CC BY
0
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА ДИПОЛЬНЫХ МОМЕНТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
М.А. Ромащенко, д.т.н., профессор, Воронежский государственный технический университет, [email protected];
В.В. Глотов, к.т.н., доцент, Воронежский государственный технический университет, vadik-livny@mail. ru;
Н.Д. Майков, Воронежский государственный технический университет, nik-maikof@yandex. ru.
УДК 621.382_
Аннотация. При проектировании радиоэлектронных средств с учетом требований электромагнитной совместимости необходимо точное решение соответствующей математической электромагнитной модели для анализа напряженности магнитного и электрического поля. Как правило, ошибка решения математической модели возникает за счет ошибки физического моделирования (геометрическая аппроксимация) и математического моделирования. Кроме того, расчет решения уравнений Максвелла для больших сложных задач с минимальной ошибкой требует большого количества времени и материальных ресурсов. Чтобы преодолеть ограниченные вычислительные ресурсы компьютеров, применяются численно эффективные методы, которые облегчают вычислительную нагрузку и способны аппроксимировать точное решение с минимальной ошибкой. В статье представлены результаты работы по реализации метода эквивалентных дипольных моментов для рассеяния и поглощения электромагнитных волн от и внутри диэлектрических объектов. В математической модели токи поляризации, находящиеся внутри диэлектрического тела, заменены эквивалентными дипольными моментами, которые определяются выполнением условия согласованности электрических полей внутри диэлектрического тела.
Ключевые слова: дипольный момент; ближнее поле; обтекатель антенны; математическая модель; метод моментов.
MATHEMATICAL MODEL OF THE DIPOLE MOMENT METHOD FOR ANALYSIS OF ELECTROMAGNETIC FIELD STRENGTH
M.Al. Romashchenko, Doctor of Technical Sciences, Professor, Voronezh State Technical University;
V. V. Glotov, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Voronezh State Technical University;
N.D. Maikov, Voronezh State Technical University.
Annotation. When designing electronic equipment taking into account the requirements of electromagnetic compatibility, an accurate solution of the corresponding mathematical electromagnetic model is required to analyze the magnetic and electric field strength. As a rule, the error in solving the mathematical model occurs due to the error of physical modeling (geometric approximation) and mathematical modeling. In addition, calculating the solution of Maxwell's equations for large complex problems with a minimum error requires a lot of time and material resources. To overcome the limited computing resources of computers, numerically effective methods are used that ease the computational load and are able to approximate the exact solution with a minimum error. In this work, the method of equivalent dipole moments for scattering and absorption of
electromagnetic waves from and inside dielectric objects is implemented. In the mathematical model, the polarization currents located inside the dielectric body are replaced by equivalent dipole moments, which are determined by the fulfillment of the condition of consistency of electric fields inside the dielectric body.
Keywords: dipole moment; near field; antenna radome; mathematical model; method of moments.
Введение
В этой статье рассматриваются вопросы рассеяния и поглощения диэлектрического тела произвольной формы. Задача решается методом моментов с использованием микродоменных базисных функций для электрического тока. Поддержка этих базисных функций на один-два порядка меньше по длине волны, чем обычно используемые базисные функции с длиной волны - А/10 [1-3]. Выгодной особенностью является то, что излучаемое поле микробазисной функции просто равно полю электрически малого диполя и, следовательно, это поле известно в аналитической форме. В результате, это значительно упрощает вычисление элементов матрицы моментов, так как все матричные элементы, включая одночлен, поле которого тестируется внутри заданного объекта, можно вычислить аналитически [4, 5]. В некоторой степени предлагаемый метод обходит подход функции Грина, поскольку метод использует распределенные токи как базисные функции в отличие от бесконечно малых концентрированных функций [2]. Базисные функции высокого разрешения имеют потенциал для точного моделирования мелких деталей в токе, результирующем в точных расчетах потерь. Кроме того, он не страдает от проблемы разрыва на низких частотах и позволяет решать проблемы, связанные со смесью проводников и диэлектрических материалов практически без изменения состава [6].
Математическая формулировка задачи
На рис. 1 изображена диэлектрическая область произвольной формы, занимающая объем V. Объект изготовлен из диэлектриков с определяющими параметрами [рв, е} и помещен в свободное пространство [рв, ео}. Кроме того, к =
- волновое число внутренней среды. Объект освещается электрическим полем Е , который индуцирует электрический ток J внутри объекта [3]. Рассеянное поле обозначим через Es. Цель исследования состоит в том, чтобы вычислить индуцированный ток внутри этого диэлектрического объекта, решение которого будет получено косвенно с помощью электрически малых микробазисных функций. Еще одно важное преимущество использования электрически малых базисных функций заключается в том, что соответствующее излучаемое поле может быть вычислено в закрытой форме. Когда размер задачи становится неуправляемым, можно построить многодоменные базисные функции от более мелких через многоуровневый подход.
Согласно рис. 1 можно найти соотношение между падающим электрическим полем Ei и рассеянным электрическим полем Es из уравнений Максвелла [7].
В частотной области уравнения Максвелла для полей и токов внутри объема V однородно заполненных диэлектриков задаются выражением:
Рх Е = -¡арЯ (1а)
Р х Н = Jprim + jаеE (1б)
Р • H = 0 (1в)
Е = р/е , (1г)
где: Е(г,ю) называется напряженностью электрического поля [Рт-1]; Н(г, а) -напряженностью магнитного поля [4т-1]; Jprim(r,ю) - прилагаемой плотностью электрического тока [Ат-2]; J=Jprim+jа>еE - полной плотностью электрического тока [Ат-2]; р(г, Ю) - называется плотностью электрического заряда [Asm-3].
В приведенных выше уравнениях используется комплексная диэлектрическая проницаемость е=е0ег-/а/а, где а — проводимость среды [8].
Принцип эквивалентности объемов
Здесь принцип объемной эквивалентности используется для замены диэлектрической среды вакуумом, что можно сделать, если полный ток J заменить эквивалентным током Jeq, излученном в свободном пространстве и порождающим правильное поле рассеяния Es [9, 10]. В самом деле, нетрудно заметить, что левая часть (1.1б) может быть записана как:
Jprim + jаеE = Jprim + jа(е - еоо)Е + jаеoE = Jeq + jаеE . (2)
Заменяя формулу (1.1б) формулой (2), замечаем, что эквивалентный ток Jeq
излучается в свободное пространство и вычисляется согласно следующим формулам:
Рх Е = ^(Я (3а)
Рх Н = Jeq + jаеoE (3б)
Н = 0 (3в)
Е = р(^ч/е , (3г)
где: рeq связано уравнением неразрывности для зарядов и токов соотношением Р■ Jeq = ^юреЧ. Приведенные выше уравнения известны как уравнения Максвелла в свободном пространстве. Следовательно, мы убрали диэлектрик, включив его присутствие в эквивалентный ток Jeq. Это обычно называется принципом эквивалентности объемов и иллюстрируется графически на рис. 2: а) с наличием объекта; б) с отсутствием объекта.
(а) (б)
Рисунок 2
Используя E=Ei+Es(Jeq), заключаем, что поля и токи внутри диэлектрической области должны удовлетворять связи:
Jeq = Jprim + ]а>(е(г) - ев) ^(т) + Es(Jeq)] , (4)
что является условием согласованности электрического поля и токов всюду в ЯЗ. Если предположить, что объект на рис. 2б не имеет внутренних источников и упрощается до:
Jeq = }ы(е - ев) ^Цт) + Es(Jeq)] . (5)
Уравнение (5) можно сформулировать как интегральное уравнение для неизвестного электрического тока Jeq. Чтобы продемонстрировать это, нам нужно вывести интегральное представление рассеянного электрического поля Es как функцию текущего Jeq [11-13].
Поскольку Н соленоидальный, мы можем выразить это поле через магнитный векторный потенциал А, т.е.:
Н = Р* А . (6)
Подставляя это уравнение в (3а) и (3б), получаем:
(Е + jюрA) = 0 (7 а)
Рх р* А = Jeq + jюеE . (7б)
Векторное поле А определяется однозначно, если и его ротор, и дивергенция заданы при условии, что А известна в одной точке или обращается в нуль на бесконечности. Со ссылкой на определение (6) целесообразно принять:
Р• А = - jmеoФ . (8)
Метод взвешенных остатков представляет собой приближенный метод решения дифференциальных и интегральных уравнений [14, 15].
С помощью метода взвешенных остатков строится приближенное решение для тока в виде линейной комбинации известных базисных функций для тока с неизвестными коэффициентами разложения. Эти неизвестные коэффициенты могут быть получены путем решения матричного уравнения. Это уравнение формируется путем тестирования дипольной модели обтекателя антенны по крайней мере в том количестве контрольных точек, которое равно количеству базисных функций. Среди наиболее известных методик отметим метод коллокаций
63
и метод Галеркина [5]. В данный момент поступаем в общем и дискретизируем формулу (8), разлагая текущую следующим образом:
^ N
Зе* = 1п=1ап/п(г) , (9)
где: /п - N базисных функций; (ап}^=1 - соответствующее множество N коэффициентов разложения. Существуют подробные математические исследования для соответствующего выбора базисных и тестовых функций для некоторых формулировок, включающих интегрально-дифференциальные операторы. Здесь мы используем только общую формализацию (т.е., пока не предполагая явные формы для базисной и тестовой функций). Подставляя формулу (9) в формулу (5) получаем:
Еп=1ап</п(г),^т(г)) = ]ш(8-£о)[<^'(г),^т(г)) + Еп=1ап<Я5(/п(г)),^п(г))](10) для т = 1, 2, . . . , N.
Векторная функция Ют есть т-я весовая функция с носителем Sm, и Ют = 0 вне его носителя. Выбор весовой функции также очень важен с точки зрения точности результата. Как было сказано выше, два наиболее удачных варианта -метод Галеркина и метод сопоставления точек. Для сопоставления точек: Ют = ¿(г - Гт), а для теста Галеркина: Ют = /т. Известно, что метод Галеркина более точен и приводит к хорошо обусловленной матрице. Отметим, что для метода Галеркина (Ют = /т), уравнение (10) приводит к матричному уравнению:
%тп =м^УпШт(г)) - (Е3(Гп(г)),Гт(г)) (11)
Ут = (Е\Гт(г)) , (12)
где первая запись в приведенном выше уравнении отлична от нуля, если /п и /т частично перекрываются. Мы ссылаемся на одночлен в случае, если /п и /т полностью перекрываются (т=п). Уравнение матрицы моментов равно:
2ц а1 -у}
^N1 -aN- -V
Важно понимать, что, как правило, метод исключения Гаусса или любой другой метод матричной инверсии имеет временную сложность О(^), тогда как заполнение 2 имеет сложность О(^).
Время, необходимое для решения уравнения 1=2- V можно уменьшить еще больше, если использовать методы матричного ускорения/сжатия.
Заключение
По результатам математического исследования было сформулировано и дискретизировано интегральное уравнение математического поля с использованием метода взвешенных остатков. Эта дискретизация приводит к матричному уравнению моментов, которое можно решить для неизвестных коэффициентов расширения для тока.
Литература
1. Кечиев Л.Н. Проектирование печатных плат для цифровой быстродействующей аппаратуры. - М.: ООО «Группа ИДТ», 2007 - 616 с.
2. Зеленин И.А., Рыжиков А.Г., Фёдоров С.М. Антенная решетка на основе линзы Ротмана // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2012. - Т. 8. - № 11. - С. 102-105.
3. Рыжиков А.Г., Слинчук С.А., Фёдоров С.М., Чугуевский В.И. Исследование характеристик антенной решетки на основе линзы Ротмана и антенн с эллиптическими плечами // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2013. - Т. 9. - № 2. - С. 49-52.
4. Ашихмин А.В., Першин П.В., Фёдоров С.М. Пеленгование с использованием модели, в которой наблюдаемое поле является суперпозицией плоской падающей волны и рассеянных сферических волн, создаваемых блестящими точками на корпусе расеивателя // Вестник Воронежского института МВД России, 2018. - № 3. - С. 70-76.
5. Фёдоров С.М., Исследование влияния фильтрующих конденсаторов на рабочие характеристики управляемого метаматериала // Вестник Воронежского института МВД России, 2023. - № 4. - С. 111-113.
6. Ашихмин A.B., Винников В.И., Негробов В.В., Пастернак Ю.Г., Фёдоров С.М. Исследование возможности компенсации фазовых искажений в раскрыве антенны Вивальди с помощью печатной линзы // Радиотехника, 2012. - № 2. - С. 92-97.
7. Антипов С.А., Ашихмин A.B., Негробов В.В., Фёдоров С.М. Экспериментальное исследование сверхширокополосной антенны, построенной на основе модификации плоской линзы Люнеберга // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2012. - Т. 8. - № 3. - С. 113-118.
8. Панычев С.Н., Пастернак Ю.Г., Рыжиков А.Г., С.М. Фёдоров С.М. Обзор принципов построения излучающих устройств с возможностью формирования нескольких лучей // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2012. - Т. 8. - № 7.1. - С. 126-129.
9. Винников В.И., Останков A.B., Пастернак Ю.Г., Фёдоров С.М. Обзор современных методов построения квазифрактальных излучающих структур // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2011. - Т. 7. № 5. - С. 55-59.
10. Антипов С.А., Негробов В.В., Фёдоров С.М. Использование гибридных печатных антенн для построения линейных приемных антенных решеток // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. - Т. 7.
- № 12.1. - С. 119-122.
11. Ашихмин A.B., Винников В.И., Власов М.Ю., Негробов В.В., Пастернак Ю.Г., Рембовскин Ю.А., Сысоев Д.С., Фёдоров С.М. Исследование перспективных путей создания радиопеленгаторных антенных решеток на основе сверхширокополосных печатных элементов // Радиотехника, 2012. - № 2. - С. 97-104.
12. Панычев С.Н., Фёдоров С.М. Обзор методов построения квазифрактальных антенных решеток // Вестник Воронежского государственного технического уннверснтета, 2012. - Т. 8. - № 4. - С. 32-35.
13. Ромащенко М.А. Основные процедуры и программа планирования обеспечения ЭМС при разработке электронной аппаратуры // Радиотехника, 2013. - № 3. - С. 93-97.
14. Ромащенко М.А., Чураков П.П. Моделирование ближнего электромагнитного поля конструкций электронных систем с использованием численных методов // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2012. - Т. 8.
- № 3. - С. 109-112.
15. Ромащенко М. А., Коновалов Р. Г., Воробьев М. Е., Основные этапы методики обеспечения электромагнитной совместимости для подвижных объектов связи // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2023. - Т. 19. - № 1. - С. 62-68.
