CC BY
56
УДК 621.983; 539.374
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ РОТАЦИОННОЙ ВЫТЯЖКИ С УТОНЕНИЕМ СТЕНКИ АНИЗОТРОПНЫХ
ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК
Изложена математическая модель операции ротационной вытяжки с утонением стенки трубных заготовок из анизотропных материалов. Приведены основные уравнения и соотношения для анализа напряженного и деформированного состояний, силовых режимов и предельных возможностей формообразования процесса ротационной вытяжки с утонением стенки коническими роликами трубных заготовок из анизотропного материала с учетом локального очага деформации и объемным характером напряженного и деформированного состояния материала.
Ключевые слова: ротационная вытяжка, анизотропный материал, труба, ролик, оправка, сила, шага подачи, степень деформации.
В настоящее время перед машиностроением стоит необходимость повышения эффективности производства и качества получаемых изделий. В различных отраслях машиностроения нашли широкое применение осесимметричные изделия, к которым изготавливаются ротационной вытяжкой с утонением стенки [1-3]. Изучение процесса ротационной вытяжки с утонением осложняется наличием локальной деформации и объемным характером состояния материала в пластической области. Теоретическим исследованиям процесса ротационной вытяжки с утонением стенки коническими роликами сесимметричных деталей из изотропных материалов посвящены работы [4, 5].
Рассмотрим процесс ротационной вытяжки тонкостенной трубной заготовки из анизотропного материала коническими роликами по прямому способу (рис. 1). За один оборот заготовки ролик переместился на величину рабочей подачи S. При подаче ролика на величину S фактическая подача будет Sф = Stk /t0. Это справедливо в предположении, что вдоль
осевой реализуется плоская деформация.
Из геометрических соображений нетрудно определить максимальный угол контакта 0в с заготовкой [5, 6]:
С.С. Яковлев, В.И. Трегубов, Е.В. Осипова
(1)
2RpDt 11/2
Заметим, что выражения (1) и (2) получены с учетом того, что величины Dt и Бф малы по сравнению с величиной радиуса ролика Rp. Угол
0в зависит от фактической подачи Бф, изменения толщины стенки детали
Dt, радиусов ролика Rp и заготовки Rв и формы ролика (угла конусности
ролика a).
Максимальная протяженность контакта ролика с заготовкой в осевом направлении l = Dtctgaр + Бф. Ширина зоны контакта в каждом сечении может быть определена по формуле b = Rв sin 0в.
Пластическая деформация под роликом проходит в сравнительно короткий промежуток времени Dtвр, необходимый для прохождения зоны
контакта материала заготовки с роликом. В течение этого промежутка времени материал течет под роликом в осевом направлении.
о
Рис. 1. Схема очага деформации при ротационной вытяжке
по прямому способу
Заметим, что угол контакта материала заготовки с роликом в основном постоянный и переменный в начальном и конечном участках очага деформации.
Следуя работам [4, 5], рассмотрим вопрос о распределении скоростей течения материала в очаге деформации при установившемся дефор-
1-1
мировании. Скорость вдавливания ролика в заготовку определяется в сечении заготовки, проведенном под углом 0 к линии центров:
VR = ^ ' 0 (®р + ®в ) ,
где Wp - угловая скорость ролика; Wp =ювЯв / Rp; юв - угловая скорость
заготовки; юв = 2рп ; п - частота вращения шпинделя.
В цилиндрической системе координат р, 0, г, связанной с заготовкой, в зоне контакта ролика с металлом в каждом сечении z=const в очаге деформации радиальная скорость
Кк = ~VR ^ 0 .
Запишем радиальную скорость в пластической области очага деформации в виде
Vr
т — Г0
-Яв 0(Юр + юв)----------—cos0.
тк — т0
где - радиус контактной поверхности в цилиндрической системе координат в плоскости z = const.
Примем, что в пластической области в цилиндрической системе координат реализуется квазиплоская деформация, т.е. Xq = 0; Xpq ^ 0; Xz0 ^ 0. Уравнение линии контакта в цилиндрической системе координат в сечении z = const имеет вид
Tk = (Rd + ztga р )/cos 0.
Приведем окончательные выражения для определения радиальной
VT, тангенциальной Vq и осевой Vz скоростей течения материала:
т — т0
Vr (Rd + Sф tgap + ztgap )0(wp + wg )
Rd + ztga p — T0
V0=—we T + (Ю p +Юв )
Vz =0(w p + Ю )
Rd + Sф tga p + z tga p , 4
(r — T0)
02
Rd + ztga p z + (S ф + T0ctga p )ln
T0 2 '
ztga p + Rd — T0
(Rd + Sфtgap )ctgap
t0(tk + Sф )
Rd — T0
— 1
(3)
tk + S фtga p
0
\2
0
в J
Заметим, что последние выражения получены, учитывая малость угла 0 по сравнению с 1.
Компоненты скоростей деформаций вычисляются по известным скоростям течения материала в цилиндрической системе координат:
хГ -ч ; Х0 -чл + ; Х2 -ч ХГ Х0 ;
0г Г 00 Г 02
х =э^е_Ув +1эуг. х _ 1,3^0, х =э^+(4)
Г0 Эг г г Э0 ’ 02 г Э0 02 ’ ГІ 02 Ог ’
Примем материал трубной заготовки жесткопластическим, несжимаемым, цилиндрически-ортотропным, подчиняющимся условию пластичности Мизеса-Хилла и ассоциированному закону пластического течения [6].
Принимаем, что в очаге пластической деформации реализуется ква-зиплоское течение материала, т.е.
х0 = Х0г *°;Х02 *°; °0_ЬаГ+ Н°2; хг =_хі.
Ь + н
Введя характеристики анизотропии с2Г, сг0 и с20 в условиях плоского деформированного состояния, с _, _ М (н + ь) . с _ , _ I (н + О) . с _, _ N (Ь + О)
С2Г 1 . ,^ТТ . ттт^\. сГ0 1 . ттт^\; с20 1
2 (ЬО + ОН + НЬ)’ Г0 2 (Ьв + ОН + НЬ)’ 20 2 (Ьв + ОН + НЬ)’
а также учитывая, что
Ь _ 1 . Яа _ Н. о _ Н. О _ щ.
Ь 2 ҐЛ ч ; Щ0 17 ; Щ2 ^ ; 77 Г, ;
°50(1 + Щ0) Ь О Ь Щ2
1 1 1 1 1 1
2М _ — _——; 2N _ — _^—; 2Ь _
С2 ~2 ’ т2 2 ’ р2 2 ’
^ Т51Г Т т510 ^ т50г
выражение для определения интенсивности скорости деформации X / примет вид [6]
2 (Щ2 + Щ0 + Щ2Щ0 )(1 + Щ0 ) х
X
3 ^0 (^0 + ^1 +1)(1 - С1Г )
п1/2
(1 - с1Г )х2+1 х2Г+1К0 (^+1)(1 — С1Г) х0г+1 ^ +К0 )(1 — С1г) х20
V ^ ^ 4 ^0 +1)(1 - Сг0^0г 4 д^+щ -С10^10
Здесь введены следующие обозначения: ^, С, Н, £, М, N - параметры анизотропии; о1, 00 , оГ, т10, Т0Г , тГ1 - осевые, окружные, радиальные и сдвиговые напряжения соответственно; X1, Х0, Хг, Xг0, Х0Г, ХГ1 - скорости деформации в соответствующих направлениях.
Можно показать, что в принятых условиях деформирования уравнения пластического течения, устанавливающие связи между напряжениями и скоростями деформаций, для анизотропного тела запишутся в виде
01 — 0 — 2д 1Х1; 0 Г — 0 — —2д гХ1; О0—0_ —2т0Х 1 ; (5)
т 10 — т 10Х10 ; т0г — т0ГХ0Г ; тГ1 — ДГ1ХГ1 ,
где о - среднее напряжение;
X
м zв
SZ0
1
X
м0г
£0Г
1
м
X
Г .
Т2
2у/
1(2 + ^0 )(1 - С2Г ) 1
3
1+&
У
М г
_ 1 (2&0 + 1)(1 - ^г ) х^Г
3
1 + Яс
1. м _ 1(1 - &0)(1 - ^г)Xszr 1
У ’ м0_-3 Ї+Л
У
2х
¿гг
X
szr
II
&0 (& + 1)(1 - Сzr )
3
х^0
0
У
& (&0 +1)(1 - Сг0 ) Xszr М
(& + &0 )(1 - Сzr )
¿гг
(1 - czr)Х 2 + 4 х 2г + 4
х л0г
V х szr у
2
& (&0+ 1)(1 - Сz0 )
12
х sz0
V х szr у
2
X 2е
Разрешив выражения (5) относительно компонент тензора напряжений, получим
а г = а + 2ц г %2; а =а + 2цг %2; ае=а + 2^0^ г;
х 10 =цгеХг0; х0г = ц0гХ0г ; хгг =цггХгг •
Подставив уравнения пластического течения, устанавливающие связи между напряжениями и скоростями деформаций (6), в уравнения равновесия в цилиндрической системе координат [6], получим систему уравнений для определения среднего напряжения
да I 2 д (ц гХ г ) +1 д (тг0Хг0 ) | д(тгг Хгг ) + 2Х г (ц _це) = 0-
дг дг г д0 дг г
д(Цг0Хг0) + 1 да + о 1 д(Ц0Хг ) + д(т0гХ0г )
. + 2- .
Эг г Э0 г Э0 Эz
Э(МzrХzr ) , 1 Э(Мz0Xz0 ) , Эо + 2 Э(мzХz )
+ 2М0,
Х0г
1
+ м zr Х
: о;
о.
(7)
дг г д0 дг дг г
Записав систему уравнений в виде конечных разностей и разрешив каждое из них относительно среднего напряжения, получим выражения для определения величины среднего напряжения а(т, п).
Известно, что на границе входа материала в очаг пластической деформации при г = Яв, 0 = 0 величина осевого напряжения а г = 0. Это условие позволяет определить распределение величин среднего напряжения а(т, п) на входе материала в очаг пластической деформации и напряжений
аг, ае, аг и хге, хег, хге, предварительно вычислив компоненты скоростей деформации по выражениям (6), среднюю величину накопленной интенсивности деформации в очаге пластической деформации:
еі Ср _
1
N
N
X Xiz Д-об і
z 1
где Д-обі - время обработки материальной точки в очаге деформации на і -м обороте шпинделя; N- количество оборотов шпинделя, необходимое
2
2
г
для прохождения материальной точки от входа в локальный очаг пластической деформации до его выхода.
Уравнение траектории для материальной точки при стационарном течении в локальном очаге пластической деформации при ротационной вытяжке коническим роликом запишется следующим образом:
Ф г № dz
V.
Vz
г Vq Г2
Время обработки материальной точки в очаге деформации на / -м обороте шпинделя вычисляется по формуле
об г = $ф 1-ё а р 1 ср, где VRCp - средняя величина скорости вдавливания ролика в заготовку;
VRi - скорость вдавливания ролика в заготовку в / -м сечении;
1 0в
Уяср =т- /.
0в 0
Имея в своем распоряжении кривую упрочнения материала, можно найти среднюю величину сопротивления материала пластическому деформированию в очаге деформации
О 50 ср
интенсивности напряжения
ОО,20 + О Iе
0 (е/ср ) П ,
О/ср _ О 50 ср
3 Я, (1 + Я0)
2 (Я, + Я0 + Я,Я0 )
а также величины сопротивления материала пластическому деформированию при сдвиге
О 50 ср
X
5Г,ср
2
(1 + Я0 )
К
Я0 (Я0+ Я, +1)(1 - с,г У
^ _ О50 ср
Х 5,0ср = 2 ^
О 50 ср ~ 1
(1 + Я0)(Я, + Я0)
Я0 (Я0 + Я, + 1)(1 - с,0 )
Х5Г0ср
(1 + Я0)(Я, +1)
(Я0 + Я, + 1)(1 - сг0) где Оо 20 и О , п - условный предел текучести и константы кривой упрочнения исследуемого материала.
Накопленная интенсивность деформации рассматриваемой точки на выходе из локального очага пластической деформации определяется по выражению
об г .
Информация о среднем напряжении и скоростях деформации вместе с кривой упрочнения материала позволяет рассчитать напряженное состояние в каждой точке очага деформации. Все перечисленные выше характеристики напряженного и деформированного состояний вычисляются численно с использованием метода конечных разностей.
Составляющие сил ротационной вытяжки определяются по формулам:
радиальная Pr = JJ о sin 0dz;
тангенциальная Pt = JJо^ ^ dr cos 0вdz;
/ rk 0в
осевая Pz = J Jоz (r, 0)rdrd0,
Rd 0 2 2
где ot = оr sin 0 + Oq cos 0 + tr0 sin 20;
оr = оr cos2 0 + 00 sin2 0 -1r0 sin20; o'z = оz.
С учетом составляющей силы трения осевая сила
Pz = Pz + m о PR ,
где До - коэффициент трения между поверхностями заготовки и оправки.
Приведенные выше выражения для определения напряженного и деформированного состояний в очаге пластической деформации позволяют оценить предельные возможности формоизменения процесса ротационной вытяжки с утонением стенки коническими роликами трубных заготовок из анизотропных материалов.
Величина повреждаемости материала we при пластическом деформировании по деформационной модели разрушения определяется по формуле
ei deW = , (8)
0 einp
где de¡ - величина приращения интенсивности деформации на i -м обороте шпинделя; Єі пр =Єі пр (о / о i, a, b, g) - предельная интенсивность деформации; о - среднее напряжение; оі - интенсивность напряжения.
Величина предельной интенсивности деформации einp находится
по выражению
einp =W exP
г \
и о
V оі J
(ao + a cos a + a2 cosb + a3 cos g) •
где О, и - константы деформируемого материала, определяемые в зависимости от рода материала, согласно работам В. Л. Колмогорова и А. А. Богатова [7, 8]; а, Ь, g - углы между первой главной осью напряжений и
главными осями анизотропии х, у и 2; а§, а\, «2 и а3 - константы материала, зависящие от анизотропии механических свойств материала заготовки и определяемые из опытов на растяжение образцов в условиях плоского напряженного состояния.
В зависимости от условий эксплуатации или последующей обработки изготовляемого изделия уровень повреждаемости не должен превышать величины %, т.е.
<*е . (9)
До деформации (при ? = 1§) = 0, а в момент разрушения (? = 1р)
= % = 1. При назначении величины степени деформации учитывались рекомендации по степени использования запаса пластичности В.Л. Колмогорова и А. А. Богатова [7, 8]: % = 0,25 для ответственных деталей, работающих и подвергающихся после обработки давлением термической обработке (отжигу или закалке); % = 0,65 для неответственных деталей.
Предельные возможности процесса ротационной вытяжки с утонением стенки могут быть определены по допустимой величине накопленных микроповреждений по выражению (9), максимальной величине растягивающего напряжения на выходе из локального очага пластической деформации
°£ 2Х02л/ 1 - С02 , (10)
а также по критерию шейкообразования тонкостенной трубной заготовки, приведенному в работе [6].
Приведенные выше основные уравнения и соотношения могут быть использованы для анализа напряженного и деформированного состояния, силовых режимов и предельных возможностей формоизменения ротационной вытяжки осесимметричных деталей с утонением стенки коническими роликами с учетом локального очага деформации и объемным характером напряженного и деформированного состояний анизотропного материала.
Работа выполнена по государственному заданию Министерства образования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантам РФФИ.
Список литературы
1. Гредитор М. А. Давильные работы и ротационное выдавливание. М.: Машиностроение. 1971. 239 с.
2. Могильный Н.И. Ротационная вытяжка оболочковых деталей на станках. М.: Машиностроение. 1983. 190 с.
3. Ковка и штамповка: справочник: в 4 т. Т. 4. Листовая штамповка /
под общ. ред. С.С. Яковлева; ред. совет: Е.И. Семенов (пред.) и др. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 2010. 732 с.
4. Яковлев С.С., Трегубов В.И., Белов А.Е. Новый подход к анализу процесса ротационной вытяжки цилиндрических деталей из трубных заготовок // Известия ТулГУ. Сер. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. 2003. Вып. 1. С. 13-26.
5. Трегубов В.И., Яковлев С.П., Яковлев С.С. Силовые режимы ротационной вытяжки цилиндрических деталей на специализированном оборудовании // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2005. № 1. С. 17 - 23.
6. Яковлев С.С., Кухарь В.Д., Трегубов В.И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение, 2012. 400 с.
7. Колмогоров В. Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург: УГТУ - УПИ, 2001. 836 с.
8. Богатов А. А. Механические свойства и модели разрушения металлов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2002. 329 с.
Яковлев Сергей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Трегубов Владимир Иванович, д-р техн. наук, проф., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Осипова Елена Витальевна, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODEL OF OPERATIONS SPINNING WITH WALL THINNING
ANISOTROPIC BILLETS
S.S. Yakovlev, V.I. Tregubov, E.V. Osipova
The mathematical model of the operation spinning with wall thinning pipe blanks of anisotropic materials. The basic equations and relations for the analysis of stress and strain states, power modes and limit opportunities shaping process spinning with sink-tion walls tapered roller tube billets of anisotropic material taking into account the local deformation zone and surround the nature of stress and strain state of a material.
Key words: rotary extractor, anisotropic material, the tube roller mandrel, the force feed step, the degree of deformation.
Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Tregubov Vladimir Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Osipova Elena Vitalyevna, candidate of technical sciences, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
