Математическая модель обмена данными в информационной структуре управления проектными работами Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Математическая модель обмена данными в информационной структуре управления проектными работами

Крылов Егор Николаевич,

аспирант кафедры Информационных систем, технологий и автоматизации НИУ МГСУ, kaodisan@gmail.com

Аннотация. В статье рассматриваются вопросы построения математических моделей информационных структур управления проектными работами в строительстве, которые представляют собой математическую интерпретацию логических схем информационных структур управления проектной деятельностью. Для отображения процессов обмена данными между ключевыми точками информационной структуры применяется модель в виде графов, логическая схема информационного обмена представлена в качестве ненаправленного графа. В качестве показателей процесса обмена информацией предлагается использовать параметры ненаправленного графа, рассчитываемые при помощи методов теории графов, в статье также приводятся данные об экстремальных и оптимальных значения показателей, а также интерпретация их значений. Предлагаемая математическая модель призвана определить слабые звенья в структуре управления проектами, что может служить подготовкой к реорганизации последней. Ключевые слова: математическая модель, организационная структура, информационная структура управления, обмен данными, методы теории графов, показатели обмена данными.

Наиболее подходящим способом наглядно представить процесс обмена информацией внутри организационной структуры управления проектными работами является построение математической модели обмена данными, основанной на принятой в качестве основы корпоративной вычислительной сети архитектуры сетевых приложений.

Топологию корпоративной вычислительной сети можно представить в виде графа. Для дальнейших рассуждений необходимо определиться, какие параметры информационной инфраструктуры представляет граф. Как это было сказано выше, топология вычислительной сети представляет собой граф, так как процессы обмена данными между узлами многомерной информационной сети интегрированных средств управления проектными работами представлены логической схемой, то граф является отображением архитектуры сетевого приложения, на основе которого организуется доступ к данным и обмен ими, то есть представляет собой логическую схему обмена данными между узлами сети, на которых установлено сетевое приложение.

Наиболее распространенная структура проекта представлена на Рис. 1.

Для проведения численного анализа (математического моделирования) организационной структуры проекта необходимо представить ее в виде графа G= {Х, Ц}, где Х- множество вершин (|Х| = п), соответствующее множеству узлов структуры, обрабатывающих информацию; Ц - множество рёбер (| Ц| = т), соответствующее множеству связей между структурными элементами проекта (узлами), что соответствует потокам данных между исполнителями проекта и специалистами, осуществляющими управление проектом (см. Рис. 2).

Граф, представленный на рис. 2 отражает следующие ключевые особенности подобных структур:

- структура проекта разделена на два основных уровня управления - стратегический и тактический;

- ключевыми фигурами в управлении проектом становятся куратор проекта (узел 2) и менеджер проекта (узел 6);

- представленная схема проекта представляет собой древовидную структуру, обладающую «узким» местом - для передачи информации используется связка 2 - 6;

- некоторые из информационных связей продублированы, в соответствии с функциями того или иного узла (показано пунктирными линиями), в частности, некоторые из руководителей функциональных отделов входят в проектный комитет.

Для того, чтобы исследовать особенности обмена данными внутри проектной структуры, необходимо рассчитать параметры полученного графа, построение графа и расчет его характеристик позволяет проводить таким образом моделирование информационных структур проектной деятельности.

Моделирование позволяет определять количественные характеристики структуры проекта, оценивать качества схемы управления проектной деятельностью, а также сравнивать различные варианты организационных структур проектов между собой, кроме того моделирование позволит оценить насколько возможно применение той или иной схемы организации проектной деятельности при условиях существующей организационной структуры данной проектной организации.

Расчет характеристик графа G [36,53,96,109,92] необходимо начать с построения матрицы смежности, в которой формальным образом учитываются связи между элементами графа - узлами информационной структуры, которая для неориентированного графа имеет вид А = ||а^|, где а.-элементы матрицы. Для каждого ребра (пары вершина) значения а„определяются следующим образом:

I - при еецлнчнн связи мсвду >лсментами * м). О - при ОТСУТСТВИИ сннзи.

о £

ю

5

00 2

Рис. 1. Структура проекта.

сч

09 £

Б

а

2 о

По матрице смежности определим ранг каждого элемента

где а^ - элементы матрицы, п - количество в ершин графа.

Для определения связности структуры [36,53,96,109,92], которая показывает наличие разрывов в структуре, тупиковых мест, необходимо определить показатель т (число ребер графа, см. выше), который вычисляется из того соображения, что все вершины графа должны иметь хотя бы одну связь с соседними (коэффициент 1/2), формализованный критерий связности определяется по формуле:

Для графа в, представленного на Рис. 2, этот показатель составит:

Л, 0.-4(1 :<)■!(;

1 ы м где 16 = п - 1

Таким образом, условие связности выполняется и граф, соответствующий информационной структуре проекта можно считать связным.

Следующий этап математического моделирования информационной структуры проекта - определение структур-

Рис. 2. Граф в информационной структуры проекта.

ной избыточности Я, которая показывает насколько количество связей между элементами графа превышает минимально необходимое.

Н =

/и

п-1

Структурная избыточность является численным показателем отказоустойчивости информационной структуры проекта, определяет возможность обмена данными между всеми участниками процесса проектирования при отказе некоторых элементов (обрыве информационных связей); для обеспечения минимальной отказоустойчивости, величина Ядолжна быть неотрицательной. Чем выше Я, тем лучше.

Для рассматриваемого графа в, величина Ясоставит:

таким образом, структура обладает некоторой избыточностью, что в случае графа изображенного на Рис. 2 является следствием наличия дополнительных информационных связей (показаны пунктирной линией).

Из определения структурной избыточности связей графа достаточно очевидно, что максимальная избыточность Я будет достигнута в том случае, когда абсолютно все узлы структуры будут соединены друг с другом, то есть если граф соответствует полносвязной топологии. В таком случае величину избыточности можно определить исходя из следующих соображений:

Н =

20 17-1

;

где т и Я - соответственно зна-

" пг пг

чения критерия связности и показателя избыточности полносвязного графа. Для сравнения избыточности связей структуры с максимально возможной можно воспользоваться относительным показателем избыточности Я :

Д.... =

Я

Для графа, представленного на Рис. 2, значение относительного показателя избыточности составит:

Анализ графа, изображенного на Рис. 2, показывает, что потоки данных, представленные в виде ребер графа, не распределены равномерно, то есть не все пары вершин обладают дублирующими каналами передачи данных, что снижает отказоустойчивость структуры в целом. Подобное распределение является характерным недостатком линейных структур с преимущественно вертикально-ориентированными связями. Для того, чтобы определить степень задействования связей в информационной структуре проекта, используется показатель неравномерности распределения связей - Е [36,53,96,109,92].

Чм и

;

>1

Для анализируемого графа величина неравномерности распределения связей - Ебудет составлять:

:-1

;

Этот показатель сам по себе не является наглядным, так как для различных видов структур значения Ебудут различаться, и, соответственно, для анализа параметров информационных структур потребуется постоянно их сравнивать. Для определения потенциала структуры обмена данными к достижению максимальной связности используется относительная величина неравномерности распределения связей - Еон

где Е - максимальное значение

" тах

неравномерности, определяемое для структуры, имеющей максимально воз-

можное число вершин, имеющих одну связь.

Величина Етах для графа G будет определятся следующим образом:

Таким образом, относительная неравномерность распределения связей для представленного на Рис. 2графа будет:

Е.....= -

7,27

« 0,5

14,66

Показатель относительной неравномерности распределения связей в зависимости от топологии исследуемой информационной структуры может варьироваться от 0 до 1, значением ноль может обладать идеальная структура с полностью равномерно распределенными связями между элементами, такая как полносвязная, в которой каждая вершина графа имеет связь с остальными.

Структурную близость элементов (в общем виде) показывает параметр О -структурная компактность графа, который определяется следующим образом:

,

¡=1 н

где - минимальное число ребер последовательно связывающих вершины с индексами / и /, для всех пар вершин величины вписываются в матрицу расстояний О=Щ

Структурная компактность графа -О = 694. Так же как и в случае с другим показателем - величиной неравномер-ностей связей Е, показатель О мало информативен сам по себе, поэтому используется относительный показатель Оотн:

где О - минимальное значение

" д/п

компактности графа полносвязной топологии. Для графа, представленного на Рис. 2, относительная компактность составит:

О-оти

644

-1 = 2,56-1 = 1,56

1716

Показатель Оотну графа обладающего полносвязной топологией будет ми-

нимальным и равным 0. Компактность графа, представляющего математическую модель обмена данными внутри проекта можно выразить при помощи другого показателя, называемого диаметром графа Щ, равного максимальному значению в матрице О, в данном случае Щ= 4.

Большие значения параметров Отни Щ означают, что в логической схеме информационной структуры проекта существуют участки, сильно отдаленные от условного центра сбора данных (в рассматриваемом примере таких ключевых точек две - вершины №2 и №6), что неминуемо приводит к задержкам в передаче данных, ошибкам при их передаче. Как уже было сказано выше максимальной надежностью при передаче данных будет обладать граф с полносвязной топологией (Оотн =0 и Щ=1).

Оценить степень важности того или иного элемента графа в процессе обмена данными позволяет показатель центральности вершины графа 1 который характеризует степень задействованности вершины графа в передаче данных: чем выше показатель центральности, тем большее количество данных проходит через этот узел.

;

н

Для всех вершин анализируемого графа (Рис. 2) показатель центральности будет рассчитываться по следующей формуле:

694

347

;

Из результатов расчетов следует, что наибольшим показателем центральности 1= 14,46) обладает вершина №6 графа G, которая соответствует АРМ проектного менеджера, руководящего исполнением проектных работ (выполнением проекта), и служащего пропускным пунктом для передачи данных о ходе выполнения проекта на стратегический уровень управления проектной деятельностью, что характеризуется максимальным числом связей с остальными элементами.

Для того, что бы количественно оценить степень централизованности информационной структуры проекта служит индекс центральности, который в условиях представленной модели структуры (Рис. 2) составит:

;

(л-2)2_ {17-2)-14,46 216,91

О £

Ю

I

О" 2

Индекс центральности является относительным показателем и принимает значения:

- min = 0 - кольцевая или полносвязная топология графа,

- max = 1 - радиальная топология графа («звезда»).

Высокое значение центральности показывает, что в информационной структуре проекта существуют центры (ключевые узлы) сбора и передачи данных, к надежности которых предъявляются высокие требования, связанные с обеспечением безотказного обмена информацией в ходе процесса управления проектными работами (выполнением проекта), так как выход из строя подобного узла приведет к разрушению структуры. Для устранения подобных ситуаций, а так же для повышения интенсивности обмена данными внутри информационной структуры проекта, требуется организовывать дополнительные связи между элементами.

Предложенная математическая модель в виде графа, отображающего логическую схему обмена данными внутри информационной структуры проекта, позволяет оценивать качества предлагаемых схем управления проектными ра-

ботами с точки зрения свойств информационных структур проектной деятельности.

Анализируя расчетные значения показателей графов, моделирующих информационные структуры проектов, исследователь получает возможность оценивать пригодность той или иной схемы управления проектными работами в условиях конкретной организационной структуры проектной организации.

Литература

1. К. Берж. Теория графов и ее применения. - М.: Изд. иностр. лит., 1962.

2. Н. Кристофидес. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1977.

3. Ф. Харари. Теория графов. // Ф. Харари. - М.: Мир, 1973

4. Э. Майника. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. - М.: Мир, 1981

5. Тишин В. В. Дискретная математика в примерах и задачах. 2-е изд., испр. -СПб.: БХВ-Петербург, 2016. - 336 с.: ил.

Mathematical model of data exchange in the information structure of project management Krylov E.N. NIU MGSU

The article deals with the construction of mathematical models of information structures for the management of design work in construction, which is a mathematical interpretation of the logical schemes of information structures for the management of project activities. To display the data exchange processes between the key points of the information structure, a model is used in the form of graphs, the logical scheme of information exchange is presented as a non-directional graph. As indicators of the process of information exchange, it is proposed to use the parameters of an undirected graph, calculated using the methods of graph theory, the article also provides data on extreme and optimal values ??of the indicators, as well as the interpretation of their values. The proposed mathematical model is designed to identify weak links in the project management structure, which can serve as a preparation for the reorganization of the structure.

Keywords: mathematical model, organizational structure, information management structure, data exchange, methods of graph theory, data exchange indicators.

References

1. K. Berzh. Theory of counts and its application. -

M.: Prod. иностр. litas., 1962.

2. N. Kristofides. Theory of counts. Algorithmic

approach. - M.: World, 1977.

3. F. Harari. Theory of counts.//F. Harari. - M.:

World, 1973

4. E. Maynika. Optimization algorithms on networks

and columns. - M.: World, 1981

5. V. V. silences. Discrete mathematics in examples

and tasks. the 2nd prod., испр. - SPb.: BHV-St. Petersburg, 2016. - 336 pages: silt.