугольник О АН через прямую I), либо X > 0, Б > 0. Во втором случае (5) примет вид:
X < S'
(6)
Координаты X и Б в точке Е равны, поэтому неравенство (6) примет вид
Для очистки сточных вод за ограниченное время Т на канализационных очистных сооружениях (КОС) поддерживают отношение концентраций Xm > Бт, тогда в начальный момент времени X(0) > Б(0) и фазовая точка
Q(Xm - 1S) + yuS2 < Q(Sm - 1S) -
YuS2
тогда
Q(Xm - Sm) < -yuS2(1 + I/Y),
56
где д(Хгп - Ягп) > 0, -7и82(1 + 1/У) < 0. Получилось противоречие, следовательно, если начальная точка фазовой траектории системы (3), (4) находится в открытом треугольнике ОАН, то она не пересекает прямую 71 = {(X, Я) : X = Я}, то есть Х(1) > Я^) для
V* е [0,Т].
Концентрации субстрата и активного ила в аэротенке в начале процесса биоочистки 5(0) = 50 и X(0) = Х0 соответственно находятся по формулам (3) и (4) или экспериментально. Если и = 0, то система (3), (4) приобретает вид
Я = д(Ягп - 1Я), Х = д(Хгп - IX),
при этом фазовые траектории сходятся к положению равновесия - точке О на рисунке 1.
Умножим на У уравнение (3) и прибавим его к (4), в результате получим уравнение, решение которого представимо в виде:
УЯ + Х =
узгга __узгга +
= (УЯ0 + Хо----)е-^ + - +
1
1
Тогда при £ ^ те фазовые траектории будут сходиться к прямой
11 = {(Я, Х) : УЯ + Х = (УЯгп + Хгп)/1}.
Заметим, что вследствие неотрицательности значений концентраций фазовые траектории не пересекают прямую Я = 0. Тогда фазовые траектории находятся в треугольнике ОАЯ (рис. 1) для V* е [0,Т]. □
Уточним поведение фазовых траекторий в нижеследующей теореме.
Теорема 2. При £ ^ те отрезок КО (рис. 1) является интегральным притягивающим множеством системы (3), (4).
Доказательство. Приравняем к нулю правые части уравнений (3), (4) и сложим их, предварительно умножив (3) на У. После введения новой переменной г = х(£) = Х + УЯ результат сложения представим в виде:
д(хгп - х1) = 0,
(7)
где хгп = Хгп + УЯт. Корнем (7) является г = хгп/1. Выразим Я = (хгп - 1Х)/У1 и подставим в приравненную к нулю правую часть уравнения (4), в таком случае получим уравнение
д(Хгп - Х1) + ^иХ(хгга - Х1) = 0.
Умножим последнее уравнение на -У1 /7 и перегруппируем, в результате получим уравнение
,ЛЛ2 V /'12Уд гп\ 1УдХ'га и1Х2 + Х ( -- - ихгп ) -
7
7
0,
у которого только один корень имеет неотрицательное значение:
Уд1
2
Уд/ хгп\2 УдХ
Х1 = ^+ —) +
21 27и
27и 21)
7и
Рассмотрим производную Х1 по и:
9Х1
_= Уд1
ди 27и2
+
хгп Уд1\ Уд1 УдХг
1 7и ) 27и2
7и2
'Уд1 хгп\2 УдХг
— и) +—
27и
7и
Умножим последнее на а = 27и2/(Уд1) > 0, получим:
Уд1 2Хг
дХ1 ^
= 1 +
ди
1 7и 1
'Уд1 хгп\2 УдХг 27и 21 у 7и
2
Введем обозначения:
хгп Уд 2Хг
£1 =
1
7и
1
£2 =24
'Уд1 хгп2 УдХг 27и 21 у 7и
Значения выражения
£1
£22 =
4У2гпХг
12
< 0,
в таком случае £1/£2 е (-1,1) и д^и > 0 для Vu. Последнее означает, что значение Х увеличивается при увеличении и. Нетрудно доказать, что управлению и = 0 соответствует точка покоя О. Тогда положения равновесия, соответствующие и > 0, будут находиться на прямой 11, левее точки О, правее оси ординат. При этом крайне левая точка К (закрашенный квадрат на рисунке 1) соответствует положению равновесия при наибольшем допустимом управлении и. Отрезок КО является интегральным притягивающим множеством системы (3), (4). □
2
х
Задача оптимального управления процессом биоочистки
Рассмотрим кусочно-постоянное управление и = и(*) € и = [и, и] удельной скоростью подачи кислорода в аэротенк, где и и и — соответственно наименьшее и наибольшее ее допустимые значения. Поставим задачу нахождения управления оптимального в смысле минимизации расхода кислорода при обеспечении окисления субстрата до концентрации, наиболее близкой к значению нормативно допустимого сброса (НДС) за время Т: т
udt —> min
(8
о
с ограничениями:
Б(0) = Б0, X(0) = X0, Б(Т) < Б, X(T) < X, (9)
где Бо и Xo — начальные значения соответствующих переменных, Б — НДС субстрата, X € [0, У8т + X™] — концентрация активного ила на выходе из аэротенка.
Пусть ' — символ транспонирования, символ ^ означает оптимальность значения переменной или выражения под ним. Введем вектор переменных г = г(*) = (^(¿) г2(*))' = (Б X)'; ^>(г,и) = (^ч(г,и) ^2(г,и))', где М^и) и ^>2(г,и) — правые части уравнений (3) и (4) соответственно; = Б(0) - Б0, = X(0) - X0, ^э = Б(Т) - Б, ■04 = X(T) - X — ограничения; А^ (г = 0,..., 4) и р(*) = р2(*))' — множители Лагран-жа.
В работе [9] сформулированы необходимые условия экстремума (10)-(16). Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи примет вид
Ь = А^1 + А2^2 + Аэ^э + А4^4 +
т
+ / (А0и + Р1 (¿)(!3 - Р1) + ^С*)^ -
0
Уравнение Эйлера (условие стационарности по г) для лагранжиана Ь = А0и + р1 (¿)(БЗ -
Ы + - Ы :
Р(*) =
I 7-
Pl(í)(1Q + yXU) - ^(^и
ч + Р2(*)(*д - 7^) У
(10)
Условия трансверсальности по z для терми-4
нанта: l = ^ А^ :
г=1
p(0) = p(T ) =
pi(0) Р2(0)
pi(T)
P2(T )
Ai
Л2
-A3 -A4
Условие оптимальности по u — принцип минимума в лагранжевой форме:
mn(^Ао + pi(t) ;SX - P2(i)7SX^ ^ =
= sf Ао + YsX - P2(t)
Введем функцию
g(t) = Ао + ySX - p2(t)
(12)
В силу условия оптимальности экстремальное управление всюду, кроме точек разрыва (в которых $(*) = 0), определяется следующим образом:
s = , U, g(t) > 0, S = S u, g(t) < 0.
(13)
Так как в точке разрыва на значение и не накладывается ограничений, то будем считать, что и = и при $(*) = 0.
Условия дополняющей нежесткости:
A3(S(T) - S*) = 0,
A4(X(T) - X*) = 0, Условие неотрицательности:
Ai ^ 0, i = 0,
,4.
(14)
(15)
(16)
Теорема 3. При выполнении условий (10)-(11), (13)-(16) в системе (3), (4) количество переключений управления не более одного.
Доказательство. Перепишем (10) в виде
Р1(*) = (^ - Ы*)) тхУ +Р1(^)гд, = (^ - Р2(*)) + Р2(*)1д.
Рассмотрим функцию
г(«) = ^ - Р2(*)
Y
и ее производную
r(t) = r(t) ( ^ - YSs + IQ
(17)
58
Пусть
с (*) = ^ - 7 ^+/д.
Специфика процесса биоочистки такова, что X > поэтому ((*) > 0 для V* е [0,Т]. Решение уравнения (17):
г(*) = г(О)е0 () . (18)
Значения Р1(0), р2(0) ^ 0 в силу условий (11), (16). При р1(0) = Р2(0) = 0 функция #(*) > 0 для V* е [0,Т] (см. (12)), и переключений управления не будет, иначе возможны три варианта взаимного расположения значений р1(0) и р2(0) на числовой прямой.
1) Если
Р1(0) > УР2(0),
тогда из (18) следует, что поскольку г(0) > 0, то г(*) > 0 для V* е [0, Т], и при этом с течением времени значение функции г(*) будет увеличиваться. Тогда в силу (13) переключения управления не будет.
2) Если
Р1(0) < УР2(0),
то г(0) < 0, и в силу (18) г(*) является убывающей функцией, а значит, г(*) < 0 для V * е [0, Т]. Значение Ао определяет три различных варианта переключения управления.
2.1) Если значение #(*) ^ 0 для V* е [0,Т], то в силу (13) переключения управления не будет.
2.2) Если #(0) ^ 0 и существует такое ** е (0, Т], что #(**) < 0, то в силу (13) произойдет переключение управления. Найдем производную #(*) в силу системы (3), (4):
#(*) = 7г(*) д(ят - Я1)х + ядх
(19)
По условию 7г(*) < 0. Так как 8т > для
V* е [0,т], то д(8гга - §г)Х + ядхт > 0. в
результате (*) < 0, а следовательно, функция #(*) является убывающей. Таким образом, #(*) < 0 для V* е (¿, Т], где #(£) = 0. Последнее подтверждает, что управление переключается один раз на промежутке [0, Т]
2.3) Если значение #(0) < 0, то вследствие убывания #(*) получаем, что #(*) < 0 V* е [0,Т] и в силу (13) переключения управления не будет. 3) Если
Р1(0) = УР2(0),
то г(0) = 0, в силу (18) получаем, что г(*) = 0 для V* е [0,Т]. В таком случае #(*) = А0 ^ 0, и в силу (13) переключения управления не будет. □
Теорема 4. Управление и, для которого выполнены условия (10)-(11), (13)-(16), является оптимальным в смысле минимизации функционала (8) при соблюдении ограничений (9).
Доказательство. Для выполнения условия (16) необходимо выполнение неравенства Аг ^ 0 (г = 0,1,..., 4), при этом для сохранения в лагранжиане Ь управления и необходимо выполнение условия Ао = 0. Функции Р1(*) и Р2(*) задаются уравнением (10) с граничными условиями (11).
В качестве А1 возьмем любое положительное число, например, А1 = 1. Методом дихотомии значение А2 находится так, чтобы с допустимой погрешностью выполнялось условие ^э = 0, что обеспечивает выполнение условия (14) при VАз. Для нахождения значения А2 численно решается система (3), (4), при этом момент переключения управления т находится с помощью (13). Будем использовать значение X = Х(Т), что обеспечит выполнение (15) при VА4. Таким образом, необходимые условия оптимальности управления, приведенные в работе [9], выполнены.
Из теоремы 3 следует, что количество моментов переключения управления не более одного, при этом управление до момента переключения принимает значение и, после момента переключения — и. Различным управлениям соответствуют различные значения функционала (8) (рис. 2), тогда, если оптимальное управление существует, то оно единственно.
Рис. 2. Динамика удельной скорости подачи кислорода, т — момент переключения управления, Т — период аэрации
В работе [10] на странице 284 приведена теорема о существовании оптимального управления. Эту теорему можно применить к рассматриваемой задаче, при этом многие условия теоремы выполняются очевидным образом и проверки требуют только условия ограниченности и выпуклости. Ограниченность траектории (Я(*),Х(*)) следует из теоремы 1.
Выпуклость множества
V(Б, X) = ^и, - Б) - ~SuX, д^"" - X) +
+ = (и, а + Ьи, с + ^и) в Еэ,
при любых фиксированных Б, X (т. е. а, Ь, с, ^ фиксированные) следует из того, что V(Б, X) — отрезок прямой в Еэ при и €
[и, и]. □
Результаты вычислительных экспериментов
Часто сточные воды промышленного предприятия содержат один тип субстрата, при этом процесс сброса сточных вод предприятием не является непрерывным, а повторяется с некоторой периодичностью. Очистка сточных вод занимает некоторое время Т, в течение которого субстрат непрерывно поступает в аэротенк. Во избежание получения штрафов от управления Роспотребнадзора необходимо поддерживать значение выходной концентрации субстрата в очищенной сточной воде меньше значения нормативно допустимого сброса (НДС) Б1гт. Для обеспечения
концентрации X путем увеличения значения
S(t) < Slim, Vt G [0,T]
(20)
необходимо, чтобы в конце процесса биоочистки £(Т) ^ Б, где значение Б определяется технологом очистных сооружений.
Рассмотрим аэротенк-смеситель объемом V = 600 мэ. Для вычислений использованы данные, близкие к экспериментальным, полученным на КОС г. Петрозаводска в 2015 г.: = 139,4 г БПКполн/м3 (БПК полн — биохимическое потребление кислорода полное), Xa = 1639,4 г БПКполн/м3, Vcv = 712,2 мэ/час, Viг = 855 мэ/час, X(0) = 910 г БПКполн/м3, Б(0) = 2,95 г БПК полн/м3, У = 0, 67 (безразмерная величина). Значение 7 = 0,00000825 найдено по экспериментальным данным. В качестве значения Б1гт = 5 г БПКполн/м3, Б = 3 г БПКполн/м3. Для численного моделирования использовано значение А0 = 0, 01, А1 = 1.
С применением разработанного метода найдены оптимальные управления для различных значений и. Динамика концентрации Б при различных и отображена на рисунке 3. Этот рисунок также показывает, что условие (20) выполняется, а пики на графиках соответствуют моментам переключения управления. Если при нахождении оптимального управления существует такое 1, что Б(*) > Б1гт, то это говорит о необходимости увеличения значения
га
4 3.8 3.6 3.4 3.2 3
10
15
20
25
t
Рис. 3. Изменение концентрации Б (г БПКполн/м3) во времени 1 (мин) при различных значениях и: О — при и = 4, I - при и = 5, при и = 6
Заключение
Предложена математическая модель управления процессом биоочистки сточных вод в случае субстрата одного типа в аэротенке-смесителе. Произведено качественное исследование разработанной математической модели, найдено ее инвариантное множество и интегральное притягивающее множество.
С целью минимизации расхода кислорода разработан и апробирован алгоритм для нахождения оптимального управления процессом биоочистки в аэротенке-смесителе. Этот алгоритм позволяет оптимизировать расход кислорода при поддержании выходной концентрации субстрата в допустимых границах.
Приведены результаты численных экспериментов, показывающие адекватность разработанной модели процессу биоочистки.
Литература
1. Henze M., Grady C. P. L., Gujer W. et al. Activated sludge model no. 1. Scientific and Technical Report 1, IAWPRC Task Group on Mathematical Modelling for Design and Operation of Biological Wastewater Treatment Processes. IAWPRC, London, 1987.
2. Henze M, Gujer W., Mino T. et al. Activated Sludge Model No. 2d, ASM 2d // Water Science and Technology, 1999. No. 39(1). P. 165-182.
3. Henze M., Gujer W., Mino T., van Loosdrecht M. C. M. Activated Sludge Model No. 3 // Water Science and Technology. 1999. No. 39(1). P. 183193.
4. Вавилин В. А. Время оборота биомассы и деструкция органического вещества в системах биологической очистки. М.: Наука, 1986. 143 с.
5. Кириллов А. Н., Рейсс Т. В., Смирнов Н. В. Математическое моделирование процессов нитрификации и окисления органических веществ
60
0
5
в проточной биосистеме // Ученые записки Петрозаводского государственного университета. Сер. Естественные и технические науки, 2013. № 4 (133). С. 105-109.
6. Grigorieva E. V., Khailov E. N. Optimal control of a waste water cleaning plant // UAB Conference on Differential Equations and Computational Simulations. Electronic Journal of Differential Equations. USA. Eighth Mississippi State. 2010. P. 161-175.
7. Смирнов Н. В. Управление процессом биоочистки воды в аэротенке // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды. М.:
References
1. Henze M., Grady C. P. L., Gujer W. et al. Activated sludge model no. 1. Scientific and Technical Report 1, IAWPRC Task Group on Mathematical Modelling for Design and Operation of Biological Wastewater Treatment Processes. IAWPRC, London, 1987.
2. Henze M, Gujer W., Mino T. et al. Activated Sludge Model No. 2d, ASM 2d. Water Science and Technology. 1999. No. 39(1). P. 165-182.
3. Henze M., Gujer W., Mino T., van Loosdrecht M. C. M. Activated Sludge Model No. 3. Water Science and Technology. 1999. No. 39(1). P. 183193.
4. Vavilin V. A. Vremya oborota biomassyi i destruktsiya organicheskogo veschestva v sistemah biologicheskoy ochistki [Time of biomass turnover and destruction of organic matter in the systems of biological treatment]. Moscow: Nauka, 1986. 143 p.
5. Kirillov A. N., Reyss T. V., Smirnov N. V. Matematicheskoe modelirovanie protsessov nitrifikatsii i okisleniya organicheskih veschestv v protochnoy biosisteme [Mathematical modeling of nitrification and organic matter oxidation processes in flow-through biosystem]. Uchenyie zapiski Petrozavodskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Estestvennyie i tehnicheskie nauki [Proceedings of Petrozavodsk State University. Ser.: Natural and engineering sciences]. 2013. No. 4(133). P. 105-109.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
Кириллов Александр Николаевич
ведущий научный сотрудник, д. ф.-м. н. Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: kirillov@krc.karelia.ru тел.: (8142) 781108
Смирнов Николай Васильевич
старший преподаватель, к. т. н.
Петрозаводский государственный университет
пр. Ленина, 33, Петрозаводск, Республика Карелия,
Россия, 185910
эл. почта: fresh.87@mail.ru
тел.: (8142) 719621
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 6792-6799.
8. Смирнов Н. В. Оптимальное управление процессом биоочистки сточных вод в аэротенке // Процессы управления и устойчивость. 2014. Т. 1(17). С. 277-282.
9. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.
10. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. Л.: Наука, 1972. 576 с.
Поступила в редакцию 02.04.2016
6. Grigorieva E. V., Khailov E. N. Optimal control of a waste water cleaning plant. UAB Conference on Differential Equations and Computational Simulations. Electronic Journal of Differential Equations. USA. Eighth Mississippi State, 2010. P. 161-175.
7. Smirnov N. V. Upravlenie protsessom bioochistki vodyi v aerotenke [Process control of biological water purification in the aeration tank]. XII Vserossiyskoe soveschanie po problemam upravleniya VSPU-2014. Moscow, 16-19 june 2014.: Trudy [Proc.: XII All-Russian meeting on control problems. Moscow, June 16-19, 2014]. Moscow: Institut problem upravleniya im. V. A. Trapeznikova RAN, 2014. P. 6792-6799.
8. Smirnov N. V. Optimalnoe upravlenie protsessom bioochistki stochnyih vod v aerotenke [Optimal control of the process of biological purification of sewage in the aeration tank]. Protsessy upravleniya i ustoychivosti [Control processes and stability]. 2014. Vol. 1(17). P. 277-282.
9. Alekseev V. M., Tihomirov V. M., Fomin S. V. Optimalnoe upravlenie [Optimal control]. Moscow: Nauka, 1979. 432 p.
10. Li E. B., Markus L. Osnovy teorii optimalnogo upravleniya [Foundations of optimal control theory]. Leningrad: Nauka, 1972. 576 p.
Received April 02, 2016
CONTRIBUTORS:
Kirillov, Alexandr
Institute of Applied Mathematical Research,
Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences
11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk,
Karelia, Russia
e-mail: kirillov@krc.karelia.ru
tel.: (8142) 781108
Smirnov, Nikolay
Petrozavodsk State University 33 Lenin St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia e-mail: fresh.87@mail.ru tel.: (8142) 719621
