CC BY
46
УДК 65.011.56
А.Ю. Набилкин, С.А. Кравченко, В.П. Бирюков МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ ФОРМОЙ НЕЖЕСТКИХ ВАЛОВ ПРИ ТОКАРНОЙ ОБРАБОТКЕ
Производится построение математических моделей объекта управления по управляющему воздействию и формирующих фильтров возмущающих воздействий для системы управления формой нежестких валов при токарной обработке.
Нежесткий вал, транспортное запаздывание, пространство состояния, формирующий фильтр, спектральная плотность, нелинейное программирование
A.Yu. Nabilkin, S.A. Kravchenko, V.P. Biryukov MATHEMATICAL MODEL OF CONTROLLED OBJECT OF NONRIGID SHAFTS FORM WITH LATHING
Mathematical models of controlled object by control action and generating filter of disturbances for a control system of a nonrigid shafts form with lathing designed in the article.
Nonrigid shaft, transport delay, state-space, generating filter, spectral density, non-linear programming
Произведен выбор структуры системы управления формой нежестких валов при токарной обработке и приведены функциональная и структурная схемы системы (рис. 1). В данной работе производится построение математических моделей объекта управления системы по управляющему воздействию и формирующих фильтров возмущающих воздействий для рассматриваемой системы управления.
Для удобства анализа в работе за период дискретизации принята продолжительность обработки одной детали t^p = 6 мин. Тогда период дискретизации в относительных единицах равен ЛТ=1, а параметры по переходам системы внешнего контура (диаметр обработанных деталей, значения управляющих воздействий) можно рассматривать как последовательные значения временных рядов с относительным шагом равным единице. Корреляционные функции также будут иметь относительное время, а спектральная плотность будет иметь относительную частоту и измеряться в количестве колебаний на период дискретизации (f/ЛТ).
Математическая модель объекта управления по управляющим воздействия. Для управления продольным профилем нежесткого вала используются пять базовых точек по длине вала, в которых возможны наибольшие отклонения диаметров от заданных значений. Тогда объект управления будет включать 5 каналов с пятью управляющими воздействиями на входе в виде положения резца по поперечной оси и пятью выходами в виде диаметров вала в пяти базовых точках. Структурная схема объекта управления продольным профилем приведена на рис. 1. Транспортное запаздывание z в зависимости от используемого оборудования и организации процесса контроля принято от 1 до 4 деталей. На начальном этапе синтеза z = 4, а затем исследуется, что повышение эффективности управления при запаздывании z = 3, z = 2, z = 1, что может быть обеспечено лучшей организацией процесса измерения обработанных изделий.
ґ,(к)
пі (к)
Ц|(к)
и2(к)
и3(к)
к] Х4(к+1) гл Х4(к) х3(к) г1 х2{к) 2-'
хі(к)
Уі(к)
х8(к+1) 2-' х8(к) 2-1 х7(к) г' Хб(к) 2-'
х5(к)
«к)
п2(к)
*<§>—*<Е>
У2(к)
кз х,2(к+1: г-> Х|2(к) хц(к) 2-‘ хю(к) 2-'
х,(к)
т
и4(к)
и5(к)
к4 х,б(к+1) г'1 х]6(к) г'1 хи(к) г1 х,4(к) г'1
х2|(к+1) Хго(к) Х|ч(к) хі8(к)
к5 ¿' гл г' г'1
хіз(к)
№)
х]7(к)
ґ5(к)
п3(к)
Уз(к)
щ(к) У4(к)
п5(к)
У5(к) .
Рис. 1. Структурная схема модели объекта управления
На рис. 1 обозначено: z'1 - звено транспортного запаздывания на 1 шаг, равный продолжительности обработки одной детали; кг- = 2, 1=1,5 - коэффициент передачи перемещения режущей кромки резца по поперечной оси на диаметр обработанного вала; х1 20(к) - переменные состояния, необходимые для описания транспортного запаздывания стадии измерения диаметров обработанных валов; у1(к) - у5(к) - выходные переменные - измеренные на к-м шаге диаметры очередного обработанного вала; и1(к) — и5(к) - управляющие воздействия - рассчитанные значения положения режущей кромки инструмента в используемых для управления точках по длине заготовки; п1(к) — п5(к) - сигналы шума измерения.
На основании построенной структурной схемы модель объекта управления по управляющему воздействию является дискретной и имеет вид
х1(к +1 = х2(к) хп(к +1 = х^(к)
х2(к +1 = х3(к) 1х к + = к3 • и3 (к)
х3(к +1 = х4(к) х13 (к +1 = х14(к)
х4(к +1 = 1к к) 1х 4 к + = х^(к)
х5(к +1 х6(к +1 = хб(к) = х7 (к) х15 (к +1 х1б(к +1 = х1б(к) = к4 • и4(к)
х7(к +1 = х8 (к) 1х к + = х18(к)
х8(к +1 = к2 • и2(к) х^(к +1 = х19(к)
х9(к +1 = хю(к) х19(к +1 ()к о х =
1х о к + ) = хп(к) х20 (к +1 = к5 • и5(к)
В пространстве состояния модель ( ) имеет вид [2-3]
ух(к) = х^к) + /¿к) + п^к)
У 2 (к) = х5(к) + /2 (к) + п2 (к)
Уз(к) = х9(к) + /з(к) + Пз(к)
У4 (к) = % (к) + /4 (к) + п4 (к) У5 (к) = х17 (к) + /5 (к) + п5 (к)
(1)
|- 1 х 1( к)' і и1 (к)
X(к + 1) = А А 20x20 х 2 (к) + В 20x5 и 2 (к)
- - 1 2 0 к 1 -- и 5 (к)
х1 (к)' и1 (к)
У (к) = [ С 5x20 ]• х 2 (к) +[ В 5x5 ]• и 2 (к)
- х 20 (к )- и 5 (к)
(2)
+ [ N 5x5 ]
где х - вектор параметров состояния размерностью п=20; и - вектор управляющих воздействия размерностью г=5 (щ-щ); у - вектор управляемых переменных размерностью т=5 (угу5); /- вектор возмущающих воздействий размерностью т=5; п — вектор белого шума ошибки измерения управляемых переменных. Матрицы А, В, С и Б имеют вид
Математическая модель возмущающих воздействий. Ввиду отсутствия экспериментальных временных рядов диаметров обработанных деталей получены теоретические оценки спектральных плотностей возмущений на основании общих закономерностей работы металлообрабатывающего оборудования. При этом в качестве основных возмущающих воздействий приняты изменение температуры элементов станка, износ инструмента, ошибка измерения диаметра обработанных деталей [3-5].
Модель возмущения по температуре построена при следующих исходных данных:
- разогрев станка идет по линейному закону;
- продолжительность разогрева оборудования (1-2 часа) [3-4], принято 1разог. = 60 минут, что составляет N = 10 шагов дискретности;
- максимальная температурная погрешность при разогреве элементов станка 5тах = 0,004 мм.
Скорость роста ошибки за счет повышения температуры V = 0,0004 мм/период дискретизации. Для перехода в частотную область линейную зависимость ошибки во времени аппроксимирована синусоидальной ) = А • §\п(ш8 • ?). Скорость изменения
тах =№§■ А . При ограничении линейной зоны <л = 0,8 • А и А = 1,25 • <т
0.0004
8») = о8 • А • ео8(о8 • г),
круговая частота равна
О8 =
/д =
1,258 0,08
= 0,08 рад / период. Частота возмущающего воздействия
2п
1,25 • 0,004
= 0,012 кол / период дискретизации и окончательно /8 < 0,024 кол/ периоддискретизации.
Следует отметить, что при более точной аппроксимации могут появиться высокочастотные гармоники, поэтому частотная область расширена вдвое.
Согласно литературным источникам стойкость инструмента составляет 30-60 минут. Учитывая, что целью работы является повышение производительности обработки нежестких валов продолжительность работы резца принята 1рез = 30 минутам, то есть 5 периодов дискретизации. Максимально допустимый износ режущей кромки 5ртах = 0,002 мм, что по диаметру составляет 0,004 мм. По рассмотренной методике, определена частота эквивалентного синусоидального возмущения.
Скорость нарастания погрешности 5'р = 0,0008 мм/период дискретизации. Частота эквивалентного гармонического возмущения
(о8
1,258
0,0008 1,25 • 0,004
0,16 рад / период,
0,16
2п
- 0,025 кол / период дискретизации и окончательно /8 < 0,025 кол / период дискретизации
На рис. 2 представлены возможные частотные диапазоны возмущающих воздействий при изменении температуры элементов станка и в процессе износа резца. Частотный диапазон определяется из условия теоремы Колесникова - два опроса на период максимальной частоты.
Ошибка измерения диаметра представлена случайным процессом типа белый шум с дисперсией, определяемой классом точности прибора. При ошибке прибора, взятой с 95 процентной доверительной вероятностью 8 = 0,001 мм дисперсия белого шума будет равна 8 = 0,25 •Ш^мм2. При анализе системы дисперсия белого шума повышена вследствие возможности наличия других возмущающих воздействий с характеристиками типа белый шум.
темп. = 0^0,012 кол/пер. дискр.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
р
Рис. 2. Представлены возможные частотные диапазоны возмущающих воздействий
Общий вид кривой спектральной плотности (рис. 3) обеспечивает охват спектральной плотности возмущений по температуре и износу резца. На данном этапе для упрощения модели формирующего фильтра принят экспоненциальный вид кривой спектральной плотности.
0.С35 0.0}
0.025 0.02 0.015 0.0] у, да о-
О 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Относительная частота
Рис. 3. График спектральной плотности возмущающего воздействия, рассчитанный аналитически
Аппроксимация спектральной плотности дробно-рациональной функцией с четными степенями частоты произведена путем решения задачи нелинейного программирования в среде Ма^аЬ [6-9].
Полученная с помощью факторизации передаточная функция формирующего фильтра уточнена путем решения задачи нелинейного программирования [8]. При этом подобраны такие параметры фильтра, чтобы сумма квадратов отклонений расчетной спектральной плотности от экспериментальной была минимальной. Полученная в результате подстройки модель фильтра имеет вид
0.08359р
W00 (p)
1.936p3 + 5.594p2 + 0.1931p + 0.00053
Графики оценки заданной и расчетной спектральных плотностей (рис. 4), показывают достаточную для практики точность их совпадения.
Спектральная плотность суммарного возмущения включает полученные диапазоны частот, а также белый шум, учитывающий ошибку измерения диаметра и другие возможные возмущения. Вид спектральной плотности в области низких частот на данном этапе не играет большой роли, т.к. эффективность системы управления с обратной связью при любом виде спектральной плотности возмущения имеете максимальную эффективность в области низких частот. Кроме того, эффективность системы управления обычно оценивается коэффициентом эффективности, показывающим относительное снижение дисперсии выходной переменной при замыкании системы управления.
0.03
0,07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
J 1 і Заданная спектральная плотность Полученная спектральная плотность сигнала на выходе ФФ
!
V
\ і і
|\ V
0.05
0.1
0.16
0.2 0.25 0.3
Относительная частота
0.35
0.4
0.45
0.5
Рис. 4. Сравнение полученной и заданной спектральных плотностей возмущений
Полученная модель формирующего фильтра в дискретной форме имеет вид
т„ , , 0.001z2 - 0.0006z - 0.0004
™фф (Z) = —;-------------------------
фф z3 - 2.024z2 + 1.08z - 0.0561 Корни характеристического уравнения находятся в пределах единичного круга: 0.9969, 0.9692, 0.0580, что говорит об устойчивости формирующего фильтра.
Выводы:
1. В качестве основных возмущающих воздействий рассмотрены изменение температуры элементов станка, износ инструмента, ошибку измерения диаметра обработанных деталей.
2. На основании литературных данных получены оценки частотных составляющих спектральной плотности рассмотренных возмущений и произведено построение математической модели формирующего фильтра, генерирующего случайный процесс с полученной спектральной плотностью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления / В. Стрейц. М.: Наука, 1985. 294 с.
2. Квакернак Х. Линейные оптимальные системы управления / Х. Квакернак, Р. Сиван. М.: Мир. 1977. 654 с.
3. Маталин А.А. Технология машиностроения / А.А. Маталин. Л.: Машиностроение, 1985. 496 с.
4. Технология машиностроения: в 2 т. / под ред. А.М. Дальского. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. Т. 1. 564 с. Т. 2. 640 с.
5. Балакшин Б.С. Основы технологии машиностроения / Б.С. Балакшин. М: Машиностроение, 1966.
556 с.
6. Венгеров А.А. Прикладные вопросы оптимальной линейной фильтрации / А.А. Венгеров, А. А. Щаренский. М.: Энергоиздат, 1982. 192 с.
7. Бакалов В.П. Цифровое моделирование случайных процессов / В.П. Бакалов. М.: Сайнс-пресс, 2002. 90 с.
8. Мурин С.В. Построение формирующего фильтра для генерации случайного сигнала / С.В. Мурин, В.П. Бирюков // Проблемы прочности, надежности и эффективности: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. С. 222-225.
9. Медведев В.С. Control System Toolbox / В.С. Медведев, В.Г. Потемкин. М.: Диалог МИФИ, 1999.
287 с.
Набилкин Артем Юрьевич -
аспирант кафедры «Технологня и автоматизация машиностроения» Балаковского института техники, технологии и управления (филиал)
Саратовского государственного технического университета
Кравченко Станислав Алексеевич -
аспирант кафедры «Технологня и автоматизация машиностроения» Балаковского института техники, технологии и управления (филиал) Саратовского государственного технического университета
Бирюков Владимир Петрович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Технологня и автоматизация машиностроения» Балаковского института техники, технологии и управления (филиал)
Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 30.05.2011, принята к опубликованию 24.06.2011
Artyom Y. Nabilkin -
Postgraduate of department «Technology and Automation of Machine Building» of Balakovo Institute of Technique, technology and management» (branch) of Saratov State Technical University
Stanislav A. Kravchenko -
Postgraduate of department «Technology and Automation of Machine Building» of Balakovo Institute of Technique, technology and management (branch) of Saratov State Technical University
Vladimir P. Biryukov -
Dr. Sc., professor of department «Technology and Automation of Machine Building» of Balakovo Institute of Technique, technology and management (branch) of Saratov State Technical University
