Математическая модель оптимального управления безопасностью эксплуатации боеприпасов обслуживающим персоналом на объекте хранения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Плющ А.А.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТЬЮ ЭКСПЛУАТАЦИИ БОЕПРИПАСОВ ОБСЛУЖИВАЮЩИМ ПЕРСОНАЛОМ НА ОБЪЕКТЕ ХРАНЕНИЯ

Предлагается направление повышения безопасности объектов хранения боеприпасов путем управления системой контроля за правилами их эксплуатации обслуживающим персоналом. По математическим моделям, полученным с использованием управляемых стохастических ветвящихся процессов, определяются вероятностные оценки возникновения чрезвычайных ситуаций на объектах хранения боеприпасов из-за нарушения правил их эксплуатации обслуживающим персоналом. Поставлена и решена математическая задача оптимального управления системой контроля работы обслуживающего персонала с боеприпасами на основе использования стохастических ветвящихся процессов и принципа максимума Понтрягина. Проведен анализ результатов математического моделирования и даны рекомендации по применению модели с целью создания рациональной структуры системы управления безопасностью объекта.

Обслуживающий персонал, проводящий работы с боеприпасами, условно распределим по группам риска и проведем их ранжирование: с повышением номера группы риск возникновения чрезвычайной ситуации на объекте из-за нарушения правил эксплуатации боеприпасов возрастает. Количество сотрудников в группах риска является случайной величиной ^(/) = Щ (і = 1,2,...,п) , где п - количество групп риска. На рис. 1 показан граф контроля работы обслуживающего персонала с боеприпасами, по результатам которого возможно отстранение сотрудников групп риска от выполнения служебных обязанностей и прием на работу новых людей.

Рис. 1. Граф контроля за проведением работ с боеприпасами обслуживающим персоналом

Пусть за время А/ с вероятностью Р/+і = тщі+\<Хц+\& + О(А) отдельно взятый сотрудник обслуживающего

персонала переходит из группы риска і в группу І + 1 или с вероятностью Рі = тДА + О2 (А) по результатам контроля его работы отстраняется от выполнения служебных обязанностей за нарушение правил эксплуатации боеприпасов, и с вероятностью Р = тДА + О (А) на работу принимается новый сотрудник. В вероятностях

перехода р, ./+1

Р^!,Р,Р : а,у

- интенсивность перехода сотрудников в группы риска, Д - интенсивность контроля за правилами эксплуатации боеприпасов, Д = Д +Д2 + - + Дп - интенсивность приема сотрудников на работу, т = щ + щ +... + тп ; О (Аї) , О (Аї) , О (А) - остаточные члены формул Тейлора при

А/ ^ 0,О (А/) ^ 0, О (А) ^ 0, О (А) ^ 0 . Для этих вероятностей перехода случайный Марковский процесс имеет структуру, приведенную на рис.2.

Рис. 2. Структура вероятностных переходов Марковского процесса деградации обслуживающего персонала базы

Вероятность перехода обслуживающего персонала группы і в повышенную группу риска і+1 пропорциональна произведению тщі+і . При помощи этого произведения математически моделируется фактор неблагоприятного влияния сотрудников повышенной группы риска на сотрудников более низкой группы риска.

Марковские процессы (рис.2) в теории вероятностей называются стохастическими ветвящимися процессами [1]. Стохастическая система ( щ,щ,...,Щ,т-_р...,т ) (в момент времени t в группе і находятся ^(/) = Щ (/ = 1,2,...,п) сотрудников базы), вероятность этого события

Р(/;^(/) = Щ ,^2 (/) = Щ ,...,Ая (/) = тп) = Р(ї; Щ, Щ,..., тп)) за время / + А/ переходит в одно из состояний, показанных на рис. 2, или остается в прежнем состоянии. Определим вероятность того, что за время / + А/ стохастическая система не изменит своего состояния. Используя методику, изложенную в [2], получаем:

Р(/ + А/; щ, щ,..., тп ) = І 1 т.а. .+1А + т.ДА/ + 5щДА

р (¡; т,..., т, т.+ 1з..., тп )+^(т +1)(т*+1- 1М ^ар^; т ,..., т. +1, т+\ -1,.., т)+ , (!)

1=\

+(т1 + 1)Д АР(?;тх,...,т1 +1,,...,тм) + (т-1)ДДАР(?; т1 -1,т2,...,,т/+1,...,тм)

где Д = 1 , если I = 1 и Д = 0 , если / ^ 1 .

Из (1) при А ^0 получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

п-1

ЛР (*; т, тт) ”

—(—-т---------- = -X (тт+1ам+1 + т,Р + тР8> ) •

л 7~!

■Р(Г, т1,...,т,т+1,...,тп)-(от,. + 1)(т+1 -1)а,.МР(Г,т^...,т, +1,т+1-1...,т- (2)

-(т+1)рр(г; т,..., т+1, т+ 1,..., т) - (т -1) Р^ ■ Р(*;т!^..^т,,т^..,тД т1,2,...,п = 0,1,2...

Начальное и конечное состояния контроля работы обслуживающего персонала с боеприпасами математически описывается с помощью краевых условий для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2):

(1, велит, = тп, т = 0,..., т = 0,

^^^...тп ) = 1П „ „ (3)

[о, вели т ф т, т фо,...,тп ф о,

(1, вели т1 = то -тр, т2 = 0,...,тп = 0,

Р (*0 + т; т1, Ш-2,..., т ) = ^ (4)

[0, вели т фт0 -тр, т2 ф 0,...,тИ ф0.

Краевое условие (3) определяет начальное состояние контроля работы обслуживающего персонала с боеприпасами, т.е. сотрудники в количестве т прошли соответствующую техническую подготовку, проинструктированы и готовы к выполнению служебных обязанностей.

Краевое условие (4) определяет конечное состояние контроля работы обслуживающего персонала с боеприпасами, т.е. за время Т обнаружены и отстранены от выполнения служебных обязанностей все сотрудники, нарушившие правила работы с боеприпасами, а на их должности назначены новые люди, при этом неукомплектованность обслуживающим персоналом на объекте не должна превышать шр .

В общем случае интенсивности переходов а-+\,р являются функциями от времени:

«м+1 =аи+Ш1=1,2,...,п-1) р=жо (=и—п) • С их помощью можно осуществлять управление безопасностью

эксплуатации боеприпасов обслуживающим персоналом на объекте. Задача оптимального управления безопасностью эксплуатации боеприпасов обслуживающим персоналом сводится к управлению стохастическим ветвящимся процессом, который описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (2). Для решения задачи оптимального управления безопасностью эксплуатации боеприпасов обслуживающим персоналом будем использовать вариационное исчисление. Задачи и цели управления в вариационном исчислении определяются функционалами, которые можно построить исходя из стратегий функционирования объекта. Рассмотрим один из возможных вариантов таких стратегий, имеющих важное значение для практики.

Пусть интенсивность переходов сотрудников обслуживающего персонала в группы риска известна

а ■+1 (V) = а ),+1(/) . Интенсивность переходов можно определить из статистики функционирования объекта в течение нескольких лет.

Интенсивность переходов сотрудников в группы риска можно рассматривать и как попытку совершения несанкционированных действий на объекте. Например, группа нарушителей, имея некоторый план действий

.,+1

(V), целенаправленно проводит работу по деморализации обслуживающего персонала (наркотики, спиртные

напитки, беседы, связанные с призывами к безответственному выполнению служебных обязанностей и т.д.) . План действий нарушителей известен, например, информация получена органами ФСБ.

Стратегия функционирования системы контроля за работой обслуживающего персонала с боеприпасами заключается в следующем: все случаи нарушений правил эксплуатации боеприпасов обслуживающим персоналом

должны быть выявлены, нарушители этих правил - отстранены от выполнения служебных обязанностей, а на их рабочие места - приняты новые сотрудники. Математической моделью этой стратегии является минимизация функционала:

*0 +т/

*0 +Т ^ п Л

;(Р(о,Р2(о,...,Рп(*)) = | [Е(0!,+1(о-Р(*))2Л (5)

2(

*0

Система контроля на объекте имеет определенные ресурсы (штаты сотрудников, техническое оснащение и т.д.) и математически ограниченность ресурсов системы контроля описывается неравенством

Р(0 +Р2(0 + ■■■ +рп (0-р0(*0 - * - *0 +Т) , (6)

где Р - наибольшая интенсивность контроля, которую может обеспечить система контроля на объекте.

В этом случае математическая модель оптимального управления безопасностью эксплуатации боеприпасов обслуживающим персоналом заключается в следующем. Требуется определить вероятности Р (/0 ;т^, т2,..., тп) и

управление Р (*), приводящие к минимуму функционал (5) при дифференциальных связях (2), краевых условиях (3), (4) и ограничение на управление (6).

Построим вычислительный алгоритм решения задачи оптимального управления безопасностью эксплуатации боеприпасов, используя принцип максимума Понтрягина. Составим функцию Гамильтона:

п 2

н (р (V) ,Р2 (V ),...„Рп (V ))=-Х(а0,+1(0-Р(*)) +

,=1

ад ад ад п

+Ц...1 Ха0+)(т+1)р(*; «ь..^ т +1, т + -1,..., т) + , (7)

т1=0 «2=0 тп =0 ,=1

+Р (*)(т+1)Р(*; т,..., т +1, т+ [,..., т)+8$(т - 1)Р(*; т -1,..., т, т+ [,..., т) -

-(а°м(*)ттм + Р (*)т +8Рт)Р(1; тх, тг,..., тп)

Л^Т1,Т2,.,Тп дН (Р (*), Р2 (* Х-, Рп (*)) _

где -------;----=-------гг7---------------ч--. (8)

л дР (*; т, т,.., тп)

Определим частные производные функции Гамильтона (7) и приравняем их к нулю

¿Н - 2 («,,— Д, ('))+ X X... X Г,,„,.............„ 1

дх± ш\ -0 т-2 -0 тп - О

г1 *(т, * 1) (9)

•Р(?;т,...,т * 1,т/+т) - т1р(т;т,•••,т,т/+I,---,т)) - 0, . -1,2,...,п.

Из системы алгебраических уравнений (9) находим оптимальное управление:

1 да да да

Д*(/,Р*) = о°.+1 (/)--Е Е ... Е Утьт2,...,тп ((* * 1)Р<* т1’...’ т * 1 *+1’...’ тп) - . (10)

2 т!-О т2-0 тп-О

—тр(1;т,•••,—, т/+—..., — )), . = 1,2,...,п

Подставляя управление (10) в (2) и (8), получаем замкнутую краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

йР(г;т.,т2,...,тп) .Д. 0 .

------—Г-------— - —Е«+1(()т1т1+1 *д (t,р,У~)Щ * 8 Дт)•

т .-1

•р(п m1,..., т, т+1,..., тп)—а?г+1(^)(тг * 1)(mi+l—1)р(п ml,..., т* 1,mi+l—и. тп)—

—д* (/, р,у)(т * 1)Р(/; т,..., т * 1, тм ,•••, т)— 8Д(т—1) •

•Р(/; т—1,т,..., т, т^ ,•••, т);

тут,т2 тп ^ _0 .... , 1л/„. 1ЛЛ (11)

Ущ,т2 шп Е««+1(t)(mimi+1 — (т * 1)(т(*1 — 1)) —

р (^т m2,..., тп )-|1 р (?0 *г; т, т ,••

д*(?,р,у) *^д; т - т * т2 *... * т; т2 «- 0,1,2,...;

1, если - т0, т - 0,...,тИ - 0,

0, если т ф т, т ф 0,...,тп ф 0,

1, если т - т—тР, т - 0,...,т - 0,

0, если т ф т — тР, т ф 0,...,т ф 0,

из которой определяем функции р(/;т,т,.••,тп) , Ущ т2 т и подставляем их значения в оптимальное управление (10).

Для численного решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно использовать метод Ньютона с дроблением шага. В этом методе краевая задача решается через серию задач

Коши (подбирается начальное условие для функций ^ так, чтобы выполнялось краевое условие (4)).

Если задача не имеет решения, необходимо изменить краевое условие (4) (конечное состояние системы контроля работы обслуживающего персонала с боеприпасами), например, допустить, что в группах пониженного риска с установленной степенью вероятности могут находиться сотрудники объекта, нарушившие правила эксплуатации боеприпасов, но не выявленные системой контроля. Может оказаться, что оптимальное управление (10) не будет удовлетворять неравенству (6) или оценка в этом неравенстве будет сильно занижена. Тогда в первом случае необходимо увеличить количество сотрудников системы контроля, а во втором - сократить.

В качестве примера, иллюстрирующего работоспособность разработанной модели, рассмотрим объект хранения боеприпасов с четырьмя группами риска обслуживающего персонала. На рис 3. показана зависимость интенсивности контроля Д( -1,2,3,4) в группах риска от продолжительности работы с боеприпасами при оптимальном управлении системой контроля.

Рис. 3. Оптимальное управление системой контроля на объекте с четырьмя группами риска обслуживающего

персонала: т0 - 100, «2 - 0,015, а23 = 0,011, «4 - 0,09

Анализ полученных результатов показывает, что при продолжительности работ с боеприпасами в интервале 0</<0,4г наблюдается нестационарное управление (формируется трудовой коллектив), а для г)0,4г - стационарное управление (трудовой коллектив сформировался). Следовательно, постановка задачи сотрудникам системы контроля на начальный период (0< / < 0,4г ) работ с боеприпасами будет следующая - контролем должны быть выявлены даже незначительные нарушения правил эксплуатации боеприпасов, обслуживающий персонал за нарушение этих правил отстраняется от выполнения служебных обязанностей (жесткость контроля в начальный период времени проведения работ с боеприпасами).

ЛИТЕРАТУРА

1. Севостьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. - М.: Наука, 1971.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: физ.-мат., 1962.

3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1969.