CC BY
78
УДК [332.143: 330.53]:51-7
Н.С. Акиншин, д-р техн. наук, профессор, начальник отдела, 8(4872)56-23-11, пак1шЫп@ yandex.ru, (Россия, Тула, ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения»)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ЭКОНОМИКИ РЕГИОНА
Предложена математическая модель межотраслевого баланса, позволяющая описать механизм функционирования экономики региона. Модель дискретная и формализуется как система разностных уравнении с ограничениями на управляемые переменные. В качестве временного шага выбирается среднее время обмена поставками между отраслями.
Ключевые слова: модель межотраслевого баланса, экономика региона, объем продукции, среднее время обмена поставками, структура производства.
Механизм функционирования экономики региона в развернутом виде представляется межотраслевым балансом (МОБ), описывающим взаимосвязи по производству, потреблению и накоплению общественного продукта в разрезе отраслей экономики. МОБ представляет собой матричную экономико-математическую модель, являющуюся основополагающей моделью экономики.
Схема традиционного МОБ состоит из одной таблицы, содержащей три главных квадранта (таблица).
Промежуточное потребление Конечное потребление (конечный продукт) Вал отрасли
Отрасли ( 1 ) Отрасли производства(] ) Личное потребление Кап. влож. Военная продукция Экспорт Сумм. конечн. продукт
1 Р11 Рм Р1п Кц К12 У1 Х1
2 Р21 р2] Р2п К21 К22 У2 Х2
Рц Рч Рш Кц К12 У! X!
Рп1 Рщ Р х пп Кп1 Кп2 Уп Хп
УЧП Зарплата Амортизация V! V; V. ВНП
Затраты Х1 X! Хп
Первый квадрант размерностью п*п, где п — число условно чистых отраслей, содержит величины поставок р.. сырья и полуфабрикатов отраслей-поставщиков \ отраслям-потребителям необходимых для дальнейшего производства (промежуточное потребление) в стоимостном выражении.
Второй квадрант представляет распределение конечного продукта отраслей-производителей на личное потребление граждан, капитальные вложения в расширение и модернизацию производства, продукцию военного назначения, пополнение запасов государства, экспорт продукции различных видов и т. д.
Третий квадрант показывает величину условно чистой продукции отраслей, включающую заработную плату работников, доходы предпринимателей, амортизационные отчисления и т. д.
В замкнутой версии динамической системы секторы конечного спроса описываются как поглощающие, подобно обычным отраслям, продукцию, производимую другими секторами, и выпускающие продукцию, например рабочую силу, которую они в свою очередь поставляют другим секторам.
Сумма по строкам 1-го и 11-го квадрантов представляет собой объем валовой продукции отрасли X\. Показатели по столбцам 1-го и Ш-го квадрантов дают стоимостную структуру (структуру затрат) валовой продукции х ].
Таким образом, затраты на производство продукцииX] отраслью
складываются из затрат сырья и материалов (промежуточного продукта), произведенных другими отраслями, и добавленной стоимости, включающей амортизацию основного капитала, затраты рабочей силы, доходы предпринимателей, т. е. условно чистой продукции:
х=£л V.
г=1
Вся продукция, произведенная отраслью { за определенный период времени, например за год, распределяется на промежуточный продукт, т. е. предметы труда и средства производства, израсходованные и поглощенные в процессе производства в данном году другими отраслями, и конечное потребление у.:
х<=£р^+у..
1=1
В качестве производственной функции, описывающей связь между затратами материально-технических средств и трудовых ресурсов в процессе производства и выпуском продукции каждой отрасли, принята производственная функция с постоянными пропорциями в предположении,
что для принятой технологии каждый вид ресурсов используется оптимально.
Таким образом,
Х]=™п {к1 • К; М}- • Ь; х1] - а1; . .; хп+ап] ,
где X. — валовый выпуск продукции ]-й отрасли; К. — стоимость основных производственных фондов отрасли; к. — коэффициент фондоотдачи; ь — количество работающих в отрасли; к1 — средняя производительность труда в отрасли ц — величина поставки продукции 1-й от-
• ^ а
расли для производства продукции в ]-и отрасли, матрица 11 11 характеризует принятые в отраслях технологии производства; а. — коэффициент
прямых затрат, отражающий потребность продукции 1-й отрасли для выпуска единицы продукции ]-й отрасли;
ау = Р] Хо]■ ,
где р. — норма поставки продукции отрасли 1 для отрасли ] в соответствии с МОБ; Хо. — норма валового выпуска продукции ]-й отрасли в соответствии с МОБ.
Таким образом, производство продукции лимитируется производственными мощностями, трудовыми ресурсами, поставками промежуточной продукции из смежных отраслей и зависит от принятой технологии производства и производительности труда в отраслях.
Использование такого представления производственной функции дает возможность выявить, какая из компонент является сдерживающим фактором развития («узким местом») производства в каждой из отраслей и должна быть подвергнута соответствующему воздействию с целью повышения производственного потенциала.
Все величины, входящие в выражение, являются функциями времени и уровней внешних воздействий.
Х } = ™п {Я1] ^, и )• кг] ('> и)},
где Х; — валовый выпуск продукции ]-й отрасли; ^^ — ресурс типа 1
отрасли кг} — коэффициент, определяемый технологией производства; 1
— текущее время; и — уровень воздействия.
Уравнения, составляющие модель, описывают следующие положения:
1. Валовый выпуск продукции отрасли 1 на шаге 1 определяется в соответствии с выбранной производственной функцией:
тт <
К м • к. (о
Ь (О • кЬ (0[, ; = 1, n, ^ (О * а. (О
где X (1) — валовый выпуск продукции 1-й отрасли на шаге 1; К (1) — эффективная мощность основных производственных фондов 1-й отрасли на шаге 1; к (1) — коэффициент фондоотдачи отрасли на шаге 1; Ь (1) — общее число работающих в 1-й отрасли на шаге 1; к1. ) — производительность труда в отрасли; х^(1;)-поставки из отрасли для производства в 1-й отрасли на шаге 1; а. (1) — коэффициенты прямых затрат; п — число отраслей, составляющих МОБ.
2. Стоимость основных фондов складывается из стоимостей зданий и сооружений и стоимостей оборудования разных типов.
Расширение (восстановление) основных фондов типа ] происходит из средств, производимых фондообразующей отраслью ] для конечного потребления.
Стоимость фондов каждого типа ] на шаге 1 описывается формулой
вида:
К (')= К (1 -ъ-К Му к ~1)%ь] ^ (1 -^Ы (1 -1),
где к(*) — стоимость фондов типа ] в отрасли 1 на предыдущем шаге;
¿К(?) — изменение, увеличение при развитии или уменьшение стоимости
основных фондов _]-го типа фондов отрасли 1 на шаге 1; Ь(4 —
капиталовложение, доля конечного продукта отрасли _], выделяемая на расширение или восстановление; £,(1 ~ 1) — запасы продукции ]-й отрасли
на 1-1 шаге; $.~ 1) — доля потребности 1-й отрасли в суммарных капиталовложениях в фонды типа ] развивающихся (пораженных) отраслей; у (1 -1) — конечный продукт ]-й отрасли,
У, (')= X,. ('-1)^[1-kpos]),
где крох — доля вала отрасли _], идущая на поставки.
3. В связи с ограниченностью ресурсов при моделировании принято, что строительство (развитие, восстановление) начинается с наиболее сильно влияющих на уровень производства (узких мест) отраслей.
Для расширяемых (реконструируемых, восстанавливаемых) на данном шаге отраслей ресурсы строительства каждого типа ] делятся пропорционально степени влияния на производственный потенциал, объему требуемого замещения фондов или доле полученного ущерба:
сСч(')={К0] - К ,('))/1Г
г р = 1 V
-1 ^ КОр; - К р С ^ '
где Ко ; — номинальная стоимость основных фондов типа ] отрасли ц
К (^) — стоимость фондов типа ] отрасли 1 для текущего времени; 1р —
номера требующих увеличения основных фондов отраслей; пр — число отраслей, мощности которых расширяются (восстанавливаются) на данном шаге 1
4. При определении эффективной мощности основных фондов учитывается, что для строительства и освоения новых и восстанавливаемых фондов требуется определенный временной интервал-лаг 1, т. е. выпуск продукции на восстановленных мощностях начнется с момента времени 1+1, если вложение средств начато в момент 1
В соответствии с принятым предположением о нецелесообразности замещения одних видов ресурсов другими при принятой для каждого момента времени 1 технологии производства
где К (V) — стоимость фондов типа ] в отрасли 1 в момент 1;; г; — коэффициент, показывающий необходимую долю фондов типа ] в общей стоимости основных фондов отрасли г
5. Коэффициент фондоотдачи каждой отрасли зависит от уровня загрузки оборудования. В период мобилизации промышленности загрузка мощностей может стать максимально возможной. При этом за время мобилизации (ТшоЬ) коэффициент фондоотдачи каждой отрасли возрастает и может быть описан следующим образом:
где 1 — текущее время; кг(0) — номинальный коэффициент фондоотдачи; к2 , — номинальный коэффициент загрузки оборудования отрасли г
6. При изменении структуры производства или снижении числа работающих в отраслях, подвергшихся внешнему воздействию, пополнение или восстановление трудовых ресурсов производится из резерва незанятого трудоспособного населения и через перераспределение наличных трудовых ресурсов других отраслей.
При неизменной для принятой технологии производства производительности труда по отраслям для расширения или восстановления сбалансированного производства валового национального продукта страны в случае какого-либо воздействия трудовые ресурсы должны быть восста-
к,(.' ) = ш1п (г/ К; (')),
к, (I)
к, ( 0 )-(1+(1/к2,-1>?/ТтоЬ ) к, (ТтоЬ )
при 1{ТтоЬ при ^ > ТтоЬ
новлены в исходных пропорциях по отраслям. Для случая восстановления числа работающих в отрасли после какого-либо поражающего воздействия с учетом времени переподготовки и обучения кадров по нормам военного времени число работающих в производственной отрасли можно описать формулой:
где Ь,(И) — число работающих в отрасли 1 после воздействия; Ьтг —
максимально возможное число работающих 1-й отрасли после перераспределения и использования резерва с учетом требуемых пропорций.
При смене технологий перераспределение трудовых ресурсов должно определяться более детализовано с учетом повышающихся требований к уровню образования и квалификации кадров, изменения состава занятых в производстве (ИТР, управленческий аппарат).
7. При изменении уровня гражданского потребления, характеризуемого в модели объемом конечного продукта заданной структуры, например в случае нанесения ущерба производству в конфликтной ситуации, происходит изменение производительности труда работающих. Для получения зависимости производительности труда от уровня гражданского потребления требуется проведение исследований в области медицины, психологии, социологии ит. д. В модели принято, что при снижении потребления до заданного минимально допустимого уровня производительность труда остается неизменной. Дальнейшее снижение гражданского потребления приводит к снижению производительности труда.
где к1 г(/) — текущие производительности труда по отраслям; к!г( 1 =
— номинальные производительности труда; ОР (1) — текущее значение
объема гражданского потребления, соответствующее сумме объемов конечной продукции отраслей, определяющей жизненный уровень населения; ОР тт — минимально допустимый уровень гражданского потребления; Г — в случае принятой в модели линейной зависимости при
8. Включение загрязнителей и других видов воздействия экономической деятельности на окружающую среду в общий объем гражданского потребления, т. е. в национальный доход на душу населения как показатель благосостояния, требует установления приемлемых норм воздействия на окружающую среду, а также фактического и физического описания и
Ь (1) = Ь (^ + (Ьтг - Ь (11)) • {1 - ехР (-0 7 ■ (1 -А))),
к1.(г = 0) приОР(1 )> ОРтт / ( ОР (1) / ОР тт ) приОР (1 )(ОР тт
ОР (1 ){ОР тт: к1 (1 ) = к1 (1 = 0 )•ОР (1) / ОР т!п.
измерения выпуска и уничтожения загрязнителей экономической системой.
9. Из анализа имеющихся матриц МОБ различных государств с учетом принятой производственной функции следует, что уменьшение поставок от любой из отраслей приведет к снижению в той же пропорции валов всех отраслей, в том числе и фондообразующих, не позднее чем через 2 такта обмена поставками.
Ограничение конечного потребления на минимально допустимом уровне позволяет увеличить долю поставок от пораженной отрасли, тогда
X; (*) = х1; (*) • (1 - (Хо, (*) • I1 - кроэ) • кт^р г)/ ХХ *))/ кроэ ,,
где хг](*) — поставки от 1-й отрасли к ]-й после перераспределения вала; х1;(*) — поставки от 1-й отрасли к ]-й без перераспределения; Хо,(*) — номинальный вал 1-й отрасли (до воздействия); ХX*) — вал отрасли 1 в момент 1;; кроэ — доля вала отрасли 1, идущая на поставки в соответствии с МОБ; кт^р — доля конечного продукта отрасли 1, соответствующая минимально допустимому уровню гражданского потребления.
10. Импорт товаров отражается в матрице МОБ отрицательными значениями в столбце квадранта конечного потребления. Если импорт товара 1, т. е. отрицательная величина, окажется больше конечного внутреннего потребления этого товара, соответствующий конечный спрос У1 окажется отрицательным. Когда У1 уменьшается, валовой выпуск всех секторов, и особенно валовой выпуск Х1, должен (как следствие) уменьшаться. В какой-то момент этот выпуск достигнет нуля, что означает, что весь прямой и косвенный спрос на этот товар будет покрываться за счет импорта. Соответствующая национальная отрасль производства автоматически исчезает из эндогенной части таблицы межотраслевого баланса. Импорт товаров называется неконкурентным, когда даже значительное возрастание спроса не приводит к возникновению их производства в стране (например, в случае ряда полезных ископаемых из-за их отсутствия на территории государства).
11. Влияние новых технологий в модели может быть учтено:
- при повышении эффективности существующего способа производства изменением коэффициентов фондоотдачи и производительности труда (см. п. 1);
- при изменении требуемых при производстве затрат сырья и полуфабрикатов изменением коэффициентов прямых затрат.
Кроме того, в модели может быть учтено влияние новых технологий на требуемые структуру и объемы основных фондов, величины лагов введения в строй и освоения новых и восстанавливаемых мощностей, время мобилизационного развертывания, темпы перераспределения людских ре-
сурсов, изменение производительности труда при снижении уровня потребления в периоды конфликтов.
Так как технологическая структура каждого сектора экономики представляется вектором-столбцом коэффициентов затрат, технологические изменения можно описать как изменения величины элементов этих векторов. Появление новых товаров или отраслей показывается посредством введения новых векторов, а исчезновение старых товаров (отраслей) — путем элиминирования старых векторов структурной матрицы изучаемой экономики.
Выбор между двумя (или более) альтернативными процессами, которые можно использовать для производства данного товара или услуги, должен, очевидно, основываться на сопоставлении эффектов гипотетического сдвига от одной технологии к другой.
Для определения влияния технологических изменений на производственные затраты следует произвести несколько вычислений по соответствующим моделям межотраслевого баланса, каждая из которых основана на введении в матрицу исследуемой экономики векторов коэффициентов, которые могут быть применены в рассматриваемых отраслях.
Изменения технологической структуры производства требуют расширения или создания новой производственной базы, т. е. увеличения или создания новых производственных фондов (см. выражение для производственной функции).
При замкнутой экономике требование создания фондов для расширяющейся или новой отрасли ] отражается в увеличении соответствующих позиций Уу в матрице МОБ конечного продукта отраслей 1 или даже появлении новых векторов-строк, соответствующих требуемым новым фондообразующим отраслям. Соответственно потребуется наращивание или создание новых основных фондов для этих отраслей.
Одновременно потребуется изменение количества и состава занятых в расширяемых или создаваемых отраслях. Повышение наукоемкости производства, увеличение доли высококвалифицированного труда приводит к увеличению добавленной стоимости V и повышению доходов трудящихся, что, в свою очередь, повышает спрос на конечную продукцию отраслей гражданского потребления У и стимулирует расширение производства этих отраслей, создание новых видов продукции. Таким образом, стимулируется дальнейшее развитие экономики.
Решением модели, построенной на основе данных уравнений, является производственная функция, определяемая объемом продукции, выпускаемой экономической системой в целом, или объем продукции определенного вида, например при заданной структуре производства В и ВТ, за конечный интервал времени (шаг моделирования).
Модель дискретная и формализуется как система разностных уравнений с ограничениями на управляемые переменные. В качестве времен-
ного шага выбирается среднее время обмена поставками между отраслями 1ш.
В процессе работы модели на каждом шаге вычисляется величина потока выходной продукции, сформировавшаяся за 1ш.
В тех случаях, когда выбор подходящей технологии можно основывать на максимизации или минимизации явно определенной функции нескольких переменных, таких, как агрегированная потребность в рабочей силе или особых природных ресурсах, потребности в инвестициях или издержки производства различных товаров (величины которых могут быть определены с помощью соответствующих вычислений по модели межотраслевого баланса), он может быть формализован и осуществлен с помощью подходящего алгоритма линейного программирования.
Для проведения исследований функционирования экономики региона на предлагаемой модели необходимы следующие исходные данные:
1. Матрица межотраслевого баланса (МОБ) за период времени, принятый для исследований в качестве базового, в денежном выражении, включающая:
- векторы — столбцы затрат промежуточной продукции, амортизационных отчислений, трудовых затрат;
- векторы — строки распределения конечной продукции отраслей на личное потребление граждан, государственное потребление, капитальные вложения, внешнюю торговлю, пополнение запасов.
2. Для каждой отрасли баланса:
- структура основных производственных фондов (процентное соотношение стоимостей различных типов фондов: зданий и сооружений, станков и оборудования);
- лаг мобилизации (время, необходимое для полной загрузки предприятий);
- номинальный уровень загрузки производственных мощностей;
- временные лаги строительства предприятий;
- число занятых в отрасли. Для детализованного исследования экономики при моделировании изменения технологий производства необходимы данные о распределении занятых по специализации (рабочие различных специальностей и квалификации, инженеры, менеджеры).
3. Дополнительные трудовые ресурсы (резерв трудоспособного населения).
4. Объем стратегических запасов продукции.
Работа модели осуществляется дискретно с выбранным временным шагом, соответствующим среднему такту обмена поставками отраслей.
Результатом работы модели на каждом шаге от момента начала исследуемого воздействия до достижения заданного уровня или для заданного интервала времени исследования принятого сценария является валовый
выпуск продукции, объем выпуска продукции любой из отраслей, а также уровень гражданского потребления или отдельные его составляющие.
Кроме того, подсчитывается величина суммарного изменения выпуска валовой продукции и уровня гражданского потребления за исследуемый интервал времени функционирования экономики, измеряемая в единицах номинального годового вала, регистрируются отрасли, сдерживающие развитие всего производства, и определяются факторы, лимитирующие эти отрасли.
Определенные с использованием предлагаемой модели показатели являются в принятой постановке задачи количественными характеристиками военно-экономического потенциала и могут быть использованы при прогнозировании развития экономики по разрабатываемым сценариям и выборе рациональных управляющих воздействий.
Библиографический список
1. Буренок В.М., Ляпунов А.А., Мудров В.И. Теория и практика планирования и управления развитием вооружения / под ред. A.M. Московского. М.: Изд-во «Вооружение. Политика. Конверсия», 2004. 419 с.
2. Сорокин В.А., Абрамович М.К., Сорокин Б.В., Дорожкин А.Д. Основы методологии формирования контрактных цен на сложные системы вооружения, военной и специальной техники: монография. Тверь: В А ВКО, 2005. 199 с.
N.S. Akinshin
Mathematical model of region economy intersectoral balance
A mathematical model of intersectoral balance has been suggested to describe mechanics of economy in a region. The model is discrete and is formalized as a system of difference equations with limitations on controlled variables. Average time of intersectoral procurement is selected as a time step.
Key words: model of interbranch balance, region economy, production volume, average time of an exchange of deliveries, manufacture structure.
