CC BY
21УДК 535
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИЧЕСКОЙ ДИФРАКЦИИ И ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛЯ ФРЕНЕЛЯ
Борис Игнатьевич Смагин
доктор экономических наук, профессор
[email protected] Борис Иванович Липатов
старший преподаватель Мичуринский государственный аграрный университет
г. Мичуринск, Россия
Аннотация. В статье рассмотрена математическая модель оптической дифракции, физической основой которой стал принцип Гюйгенса - Френеля. В построенной модели присутствуют интегралы Френеля, которые могут быть представлены степенными рядами, параметрические уравнения которых описываются спиралью Корню, проиллюстрированные с помощью кода на языке Python.
Ключевые слова. дифракция света, интеграл Френеля, метод комплексных амплитуд, алгоритмический язык Python.
Значительная часть оптических приборов основана на таком фундаментальном явлении, как явлении дифракции, и потому в данной статье, следуя [2], будут рассмотрены некоторые аспекты этого многогранного явления.
Физической основой для рассмотрения явления дифракции стал принцип Гюйгенса - Френеля (следует также отметить, что для математического описания этого явления много сделал немецкий ученый Кирхгоф, и потому упомянутый выше принцип иногда называют принципом Гюйгенса - Френеля -Кирхгофа.
Качественно этот принцип заключается в следующем. При дифракции на препятствии и на отверстии (отверстиях) происходит взаимодействие световой волны с материальным объектом, и он становится источником вторичных волн, которые, взаимодействуя (интерферируя), дают некоторое распределение освещенности (интенсивности), т.е. определенную картину светлых и темных пятен, полос, колец и т.д., и именно получение количественного описания этой интенсивности (освещённости) является целью теории дифракции.
Поскольку в оптических приборах чаще реализуется процесс дифракции на отверстиях, в дальнейшем будет рассматриваться именно он.
Пусть в точке Ро помещен некоторый точечный источник света, который падает на лист непрозрачного материала М, в котором имеется отверстие А. считаем, что и лист М, и отверстие А - плоские. Тогда согласно принципу Гюйгенса - Френеля граница области А будет источником вторичных световых волн, взаимодействие которых и будет определять распределение интенсивности света.
Поставим задачу - определить интенсивность 1(Р) в точке Р. Так как в физике часто используется метод комплексных амплитуд, то
и ( Р ) = В ( С +¡8 ), (1)
где В, С, Б определяют векторы электрического поля Е и магнитного поля Н световой волны. Здесь
I ехр Г ¡к (г'+ ^')! , ч
В = -Л-• соб § ——=—--^ (2)
Я г' 5' V 7
с = \\ соб {к[ (£?)}
Л
8 = ц б1п (£?)}
(3)
(здесь k = 2п/Х - волновое число, X - длина волны света из источника Р0, А -
Л кг
амплитуда сферической волны, а 5 - угол между отрезком ~ е ьр Р0Р и нормалью к экрану).
Отметим также, что I (р )=и (р )| и потому
I ( Р ) = В2 ( С2 + 82) ( 4)
Разлагая f (£, п) в ряд и отбрасывая слагаемые с и п в 3-й и более высоких степенях, приведем интегралы (3) к виду
С = Ц соб \п[1 +1соб2 § + г? ) [
п
Я V г' 5 г 1 1
8 = Л Б1П 1 + -1 )(^2 соб2 § + л2)[
( 5)
л
Вводя для удобства новые переменные интегрирования и и V, определяемые соотношениями
•л
<
п
I
п
I
/
1 1
л
V г •+ s' у
É-2 2 о П 2
q cos о = — u
2
/
1 1
л
V г'+ s' у
2 П 2 •Л =— V
2
получим, что
dqd^ =
1
2
du • dv
í
1 1
л
a
V г' + s1 у
cos О
с = 6 JJ
a'
cos^ — (u2 + v2) ldudv
S = b JJ sin j—(u2 + v2 H dudv
a'
где
b
I
í
2
1 1
л
V г ' + s' у
cos О
Если А' - прямоугольник со сторонами, параллельными осям и и V, то интегралы (5) можно упростить, используя тождества
cos j—( u 2 + V2 )
cos
sin <j — ( u 2 + V 2)
sin
í -rr \
п 2
— u
V 2 у п
2
cos
— 2 — u
cos
V 2 у
í -rr \
п 2
— V
V 2 ) п
2
sin
( -rr \ п2 — u
2
sin
í -rr \ п2 — V
( -rr \ п2 — V
+ sin
V 2 у
V 2 у V 2 у п
2
( -rr \ п2 — V
cos
V 2 у
2 71 2
( -rr ^ п2 — u
V 2 у
что приводит к интегралам
и
Е ( u ) = J
cos
V
dr.
(6)
у
dr, L (u ) = í sin
0 V ^ у о
Полученные интегралы Френеля широко используются в оптике и кроме вышеприведенной записи могут определяться следующими формулами:
ft2Л
S (z) = | sin — dt, С (z) = J cos
V 2 —
rt2Л
V 2 п у
dt.
<
<
Довольно часто интегралы Френеля определяются как
X X
S (х) = J sin (t2) dt, C (x) = J cos (t2) dt
o o
Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой. Это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах. Так как
. смЛ2\ + (___2 (Л
C' (t2) + S' (t2) = sin2 (t2) + cos2 (t2) = 1,
то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что ? является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину. Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат.
Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех х:
х у.4п+3 3 7 11
•А Л Л Л
S ( х ) = f sin (t2) dt = У(-1)Й-7-Хг,-Г
w J0 v ; (4n + 3)(2n +1)! 3 42 1320
x и 4n+1
C (x) = 0 cos (t2) dt = j (- l)n * ч ( ) 0 W t0V 7 (4n + l)(2n)
0 п=0 » 4П + 1Ц 2п10 216
Некоторые авторы используют в качестве аргумента тригонометрических
& 2
подынтегральных функций г^ 1 . Таким образом определенные интегралы Фре-
неля получаются из определённых выше интегралов заменой переменной
& ¡2 1 ^ Л— • 1 и умножением интегралов на . Таким образом, мы приходим к ин-
тегралам вида (6).
При использовании алгоритмического языка Python оба интеграла возвращаются в кортеже для действительного или комплексного аргумента z метода
fresnel(z) из модуля scipy.special. Связанная с ними функция fresnel_zeros(nt) возвращает nt первых комплексных нулей интегралов S(z) и C(z) [1,3].
Кривая, описываемая параметрическими уравнениями (x,y) = (S(t), C(t)), называется клотоидой (или спиралью Эйлера (часто ее также называют спиралью Корню)) и обладает тем свойством, что ее кривизна пропорциональна расстоянию, отмеряемому вдоль ее траектории.
Приведем код, создающий графическое изображение спирали Эйлера при -10 < t < 10.
import numpy as np
from scipy.special import fresnel
import matplotlib.pyplot as plt
t=np.linspace(-10,10,1000)
plt.plot(*fresnel(t),c='k')
plt.show()
0.2 • 0.0 ■ -0 .2 ■ -0.4 ■ -0.6 --0 8 •
-06 -0.4 -0.2 0.0 0.2 04 06
Список литературы:
1. Бизли Д. Python: Исчерпывающее руководство. СПб.: Питер, 2023. 368с. 1. Борн, М. Основы оптики /М. Борн, Э. Вольф. М.: Наука, 1973. 720с. 3. Хилл К. Научное программирование на Python. М.: ДМК Пресс, 2021.
647с.
UDC 535
MATHEMATICAL MODEL OF OPTICAL DIFFRACTION AND ESTIMATION OF FRESNEL INTEGRALS
Boris I. Smagin
Doctor of Economics, Professor bismagin@mail .ru Boris I. Lipatov Senior lecturer Michurinsk State Agrarian University Michurinsk, Russia
Annotation. The article considers a mathematical model of optical diffraction, the physical basis of which was the Huygens -Fresnel principle. The constructed model contains Fresnel integrals, which can be represented by power series, the parametric equations of which are described by a spiral to the Root, illustrated using Python code.
Keywords: light diffraction, Fresnel integral, complex amplitude method, Python algorithmic language.
Статья поступила в редакцию 12.11.2022; одобрена после рецензирования 02.12.2022; принята к публикации 20.12.2022.
The article was submitted 05.11.2022; approved after reviewing 02.12.2022; accepted for publication 20.12.2022.
