CC BY
50
DOI 10.23859/1994-0637-2017-1-76-10 УДК 621.74.047:669.14
© Недопекин Ф.В., Белоусов В.В., Бодряга В.В., Бондаренко В.И., Степанов А. Т., 2017
Недопекин Федор Викторович
Доктор технических наук, профессор, Донецкий национальный университет (Донецк, Украина) E-mail: [email protected]
Белоусов Вячеслав Владимирович
Доктор технических наук, профессор, Донецкий национальный университет (Донецк, Украина) E-mail: [email protected]
Бодряга Виктор Викторович
Старший преподаватель, Донецкий национальный университет (Донецк, Украина) E-mail: [email protected]
Бондаренко Виталий Иванович
Старший преподаватель, Донецкий национальный университет (Донецк, Украина) E-mail: [email protected]
Степанов Александр Тимофеевич
Кандидат технических наук, доцент, Череповецкий государственный университет (Череповец, Россия) E-mail: [email protected]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ВЫСОТЫ КРИСТАЛЛИЗАТОРА В УСТАНОВКЕ НЕПРЕРЫВНОЙ РАЗЛИВКИ СТАЛИ
Аннотация. В статье сформулирована физическая и математическая модель гидродинамических и теплообменных процессов при формировании алюминиевого слитка в установке непрерывной разливки. Определена оптимальная высота кристаллизатора с учетом минимальности функционалов, характеризующих градиенты температуры в твердой фазе металла и объем жидкой лунки.
Nedopekin Fedor Victorovich
Doctor of technical sciences, professor, Donetsk national university (Donetsk, Ukraine) E-mail: [email protected]
Belousov Vyacheslav Vladimirovich
Doctor of technical sciences, professor.
Donetsk national university (Donetsk, Ukraine) E-mail: [email protected]
Bodryaga Victor Victorovich
Senior lecturor, Donetsk national university (Donetsk, Ukraine) E-mail: [email protected]
Bondarenko Vitaly Ivanovich
Senior lecturer, Donetsk national university (Donetsk, Ukraine) E- mail: [email protected]
Stepanov Alexandr Timofeevich
PhD (Technology), Associate professor, Cherepovets state university (Cherepovets, Russia) E-mail: [email protected]
MATHEMATICAL MODEL OF DEFINING OPTIMAL CRYSTALLIZER HEIGHT IN CONTINUOUS CASTING MACHINE
Summary. The physical and mathematical model of hydrodynamics and heat and mass transfer processes during aluminum ingot formation in continuous caster are suggested in the article. The optimal height of mould was obtained taking into account the minimality of functionals that characterize temperature gradients in solid phase of metal and volume of liquid pool.
Ключевые слова. Машина непрерывного Keywords. Continuous casting machine,
литья заготовок, высота кристаллизатора, crystallizer height, functional, temperature gra-
функционал, градиенты температур, объем dients, volume of liquid pool. жидкой лунки.
Введение
Основным методом производства слитков из стали является непрерывное литье с непосредственным охлаждением слитка водой. Этот метод характеризуется высокими скоростями кристаллизации и обеспечивает получение качественных слитков. Одной из самых актуальных проблем в металлургии на сегодняшний день является проблема получения высококачественных стальных слитков и их сплавов [1], [2], [3].
В результате проведения натурных экспериментов можно достичь оптимальных параметров разливки и минимального негативного влияния, проходящих при этом процессов, что приведет к желаемому повышению качества металла. Однако такие эксперименты дорогостоящие и не всегда возможны, поэтому их проведение становится все более экономически неоправданным. Выходом из создавшегося положения представляется попытка заменить непосредственный практический эксперимент численным экспериментом на основе теоретической математической модели, позволяющей рассчитать параметры будущего металла при помощи ЭВМ с достаточно удовлетворительной точностью [1].
Основная часть
Физическая постановка задачи. Модель процесса выглядит следующим образом. В кристаллизатор, имеющий форму цилиндра, с диаметром основания Б = = 0,42 м заливается расплав стали (рис. 1). Цилиндрическая область состоит из двух технологических зон. Верхняя часть - зона кристаллизатора, протяженностью 1 м, и зона вторичного охлаждения, размеры которой равны 14 м. В кристаллизатор непрерывно поступает жидкая сталь. Охлаждение осуществляется с помощью воды, подаваемой под давлением. Скорость вытягивания слитка равна 0,571 м/мин.
1
Рис. 1. Схема исследуемой области: 1 - расплав стали, 2 - канал для охлаждения водой, 3 - кристаллизатор, 4 - зона охлаждения, 5 - затвердевший металл
Рассматривается задача о движении расплава, вызванном вынужденным перемешиванием его заливочной струей, поступающей в пристеночную область кристаллизатора через заливочное отверстие радиуса Я, и конвективным перемешиванием, обусловленным теплоотводом от внешней поверхности слитка. Скорость поступления расплава компенсируется скоростью вытягивания затвердевшего металла. Начальная температура расплава 1526 °С. Температура кристаллизатора 20 °С.
Процесс затвердевания расплава разбивается на 2 этапа: 1) наполнение кристаллизатора; 2) затвердевание.
На этапе наполнения кристаллизатора примем некоторые допущения: 1. Условие равного расхода:
¥СЯ = -УпВ,
где УС - скорость заливки струи, Б = Ьх — Я - разница между диаметром кристаллизатора Ьх и диаметром струи Я, Уп - скорость поднятия расплава (рис. 1),
V =—ГсЯ _ усЯ
Б 1х — Я
2. Пренебрегаем эффектом удара струи, что эквивалентно предположению о существовании начального уровня расплава минимально возможной толщины у = Н в машине непрерывной разливки стали (приближение затопленной струи).
3. Не учитываем эффект свободной поверхности и в пристеночной области кристаллизатора применимо приближение Буссинеска.
4. Предполагаем идеальную организованность струи (V = 0, у = Н, где Н -высота кристаллизатора, У\ - горизонтальная компонента скорости расплава).
Математическая модель процесса. При формировании слитка учитывается два этапа: этап наполнения кристаллизатора и этап затвердевания. Модель включает уравнение Навье-Стокса в переменных тока ^ и вихря скорости ю [1], [3] и граничные условия для этапов наполнения и затвердевания. Тепловые процессы в слитке описываются с помощью уравнения теплопереноса с учетом затвердевания жидкой фазы, а также начального и граничного условия на различных участках области (рис. 1).
Методика определения оптимальной высоты кристаллизатора. Имеется два основных подхода для решения задачи оптимизации процесса затвердевания:
1. Исследуемый объект представляют в виде «черного ящика», опираются на аппарат математической статистики, теории распознавания образцов и кибернетики. В этом случае нужно установить корреляционные связи между управляемыми параметрами на входе системы и параметрами на ее выходе, определяющими качество готовой продукции.
2. Активный подход к проблеме оптимизации основан на тщательном изучении процессов, происходящих при затвердевании, и математическом моделировании их с помощью компьютера. Задача оптимизации в этом случае заключается в поддержании оптимальных значений критериев, что выражается в требовании минимальности некоторых целевых функционалов, которые зависят от параметров управления [5].
В рассматриваемой задаче используется второй подход. Для дальнейшего повышения качества непрерывных слитков необходимо глубже изучить механизмы, влияющие на процесс затвердевания.
Перейдем к математической формулировке критериев качества оптимальности. Для предотвращения образования трещин необходимо уменьшать градиенты температур по толщине корочки слитка, т. е. необходимо минимизировать следующий функционал [5]:
у 1 = Я( + К ) йхйу , (1)
0 %
где х, у - горизонтальные координаты, у - вертикальная координата, выходящая из начала слитка и направленная вниз по его оси (рис. 1), У - нижняя граница слитка, £ - поперечная координата линии солидуса в сечении слитка, компоненты градиента
Т ВТ ВТ температур 1Х = —, 1у = —.
дх ду
Для определения данного функционала введем © - функцию Хевисайда, удовлетворяющую следующим условиям:
©(т - т )={0
Т < Т 0, т > т£
Таким образом, формула (1) примет вид:
У ь
Л = Я ( + Т2 )1/2 © (т - Ть ) йхйу . (2)
0 %
Глубина жидкой лунки вносит качественные изменения в структуру стальных слитков. Увеличение ее объема повышает вероятность возникновения осевой ликвации (накопления примесей по оси слитка) и пористости. Объем жидкой лунки, определяемой по температуре солидус в непрерывном слитке, зависит от объема двухфазного состояния. В переходной зоне твердо-жидкого состояния при кристаллизации образуются парогазовые полости в виде пузырьков, что приводит к возникновению пористой структуры непрерывного слитка [5]. Поэтому для уменьшения пористости необходимо учитывать объем жидкой лунки.
Объем жидкой лунки в работе [5] определяется следующим функционалом:
н
= {ф йу, (3)
0
где Н - глубина жидкой лунки по температуре солидус, ф - площадь сечения жидкой фазы при текущем у.
Так как нет явной зависимости ф от температуры, значит тета-функция 6 , определяющая данный функционал в пределах жидкой лунки, должна зависеть от Т. Поэтому запишем (3) в виде:
Dlx
J2 = JJ®(T -Ts)dxdy , (4)
0 0
где 9(T-TS) = 1, при T > TS и 9(T-TS) = 0 в противном случае.
Минимальность градиентов температуры в твердой фазе слитка (2) обязательно приведет к увеличению объема жидкой лунки (4). Следовательно, ввод ограничения на объем жидкой лунки является достаточно актуальным. Задача оптимизации формулируется следующим образом. Необходимо найти оптимальную высоту кристаллизатора, при которой градиенты температуры в твердой корочке слитка с учетом ограничения на объем жидкой лунки будут иметь минимальные значения. Введем критерий оптимальности
Y D Dlx
J = {{( + T2 )1/2 ®(T- TL )dxdy + 1jje(T- Ts )dxdy, (5)
0 % 0 0
где х - весовой коэффициент, определяющий степень влияния функционала определяющего объем жидкой лунки; Ть и Т$ — температура ликвидуса и солидуса.
Задача оптимизации формулируется следующим образом. Необходимо найти оптимальную высоту кристаллизатора, при которой градиенты температуры в твердой корочке слитка с учетом ограничения на объем жидкой лунки будут иметь минимальные значения. Будем использовать прямой экстремальный подход [4], основанный на непосредственной минимизации целевого функционала (5) прямым экстремальным подходом.
Прямой экстремальный подход состоит из двух, практически самостоятельных, подзадач [4]. Первая — это определение градиента целевого функционала VJ (в нашем случае это функция, зависящая от одного параметра ккр) и вторая — определение экстремума целевого функционала на основе его градиента. Алгоритм представлен на рис. 2.
Рис. 2. Алгоритм расчета оптимальной высоты кристаллизатора
hk+1 = hk -akVhJk ,
(6)
где a - коэффициент градиентного спуска, находится по формуле (6).
(7)
где h0 = 1 м - начальное приближение для высоты кристаллизатора.
Выводы
1. Разработаны физическая и математическая модели гидродинамических и теп-лообменных процессов в формирующемся непрерывном стальном слитке.
2. Сформулирована задача определения оптимальной высоты кристаллизатора с целью минимизации градиентов температур в твердой корочке слитка с учетом ограничения на глубину жидкой лунки.
1. Недопекин Ф.В. Математическое моделирование гидродинамики и тепломассоперено-са в слитках. Ижевск, 1995. 236 с.
2. Никитенко Н.И. Теория тепломассопереноса. Киев, 1983. 352 с.
3. Огурцов А.П., Недопекин Ф.В., Белоусов В.В. Процессы формирования стального слитка. Математическое моделирование заполнения и затвердевания. Днепродзержинск, 1994.
4. Огурцов А.П., Недопекин Ф.В., Толстых В.К., Володин Н.А. Прямая оптимизация теп-лофизических процессов. Донецк, 1997. 150 с.
5. Соболев В.В., Трефилов П.М. Теплофизика затвердевания металла при непрерывном литье. М., 1988. 160 с.
1. Nedopekin F.V. Matematicheskoe modelirovanie gidrodinamiki i teplomassoperenosa v slitkah [Mathematical modeling of hydrodynamics and heat and mass transfer in ingots]. Izhevsk; 1995. 236 p.
2. Nikitenko N.I. Teoriia teplomassoperenosa [The theory of heat and mass transfer]. Kyiv, 1983. 352 p.
3. Ogurcov A.P., Nedopekin F.V., Belousov V.V. Processy formirovanija stal'nogo slitka. Matematicheskoe modelirovanie zapolnenija i zatverdevaniia [Processes of formation steel ingot. Mathematical modeling of the filling and solidification]. Dniprodzerjinsk, 1994. 180 p.
4. Ogurcov A.P., Nedopekin F.V., Tolstyh V.K., Volodin N.A. Prjamaja optimizaciia teplofizi-cheskihprocessov [Direct optimization of thermophysical processes]. Donetsk, 1997. 150 p.
5. Sobolev V.V., Trefilov P.M. Teplofizika zatverdevaniia metalla pri nepreryvnom lit'e [Thermo physics of metal solidification during continuous casting] Moscow, 1988. 160 p.
Недопекин Ф.В., Белоусов В.В., Бодряга В.В., Бондаренко В.И., Степанов А.Т. Математическая модель определения оптимальной высоты кристаллизатора в установке непрерывной разливки стали // Вестник Череповецкого государственного университета. 2017. №1. С. 74-80.
For citation: Nedopekin F.V., Bilousov V.V., Bodryaga V.V., Bondarenko V.I., Stepanov A.T. Mathematical model of defining optimal crystallizer height in continuous casting machine. Bulletin of the Cherepovets State University, 2017, no. 1, pp. 74-80.
Литература
180 с.
References
