CC BY
18
ГИДРОТЕХНИКА, ГИДРАВЛИКА И ТЕПЛОТЕХНИКА
УДК 630*383
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОТОКА ВОДЫ В ДРЕНИРУЮЩЕМ СЛОЕ ДОРОЖНОЙ ОДЕЖДЫ С УЧЕТОМ ФИЛЬТРАЦИИ В КАПИЛЛЯРНОЙ ЗОНЕ
© 2005 г. В.К. Курьянов, А.В. Скрыпников, Ф.А. Кириллов
Многочисленные исследования [1, 2, 3] доказали, что движение воды в дренирующем слое происходит одновременно в виде двух потоков, расположенных в два яруса (рис. 1): ниже депрессионной поверхности наблюдается свободный поток, а выше перемещение воды в капиллярной зоне, причем оба эти потока взаимосвязаны. Для определения максимальной глубины потока воды, фильтрующейся в дренирующем слое, рассмотрим закономерность изменения содержания влаги в элементарном объеме грунта, происходящее в течение некоторого времени.
Допущения:
- слой фильтрующегося потока свободной воды в мелких песках в несколько раз меньше, чем фильтрующийся слой в капиллярной зоне;
- вертикальные размеры дренирующего слоя незначительны по сравнению с горизонтальными;
- дренирующии слои подстилается оттаявшим грунтом верхней части земляного полотна толщиной d, с коэффициентами фильтрации Kф 1 << K ф не
изменяющимися во времени;
- поступление воды в дренирующий слой происходит за счет выдавливания из переувлажненного грунтового основания и просачивания атмосферных осадков через швы и трещины покрытия;
- рассматривается плоская задача и инфильтрация воды происходит на единицу длины дорожного покрытия.
Составим одномерное уравнение неустановившегося движения воды в дренирующем слое.
Выделим элементарный участок в дренирующем слое, образуемый: по вертикали сечениями I-I и II-II, параллельными оси Oh, сверху - депрессионной кривой и снизу - дном корыта с уклоном i > 0, принимаемым за поверхность водоупора (рис. 1).
Рис. 1. Обобщенная модель движения воды в дренирующем слое с учётом фильтрации в капиллярной зоне: 1 - искусственное покрытие; 2 - поток фильтрующейся воды в капиллярной зоне с влагоемкостью ; 3 - поток фильтрующейся воды в свободной зоне с влагоемкостью Жп ; 4 - оттаявшее грунтовое основание; 5 - водонепроницаемый мерзлый грунт; 6 - закромочная дрена
В начале элементарного участка через сечение II-II за время А t должно профильтроваться воды в
капиллярной зоне в количестве:
f ' ^ fdh h ^
где и k = -K,
I иkdh
h-h\
dh\
At = -
— I Kkdh dx h-h',
At,
dx
- скорость фильтрации в капил-
лярной зоне в направлении оси Ох, выраженная по закону Дарси; Kk - коэффициент водонепроницаемости капиллярной зоны, м/сут.
Расход через сечение I-I составит:
(dh h Л
dh i Kkdh dx h-h',
At- — dx
dh h
dh i Kkdh dx h-tí,
Л
dxAt.
Таким образом, в пределах элементарного участка dx в дренирующем слое изменение количества воды составит:
д_
dx
(dh h Л
— I Kkdh
дг J ,
ox h-h',
dxAt.
d_
dx
dh dx ,
K ф, dh
dxAt.
Для фильтрующейся свободной воды уравнение аналогично:
к-к' 1
. I
к-(к' [+ к 1)
Ск[
ной зоне в направлении оси Ох, выраженная по закону Дарси; К ф1 - коэффициент фильтрации в зоне свободной воды, м/сут.
Суммарное изменение объема воды в рассматриваемом объеме грунта за время А( составит:
где и k =-K п
скорость фильтрации в свобод-
д_
dx
dh ] Kkdh-dh
h-h',
A
dx
h - h' i
dx
I
h-(h¡+h¡)
K ф, dh
dxAt.
Q кол
К
ф 2
(Hk + ix - h)dxAt,
где Ик (х, t) - избыточный напор, возникающий в
грунтовом основании под действием колесной нагрузки, м.
Таким образом, изменение объема воды на элементарном участке:
d_
dx
dh
dh
h-h',
Л
- I Kkdh-- I Kф1 dh
h - h',
dx h-(h'+ h)
К
+ (H k + ix - h)
dxAt.
(1)
Объем воды, заполнившей элементарный участок за время А(, составит в зоне капиллярной и свободной воды соответственно:
дк'1 , Л Эк1
т-СхА1; т—-СхА! ,
дГ дt
где т - коэффициент водоотдачи песка, а суммарный объем воды в элементарном участке:
m
(dh\ dh1 dt dt
Л
dxAt.
(2)
Составим уравнение водного баланса, приравняв выражение (1), взятое со знаком минус, уравнению (2). В результате, сократив на СхА, получим уравнение фильтрации воды в дренирующем слое для неустановившегося потока:
d_
dx
(dh h dh h-h' i ^ 21 i Kkdh+— I kф dh
¡)r , k dr ,, ч ф1
ux h-h', ux h-(h,+h,)
К
+ q атм
ф2
d
(h - Hk - ix)
= m
(dh'i dh, Л — +—1
dt dt
(3)
Следует также учесть питание потока сверху за счет просачивания воды через швы и трещины покрытия и снизу за счет выдавливания воды из слабопроницаемого слоя грунтового основания, имеющего толщину С и коэффициент фильтрации К ф
Величину инфильтрации на единицу длины дорожного полотна в единицу времени обозначим через д атм. Тогда через верхнюю границу просачивается следующее количество воды:
Qатм = -Ч атм СхА ■
Объем воды, поступающей из грунтового основания, равен:
Ордината поверхности воды имеет вид: к = к (х, Т). При постоянных значениях коэффициентов К ф1 и Кк после интегрирования уравнения (3) получается уравнение:
К — (к' —] + к — (к —\+ -к Сх I 1 Сх ) ф1 Сх I 1 Сх I атм
K
ф2
d
(h - Hk - ix) = ¡
( dh^ dhL Л dt dt
Уравнение поверхности дна корыта записывается как г = ¡х, где / - уклон поверхности дна корыта. На основании этого максимально возможная глубина фильтрационного потока имеет вид:
к = И +1х ,
где Н - максимальный напор, отсчитываемый от горизонтальной оси, причем всегда И > к' 1 + к1, м.
В связи с этим можно записать:
dh _дИ дх дх
-+i;
д 2 h _Э 2 И дх2 _ дх2
Тогда
^ -д-
дх
и'\Ш + ■
h, I-+i
11 дх
+- 4
h,I д-+ i
ёх
К
+q атм --
ф 2
d
(И - Ик)_
Oh'
т
1 dh — + —1
dt dt
\
(4)
+ q а
дх I дх
(И - Ик )_(".+
Обозначим (тц+1) = М и К^ (цп +1) = Ж, где
М - параметр, характеризующий водонасыщение песка; N - параметр, характеризующий осушение дренирующего слоя. Из этого следует:
дй (дИ Л Кф2 , ч дк, I — + i\ + Чатм--фг (И -Ик ) = М-^. (5)
дх I дх
на основании того, что
d 4 "' dt дИ _ d(h'i + hi(i +1)
Эх
дх
дх
(5) перепишется в виде:
N (ц + 1)
M
д_
дх
Э (h1 /2 )2
дх
+ h1
M
К
3h1
—L (( (ц +1)-Ик)_-
MdK lV 7 ^ dt
(6)
Полученное дифференциальное уравнение (6) нелинейное. Умножив обе части уравнения на к1 и обозначив к,2/2 = и,
- И„ц „
некоторое среднее значение
принимая
h1 _ h1cp _ h1
cp 2
где И
cp
величины потока, принимаемое равной конструктивной толщине, установленной из условия прочности, м,
после линеаризации по С.Ф. Аверьянову [4] (6) преобразуется к виду:
ди = N(11 + 1)^ Э^и + N(ц + 1). ди
dt M К
дх2
M
дх
ф 2 (+1)
(U - h1 Ик )+ ^h1. V 1 ' M 1
Md
Введем обозначения:
N^+lh- _ a; Ni^+Hi _ b
M
Как известно, Кк = пК ф (где п - коэффициент,
характеризующий неравномерность водонасыщения песка по толщине дренирующего слоя), аналогично Н\ = (где ц - коэффициент, представляющий
собой отношение расхода воды в капиллярной зоне к расходу в зоне свободной воды). Для случая пылева-тых грунтов, при которых наблюдается чаще всего наибольший приток воды Q кол, поступающей в корыто во время оттаивания земляного полотна, и средние толщины дренирующего слоя (30...50 см), устраиваемых в центральных районах европейской части РФ, значения п и ц можно принять постоянными. Тогда уравнение (4) после преобразования примет вид:
К ф1 (пц + 1)^ + +
К
ф 2 И1) _ c. h ( q атм
Md
M
M
+ сИ к |_ P.
Окончательно получаем уравнение, описывающее неустановившееся движение воды в дренирующем слое с учетом фильтрации в капиллярной зоне:
dU д 2U ,dU TJ
-_ a-+ b--cU + P.
dt дх2 Эх
(7)
Для решения необходимо добавить краевые усло-
вия.
U(х,0)_ 0; U(0,t)_ 0.
(8)
Известно, что уравнение (7) приводится к уравнению теплопроводности, путем подстановки
и = Т ехр (-ах),
Ь а Ь2 2
де а = —; р = с + — = с + а а. 2а 4а
После преобразования уравнения (7) и краевых
условий (8) получим:
дТ д2T „ , _ , — _ a—— + Pexp(ах +pt), dt дх2 V '
(9)
Т(х,0) = 0; Т(0,0 = 0. (10)
Выражение (9) представляет собой уравнение теплопроводности с источником, решение которого на полубесконечной прямой с краевыми условиями (10), после умножения обеих частей на е _ах, представляется в виде:
( _ Л Л , ( _ л Л
и (х, 0 =
Ик +
q атм d
К фг(Ц+1)
\ 1 (
Ик +
q атм d
К ф2(Ц+1)
ÄjX
exp
( К ф2(ц + 1)/ (тц + 1)d
(
1 + erf
1 I ю ( х
exp
( К ф2(ц + 1У
1х
(m^ + 1)d h1
h1 |ю
(
- +1
1 + erf
1 I ю ( х
2 V h1 I ю
+ exp
2h1
2
4К ф2 h + di dК ф2(ЦП +1)
■ -1
(
xerfc
1 £
2V 1 K Ф1 i®
JdK ф!(т + 1) + J4K ф2 h + di7
+exp
( ( I-=-7 ЛЛ
4K ф2 h1 + di2
1__+ i ^
dK ф!(т+1)
(
xerfc
^ dh1 Kr~\ Ф1(^П + 1)"J4Kф2h1 + ä:
2 Л AM i »
(11)
1 x 2 1 ~ 2 где erfx = ,— J e -x dx , erfcx = ,— J e "x dx , л/2 п о л/2 п x
ю = -
K ф!(ЛЦ+ 1)(ц + 1)t
(тц +1)
. При этом
(х, I) = 7 2и (х, /).
Зависимость (11) является результатом решения уравнения (7) и характеризует переменный режим движения воды в дренирующем слое дорожной одежды с учетом фильтрации в капиллярной зоне.
В приведенное расчетное уравнение входят параметры: I - поперечный уклон дна корыта; х - путь фильтрации, м; К ф1, К ф2 - коэффициенты фильтрации соответственно материала дренирующего слоя и грунта естественного основания, м/сут, при относительной плотности, установленной по методу стандартного уплотнения; ц - коэффициент, представляющий собой отношение расходов воды в капиллярной зоне к расходу в свободной зоне; п - коэффициент, характеризующий неравномерность водонасыще-ния песка; т - коэффициент водоотдачи песка; д атм -удельный приток воды, образуемый атмосферными осадками, м3/сут с 1 м2 поверхности покрытия; Нк -дополнительный приток за счет выдавливания воды при воздействии на грунтовое основание колесной нагрузки, м; d - глубина активной (рабочей) зоны верхней части земляного полотна, м.
Таким образом, исходя из продолжительности увлажнения возможно определить максимальную глубину потока воды в дренирующем слое в любой точке пространства в произвольный момент времени. Что особенно важно, так как по максимальной глубине потока можно рассчитать толщину конструкции дренирующего слоя.
Согласно принятой методике расчета, в дренирующем слое может находиться различное количество свободной воды, которое зависит, в первую очередь, от интенсивности притока воды снизу от воздействия колесной нагрузки. Как было отмечено выше, максимальное значение модуля деформации песка на поверхности дренирующего слоя может быть достигнуто при влажности песка, равной молекулярной, т. е. в том случае, когда над потоком свободно фильтрующейся воды будет находиться слой песка, толщина которого равна или превышает высоту капиллярного поднятия. Таким образом, чтобы обеспечить необходимую несущую способность дренирующего слоя и его эффективную работу по отводу избытка свободной воды за пределы покрытия, необходимо, чтобы толщина его конструкции превышала сумму высоты потока, фильтрующегося в дренирующем слое, и высоту капиллярного поднятия воды.
Литература
1. Бабков В.Ф. Реконструкция автомобильных дорог. М.,
1973.
2. Бируля А.К. Проектирование автомобильных дорог. М.,
1961.
3. Курьянов В.К., Афоничев Д.Н., Бурмистрова О.Н., А.В. Скрыпников. Повышение транспортно-эксплуата-ционных качеств автомобильных дорог лесопромышленного комплекса: Монография / Воронеж. гос. лесотехн. акад., Ухтинск. гос. техн. ун-т. Воронеж, 2002.
4. Аверьянов С.Ф. Зависимость водопроницаемости почво-грунтов от содержания в них воздуха // Докл. АН СССР. 1949. Т. 69 № 2.
Воронежская государственная лесотехническая академия
16 декабря 2004 г.
УДК 532
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ПАРОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ ПРИ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ РАБОЧЕЙ СРЕДЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ
© 2005 г. В.Н. Колодежнов, А.С. Сидоренко
Большой ассортимент изделий, получаемых методом экструзии, имеет пористую структуру [1]. Пористость в ряде случаев может быть обусловлена механизмом парообразованием влаги, входящей в состав перерабатываемого материала. Наличие ее, например, в изделиях типа «кукурузные палочки»
существенно улучшает структуру готового продукта. В то же время в других изделиях, таких как РТИ, наличие пустот крайне нежелательно. В этой связи представляют интерес задачи по моделированию роста паровых пузырьков в перерабатываемой среде.
